The main subsect of this thesis is the theory of Lifshits-Krein spectral shift function in semifinite von Neumann algebras and its connection with the theory of spectral flow. Main results are an analogue of the Krein trace formula for semifinite von Neumann algebras, the semifinite analogue of the Birman-Solomyak spectral averaging formula, a connection between the spectral shift function and the spectral flow and a Lidskii type formula for Dixmier traces. In particular, it is established that in the case of operators with compact resolvent, the spectral shift function and the spectral flow are identical notions.

Most of the bio-applications of semiconductor quantum dots (QDs) show and utilize their superior optical properties over organic fluorophores. An estimated 3-35% of all cancer deaths could be avoided through early detection, therefore, there is a critical need to develop sensitive probes. The objectives of this work are: Research the phenomena of "blue" photoluminescence (PL) spectral shift on the dried bioconjugated QDs and develop the relevant mechanism; Develop a methodology that will allow successful confirmation of the bioconjugation reaction between biomolecules and QDs; Propose a modification of an existent method or approach to employ the "blue" spectral shift of bioconjugated QDs for early cancer detection. Results indicated that the "blue" spectral shift, observed for dried on the silicon substrates bioconjugated QDs, is increased with the time of storage and reaches 30-40nm in 14 days. It is accelerated at elevated temperatures and slowed down at lower temperatures. Larger size QDs generate spectral shifts of larger magnitudes, and the spectral shift is positively correlated with the biomolecule's size/weight. This phenomenon is explained by elastic and compression stress due to nonhomogenious drying of the QD droplet and the reaction with the solid surface. Agarose gel electrophoresis technique, optimized with organic dye fluorescamine, is suitable for bioconjugation verification. The optimal running parameters were found to be 2% agarose gel, 1.5V working voltage, 0.5X TBE as a running buffer, and about 120 mins running time. The spectral shift was implemented for improving the sensitivity of Prostate Specific Antigen (PSA) Enzyme-Linked ImmunoSorbent Assay (ELISA). It was found that QD ELISA could be as much, as 100 times more sensitive than the regular commercial ELISA, based on the enzymatic detection. The results of this work show that QDs may be very useful for early detection of several types of cancers, including prostate cancer in men and breast/ovarian/uterine cancers in women.

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Le sujet de cette thèse est l’étude de certaines équations de physique mathématique. Dans un premier temps, on étudie les résonances et la fonction de décalage spectral pour les opérateurs de Dirac semi-classique et de Schrödinger magnétique en dimension 3. On dé?nit les résonances comme des valeurs propres d’un opérateur non-autoadjoint obtenu par distortion complexe. Pour l’opérateur de Dirac, on majore le nombre de résonances par O(h-3) où h ? 0 est le paramètre semi-classique. Dans le cas de Schrödinger magnétique, l’opérateur de référence génère des valeurs propres de multipli- cité in?nie plongées dans le spectre continu. Dans une couronne centrée en une de ces valeurs propres et de rayons (r, 2r), on établit une borne supérieure, quand r ? 0, du nombre de résonances. Une approximation de type Breit-Wigner de la dérivée de la fonction de décalage spectral en fonction des résonances et une formule de trace locale sont obtenues pour ces deux opérateurs. De plus, on prouve une formule asymptotique de Weyl pour la fonction de décalage spectral pour l’opérateur de Dirac avec un potentiel électro-magnétique. Dans un deuxième temps, on s’intéresse à l’opérateur de Dirac semi-classique en dimension 1 avec un potentiel ayant des limites constantes mais pas nécessairement les mêmes à ±8. En utilisant la méthode BKW complexe, on construit des solutions analytiques de l’opérateur de Dirac. On étudie la théorie de la di?usion en fonction des solutions entrantes et sortantes. On obtient une asymptotique semi-classique de la matrice de di?usion dans di?érents cas, notamment dans le cas où le paradoxe de Klein apparaît. Le calcul des valeurs propres et des résonances est aussi traité pour l’opérateur de Dirac semi-classique unidimensionnel. / In this thesis, we consider equations of mathematical physics. First, we study the reso- nances and the spectral shift function for the semi-classical Dirac operator and the magnetic Schrö- dinger operator in three dimensions. We de?ne the resonances as the eigenvalues of a non-selfadjoint operator obtained by complex distortion. For the Dirac operator, we establish an upper bound O(h-3), as the semi-classical parameter h tends to 0, for the number of resonances. In the Schrödinger magne- tic case, the reference operator has in?nitely many eigenvalues of in?nite multiplicity embedded in its continuous spectrum. In a ring centered at one of this eigenvalues with radiuses (r, 2r), we establish an upper bound, as r tends to 0, of the number of the resonances. A Breit-Wigner approximation formula for the derivative of the spectral shift function related to the resonances and a local trace formula are obtained for the considered operators. Moreover, we prove a Weyl-type asymptotic of the SSF for the Dirac operator with an electro-magnetic potential. Secondly, we consider the semi-classical Dirac ope- rator on R with potential having constant limits, not necessarily the same at ±8. Using the complex WKB method, we construct analytic solutions for the Dirac operator. We study the scattering theory in terms of incoming and outgoing solutions. We obtain an asymptotic expansion, with respect to the semi-classical parameter h, of the scattering matrix in di?erent cases, in particular, in the case when the Klein paradox occurs. Quantization conditions for the resonances and for the eigenvalues of the one-dimensional Dirac operator are also obtained.

The aim of this thesis is to create collections of examples for the subject Astronomy taught for students of pedagogical faculties, studying this discipline as a part of physics courses. Due to very different mathematical knowledge of students I have chosen typical and not much difficult examples oriented to several branches of astronomy. Each part of examples begins with a self-contained theoretical introduction. The difficulty rises gradually from trivial to more complicated examples. The examples are mainly focused on motions in radial gravitational fields.

Dans ce travail, nous nous intéressons à l’analyse spectrale des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels semi-classiques. Dans la première partie, nous étudions la généralisation du théorème d’Egorov en temps longs dans le cas où l’Hamiltonien quantique qui génère l’évolution en temps et l’observable quantique initiale sont deux opérateurs pseudodifférentiels semiclassiques associés à des symboles à valeurs matricielles. Sous une condition d’hyperbolicité sur le symbole principal de l’Hamiltonien qui assure l’existence des projecteurs semi-classiques, et pour une classe d’observables "semi-classiquement" diagonales par blocs par rapport à ces projecteurs, nous démontrons un théorème de type Egorov valable pour un temps long d’ordre log(h-1) connu comme le temps d’Ehrenfest. Ici h 0 est le paramètre semi-classique. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la théorie spectrale et la théorie de la diffusion pour des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels auto-adjoints. Nous développons une approche stationnaire pour l’étude de la fonction de décalage spectral associée à une paire d’opérateurs de Schrödinger semi-classiques à potentiels matriciels. Une asymptotique de type Weyl avec reste optimal sur la fonction de décalage spectral est établie, et sous l’hypothèse d’existence d’une fonction fuite scalaire, un développement asymptotique complet en puissancesde h au sens fort sur sa dérivée est obtenu. Ce dernier résultat est une généralisation au cas matriciel d’un résultat de Robert et Tamura établi dans le cas scalaire près des énergies non-captives. Notre méthode indépendante du temps nous permet de traiter certains potentiels avec des croisements des valeurs propres. / In this work, we are interested in the spectral analysis of systems of semiclassical pseudodifferentialoperators. In the first part, we study the extension of the long time semiclassical Egorovtheorem in the case where the quantum Hamiltonian which generates the time evolution andthe initial quantum observable are two semiclassical pseudodifferential operators with matrixvaluedsymbols. Under an hyperbolicity condition on the principal symbol of the Hamiltonianwhich ensures the existence of the semiclassical projections, and for a class of observable thatare "semi-classically" block-diagonal with respect to these projections, we prove an Egorov theoremvalid in a large time interval of order log(h-1) known as the Ehrenfest time. Here h & 0is the semiclassical parameter.In the second part, we are interested in the spectral and scattering theories for self-adjointsystems of pseudodifferential operators. We develop a stationary approach for the study of thespectral shift function (SSF) associated to a pair of self-adjoint semiclassical Schrödinger operatorswith matrix-valued potentials. We prove a Weyl-type asymptotics with sharp remainderestimate on the SSF, and under the existence of a scalar escape function, a pointwise completeasymptotic expansion on its derivative. This last result is a generalisation in the matrix-valuedcase of a result of Robert and Tamura established in the scalar case near non-trapping energies.Our time-independent method allows us to treat certain potentials with energy-level crossings