La vérification est maintenant une branche très connue des sciences informatiques. Elle est cruciale lorsque l'on a affaire à des programmes informatiques dans des systèmes automatiques : on veut vérifier si un système donné est correct et s'il satisfait des propriétés nécessaires à son bon fonctionnement. Une façon d'analyser ces systèmes se fait par la modélisation mathématique. La question est alors : peut-on vérifier si le modèle satisfait les propriétés requises ? C'est ce que l'on appelle le problème du model-checking. Plusieurs modèles ont été étudiés dans la littérature. Nous portons notre intérêt sur des modèles qui peuvent mêler des aspects temporels et des aspects probabilistes. Dans cette thèse, nous étudions donc le modèle des automates temporisés et stochastiques (ATS). Les contributions de ce document sont divisées en deux parties. Tout d'abord, nous étudions les problèmes de model-checking qualitatifs et quantitatifs des ATS. Les ATS sont, en particulier, des systèmes probabilistes généraux et avec de tels modèles, on est intéressé par des questions du type : « Une propriété est-elle satisfaite, au sein d'un modèle donné, avec probabilité 1 ? » (qualitatif) ou bien « Peut-on calculer une approximation de la probabilité que le modèle satisfait une propriété donnée ? » (quantitatif).Nous étudions ces questions dans des systèmes probabilistes généraux en utilisant, entre autres, la notion de decisiveness utilisée dans les chaînes de Markov infinie dans le but d'obtenir d'importants résultats qualitatifs et que nous étendons ici dans notre contexte plus général. Nous prouvons plusieurs résultats pour les problèmes de model-checking qualitatifs et quantitatifs de ces systèmes probabilistes, certains d'entre eux étant des extensions de travaux antérieurs sur les chaînes de Markov, d'autres étant nouveaux, et nous montrons comment l'on peut appliquer ces résultats sur des sous-classes des ATS. Nous étudions ensuite la vérification compositionnelle des ATS. En général, un système est le résultat de plusieurs plus petits systèmes fonctionnant ensemble. La vérification compositionnelle permet alors de réduire l'analyse de gros systèmes aux analyses des plus petits systèmes qui le composent. Il est donc crucial d'avoir une bonne structure compositionnelle au sein des modèles mathématiques, et cela manque aux ATS. Dans cette thèse, nous définissons un opérateur de composition pour les ATS. Nous faisons d'abord l'hypothèse que les ATS composés fonctionnent complètement indépendamment l'un de l'autre, c'est-à-dire les ATS ne communiquent pas entre eux. Nous prouvons que notre définition satisfait bien cette hypothèse d'indépendance. Un tel opérateur de composition n'est pas très intéressant puisque, généralement, les systèmes interagissent entre eux. Mais c'est une première étape nécessaire. Nous introduisons donc le nouveau modèle des ATS interactifs (ATSI) qui vont permettre des interactions entre les systèmes. Nous définissons un opérateur de composition dans les ATSI qui va rendre possible des synchronisations entre les systèmes et qui est construit sur la précédente composition dans les ATS. Nous finissons cette thèse par l'identification d'une sous-classe de ATSI dans laquelle tous les résultats qualitatifs et quantitatifs fournis dans cette thèse peuvent être appliqués, et qui est donc accompagnée d'une bonne structure compositionnelle au sein du modèle. / Verification is now a well-known branch in computer science. It is crucial when dealing with computer programs in automatic systems: we want to check if a given system is correct and satisfies some specifications that should be met. One way to analyse those systems is to model them mathematically. The question is then: can we check if the model satisfies the required specifications ? This is called the model-checking problem. Several models have been studied in the literature. We have an interest for models that can mix both timing and randomized aspects. In this thesis we thus study the stochastic timed automaton model (STA). The contributions of this document are twofold. First, we study the qualitative and quantitative model-checking problems of STA. STA are, in particular, general probabilistic systems and with such model, one is thus interested in questions like « Is a property satisfied, within a given model, with probability 1 ? » (qualitative) or « Can we compute an approximation of the probability that the model satisfies a given property ? » (quantitative).We study those questions for general stochastic systems using, amongst other, the notion of decisiveness used in infinite Markov chains in order to get strong qualitative and quantitative results, and that we extend here in or more general context. We prove several results for the qualitative and quantitative model-checking problems of those probabilistic systems, some of them being extensions of previous work on Markov chains, others being new, and we show how it can be applied to subclasses of STA. Then we study the compositional verification in STA. In general, a system is the result of several smaller systems working together. Compositional verification allows then one to reduce the analysis of a big system to the analyses of the smaller systems which compose it. It is then crucial to have a good compositional framework in mathematical models, and this lacks in STA. In this thesis, we define an operator of composition for STA. We first make the assumption that the STA composed run completely independently from each other, i.e. they do not communicate between them. We prove that our definition satisfies indeed this independence assumption. Such an operator of composition is not very interesting as in general, systems do communicate. But it is a necessary first step. We then introduce the new model of interactive STA (ISTA) that will allow for interactions between the systems. We define an operator of composition in ISTA that will make synchronisations possible between the systems and that is built on the previous composition in STA. We end this thesis with the identification of a subclass of ISTA in which all the qualitative and quantitative results provided in this thesis can be applied, and which thus comes with the nice compositional framework defined in the model.

Titre de l'écran-titre (visionné le 10 octobre 2023) / Cette thèse porte sur l'utilisation de différents outils mathématiques pour décrire la transmission synaptique. Le but de mon travail est double. Sur le plan biologique, j'ai effectué des simulations pour aider à mieux comprendre la transmission synaptique, en particulier le rôle des nanocolonnes dans la formation du courant synaptique. Les nanocolonnes sont des structures sous-microscopiques qui alignent les récepteurs postsynaptique et les vésicules présynaptiques. Étant donné qu'il est très difficile d'étudier expérimentalement les nanocolonnes, la modélisation mathématique devient un outil important pour mieux comprendre leur rôle et leur fonction. Cette partie de mon travail m'a amenée à publier un article de recherche dans la revue Frontiers in Comuptational Neuroscience intitulé "Computational modeling of trans-synaptic nanocolumns, a modulator of synaptic transmission". Dans cet article, nous montrons à travers des simulations mathématiques que les nanocolonnes pourraient jouer un rôle dans le renforcement des courants synaptiques dans les synapses de petites tailles. Le deuxième objectif de cette thèse est d'étudier différents outils mathématiques qui pourraient a priori être utilisés pour décrire la transmission synaptique. Une étape importante de la transmission synaptique est la diffusion des neurotransmetteurs dans la fente synaptique. D'un point de vue mathématique, une approche courante consiste à considérer la concentration des neurotransmetteurs comme une quantité continue et à décrire son évolution en résolvant l'équation de la chaleur. Dans le chapitre 1 de cette thèse, je discute des solutions et de l'approximation des solutions des équations de la chaleur sur des domaines cylindriques avec différentes conditions limites. Une approche plus précise est de décrire le mouvement des neurotransmetteurs individuels par une marche aléatoire. C'est cette méthode que j'ai utilisée dans mon article de recherche. Bien que plus précise, la description du mouvement des neurotransmetteurs individuels par des marches aléatoires est également plus coûteuse en calcul. De plus, étant donné la nature stochastique des simulations, une seule réalisation ne donnera qu'un résultat possible alors que de multiples simulations sont essentielles pour avoir une idée de la distribution des solutions. Cela peut être réalisé grâce à une approche Monte Carlo. Les marches aléatoires seront abordées dans le chapitre 3 de la thèse. Une troisième approche mathématique possible consiste à utiliser des équations différentielles stochastiques pour décrire le mouvement brownien des neurotransmetteurs. Les équations différentielles stochastiques ont l'avantage que leur solution fournit une distribution à partir de laquelle on peut déduire la probabilité d'une réalisation donnée. Cependant, les équations différentielles stochastiques sont généralement plus difficiles à résoudre et constituent un objet mathématique délicat à manipuler. Les équations différentielles stochastiques et la façon dont elles peuvent être appliquées à la description de la diffusion des neurotransmetteurs dans la synapse sont discutées au chapitre 2. / This thesis focuses on using different mathematical tools to describe synaptic transmission. The goal of my work is twofold. On the biological side, I performed simulations to help to better understand synaptic transmission, in particular the role of nanocolumns in shaping synaptic current. Nanocolumns are submicroscopic structures which align the postsynaptic receptors with the presynaptic vesicles. Given that it is very difficult to investigate experimentally nanocolumns, mathematical modeling becomes an important tool to better understand their role and function. This part of my work led me to publish a research paper in the journal Frontiers in Computational Neuroscience entitled "Computational modeling of trans-synaptic nanocolumns, a modulator of synaptic transmission" . In this research paper, we show through mathematical simulations that nanocolumns could play a role in reinforcing synaptic currents in weak synapses. The second goal of this thesis is to investigate different mathematical tools that could a priori be used to describe synaptic transmission. An important step in synaptic transmission is the diffusion of neurotransmitters in the synpatic cleft. From a mathematical standpoint, a common approach is to consider the concentration of neurotransmitters as a continuous quantity and to describe its evolution by solving the heat equation. In Chapter 1 of this thesis, I discuss solutions and approximation of solutions of heat equations on cylindrical domains with different boundaries conditions. A more accurate way to describe the movement of the neurotransmitters in the synaptic cleft is to describe the movement of individual neurotransmitters by a random walk. This second approach is the one I used in my research paper. While more accurate, the description of the movement of individual neurotransmitters by random walks is also more computationally expensive. Furthermore, given the stochastic nature of the simulations in this approach, a single realization will only give a possible outcome while performing multiple simulations is essential to get an idea of the distribution of solutions. This can be achieved through a Monte Carlo approach. Random walks will be discussed in chapter 3 of the thesis. A third possible mathematical approach is to use stochastic differential equations to describe the Brownian motion of neurotransmitters. Stochastic differential equations have the advantage that their solution provides a distribution from which one can deduce the probability of any given realization. However, stochastic differential are usually more difficult to solve and are a delicate mathematical object to handle. Stochastic differential equations and how they can be applied to the description of neurotransmitter diffusion in the synapse is discussion in chapter 2.

Les mathématiques offrent un cadre convenable pour raisonner rigoureusement sur les systèmes et phénomènes réels. Par exemple, en génie logiciel, les méthodes formelles sont parmi les outils les plus efficaces pour détecter les anomalies dans les logiciels. Plusieurs systèmes réels sont stochastiques par nature dans le sens où leur comportement est sujet à un aspect d'incertitude. La représentation de ce genre de systèmes requiert des modèles stochastiques comme les processus de Markov étiquetés (LMP), les processus de Markov décisionnels (MDP), etc. Cette thèse porte sur la quantification de la différence entre les systèmes stochastiques. Les contributions majeures sont : 1. une nouvelle approche pour quantifier la divergence entre les systèmes stochastiques basée sur l'apprentissage par renforcement, 2. une nouvelle famille de notions d'équivalence qui se situe entre l'équivalence par trace et la bisimulation, et 3. un cadre plus flexible pour la définition des notions d'équivalence qui se base sur les tests. Le résultat principal de la thèse est que l'apprentissage par renforcement, qui est une branche de l'intelligence artificielle particulièrement efficace en présence d'incertitude, peut être utilisé pour quantifier efficacement cette divergence. L'idée clé est de définir un MDP à partir des systèmes à comparer de telle sorte que la valeur optimale de cet MDP corresponde à la divergence entre eux. La caractéristique la plus attrayante de l'approche proposée est qu'elle est complètement indépendante des structures internes des systèmes à comparer. Pour cette raison, l'approche peut être appliquée à différents types de systèmes stochastiques. La deuxième contribution est une nouvelle famille de notions d'équivalence, que nous appelons moment, qui est plus forte que l'équivalence par trace mais plus faible que la bisimulation. Cette famille se définit naturellement à travers la coïncidence de moments de variable aléatoires (d'où son nom) et possède une caractérisation simple en terme de tests. Nous montrons que moment fait partie d'un cadre plus grand, appelé test-observation-equivalence (TOE), qui constitue la troisième contribution de cette thèse. Il s'agit d'un cadre plus flexible pour la définition des notions d'équivalence basé sur les tests. / Modelling real-life systems and phenomena using mathematical based formalisms is ubiquitous in science and engineering. The reason is that mathematics offer a suitable framework to carry out formal and rigorous analysis of these systems. For instance, in software engineering, formal methods are among the most efficient tools to identify flaws in software. The behavior of many real-life systems is inherently stochastic which requires stochastic models such as labelled Markov processes (LMPs), Markov decision processes (MDPs), predictive state representations (PSRs), etc. This thesis is about quantifying the difference between stochastic systems. The main contributions are: 1. a new approach to quantify the divergence between pairs of stochastic systems based on reinforcement learning, 2. a new family of equivalence notions which lies between trace equivalence and bisimulation, and 3. a refined testing framework to define equivalence notions. The important point of the thesis is that reinforcement learning (RL), a branch of artificial intelligence particularly efficient in presence of uncertainty, can be used to quantify efficiently the divergence between stochastic systems. The key idea is to define an MDP out of the systems to be compared and then to interpret the optimal value of the MDP as the divergence between them. The most appealing feature of the proposed approach is that it does not rely on the knowledge of the internal structure of the systems. Only a possibility of interacting with them is required. Because of this, the approach can be extended to different types of stochastic systems. The second contribution is a new family of equivalence notions, moment, that constitute a good compromise between trace equivalence (too weak) and bisimulation (too strong). This family has a natural definition using coincidence of moments of random variables but more importantly, it has a simple testing characterization. moment turns out to be part of a bigger framework called test-observation-equivalence (TOE), which we propose as a third contribution of this thesis. It is a refined testing framework to define equivalence notions with more flexibility.

Comprend un sommaire et un résumé en français. / « La thèse présente le développement, la validation et l'application en gestion des inventaires d'une approche à la génération de bornes pour des prévisions obtenues à l'aide du filtre AEP de Carbone et Longini. L'approche s'appuie sur un algorithme d'estimation des paramètres d'un modèle de prévision AEP qui pénalise les sur-prévisions ou les sous-prévisions. La pénalité imposée est déterminée par une heuristique non-paramétrique. L'approche est validée à l'aide d'une expérience de Monte-Carlo et d'une expérimentation sur des séries réelles. L'intégration de règles de gestion des inventaires dans l'approche est par la suite analysée lorsque divers critères de gestion sont utilisés. La thèse se termine sur un aperçu des extensions envisagées de l'approche à d'autres méthodes et modèles de prévision. »--Page xiv

La transition énergétique mondiale en cours incite à l'exploration et au développement d'approches holistiques incluant la modélisation et la simulation des ressources énergétiques distribuées (RED) et des charges flexibles modernes de manière intégrée, tout en évaluant leurs impacts sur le réseau de distribution. Avec le déploiement croissant de ces technologies dites vertes ces dernières décennies, caractérisées principalement par des dispositifs intelligents et un marché énergétique transactionnel en croissance, le système énergétique a acquis une dynamique significative, en particulier du côté de la distribution. Le comportement des consommateurs intelligents et la variabilité des RED changent radicalement les paradigmes traditionnels de planification et d'opération. Cette recherche contribue au domaine de la co-simulation distribution et client (D&C) en introduisant FlexSimNet, une plateforme de simulation innovante open-source, construite autour des technologies de flexibilité et des ressources énergétiques distribuées qui seront cruciales pour fournir de l'électricité Décarbonée, Numérisée et Décentralisée (3D) de manière rentable pour permettre l'émergence de systèmes énergétiques plus verts. FlexSimNet est une plateforme de simulation multi-sectorielle conçue comme un repère pour la recherche et l'analyse de systèmes de distribution et de clients intégrés à grande échelle. FlexSimNet est développé dans un environnement Python et utilise des solveurs de systèmes tels qu'OpenDSS et EnergyPlus en co-simulation. Il comprend plusieurs modules, chacun exécutant des fonctions spécifiques avec des entrées et des sorties distinctes, et conçu pour offrir une flexibilité dans le contrôle de l'opération des charges flexibles et des RED. Ces modules incluent : - Un outil Générique Tierme-Series Pow Flow (GTSPF), qui tire parti d'OpenDSS et de Python pour la simulation dynamique des réseaux de distribution, qui est également intégré à la plateforme d'Énergie Transactionnelle ETSim, permettant un examen détaillé des échanges d'énergie transactionnelle et de leur impact sur les opérations et l'efficacité du réseau. - Un module de Modélisation de l'Énergie Domestique qui utilise EnergyPlus pour une modélisation précise de l'énergie des bâtiments, facilitant une analyse plus approfondie des modèles de consommation tels que les niveaux de confort et leur influence sur le système énergétique global. - La mise en œuvre de simulation de Monte Carlo pour explorer la nature stochastique de la charge et de la décharge des VE, fournissant des aperçus sur la flexibilité et les défis posés par une forte pénétration des VE. - Et, l'application de techniques d'apprentissage machine pour la prévision précise de l'irradiance solaire et de la température, démontrant le potentiel des approches basées sur les données pour améliorer la précision prédictive. Le potentiel et les capacités de FlexSimNet sont évalués de manière approfondie à travers une variété de scénarios et de configurations de simulation. Les résultats confirment l'efficacité et la fiabilité de la plateforme comme cadre robuste pour simuler les interactions entre les RED, les charges flexibles et les réseaux de distribution, offrant un nouveau repère pour l'analyse techno-économique. Les simulations démontrent la complexité supplémentaire introduite dans le réseau par la haute pénétration des ressources énergétiques distribuées et des charges flexibles. Bien que ces ressources offrent des avantages tels que l'intégration des énergies renouvelables et les services de soutien potentiels au réseau, elles défient également l'efficacité du réseau. Cela souligne l'importance d'optimiser l'opération et la coordination de ces ressources au sein du réseau de distribution pour exploiter pleinement leurs avantages tout en maintenant ou en améliorant la performance du réseau. Cela impose également des défis pour la stabilité de la tension. La gestion de ces fluctuations devient cruciale, surtout à mesure que les niveaux de pénétration de ces technologies augmentent. Les opérateurs de système doivent employer des stratégies de régulation de tension avancées et exploiter la flexibilité de ces ressources énergétiques distribuées pour maintenir la stabilité du réseau. / The ongoing global energy transition urges the exploration and development of holistic approaches that include the modelling and simulation of distributed energy resources (DER) and modern flexible loads in an integrated manner while evaluating their impacts on the distribution network. With the increasing deployment of these so-called green technologies in recent decades, characterized primarily by smart devices and a growing transactional energy market, the power system has gained significant dynamism, especially on the distribution side. The behaviour of smart consumers and the variability of DER drastically change traditional planning and operational paradigms. This research contributes to the distribution and client (D&C) co-simulation field by introducing FlexSimNet, an innovative open-source simulation platform, built around flexibility technologies and distributed energy resources that will be crucial for delivering cost-effective Decarbonized, Digitized and Decentralized (3D) electricity to enable emerging greener energy systems. FlexSimNet is a multi-sector simulation platform designed as a benchmark for the research and analysis of large-scale integrated distribution and customer systems. FlexSimNet is developed in a Python environment and employs system solvers such as OpenDSS and EnergyPlus in co-simulation. It comprises several modules, each performing specific functions with distinct inputs and outputs, and designed to offer flexibility in controlling the operation of flexible loads and DER. These modules include: - A Generic Time-Series Power Flow (GTSPF) tool, which leverages OpenDSS and Python for dynamic simulation of distribution networks which is also integrated with the transactive energy ETSim platform, enabling detailed examination of transactive energy exchanges and their impact on network operations and efficiency. - A Home Energy Modelling module which utilizes EnergyPlus for accurate building energy modelling, facilitating a deeper analysis of consumption patterns such as comfort levels and their influence on the overall energy system. - The implementation of Monte Carlo simulations to explore the stochastic nature of EV charging and discharging, providing insights into the flexibility and challenges posed by high EV penetration. - And, the application of machine learning techniques for precise forecasting of solar irradiance and temperature, demonstrating the potential of data-driven approaches inenhancing predictive accuracy. FlexSimNet's potential and capabilities are thoroughly assessed through a variety of scenarios and simulation setups. The results confirm the platform's effectiveness and reliability as a robust framework for simulating the interactions between DER, flexible loads, and distribution networks, offering a new benchmark for techno-economic analysis. The simulations demonstrate the additional complexity introduced into the network by the high penetration of distributed energy resources and flexible loads. While these resources offer benefits such as renewable integration and potential grid support services, they also challenge network efficiency. This underscores the importance of optimizing the operation and coordination of these resources within the distribution network to harness their full benefits while maintaining or enhancing network performance. It also imposes challenges for voltage stability. Managing these fluctuations becomes crucial, especially as the penetration levels of such technologies grow. System operators need to employ advanced voltage regulation strategies and leverage the flexibility of these distributed energy resources to maintain grid stability.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2012-2013. / Cette thèse a pour but d'élaborer et d'étudier des modèles mathématiques reproduisant le comportement de systèmes composés de plusieurs éléments dont les interactions forment un réseau complexe. Le corps du document est découpé en trois parties ; un chapitre introductif et une conclusion récapitulative complétent la thèse. La partie I s'intéresse à une dynamique spécifique (propagation de type susceptibleinfectieux- retiré, SIR) sur une classe de réseaux également spécifique (modèle de configuration). Ce problème a entre autres déjà été étudié comme un processus de branchement dans la limite où la taille du système est infinie, fournissant une solution probabiliste pour l'état final de ce processus stochastique. La principale contribution originale de la partie I consiste à modifier ce modèle afin d'introduire des éffets dûs à la taille finie du système et de permettre l'étude de son évolution temporelle (temps discret) tout en préservant la nature probabiliste de la solution. La partie II, contenant les principales contributions originales de cette thèse, s'intéresse aux processus stochastiques sur réseaux complexes en général. L'état du système (incluant la structure d'interaction) est partiellement représenté à l'aide de motifs, et l'évolution temporelle (temps continu) est étudiée à l'aide d'un processus de Markov. Malgré que l'état ne soit que partiellement représenté, des résultats satisfaisants sont souvent possibles. Dans le cas particulier du problème étudié en partie I, les résultats sont exacts. L'approche se révèle très générale, et de simples méthodes d'approximation permettent d'obtenir une solution pour des cas d'une complexité appréciable. La partie III cherche une solution analytique exacte sous forme fermée au modèle développé en partie II pour le problème initialement étudié en partie I. Le système est réexprimé en terme d'opérateurs et différentes relations sont utilisées afinn de tenter de le résoudre. Malgré l'échec de cette entreprise, certains résultats méritent mention, notamment une généralisation de la relation de Sack, un cas particulier de la relation de Zassenhaus. / The goal of this thesis is to develop and study mathematical models reproducing the behaviour of systems composed of numerous elements whose interactions make a complex network structure. The body of the document is divided in three parts; an introductory chapter and a recapitulative conclusion complete the thesis. Part I pertains to a specific dynamics (susceptible-infectious-removed propagation, SIR) on a class of networks that is also specific (configuration model). This problem has already been studied, among other ways, as a branching process in the infinite system size limit, providing a probabilistic solution for the final state of this stochastic process. The principal original contribution of part I consists of modifying this model in order to introduce finite-size effects and to allow the study of its (discrete) time evolution while preserving the probabilistic nature of the solution. Part II, containing the principal contributions of this thesis, is interested in the general problem of stochastic processes on complex networks. The state of the system (including the interaction structure) is partially represented through motifs, then the (continuous) time evolution is studied with a Markov process. Although the state is only partially represented, satisfactory results are often possible. In the particular case of the problem studied in part I, the results are exact. The approach turns out to be very general, and simple approximation methods allow one to obtain a solution for cases of considerable complexity. Part III searches for a closed form exact analytical solution to the the model developed in part II for the problem initially studied in part I. The system is re-expressed in terms of operators and different relations are used in an attempt to solve it. Despite the failure of this enterprise, some results deserve mention, notably a generalization of Sack's relationship, a special case of the Zassenhaus relationship.

La prise de décision est un problème omniprésent qui survient dés qu'on fait face à plusieurs choix possibles. Ce problème est d'autant plus complexe lorsque les décisions, ou les actions, doivent être prise d'une manière séquentielle. En effet, l'exécution d'une action à un moment donné entraîne un changement à l'environnement, ou au système qu'on veut contrôler, et un tel changement ne peut pas être prévu avec certitude. Le but d'un processus de prise de décision consiste alors à choisir des actions en vue de se comporter d'une manière optimale dans un environnement incertain. Afin d'y parvenir, l'environnement est souvent modélisé comme un système dynamique à plusieurs états, et les actions sont choisies d'une telle manière à ramener le système vers un état désirable. Dans le cadre de cette thèse, nous avons proposé un ensemble de modèles stochastiques et d'algorithmes, afin d'améliorer la qualité du processus de prise de décision sous l'incertain. Les modèles développés sont une alternative aux Processus Décisionnels de Markov (MDPs), un cadre formel largement utilisé pour ce genre de problèmes. En particulier, nous avons montré que l'état d'un système dynamique peut être représenté d'une manière plus concise lorsqu'il est décrit en termes de prédictions de certains événements dans le futur. Nous avons aussi montré que le processus cognitif même du choix d'actions, appelé politique, peut être vu comme un système dynamique. Partant de cette observation, nous avons proposé une panoplie d'algorithmes, tous basés sur des représentations prédictives de politiques, pour résoudre différents problèmes de prise de décision, tels que la panification décentralisée, l'apprentissage par renforcement, ou bien encore l'apprentissage par imitation. Nous avons montré analytiquement et empiriquement que les approches proposées mènent à des réductions de la complexité de calcul et à une amélioration de la qualité des solutions par rapport aux approches d'apprentissage et de planification standards.

La gestion de risque est un domaine qui ne cesse d’évoluer chaque année. En effet, plusieurs modèles ont été construits pour modéliser la richesse d’une compagnie d’assurance et suivre son comportement dans le temps. Un des objectifs de cette modélisation est de fournir des indicateurs de risque qui donnent une visibilité sur la situation de la compagnie et aident ses gestionnaires à prendre les décisions nécessaires. La majorité des modèles reposent sur le processus de Poisson et tiennent compte du nombre et du moment de sinistre. Dans ce mémoire, on propose un nouveau modèle stochastique différent de ce qui était réalisé jusqu’à présent pour la gestion de risque. Il s’agit d’un modèle d’approximation de réserve par un processus de diffusion, basé sur une équation différentielle stochastique. Dans ce modèle on ne tient pas compte du nombre ni des instants de sinistres, on ne tient compte que de la valeur totale des dépenses et celle des revenus. On introduit aussi le taux de croissance de la compagnie car il a une grande influence sur l’augmentation des réserves dans le temps. On définit aussi quelques indicateurs de risque et on les ajuste selon notre modèle. Donc, on considère un processus de risque multidimensionnel dont chaque composante du vecteur représente le processus de réserve pour une des lignes d’activité de la compagnie. On suppose dans la construction du modèle l’indépendance entre les lignes afin de faciliter les calculs. Enfin, on supporte la construction du modèle par une validation numérique dans laquelle on utilise des schémas de discrétisation et de simulation numérique comme Euler- Maruyama et la méthode de Monte-Carlo pour expliquer le fonctionnement de chaque ligne d’activité et obtenir l’approximation de quelques indicateurs de risque. Suite à l’étude numérique on valide que notre approche est fonctionnelle et fournie une modélisation réaliste. On constate alors que le capital initial a un grand rôle et peut dans certains cas sauver la situation de la compagnie. Le niveau du seuil de l’arrêt de la ligne (en cas de ruine sévère) qu’on a introduit dans le modèle agit aussi beaucoup sur la santé de l’entreprise. / Risk management is an area that continues to evolve each year. Indeed, several models are built to model the wealth of an insurance company and follow its behavior over time. One of the targets of this modeling is to provide risk indicators that give visibility about the company’s situation and help the company’s managers make the necessary decisions. The majority of models rely on the composed Poisson processes and consider the number and time of sinisters. We propose in this thesis a new stochastic model based on stochastic differential equation for risk management. It is a reserve approximation model obtained by a diffusion process. In this model we do not take into account the number or the instants of sinisters, we only take into account the total of losses and of incomes together with the growth of each business line. Some risk indicators are also defined and adjusted according to our model. We consider then a multidimensional risk process, where each component of the vector is the reserve process for one line of business for the company. We assume the independence between the different lines to facilitate the modelling. Finally, we propose a simulation study using an Euler-Maruyama scheme coupled to a Monte- Carlo method. Then, we explain the behavior of each line and we compute the approximation of some risk indicators. The findings of the numerical study support the conclusion that our method works and provide good results. With regard to the numerical results, it can be concluded that the initial capital has a great role and can in some cases save the company’s situation. Moreover, the threshold level that has been introduced into the model is also very important for the insurance company’s health. / Résumé en espagnol

La quantification et la propagation des incertitudes dans les modèles physiques apparaissent comme des voies essentielles vers l'amélioration de la prédiction de leur réponse. Le développement d'outils de modélisation des incertitudes et d'estimation de leur impact sur la réponse d'un modèle a constitué un axe de recherche privilégié dans de nombreux domaines scientifiques. Cette dernière décennie, un intérêt croissant a été porté à des méthodes numériques basées sur une vision fonctionnelle des incertitudes. Ces méthodes, couramment baptisées ``méthodes spectrales stochastiques'', sont issues d'un mariage fructueux de l'analyse fonctionnelle et de la théorie des probabilités.<br /><br />Reposant sur des bases mathématiques fortes, les méthodes spectrales de type Galerkin semblent constituer une voie prometteuse pour l'obtention de prédictions numériques fiables de la réponse de modèles régis par des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS). Plusieurs inconvénients freinent cependant l'utilisation de ces techniques et leur transfert vers des applications de grande taille : le temps de calcul, les capacités de stockage mémoire requises et le caractère ``intrusif'', nécessitant une bonne connaissance des équations régissant le modèle et l'élaboration de solveurs spécifiques à une classe de problèmes donnée. Un premier volet de mes travaux de recherche a consisté à proposer une stratégie de résolution alternative tentant de lever ces inconvénients. L'approche proposée, baptisée méthode de décomposition spectrale généralisée, s'apparente à une technique de réduction de modèle a priori. Elle consiste à rechercher une décomposition spectrale optimale de la solution sur une base réduite de fonctions, sans connaître la solution a priori. <br /><br />Un deuxième volet de mes activités a porté sur le développement d'une méthode de résolution d'EDPS pour le cas où l'aléa porte sur la géométrie. Dans le cadre des approches spectrales stochastiques, le traitement d'aléa sur l'opérateur et le second membre est en effet un aspect aujourd'hui bien maîtrisé. Par contre, le traitement de géométrie aléatoire reste un point encore très peu abordé mais qui peut susciter un intérêt majeur dans de nombreuses applications. Mes travaux ont consisté à proposer une extension de la méthode éléments finis étendus (X-FEM) au cadre stochastique. L'avantage principal de cette approche est qu'elle permet de traiter le cas de géométries aléatoires complexes, tout en évitant les problèmes liés au maillage et à la construction d'espaces d'approximation conformes.<br /><br />Ces deux premiers volets ne concernent que l'étape de prédiction numérique, ou de propagation des incertitudes. Mes activités de recherche apportent également quelques contributions à l'étape amont de quantification des incertitudes à partir de mesures ou d'observations. Elles s'insèrent dans le cadre de récentes techniques de représentation fonctionnelle des incertitudes. Mes contributions ont notamment porté sur le développement d'algorithmes efficaces pour le calcul de ces représentations. En particulier, ces travaux ont permis la mise au point d'une méthode d'identification de géométrie aléatoire à partir d'images, fournissant une description des aléas géométriques adaptée à la simulation numérique. Une autre contribution porte sur l'identification de lois multi-modales par une technique de représentation fonctionnelle adaptée.

Ce mémoire aborde la synthèse de filtres H-infine d'ordre plein et d'ordre réduit pour les systèmes stochastiques à temps continu avec bruits multiplicatifs. Les bruits considérés dans l'équation d'état et dans l'équation de mesures sont des processus de Wiener.<br /><br />Les systèmes stochastiques étudiés dans ce mémoire sont écrits sous la forme d'une équation différentielle stochastique au sens d'Itô dans lesquels la dérive et la diffusion sont linéaires ou bilinéaires. Les systèmes avec plusieurs bruits multiplicatifs et les systèmes dont les mesures sont affectées par des bruits multiplicatifs sont également traités dans ce mémoire. La conception d'une commande H-infine basée sur un observateur d'ordre réduit pour les systèmes stochastiques incertains est étudiée.<br /><br />Le critère de performance considéré est le critère H-infine du signal de perturbation vers le signal d'erreur d'estimation. La stabilité retenue pour ces systèmes stochastiques dans ce travail est la stabilité exponentielle en moyenne quadratique.<br /><br />La méthode utilisée pour trouver les matrices des filtres est basée sur l'utilisation de la théorie de Lyapunov pour les équations différentielles stochastiques, la formule d'Itô et sur la résolution des Inégalités Matricielles Affines couplées à des contraintes bilinéaires qui assurent la stabilité et la performance.