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Random matrices and transfer matrix techniques for the integer quantum hall effectKalisch, Frieder. Unknown Date (has links) (PDF)
University, Diss., 2004--Augsburg.
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Optimal approximation of stochastic differential equations with additive fractional noise /Neuenkirch, Andreas. January 2006 (has links)
Techn. University, Diss., 2006--Darmstadt.
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Extreme events in financial risk managementLehnert, Thorsten. January 1900 (has links)
Proefschrift Universiteit Maastricht. / Met lit. opg. - Met samenvatting in het Nederlands.
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Betriebsoptimierung von elektrischen Energieerzeugungsanlagen und Übertragungssystemen bei unvollständiger InformationKuhn, Sebastian January 2008 (has links)
Zugl.: Duisburg, Essen, Univ., Diss., 2008
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Theory of eigenstate thermalization / Theorie der Thermalisierung von QuanteneigenzuständenHelbig, Tobias Thimo January 2023 (has links) (PDF)
Next to the emergence of nearly isolated quantum systems such as ultracold atoms with unprecedented experimental tunability, the conceptualization of the eigenstate thermalization hypothesis (ETH) by Deutsch and Srednicki in the late 20th century has sparked exceptional interest in the mechanism of quantum thermalization. The ETH conjectures that the expectation value of a local observable within the quantum state of an isolated, interacting quantum system converges to the thermal equilibrium value at large times caused by a loss of phase coherence, referred to as dephasing. The thermal behavior within the quantum expectation value is traced back to the level of individual eigenstates, who locally act as a thermal bath to subsystems of the full quantum system and are hence locally indistinguishable to thermal states. The ETH has important implications for the understanding of the foundations of statistical mechanics, the quantum-to-classical transition, and the nature of quantum entanglement. Irrespective of its theoretical success, a rigorous proof has remained elusive so far. $$ \ $$
An alternative approach to explain thermalization of quantum states is given by the concept of typicality. Typicality deals with typical states \(\Psi\) chosen from a subspace of Hilbert space with energy \(E\) and small fluctuations \(\delta\) around it. It assumes that the possible microstates of this subspace of Hilbert space are uniformly distributed random vectors. This is inspired by the microcanonical ensemble in classical statistical mechanics, which assumes equal weights for all accessible microstates with energy \(E\) within an energy allowance \(\delta\). It follows from the ergodic hypothesis, which states that the time spent in each part of phase space is proportional to its volume leading to large time averages being equated to ensemble averages. In typicality, the Hilbert space of quantum mechanics is hence treated as an analogue of classical phase space where statistical and thermodynamic properties can be defined. Since typicality merely shifts assumptions of statistical mechanics to the quantum realm, it does not provide a complete understanding of the emergence of thermalization on a fundamental microscopic level. $$ \ $$
To gain insights on quantum thermalization and derive it from a microscopic approach, we exclusively consider the fundamental laws of quantum mechanics. In the joint work with T. Hofmann, R. Thomale and M. Greiter, on which this thesis reports, we explore the ETH in generic local Hamiltonians in a two-dimensional spin-\(1/2\) lattice with random nearest neighbor spin-spin interactions and random on-site magnetic fields. This isolated quantum system is divided into a small subsystem weakly coupled to the remaining part, which is assumed to be large and which we refer to as bath. Eigenstates of the full quantum system as well as the action of local operators on those can then be decomposed in terms of a product basis of eigenstates of the small subsystem and the bath. Central to our analysis is the fact that the coupling between the subsystem and the bath, represented in terms of the uncoupled product eigenbasis, is given by an energy dependent random band matrix, which is obtained from both analytical and numerical considerations. $$ \ $$
Utilizing the methods of Dyson-Brownian random matrix theory for random band matrices, we analytically show that the overlaps of eigenstates of the full quantum system with the uncoupled product eigenbasis are described by Cauchy-Lorentz distributions close to their respective peaks. The result is supported by an extensive numerical study using exact diagonalization, where the numerical parameters for the overlap curve agree with the theoretical calculation. The information on the decomposition of the eigenstates of the full quantum system enables us to derive the reduced density matrix within the small subsystem given the pure density matrix of a single eigenstate. We show that in the large bath limit the reduced density matrix converges to a thermal density matrix with canonical Boltzmann probabilities determined by renormalized energies of the small subsystem which are shifted from their bare values due the influence of the coupling to the bath. The behavior of the reduced density matrix is confirmed through a finite size scaling analysis of the numerical data. Within our calculation, we make use of the pivotal result, that the density of states of a local random Hamiltonian is given by a Gaussian distribution under very general circumstances. As a consequence of our analysis, the quantum expectation value of any local observable in the subsystem agrees with its thermal expectation value, which proves the validity of the ETH in the equilibrium phase for the considered class of random local Hamiltonians and elevates it from hypothesis to theory. $$ \ $$
Our analysis of quantum thermalization solely relies on the application of quantum mechanics to large systems, locality and the absence of integrability. With the self-averaging property of large random matrices, random matrix theory does not entail a statistical assumption, but is rather applied as a mathematical tool to extract information about the behavior of large quantum systems. The canonical distribution of statistical mechanics is derived without resorting to statistical assumptions such as the concepts of ergodicity or maximal entropy, nor assuming any characteristics of quantum states such as in typicality. In future research, with this microscopic approach it may become possible to exactly pinpoint the origin of failure of quantum thermalization, e.g. in systems that exhibit many body localization or many body quantum scars. The theory further enables the systematic investigation of equilibration, i.e. to study the time scales on which thermalization takes place. / Neben der Entwicklung experimentell zugänglicher nahezu isolierter Quantensysteme wie ultrakalter Gase hat die Formulierung der Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH) durch Deutsch und Srednicki im späten 20. Jahrhundert ein gesteigertes Interesse am Mechanismus der Quantenthermalisierung geweckt. Die ETH postuliert, dass der Erwartungswert einer lokalen Observablen innerhalb des Quantenzustands eines isolierten, wechselwirkenden Quantensystems bei großen Zeiten zum thermischen Gleichgewichtswert konvergiert. Dies vollzieht sich durch den Verlust der Phasenkohärenz im Erwartungswert der lokalen Observable, was als Dephasing bekannt ist. Das thermische Verhalten innerhalb des Quantenerwartungswerts wird auf die Ebene einzelner Eigenzustände zurückgeführt, die lokal als thermisches Bad für Untersysteme des gesamten Quantensystems wirken und daher lokal nicht von thermischen Zuständen unterscheidbar sind. Die ETH hat wichtige Auswirkungen auf das Verständnis der Grundlagen der statistischen Mechanik, des Übergangs von der Quanten- zur klassischen Physik und der Natur der Quantenverschränkung. Ungeachtet ihres theoretischen Erfolges ist ein rigoroser Beweis der Hypothese bisher nicht erfolgt. $$ \ $$
Ein alternativer Ansatz zur Erklärung der Thermalisierung von Quantenzuständen ist das Konzept der typicality. Typicality befasst sich mit typischen Zuständen \(\Psi\), die aus einem Unterraum des Hilbertraums mit Energie \(E\) und kleinen Fluktuationen \(\delta\) ausgewählt werden. Dabei wird angenommen, dass die möglichen Mikrozustände dieses Unterraums des Hilbertraums gleichmäßig verteilte Zufallsvektoren sind. Dies ist ein aus dem klassischen mikrokanonischen Ensemble übertragener Ansatz, der von einer Gleichgewichtung aller Mikrozustände mit der Energie \(E\) in einem Energiebereich \(\delta\) ausgeht. Das geht auf die ergodische Hypothese zurück, die besagt, dass die verbrachte Zeit in jedem Teil des klassischen Phasenraums proportional zu dessen Volumen ist. Dies führt schlussendlich zu einer Gleichsetzung der Mittelwerte bei großen Zeiten mit Ensemblemittelwerten. Der Hilbertraum in der Quantenmechanik wird mit typicality daher als Analogon des klassischen Phasenraums behandelt, in dem statistische und thermodynamische Eigenschaften definiert werden können. Da typicality lediglich Annahmen der statistischen Mechanik auf den Quantenbereich überträgt, kann sie kein vollständiges mikroskopisches Bild der Entstehung von Thermalisierung liefern. $$ \ $$
Um Erkenntnisse über die Quantenthermalisierung zu gewinnen und sie aus einem mikroskopischen Ansatz abzuleiten, stützen wir uns ausschließlich auf die grundlegenden Gesetze der Quantenmechanik. In der gemeinsamen Arbeit mit T. Hofmann, R. Thomale und M. Greiter, von der diese Arbeit berichtet, untersuchen wir die ETH in generischen lokalen Hamiltonians in einem zweidimensionalen Spin-\(1/2\)-Gitter mit zufälligen Spin-Spin-Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn und zufälligen lokalen Magnetfeldern. Dieses isolierte Quantensystem wird in ein kleines Untersystem aufgeteilt, das schwach an den verbleibenden Teil gekoppelt ist, der als groß angenommen und als Bad bezeichnet wird. Die Eigenzustände des gesamten Quantensystems sowie die Wirkung lokaler Operatoren auf diese können dann in Form einer Produktbasis von Eigenzuständen des kleinen Untersystems und des Bades zerlegt werden. Von zentraler Bedeutung für unsere Analyse ist die Tatsache, dass die Kopplung zwischen dem Untersystem und dem Bad, die in Form der ungekoppelten Produkteigenbasis dargestellt wird, durch eine energieabhängige Zufallsbandmatrix gegeben ist, welche sowohl aus analytischen als auch numerischen Überlegungen gewonnen wird. $$ \ $$
Unter Verwendung der Methoden der mathematischen Theorie für zufällige Bandmatrizen finden wir analytisch heraus, dass der Überlapp von Quanteneigenzuständen mit der ungekoppelten Produkteigenbasis durch Cauchy-Lorentzverteilungen in den Badenergien in der Nähe ihrer jeweiligen Peaks beschrieben werden. Das Ergebnis wird durch eine umfangreiche numerische Studie mit exakter Diagonalisierung bestätigt, bei der die numerischen Parameter für die Überlapps mit der theoretischen Berechnung übereinstimmen. Die Information über die Form der Quanteneigenzustände ermöglicht es uns, die reduzierte Dichtematrix in dem kleinen Untersystem aus der reinen Dichtematrix eines einzelnen Eigenzustandes des isolierten Quantensystems abzuleiten. Wir zeigen, dass sie im Limes großer Bäder zu einer thermischen Dichtematrix mit kanonischen Boltzmann-Gewichten auf der Diagonalen konvergiert. Dies wird mithilfe einer numerischen Skalierungsanalyse für endliche Systeme bestätigt. In unseren Berechnungen verwenden wir das zentrale Ergebnis, dass die Zustandsdichte eines lokalen zufälligen Hamiltonians unter allgemeinen Bedingungen durch eine Gauß-Verteilung gegeben ist. Aus unserer Analyse folgt, dass der Quantenerwartungswert jeder lokalen Observablen in dem Untersystem mit ihrem thermischen Erwartungswert übereinstimmt, was die Gültigkeit der ETH in der Gleichgewichtsphase für die betrachtete Klasse von Hamiltonians beweist. $$ \ $$
Unsere Analyse der Quantenthermalisierung beruht ausschließlich auf der Anwendung der Quantenmechanik auf große Systeme, der Lokalität und der fehlenden Integrabilität. Stützend auf der mathematischen Eigenschaft des Self-averaging von großen Zufallsmatrizen impliziert die Zufallsmatrixtheorie keine statistische Annahme, sondern wird vielmehr als mathematisches Instrument eingesetzt, um Informationen über das Verhalten großer Quantensysteme zu extrahieren. Die kanonische Verteilung der statistischen Mechanik wird abgeleitet, ohne auf die Konzepte der Ergodizität oder der maximalen Entropie zurückzugreifen und ohne irgendwelche Eigenschaften von Quantenzuständen anzunehmen wie es etwa bei typicality der Fall ist. Mit diesem mikroskopischen Ansatz könnte es zudem in zukünftiger Forschung möglich werden, den Ursprung des Nichterfüllens der Quantenthermalisierung, z.B. in Systemen mit Vielteilchenlokalisierung oder Quanten-Scar-Zuständen, exakt zu bestimmen. Die Theorie könnte außerdem eine systematische Untersuchung der Equilibrierung ermöglichen, d.h. die Bestimmung der Zeitskalen, auf denen Thermalisierung stattfindet.
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Noise-induced phenomena of signal transmission in excitable neural models / Noise-induced phenomena of signal transmission in excitable neural modelsUllner, Ekkehard January 2004 (has links)
Meine Dissertation behandelt verschiedene neue rauschinduzierte Phänomene in anregbaren Neuronenmodellen, insbesondere solche mit FitzHugh-Nagumo Dynamik.
Ich beschreibe das Auftreten von vibronischer Resonanz in anregbaren Systemen. Sowohl in einer anregbaren elektronischen Schaltung als auch im FitzHugh-Nagumo Modell zeige ich, daß eine optimale Amplitude einer hochfrequenten externen Kraft die Signalantwort bezüglich eines niederfrequenten Signals verbessert. Weiterhin wird der Einfluß von additivem Rauschen auf das Zusammenwirken von stochastischer und vibronischer Resonanz untersucht. Weiterhin untersuche ich Systeme, die sowohl oszillierende als auch anregbare Eigenschaften beinhalten und dadurch zwei interne Frequenzen aufweisen. Ich zeige, daß in solchen Systemen der Effekt der stochastischen Resonanz deutlich erhöht werden kann, wenn eine zusätzliche hochfrequente Kraft in Resonanz mit den kleinen Oszillationen unterhalb der Anregungsschwelle hinzugenommen wird. Es ist beachtenswert, daß diese Verstärkung der stochastischen Resonanz eine geringere Rauschintensität zum Erreichen des Optimums benötigt als die standartmäßige stochastische Resonanz in anregbaren Systemen.
Ich untersuche Frequenzselektivität bei der rauschinduzierten Signalverarbeitung von Signalen unterhalb der Anregungsschwelle in Systemen mit vielen rauschunterstützten stochastischen Attraktoren. Diese neuen Attraktoren mit abweichenden gemittelten Perioden weisen auch unterschiedliche Phasenbeziehungen zwischen den einzelnen Elementen auf. Ich zeige, daß die Signalantwort des gekoppelten Systems unter verschiedenen Rauscheinwirkungen deutlich verbessert oder auch reduziert werden kann durch das Treiben einzelner Elemente in Resonanz mit diesen neuen Resonanzfrequenzen, die mit passenden Phasenbeziehungen korrespondieren.
Weiterhin konnte ich einen rauschinduzierten Phasenübergang von einem selbstoszillierenden System zu einem anregbaren System nachweisen. Dieser Übergang erfolgt durch eine rauschinduzierte Stabilisierung eines deterministisch instabilen Fixpunktes der lokalen Dynamik, während die gesamte Phasenraumstruktur des Systems erhalten bleibt. Die gemeinsame Wirkung von Kopplung und Rauschen führt zu einem neuen Typ von Phasenübergängen und bewirkt eine Stabilisierung des Systems. Das sich daraus ergebende rauschinduziert anregbare Regime zeigt charakteristische Eigenschaften von klassisch anregbaren Systemen, wie stochastische Resonanz und Wellenausbreitung. Dieser rauschinduzierte Phasenübergang ermöglicht dadurch die Übertragung von Signalen durch ansonsten global oszillierende Systeme und die Kontrolle der Signalübertragung durch Veränderung der Rauschintensität. Insbesondere eröffnen diese theoretischen Ergebnisse einen möglichen Mechanismus zur Unterdrückung unerwünschter globaler Oszillationen in neuronalen Netzwerken, welche charakteristisch für abnorme medizinische Zustände, wie z.B. bei der Parkinson′schen Krankheit oder Epilepsie, sind. Die Wirkung von Rauschen würde dann wieder die Anregbarkeit herstellen, die den normalen Zustand der erkrankten Neuronen darstellt. / My thesis is concerned with several new noise-induced phenomena in excitable neural models, especially those with FitzHugh-Nagumo dynamics. In these effects the fluctuations intrinsically present in any complex neural network play a constructive role and improve functionality.
I report the occurrence of Vibrational Resonance in excitable systems. Both in an excitable electronic circuit and in the FitzHugh-Nagumo model, I show that an optimal amplitude of high-frequency driving enhances the response of an excitable system to a low-frequency signal. Additionally, the influence of additive noise and the interplay between Stochastic and Vibrational Resonance is analyzed. Further, I study systems which combine both oscillatory and excitable properties, and hence intrinsically possess two internal frequencies. I show that in such a system the effect of Stochastic Resonance can be amplified by an additional high-frequency signal which is in resonance with the oscillatory frequency. This amplification needs much lower noise intensities than for conventional Stochastic Resonance in excitable systems.
I study frequency selectivity in noise-induced subthreshold signal processing in a system with many noise-supported stochastic attractors. I show that the response of the coupled elements at different noise levels can be significantly enhanced or reduced by forcing some elements into resonance with these new frequencies which correspond to appropriate phase-relations.
A noise-induced phase transition to excitability is reported in oscillatory media with FitzHugh-Nagumo dynamics. This transition takes place via noise-induced stabilization of a deterministically unstable fixed point of the local dynamics, while the overall phase-space structure of the system is maintained. The joint action of coupling and noise leads to a different type of phase transition and results in a stabilization of the system. The resulting noise-induced regime is shown to display properties characteristic of excitable media, such as Stochastic Resonance and wave propagation. This effect thus allows the transmission of signals through an otherwise globally oscillating medium. In particular, these theoretical findings suggest a possible mechanism for suppressing undesirable global oscillations in neural networks (which are usually characteristic of abnormal medical conditions such as Parkinson′s disease or epilepsy), using the action of noise to restore excitability, which is the normal state of neuronal ensembles.
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A Chance Constraint Model for Multi-Failure Resilience in Communication NetworksHelmberg, Christoph, Richter, Sebastian, Schupke, Dominic 03 August 2015 (has links) (PDF)
For ensuring network survivability in case of single component failures many routing protocols provide a primary and a back up routing path for each origin destination pair. We address the problem of selecting these paths such that in the event of multiple failures, occuring with given probabilities, the total loss in routable demand due to both paths being intersected is small with high probability. We present a chance constraint model and solution approaches based on an explicit integer programming formulation, a robust formulation and a cutting plane approach that yield reasonably good solutions assuming that the failures are caused by at most two elementary events, which may each affect several network components.
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Numerical solution of systems with stochastic uncertainties a general purpose framework for stochastic finite elements /Keese, Andreas. Unknown Date (has links) (PDF)
Techn. University, Diss., 2004--Braunschweig.
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Tagungsband zum Workshop "Stochastische Analysis" ,29.09.2003 - 01.10.2003vom Scheidt, Jürgen, Richter, Matthias 01 September 2004 (has links)
Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge sollen erstmals in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht werden. Eine jährliche Fortsetzung ist geplant.
Der 9. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 29.09.2003 bis zum 01.10.2003 in Bärenstein statt.
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Tagungsband zum Workshop "Stochastische Analysis", 27.09.2004 - 29.09.2004vom Scheidt, Jürgen, Richter, Matthias 07 October 2005 (has links)
Von der Professur Stochastik der Fakultät für
Mathematik der Technischen Universität Chemnitz
werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst
die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert.
Ausgewählte Beiträge werden seit 2003 in Form
eines Tagungsbandes veröffentlicht.
Der 10. Workshop "Stochastische Analysis"
fand vom 27.09.2004 bis zum 29.09.2004 in
Klingenthal statt.
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