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Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung des Einflusses der stochastischen Interpretation der Langevin Gleichung mit zustandsabhängigen Diffusionskoeffizienten auf den Propagator des zugehörigen stochastischen Prozesses bzw. dessen Mittelwerte. Dies dient dem besseren Verständnis und der Interpretation von Messdaten von Diffusion in inhomogenen Systemen und geht einher mit der Frage der Form der Diffusionsgleichung in solchen Systemen. Zur Vereinfachung der Fragestellung werden in dieser Arbeit nur Systeme untersucht die vollständig durch einen ortsabhängigen Diffusionskoeffizienten und Angabe der stochastischen Interpretation beschrieben werden können. Dazu wird zunächst für mehrere experimentell relevante eindimensionale Systeme der jeweilige allgemeine Propagator bestimmt, der für jede denkbare stochastische Interpretation gültig ist. Der analytisch bestimmte Propagator wird dann für zwei exemplarisch ausgewählte stochastische Interpretationen, hier für die Itô und Klimontovich-Hänggi Interpretation, gegenübergestellt und die Unterschiede identifiziert. Für Mittelwert und Varianz der Prozesse werden die drei wesentlichen stochastischen Interpretationen verglichen, also Itô, Stratonovich und Klimontovich-Hänggi Interpretation. Diese systematische Untersuchung von inhomogenen Diffusionsprozessen kann zukünftig helfen diese Art von, in genau einer stochastischen Interpretation, driftfreien Systemen einfacher zu identifizieren. Ein weiterer wesentlicher Teil der Arbeit erweitert die Frage auf mehrdimensionale inhomogene anisotrope Systeme. Dies wird z.B. bei der Untersuchung von Diffusion in Flüssigkristallen mit inhomogenem Direktorfeld relevant. Obwohl hier, im Gegensatz zu eindimensionalen Systemen, der Propagator nicht allgemein berechnet werden kann, wird dennoch der Einfluss der Inhomogenität auf Messgrößen, wie die mittlere quadratische Verschiebung oder die Verteilung der Diffusivitäten, bestimmt. Anhand eines Beispiels wird auch der Einfluss der stochastischen Interpretation auf diese Messgrößen demonstriert. / The aim of this thesis is to investigate the influence of the stochastic interpretation of the Langevin equation with state-dependent diffusion coefficient on the propagator of the related stochastic process, or its averages, respectively. This helps to obtain a deeper understanding and to interpret measurement data of diffusion in inhomogeneous systems and is accompanied with the question of the proper form of the diffusion equation in such systems. To simplify the question, in this thesis only systems are considered which can be fully described by a spatially dependent diffusion coefficient and a given stochastic interpretation. Therefore, for several experimentally relevant one-dimensional systems, the respective general propagator is determined, which is valid for any possible stochastic interpretation. Then, the propagator for two exemplary stochastic interpretations, here the Itô and Klimontovich-Hänggi interpretation, are compared and the differences are identified. For mean and variance of the processes three major interpretations are compared, namely the Itô, the Stratonovich and the Klimontovich-Hänggi interpretation. This systematic research on inhomogeneous diffusion process may help in future to identify these kind of, in exactly one stochastic interpretation, drift-free systems more easily. Another important part of this thesis extends this question to multidimensional inhomogeneous anisotropic systems. This is of high relevance, for instance, for the research of diffusion in liquid crystalline systems with an inhomogeneous director field. Although, in contrast to one-dimensional systems, the propagator may not be calculated generally, the influence of the inhomogeneity on measurement data like the mean squared displacement or the distribution of diffusivities is determined. Based on one example, also the influence of the stochastic interpretation on these quantities is demonstrated.

Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung des Einflusses der stochastischen Interpretation der Langevin Gleichung mit zustandsabhängigen Diffusionskoeffizienten auf den Propagator des zugehörigen stochastischen Prozesses bzw. dessen Mittelwerte. Dies dient dem besseren Verständnis und der Interpretation von Messdaten von Diffusion in inhomogenen Systemen und geht einher mit der Frage der Form der Diffusionsgleichung in solchen Systemen. Zur Vereinfachung der Fragestellung werden in dieser Arbeit nur Systeme untersucht die vollständig durch einen ortsabhängigen Diffusionskoeffizienten und Angabe der stochastischen Interpretation beschrieben werden können. Dazu wird zunächst für mehrere experimentell relevante eindimensionale Systeme der jeweilige allgemeine Propagator bestimmt, der für jede denkbare stochastische Interpretation gültig ist. Der analytisch bestimmte Propagator wird dann für zwei exemplarisch ausgewählte stochastische Interpretationen, hier für die Itô und Klimontovich-Hänggi Interpretation, gegenübergestellt und die Unterschiede identifiziert. Für Mittelwert und Varianz der Prozesse werden die drei wesentlichen stochastischen Interpretationen verglichen, also Itô, Stratonovich und Klimontovich-Hänggi Interpretation. Diese systematische Untersuchung von inhomogenen Diffusionsprozessen kann zukünftig helfen diese Art von, in genau einer stochastischen Interpretation, driftfreien Systemen einfacher zu identifizieren. Ein weiterer wesentlicher Teil der Arbeit erweitert die Frage auf mehrdimensionale inhomogene anisotrope Systeme. Dies wird z.B. bei der Untersuchung von Diffusion in Flüssigkristallen mit inhomogenem Direktorfeld relevant. Obwohl hier, im Gegensatz zu eindimensionalen Systemen, der Propagator nicht allgemein berechnet werden kann, wird dennoch der Einfluss der Inhomogenität auf Messgrößen, wie die mittlere quadratische Verschiebung oder die Verteilung der Diffusivitäten, bestimmt. Anhand eines Beispiels wird auch der Einfluss der stochastischen Interpretation auf diese Messgrößen demonstriert. / The aim of this thesis is to investigate the influence of the stochastic interpretation of the Langevin equation with state-dependent diffusion coefficient on the propagator of the related stochastic process, or its averages, respectively. This helps to obtain a deeper understanding and to interpret measurement data of diffusion in inhomogeneous systems and is accompanied with the question of the proper form of the diffusion equation in such systems. To simplify the question, in this thesis only systems are considered which can be fully described by a spatially dependent diffusion coefficient and a given stochastic interpretation. Therefore, for several experimentally relevant one-dimensional systems, the respective general propagator is determined, which is valid for any possible stochastic interpretation. Then, the propagator for two exemplary stochastic interpretations, here the Itô and Klimontovich-Hänggi interpretation, are compared and the differences are identified. For mean and variance of the processes three major interpretations are compared, namely the Itô, the Stratonovich and the Klimontovich-Hänggi interpretation. This systematic research on inhomogeneous diffusion process may help in future to identify these kind of, in exactly one stochastic interpretation, drift-free systems more easily. Another important part of this thesis extends this question to multidimensional inhomogeneous anisotropic systems. This is of high relevance, for instance, for the research of diffusion in liquid crystalline systems with an inhomogeneous director field. Although, in contrast to one-dimensional systems, the propagator may not be calculated generally, the influence of the inhomogeneity on measurement data like the mean squared displacement or the distribution of diffusivities is determined. Based on one example, also the influence of the stochastic interpretation on these quantities is demonstrated.

Die Dynamik des Erdsystems im Anthropozän wird durch eine zunehmende Verschränkung von Prozessen auf physikalischer und ökologischer sowie auf sozioökonomischer Ebene bestimmt. Wenn Modelle als Entscheidungshilfen in diesem Umfeld nützlich sein sollen, müssen sie diese komplexen Rückkopplungen ebenso berücksichtigen wie die inhärent emergenten und heterogenen Qualitäten gesellschaftlicher Dynamik. Diese Arbeit schlägt vor, den Menschen als begrenzten rationalen Entscheidungsträger zu modellieren, die (soziales) Lernen nutzen, um Entscheidungsheuristiken zu erwerben, die in einer gegebenen Umgebung gut funktionieren. Dies wird in einem Wirtschaftsmodell mit zwei Sektoren veranschaulicht, in dem ein Sektor eine fossile Ressource für die wirtschaftliche Produktion verwendet und die Haushalte ihre Investitionsentscheidungen in der zuvor beschriebenen Weise treffen. In der Modellökonomie können individuelle Entscheidungsfindung und soziale Dynamik die CO 2 Emissionen nicht auf ein Niveau begrenzen, das eine globale Erwärmung über 1,5◦C verhindert. Eine Kombination aus kollektivem Handeln und koordinierter öffentlicher Politik allerdings kann. Eine Folgestudie analysiert das soziale Lernen der individuellen Sparquoten in einer Ein-Sektor-Wirtschaft. Hier nähert sich die aggregierte Sparquote der eines intertemporär optimierenden allwissenden Sozialen Planers an, wenn die soziale Interaktionsrate ausreichend niedrig ist. Gleichzeitig führt eine abnehmende Interaktionsrate einem plötzlichen Übergangs von einer unimodalen zu einer stark bimodalen Verteilung des Vermögens unter den Haushalten. Schließlich schlägt diese Arbeit eine Kombination verschiedener Methoden vor, die zur Ableitung analytischer Näherungen für solche vernetzten heterogenen Agentenmodelle verwendet werden können, bei denen Interaktionen zwischen Agenten sowohl auf individueller als auch auf aggregierter Ebene auftreten. / The trajectory of the Earth system in the Anthropocene is governed by an increasing entanglement of processes on a physical and ecological as well as on a socio-economic level. If models are to be useful as decision support tools in this environment, they ought acknowledge these complex feedback loops as well as the inherently emergent and heterogeneous qualities of societal dynamics. This thesis improves the capability of social-ecological and socio-economic models to picture emergent social phenomena and uses and extends techniques from dynamical systems theory and statistical physics for their analysis. It proposes to model humans as bounded rational decision makers that use (social) learning to acquire decision heuristics that function well in a given environment. This is illustrated in a two sector economic model in which one sector uses a fossil resource for economic production and households make their investment decisions in the previously described way. In the model economy individual decision making and social dynamics can not limit CO 2 emissions to a level that prevents global warming above 1.5 ◦ C. However, a combination of collective action and coordinated public policy actually can. A follow up study analyzes social learning of individual savings rates in a one sector investment economy. Here, the aggregate savings rate in the economy approaches that of an intertemporarily optimizing omniscient social planner if the social interaction rate is sufficiently low. Sumultaneously, a decreasing interaction rate leads to emergent inequality in the model in the form of a sudden transition from a unimodal to a strongly bimodal distribution of wealth among households. Finally, this thesis proposes a combination of different moment closure techniques that can be used to derive analytic approximations for such networked heterogeneous agent models where interactions between agents occur on an individual as well as on an aggregated level.

The theory of Brownian motion is a cornerstone of modern physics. In this thesis, we introduce a nonequilibrium extension to this theory, namely an effective Markovian theory of the Brownian motion of a heated nanoparticle. This phenomenon belongs to the class of nonequilibrium steady states (NESS) and is characterized by spatially inhomogeneous temperature and viscosity fields extending in the solvent surrounding the nanoparticle. The first chapter provides a pedagogic introduction to the subject and a concise summary of our main results and summarizes their implications for future developments and innovative applications. The derivation of our main results is based on the theory of fluctuating hydrodynamics, which we introduce and extend to NESS conditions, in the second chapter. We derive the effective temperature and the effective friction coefficient for the generalized Langevin equation describing the Brownian motion of a heated nanoparticle. As major results, we find that these parameters obey a generalized Stokes–Einstein relation, and that, to first order in the temperature increment of the particle, the effective temperature is given in terms of a set of universal numbers. In chapters three and four, these basic results are made explicit for various realizations of hot Brownian motion. We show in detail, that different degrees of freedom are governed by distinct effective parameters, and we calculate these for the rotational and translational motion of heated nanobeads and nanorods. Whenever possible, analytic results are provided, and numerically accurate approximation methods are devised otherwise. To test and validate all our theoretical predictions, we present large-scale molecular dynamics simulations of a Lennard-Jones system, in chapter five. These implement a state-of-the-art GPU-powered parallel algorithm, contributed by D. Chakraborty. Further support for our theory comes from recent experimental observations of gold nanobeads and nanorods made in the the groups of F. Cichos and M. Orrit. We introduce the theoretical concept of PhoCS, an innovative technique which puts the selective heating of nanoscopic tracer particles to good use. We conclude in chapter six with some preliminary results about the self-phoretic motion of so-called Janus particles. These two-faced hybrids with a hotter and a cooler side perform a persistent random walk with the persistence only limited by their hot rotational Brownian motion. Such particles could act as versatile laser-controlled nanotransporters or nanomachines, to mention just the most obvious future nanotechnological applications of hot Brownian motion.

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The theory of Brownian motion is a cornerstone of modern physics. In this thesis, we introduce a nonequilibrium extension to this theory, namely an effective Markovian theory of the Brownian motion of a heated nanoparticle. This phenomenon belongs to the class of nonequilibrium steady states (NESS) and is characterized by spatially inhomogeneous temperature and viscosity fields extending in the solvent surrounding the nanoparticle. The first chapter provides a pedagogic introduction to the subject and a concise summary of our main results and summarizes their implications for future developments and innovative applications. The derivation of our main results is based on the theory of fluctuating hydrodynamics, which we introduce and extend to NESS conditions, in the second chapter. We derive the effective temperature and the effective friction coefficient for the generalized Langevin equation describing the Brownian motion of a heated nanoparticle. As major results, we find that these parameters obey a generalized Stokes–Einstein relation, and that, to first order in the temperature increment of the particle, the effective temperature is given in terms of a set of universal numbers. In chapters three and four, these basic results are made explicit for various realizations of hot Brownian motion. We show in detail, that different degrees of freedom are governed by distinct effective parameters, and we calculate these for the rotational and translational motion of heated nanobeads and nanorods. Whenever possible, analytic results are provided, and numerically accurate approximation methods are devised otherwise. To test and validate all our theoretical predictions, we present large-scale molecular dynamics simulations of a Lennard-Jones system, in chapter five. These implement a state-of-the-art GPU-powered parallel algorithm, contributed by D. Chakraborty. Further support for our theory comes from recent experimental observations of gold nanobeads and nanorods made in the the groups of F. Cichos and M. Orrit. We introduce the theoretical concept of PhoCS, an innovative technique which puts the selective heating of nanoscopic tracer particles to good use. We conclude in chapter six with some preliminary results about the self-phoretic motion of so-called Janus particles. These two-faced hybrids with a hotter and a cooler side perform a persistent random walk with the persistence only limited by their hot rotational Brownian motion. Such particles could act as versatile laser-controlled nanotransporters or nanomachines, to mention just the most obvious future nanotechnological applications of hot Brownian motion.:1 Introduction and Overview 2 Theory of Hot Brownian Motion 3 Various Realizations of Hot Brownian Motion 4 Toy Model and Numerical Methods 5 From Experiments and Simulations to Applications 6 Conclusion and Outlook