Ce document de synthèse présente différents travaux de recherche centrés sur le comportement asymptotique de processus stochastiques. Ces travaux analysent des équations différentielles stochastiques ou des systèmes d'EDS dirigés par des mouvements browniens. Ils font effectivement appel au calcul asymptotique: dans les questions posées, il s'agit bien souvent de considérer la limite d'un paramètre du système dynamique. Cela peut être: le coefficient de diffusion qui tend vers $0$, le temps qui croît à l'infini, le nombre de particules dans un système de particules en interaction qui tend vers l'infini, le pas de temps d'une marche aléatoire qui tend vers $0$. Les techniques utilisées sont donc spécifiques à ces passages à la limite: grandes déviations, estimation d'intégrales par la méthode de Laplace, limite de McKean-Vlasov, propagation du chaos, critère de tension des lois de processus, décomposition spectrale des semi-groupes.

Cette thèse présente des contributions originales pour la conception et la vérification de systèmes non-déterministes et stochastiques. Nos résultats sont divisés selon trois lignes directrices. Premièrement, nous généralisons la théorie des interfaces au cas stochastique, en s'appuyant sur le formalisme classique des chaînes de Markov à intervalles pour construire la première théorie de spécification compositionnelle pour systèmes stochastiques : les chaînes de Markov à contraintes. Deuxièmement, nous étendons la notion de contrats hypothèse-garantie et développons une théorie compositionnelle à base de contrats pour systèmes stochastiques, pour laquelle nous proposons des notions quantitatives de raffinement et de satisfaction. Finalement, nous proposons une méthodologie pour la vérification de systèmes complexes, basée sur une abstraction stochastique. Cette méthodologie, combinée avec le model-checking statistique, est appliquée avec succès à un cas d'étude industriel.

Ce document pr\ésente une synthèse de mes travaux sur des problématiques de mathématiques appliquées à l'actuariat. La théorie du risque, également appelée théorie de la ruine, concerne d'une manière générale l'évaluation de probabilités de réalisations d'événements défavorables pour des compagnies d'assurances. Au-delà de ces calculs de probabilités dans un modèle fixé, des branches de cette théorie s'intéressent aussi à différents problèmes d'optimisation: d'allocation de réserve, de stratégie de versement de dividendes ou d'imposition (au sens de la fiscalité), d'investissement dans des actifs risqués, de programme de réassurance...

Dans les milieux géologiques hétérogènes, la délimitation des zones de protection autour de puits de captage repose sur la fiabilité des modèles hydrogéologiques utilisés. Celle-ci dépend essentiellement de notre capacité à décrire les propriétés du système aquifère. En raison des mécanismes géologiques complexes impliqués dans la formation des dépôts sédimentaires, les propriétés aquifères et en particulier la conductivité hydraulique (K) montrent une variabilité spatiale importante, qui gouverne l'étalement de soluté. Le manque de données empêche une caractérisation parfaite du champ de K et introduit dès lors une incertitude dans la délimitation des zones de protection. Divers types d'informations liées à cette propriété peuvent être récoltés sur le terrain mais sont, en pratique, peu utilisés en raison de la difficulté de les intégrer dans les modèles hydrogéologiques. Dans ce travail de recherche, l'accent a été mis sur la quantification et la réduction de l'incertitude associée à la localisation des zones de protection en proposant une méthode stochastique permettant de conditionner les champs de K par des mesures directes (données hard) et indirectes (données soft) de cette propriété et plus particulièrement des données de résistivité électrique (ρ) et de hauteur piézométrique (h). L'approche stochastique spatiale qui a été adoptée considère la propriété K comme une fonction spatiale aléatoire et permet, par l'utilisation de méthodes géostatistiques, de caractériser sa variabilité spatiale. Cette approche stochastique génère un ensemble de champs de K, tous statistiquement équiprobables et, par analyse de Monte Carlo, prend explicitement en compte l'incertitude sur les valeurs de K dans la réponse du système, contrairement aux approches déterministes classiques qui considèrent le champ de K calibré comme la meilleure représentation de la réalité et mènent à la définition d'une zone de protection unique dont l'incertitude n'est pas quantifiable. Afin d'évaluer la qualité des résultats obtenus, cette méthode a été appliquée à un cas d'étude virtuel (synthétique) représentant une situation de référence, aussi proche que possible des conditions réelles rencontrées dans les aquifères alluviaux, et dont les propriétés hydrogéologiques sont connues en tout point du domaine modélisé. Elle a également été appliquée au cas d'étude réel d'un aquifère alluvial ayant déjà fait l'objet d'une étude déterministe et dont le nombre de mesures de K est extrêmement faible, nécessitant l'intégration de données de ρ et de h. L'ensemble des résultats montre à quel point l'introduction des données soft, et surtout celle des données de ρ, est un atout qui améliore grandement la caractérisation des champs de K et permet donc non seulement de réduire l'incertitude sur la localisation des zones de protection, mais également d'approcher la forme du tracé des zones de protection réelles. ABSTRACT In heterogeneous geological media, delineation of time-related well capture zone is based on the reliability of the hydrogeological models. It depends strongly on our ability to describe the system aquifer properties. Due to the complex geological processes leading to the formation of natural sediments, aquifer properties and in particular hydraulic conductivity (K) exhibits a large degree of heterogeneity, which governs solute spreading. The lack of K data hampers the complete determination of the K field and introduces uncertainty in capture zone delineation. Several kinds of informations related to this parameter can be collected in the field but are most often not used in practice because of the difficulty to introduce them in hydrogeological models. In this research work, emphasis is given to quantification and reduction of the well capture zone uncertainty by developing a stochastic method integrating direct (hard data) and indirect (soft data) measures of K and particularly electrical resistivity (ρ) and piezometric heads (h). The spatial stochastic approach adopted here considers the property K as a spatial random function and describes its spatial variability by use of geostatistical methods. This approach generates a range of statistically equally likely K fields and takes explicitly into account the K values uncertainty in the system response by performing Monte Carlo analysis, unlike classical deterministic approaches that consider a calibrated K field as the best representation of reality and lead to the definition of a unique capture zone for which uncertainty is unquantified. In order to assess the reliability of the results, this method was applied to a virtual (synthetic) study representing a reference case, very similar to actual alluvial aquifer conditions and for which hydrogeological properties are perfectly known. The method was also applied to a real case of an alluvial aquifer that had already been studied in a determinist framework and for which the number of K measures is very scarce, requiring a conditioning by ρ and h data. The results show how introduction of soft data and especially ρ data greatly improves K field description and therefore allows both to reduce well capture zone uncertainty and to approach the shapes of actual protection zones.

La théorie des jeux est un outils standard quand il s'agit de l'étude des systèmes réactifs. Ceci est une conséquence de la variété des modèles de jeux tant au niveau de l'interaction des joueurs qu'au niveau de l'information que chaque joueur possède. Dans cette thèse, on étudie le problème de la valeur pour des jeux où les joueurs possèdent une information parfaite, information partiel et aucune information. Dans le cas où les joueurs possèdent une information parfaite sur l'état du jeu, on étudie le problème de la valeur pour des jeux dont les objectifs sont des combinaisons booléennes d'objectifs qualitatifs et quantitatifs. Pour les jeux stochastiques à un joueur, on montre que les valeurs sont calculables en temps polynomiale et on montre que les stratégies optimales peuvent être implementées avec une mémoire finie. On montre aussi que notre construction pour la conjonction de parité et de la moyenne positive peut être étendue au cadre des jeux stochastiques à deux joueurs. Dans le cas où les joueurs ont une information partielle, on étudie le problème de la valeur pour la condition d'accessibilité. On montre que le calcul de l'ensemble des états à valeur 1 est un problème indécidable, on introduit une sous classe pour laquelle ce problème est décidable. Le problème de la valeur 1 pour cette sous classe est PSPACE-complet dans le cas de joueur aveugle et dans EXPTIME dans le cas de joueur avec observations partielles.

Cette étude est consacrée à l'analyse par simulations numériques instationnaires tridimensionnelles LES de la transition laminaire-turbulent dans un canal à injection pariétale représentatif de l'écoulement dans les chambres de moteurs à propergol solide. Pour déclencher le phénomène de transition vers la turbulence avec la méthode LES, il a été nécessaire d'introduire des fluctuations dans l'écoulement. Cette étude se focalise sur la recherche d'une méthodologie de calcul permettant de générer des perturbations dans l'écoulement. Une première méthode, basée sur le comportement du schéma numérique du code de calcul CEDRE de l'ONERA, a été utilisée pour générer des fluctuations dans l'écoulement. Une deuxième méthode prenant en compte les données expérimentales relevées sur le montage en gaz froid VECLA de l'ONERA a ensuite 't' développée. Cette dernière utilise une modélisation stochastique dans le cadre de l'equation de Langevin. Après implantation de cette méthode de calcul stochastique dans le code CEDRE, une étude spécifique a été menée pour analyser le comportement du modèle en relation avec la problématique de l'écoulement transitionnel dans le canal avec injection pariétale. Les simulations numériques instationnaires LES de l'écoulement en transition dans le montage VECLA ont ensuite été réalisées avec le code de calcul CEDRE. Les résultats ont été confrontés aux données expérimentales ainsi qu'a une simulation stationnaire RANS de l'écoulement. Les résultats mettent en évidence l'intérêt de la modélisation stochastique de Langevin sur la description du champ fluctuant dans le canal avec injection pari'etale.

Cette thèse traite du comportement des solutions u de l'équation de Burgers généralisée sur le cercle: u_t+f'(u)u_x=\nu u_{xx}+\eta,\ x \in S^1=\R/\Z. Ici, f est lisse, fortement convexe et satisfait certaines conditions de croissance. La constante 0<\nu << 1 correspond à un coefficient de viscosité. Nous considérons le cas où \eta=0, ainsi que le cas où \eta est une force aléatoire, lisse en x et peu régulière (de type "kick" ou bruit blanc) en t. Nous obtenons des estimations sur les normes de Sobolev de u moyennées en temps et en probabilité de la forme C \nu^{-\delta}, \delta >= 0, avec les mêmes valeurs de \delta pour les bornes supérieures et inférieures. On en déduit des estimations précises pour les quantités à petite échelle caractérisant la turbulence qui confirment exactement les prédictions physiques. Nous nous intéressons également au comportement asymptotique des solutions. Nous obtenons un résultat d'hyperbolicité des minimiseurs pour l'action correspondant à l'équation de Hamilton-Jacobi stochastique, dont la dérivée en espace est l'équation de Burgers stochastique avec \nu=0.

Cette thèse est consacrée à l'étude de certains modèles de déformation semi-paramétriques. Notre objectif est de proposer des méthodes récursives, issues d'algorithmes stochastiques, pour estimer les paramètres de ces modèles. Dans la première partie, on présente les outils théoriques existants qui nous seront utiles dans la deuxième partie. Dans un premier temps, on présente un panorama général sur les méthodes d'approximation stochastique, en se focalisant en particulier sur les algorithmes de Robbins-Monro et de Kiefer-Wolfowitz. Dans un second temps, on présente les méthodes à noyaux pour l'estimation de fonction de densité ou de régression. On s'intéresse plus particulièrement aux deux estimateurs à noyaux les plus courants qui sont l'estimateur de Parzen-Rosenblatt et l'estimateur de Nadaraya-Watson, en présentant les versions récursives de ces deux estimateurs.Dans la seconde partie, on présente tout d'abord une procédure d'estimation récursive semi-paramétrique du paramètre de translation et de la fonction de régression pour le modèle de translation dans la situation où la fonction de lien est périodique. On généralise ensuite ces techniques au modèle vectoriel de déformation à forme commune en estimant les paramètres de moyenne, de translation et d'échelle, ainsi que la fonction de régression. On s'intéresse finalement au modèle de déformation paramétrique de variables aléatoires dans le cadre où la déformation est connue à un paramètre réel près. Pour ces trois modèles, on établit la convergence presque sûre ainsi que la normalité asymptotique des estimateurs paramétriques et non paramétriques proposés. Enfin, on illustre numériquement le comportement de nos estimateurs sur des données simulées et des données réelles.

Cette thèse se situe dans le contexte des réseaux de communication temps-réel et son objectif est de proposer une architecture de communication pour la sous-couche MAC, qui définit des mécanismes pour assurer les contraintes temporelles du trafic temps-réel. Tout d'abord, une classification des protocoles MAC temps-réel existants, en mettant en exergue l'aspect ordonnancement de flux de messages ou ordonnancement de stations, est effectuée. En particulier, le protocole "jeton temporisé" et des mécanismes de la norme "ISA SP-50 / IEC-65C" sont détaillés. Ensuite, des contributions sur les mécanismes d'ordonnancement et les mécanismes protocolaires sont développées, à la fois en termes conceptuels et en termes de réflexions sur les normes existantes: proposition d'un algorithme non-préemptif ED avec, en particulier, une extension des conditions classiques d'ordonnançabilité; définition d'un algorithme de changement de mode de fonctionnement pour un système ordonnancé par l'algorithme RM; définition d'un protocole appelé "jeton temporisé régulier" qui améliore les performances temps-réel du protocole "jeton temporisé"; définition des conditions d'ordonnançabilité du trafic apériodique urgent dans le réseau FIP et proposition de deux profils de fonctionnement temps-réel pour le réseau Profibus. Enfin, nous proposons, modélisons avec le modèle "Réseaux de Petri Temporisés Stochastiques" et évaluons une architecture de communication pour la sous-couche MAC de réseaux locaux temps-réel. Cette architecture met en ¿uvre, de manière centralisée, un ordonnancement conjoint des trafics périodique et apériodique temps-réel, sur la base d'un algorithme non-préemptif pour le trafic périodique et d'une technique de jeton temporisé pour le trafic apériodique temps-réel. L'analyse permet, d'une part, d'évaluer l'ordonnancement en termes de taux d'utilisation permis et des limites de l'ordonnançabilité et, d'autre part, de montrer tout l'intérêt des modèles "Réseaux de Petri Temporisés Stochastiques" pour représenter et évaluer automatiquement l'ordonnançabilité d'un ensemble de configurations de flux de messages.

Diss.--Mathematik--Universität Bremen, 2001. / Bibliogr. p. 99-102. Index.