Cette thèse traite de l'approximation des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) par projections et simulations de Monte-Carlo. Les applications envisagées ont rapport aux mathématiques financières. Dans une première partie, nous proposons un premier algorithme dont nous étudions la convergence en fonction de ses paramètres. Ayant montré les limitations de ce premier algorithme, nous étudions dans une deuxième partie un second algorithme pour lequel nous établissons de nouvelles bornes d'erreurs. Celles-ci nous permettent d'obtenir une précision arbitrairement petite dans l'approximation des solutions d'EDSR. Nous étendons dans une troisième partie nos résultats au cas des EDSR rétrogrades qui permettent de modéliser le problème de réplication d'options américaines. Enfin, dans une dernière partie, nous expérimentons numériquement les algorithmes analysés précédemment. En conclusion, nous donnons des pistes pour étendre ce travail.

Nous étudions les propriétés statistiques de réponses impulsionnelles de salles. Si la qualité acoustique d'une salle est décrite par ses réponses impulsionnelles, ces dernières renseignent également sur le système physique considéré. En 1975, Joyce émet l'hypothèse selon laquelle les grandes salles sont mélangeantes ou tout au moins ergodiques. Afin de vérifier cette dernière hypothèse, ce document se concentre sur l'estimation du temps auquel le système devient mélangé: le temps de mélange. Plusieurs types d'estimateur sont mis en œuvre. L'algorithme Matching Pursuit permet d'estimer les temps d'occurrence des retours. L'étude de leur distribution temporelle permet de définir un temps à partir duquel la densité de retours augmente d'un rapport constant avec le temps. Nous avons développé l'eXtensible Fourier Tranform (XFT) qui permet une visualisation temporelle pas-à-pas des composantes spectrales du signal. La XFT permet d'estimer le temps à partir duquel les composantes spectrales du signal sont distribuées statistiquement. Les deux estimateurs s'accordent tant sur des réponses expérimentales que synthétisées par un modèle stochastique: le temps de mélange est une fonction de la distance source/récepteur. Nous montrons que le temps que nous estimons n'est pas le temps de mélange au sens dynamique du terme. Nous proposons l'emploi du nom de temps de transition à la place. Finalement, les estimateurs ouvrent la voie à l'estimation de la diffusion, du filtrage d'une salle ou de l'entropie comme des fonctions du temps.

Cette thèse s'articule autour de deux grands thèmes: l'amélioration de la gestion des risques assurantiels souscrits par les entreprises d'assurance et l'intégration des techniques actuarielles et financières. L'intérêt majeur de notre démarche est de proposer de nouvelles méthodes modernes de gestion des risques pour les sociétés d'assurance, fournissant des alternatives pertinentes aux approches classiques des actuaires. Dans bon nombre de problèmes actuariels, l'information dont on dispose à propos des risques en présence n'est que partielle et il peut être intéressant d'obtenir des approximations de quantités d'intérêt (fonctions de répartition, primes stop-loss, coefficients d'ajustement, probabilités de ruine, etc.) basées sur les premiers moments des risques en présence. Dans tous les cas, il est évidemment très important de pouvoir évaluer la qualité de ces approximations. A cet égard, l'obtention de bornes sur ces quantités d'intérêt permet de contrôler l'erreur qui pourrait entacher l'approximation. Dans une telle perspective, la majeure partie de la thèse a pour cadre de travail les classes de risques partageant les mêmes premiers moments (notamment, moyenne, variance et coefficient de dissymétrie). L'existence de risques extrémaux par rapport à certaines relations d'ordres stochastiques de type convexe permet alors d'obtenir des bornes sur les quantités d'intérêt considérées. Dans certains cas, et ce afin d'obtenir des bornes plus précises, il peut également s'avérer intéressant de se restreindre à d'autres classes de risques. Par exemple, la classe des risques discrets, qui constitue un cas particulier de première importance en sciences actuarielles, a retenu toute notre attention. Cette thèse est composée d'articles (rédigés en anglais) publiés dans des revues nationales et internationales.

Cette thèse est constituée de trois parties pouvant être lues indépendamment. Dans la première partie, on s'intéresse à la résolution de problème de contrôle stochastique par des méthodes de quantification. La quantification consiste à trouver la meilleure approximation d'une loi de probabilité continue par une loi de probabilité discrète avec un nombre donné N de points supportant cette loi. Nous allons expliciter un cadre de programmation dynamique " générique " qui permet de résoudre de nombreux problèmes de contrôle stochastique comme les problèmes de temps d'arrêt optimal, de maximisation d'utilité, d'équations différentielles stochastiques rétrogrades, de filtrage... Dans ce cadre, nous donnons trois schémas de discrétisation en espace associée à la quantification d'une chaîne de Markov. Dans la deuxième partie, nous présentons un schéma numérique pour les équations différentielles stochastiques rétrogrades doublement réfléchies. Nous nous plaçons dans un cadre général qui contient des sauts et des processus progressifs dépendant de la trajectoire. On propose une approximation du type schéma d'Euler. Nous prouvons la convergence du schéma pour les équations différentielles stochastiques rétrogrades quand le nombre de pas de temps n tend vers l'infini. Nous donnons aussi la vitesse de convergence pour les game options. Dans la troisième partie, on s'intéresse à la réplication des dérivés sur la variance réalisée. On propose une couverture robuste au modèle de volatilité constituée de positions dynamiques sur des options européennes. On étend ensuite cette méthodologie aux options sur fond et aux processus à saut.

Cette thèse présente des méthodes et des algorithmes pour l'évaluation de performance de modèles avec très grands espace d'états décrits par des formalismes de haut niveau. Parmi les différents formalismes couramment utilisés, on se place dans le cadre des Réseaux d'Automates Stochastiques (SAN). Le formalisme SAN se caractérise par la représentation de très grands systèmes par la composition de sous-systèmes (automates), où ces automates interagissent entre eux par des événements synchronisants ou des taux et des probabilités fonctionnels. <br /><br />La première partie de cette thèse s'intéresse au calcul des indices de performances transitoires pour des grands modèles. Lorsqu'on calcule des indices de performances transitoires, tel que la disponibilité ponctuelle, la méthode d'uniformisation est la plus souvent utilisée. Cependant le nombre d'itérations vecteur-matrice peut être très grand ce qui devient critique pour de très grands modèles. Des méthodes de détection du régime stationnaire peuvent réduire le coût de calcul en arrêtant les itérations lorsque le régime stationnaire est atteint. Dans cette thèse, nous proposons une adaptation et une comparaison de différentes méthodes de détection du régime stationnaire lorsque la matrice est stockée sous un format tensoriel. Les méthodes sont comparées selon deux critères : nombre d'itérations et précision des résultats.<br /><br />Dans la deuxième partie, nous présentons le formalisme SAN à temps discret. La définition formelle du formalisme SAN présentée dans cette thèse nous permet de définir la sémantique des modèles en temps discret que nous souhaitons exploiter. Nous définissons une nouvelle algèbre tensorielle (appelée Algèbre Tensorielle compleXe - ATX) capable d'exprimer cette sémantique. Pour cela, trois opérateurs sont définis afin de décrire différents comportement d'un système, tels que la simultanéité, la concurrence et le choix. Enfin, le principal apport de cette thèse réside dans la définition d'une formule tensorielle (appelée Descripteur discret) qui utilise cette nouvelle algèbre pour représenter un modèle SAN à temps discret de façon compacte. Nous montrons que ce descripteur discret permet aisément de générer la chaîne de Markov représentée par le modèle SAN.

Cette thèse concerne trois sujets de probabilités numériques et de mathématiques financières. D'abord, nous étudions le module de régularité L2 en temps de la composante Z d'une EDSR markovienne à coefficients lipschitziens, mais dont la fonction terminale g est irrégulière. Ce module est lié à l'erreur d'approximation par schéma d'Euler. Nous montrons, de façon optimale, que l'ordre de convergence est explicitement lié à la régularité fractionnaire de g. Ensuite, nous proposons une méthode de Monte-Carlo séquentielle pour le calcul efficace du prix d'une tranche de CDO, basée sur des variables de contrôle séquentielles, dans un cadre où les taux de recouvrement sont aléatoires et i.i.d. Enfin, nous analysons l'erreur de couverture associée à la stratégie en Delta-Gamma. La régularité fractionnaire de la fonction payoff joue un rôle crucial dans le choix des dates de rebalancement, afin d'atteindre des vitesses de convergence optimales.

On considère des méthodes de Galerkin stochastiques pour des systèmes hyperboliques faisant intervenir des données en entrée incertaines de lois de distribution connues paramétrées par des variables aléatoires. On s'intéresse à des problèmes où un choc apparaît presque sûrement en temps fini. Dans ce cas, la solution peut développer des discontinuités dans les domaines spatial et stochastique. On utilise un schéma de Volumes Finis pour la discrétisation spatiale et une projection de Galerkin basée sur une approximation polynomiale par morceaux pour la discrétisation stochastique. On propose un solveur de type Roe avec correcteur entropique pour le système de Galerkin, utilisant une technique originale pour approcher la valeur absolue de la matrice de Roe et une adaptation du correcteur entropique de Dubois et Mehlmann. La méthode proposée reste coûteuse car une discrétisation stochastique très fine est nécessaire pour représenter la solution au voisinage des discontinuités. Il est donc nécessaire de faire appel à des stratégies adaptatives. Comme les discontinuités sont localisées en espace et évoluent en temps, on propose des représentations stochastiques dépendant de l'espace et du temps. On formule cette méthodologie dans un contexte multi-résolution basé sur le concept d'arbres binaires pour décrire la discrétisation stochastique. Les étapes d'enrichissement et d'élagage adaptatifs sont réalisées en utilisant des critères d'analyse multi-résolution. Dans le cas multidimensionnel, une anisotropie de la procédure adaptative est proposée. La méthodologie est évaluée sur le système des équations d'Euler dans un tube à choc et sur l'équation de Burgers en une et deux dimensions stochastiques

Ce travail porte sur la modélisation et la simulation d'écoulements compressibles. Par une démarche d'homogénéisation, on commence par dériver un modéle d'écoulements diphasiques à sept équations. Les termes de fluctuation restants sont modélisés par des termes de relaxation. Dans le cas où ces coefficients de relaxation tendent vers l'infini, ce qui correspond à des écoulements très bien mélangés, on obtient par un développement asymptotique un modèle à cinq équations qui est strictement hyperbolique, mais non-conservatif. La discrétisation de ce modèle est obtenue par un développement asymptotique d'un schéma numérique pour le système à sept équations. Le schéma obtenu est implémenté, validé sur des cas analytiques, et comparé dans le cas de chocs multiphasiques à des résultats expérimentaux. <br /><br />On s'intéresse ensuite à la modélisation du changement de phase avec deux équations d'état. Un principe d'optimisation de l'entropie de mélange mène à distinguer trois zones: une zone où le liquide pur est le plus stable, une autre zone où le gaz pur est le plus stable, et, enfin, une zone où un mélange à l'équilibre des pressions, températures et potentiels thermodynamiques est stable. On donne alors des conditions sur le couplage des deux équations d'état pour que l'équation d'état de mélange soit convexe, et pour que le système soit hyperbolique. Afin de prendre en compte le changement de phase, on introduit dans la solution du problème de Riemann une onde de vaporisation modélisée comme une onde de déflagration. On montre ensuite que la fermeture habituelle, la fermeture de Chapman-Jouguet, est inadéquate en général, et on donne une fermeture correcte dans le cas où les deux phases sont des gaz parfaits. Enfin, la solution du problème de Riemann est implémentée dans un code multiphasique, et validée sur des cas analytiques. Dans ce même code, on met en place un modèle de dépôt laser et de conduction thermique non linéaire afin de modéliser les phénomènes physiques intervenant dans l'ablation laser. Les résultats obtenus sont comparables à ceux obtenus avec des lois d'échelle. <br /><br />Le dernier chapitre, complètement indépendant, porte sur la recherche de correcteurs en homogénéisation stochastique dans le cas de processus à queue lourde.

L'application des algorithmes issus de l'Intelligence Artificielle à des applications concrètes est un domaine de recherche intéressant de par les perspectives que cela ouvre. En effet, les contraintes de ces problèmes sont telles que les faiblesses des algorithmes sont mises en évidence de façon beaucoup plus efficace que sur les exemples académiques classiques. Dans cette thèse, je m'intéresse plus particulièrement à deux problèmes d'aide au diagnostic médical. Les outils développés sont donc en interaction constante avec l'équipe médicale correspondante. Je montre donc comment, en alliant la puissance de raisonnement des modèles Markoviens au côté intuitif des ensembles flous, il est possible d'obtenir un système de diagnostic viable. Pour aider encore cette coopération, j'introduis la notion d'apprentissage de diagnostic. Cette méthodologie permet en effet au médecin de corriger le diagnostic établi par le système sur un laps de temps donné. Le système adapte alors le modèle du patient, de façon à se rapprocher de la consigne, tout en respectant des contraintes de stabilité numérique. Ce processus autorise donc le médecin à modifier les paramètres du modèle de manière cohérente, et, surtout, sans avoir à régler chacun des paramètres manuellement. Je montre finalement comment cette approche peut être généralisée à des problèmes éloignés de la médecine, en prenant l'exemple de la localisation d'un robot mobile. Cette approche mène à la réalisation d'une interface de conception d'agents ‘intelligents'. L'utilisateur désireux de construire une nouvelle application peut alors mettre cette bibliothèque en œuvre, en reliant des modules les uns aux autres afin d'obtenir les traitements nécessaires. De par sa conception à base d'objets, cette bibliothèque permet aisément l'ajout ou la modification d'algorithmes au fur et à mesure de leur développement. Cela devrait aider au développement de nouvelles applications, tout en réduisant le travail nécessaire des chercheurs impliqués.

Nos travaux de recherche sont dédiés µa la mise en oeuvre d'une maintenance<br />centralisée dans les systèmes manufacturiers. A partir de l'état de l'art sur le service<br />maintenance dans les différentes industries, notre problèmatique s'est portée sur la mise<br />en place d'un système de maintenance dans une entreprise possédant plusieurs unités<br />de production et dont la réparation des parties défaillantes des machines requiert des<br />ressources bien adaptées aux diverses machines complexes.<br />Dans le contexte d'une maintenance centralisée, une démarche de conception d'un atelier<br />de maintenance est proposée. A partir d'une étude fonctionnelle des machines de produc-<br />tion, la structure de l'atelier est établie et les ressources sont déterminées qualitativement.<br />Ensuite, nous proposons un dimensionnement de l'atelier de maintenance, passant par<br />l'évaluation des performances et en intégrant les coûts de maintenance. Enfin, pour que<br />l'atelier de maintenance soit efficace aussi bien sur le plan technique qu'économique de<br />l'entreprise, des stratégies de maintenance sont déterminées pour chaque machine.