University, Diss., 2004--Heidelberg.

Bei der Partitionierung von Graphen versucht man, Strukturen in Graphen zu finden (etwa 3-Färbungen oder kleine Bisektionen). Mithilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren können solche Probleme oftmals effizient gelöst werden. Wir stellen einen Algorithmus vor, der auf einem sehr allgemeinen Modell für zufällige Graphen bewiesenermaßen sehr gute Dienste leistet. Weiterhin untersuchen wir zufällige 3Sat-Formeln. Hier wollen wir mit Eigenwerten obere Schranken an die Anzahl der erfüllbaren Klauseln finden. Die gefundenen Schranken sind (in den meisten Fällen) nahezu optimal.

Im Rahmen dieser Arbeit wurde der Prozess des chemisch-mechanischen Polierens (CMP) von Siliziumwafern erstmals mittels stochastischer Methoden modelliert und daraus resultierend weiter optimiert. Ziel war es, Erkenntnisse zu ausgewählten, noch nicht vollständig verstandenen Einflussfaktoren zu gewinnen. Der Schwerpunkt lag dabei auf dem Poliertuch. Anhand eines neu entwickelten Modells zur Beschreibung einer konditionierten Tuchoberfläche wurden Zusammenhänge zwischen Konditionier- bzw. Tuchstrukturparametern und resultierender Poliertuchoberfläche herausgearbeitet und somit Möglichkeiten zur exakten Beschreibung und der gezielten Beeinflussung letzterer ermittelt. Weiterhin konnte erstmalig ein lang gesuchter messbarer Parameter benannt werden, mit dem eine ideale Tuchoberfläche charakterisierbar wird. Die Ergebnisse wurden experimentell verifiziert. Abschließend wurde mit einem neuen Abtragsmodell der CMP-Prozess von Siliziumwafern beschrieben, anhand dessen Zusammenhänge zwischen der Tuchrauheit und der Unebenheit der Waferoberfläche mit einer Theorie begründbar wurden.

Im Zentrum dieser Dissertation steht der instabile Vokal Schwa, der im Hinblick auf sein Verhalten im gesprochenen Französisch, im marokkanischen Arabisch und im Französischen marokkanischer Lernerinnen untersucht wird. Behandelt werden Aspekte wie die Verortung dieses Vokals in der mentalen Repräsentation der Sprecher, seine phonologische Funktion, seine phonetische Gestalt, sein Stellenwert im Lernersystem sowie die theoretische Modellierung seiner Variabilität. Eine kontrastive Betrachtung des Französischen und des Marokkanischen führt zunächst zu einer Diskussion der Silbe. Vor dem Hintergrund dieser prosodischen Kategorie gelingt eine einheitliche Erklärung von Schwa als potentiellem Silbenkern, der gewissen strukturellen Beschränkungen unterliegt. Für das Französische wird in der Zusammenführung verschiedener Ansätze die Theorie eines dreifachen phonologischen Status von Schwa entwickelt, nach der die Typen zugrundeliegend, floating und epenthetisch zu differenzieren sind. Diese theoretischen Betrachtungen bilden die Basis für eine empirische Untersuchung zum Schwa in der Mutter- und Lernersprache Französisch. Die Grundlage der Analyse ist ein Korpus von Sprachdaten, das in einer Erhebung mit illiteraten marokkanischen Frauen erstellt wurde. Die Kontrollgruppe bilden französische Muttersprachlerinnen. In einer statistischen Analyse mithilfe der mixed-effect models werden die Prä- bzw. Absenz von Schwa sowie seine akustische Qualität systematisch verglichen. Die Ergebnisse widerlegen die aufgrund des marokkanischen Systems erwartete Instabilität: Mit Ausnahme der wortfinalen Position ist das Lernerschwa relativ stabil. Deutliche Unterschiede zeigen sich jedoch in akustischer Hinsicht. So zeichnet sich das Lernerschwa durch eine größere Varianz in der Vokalqualität und eine signifkant höhere Dauer aus. Im Anschluss an die Analyse erfolgt eine Modellierung im Rahmen der Optimalitätstheorie. Um die Variabilität von Schwa vollständig abzubilden, werden zwei neuere Ansätze der Stochastischen OT vereint. So kann durch sog. overlapping constraints seine potentielle Absenz modelliert werden; die akustische Variation lässt sich unter Rückgriff auf das BiPhon-Modell darstellen. Das Resultat sind zwei automatisch generierte Grammatiken, die einen Vergleich des Muttersprachler- und des Lernersystems ermöglichen und zugleich präzise Vorhersagen über den output auf der phonologischen und der phonetischen Ebene treffen. Auf diese Weise gelingt es, Schwa in seiner ganzen Variabilität zu erfassen.

Evolutionäre ratenunabhängige Systeme (ERIS) beschreiben beispielsweise stark heterogene, elastoplastische Materialien. Grundlage dieser Arbeit wird ein diskretes Gitter mit Gitterweite größer Null, beschrieben durch ein ERIS, sein, dessen Kanten als elastoplastische Federn angenommen werden. Für konstante Federparameter wird analytisch bewiesen, dass die Lösungen des diskreten ERIS gegen die Lösungen eines kontinuierlichen Systems konvergieren, wenn die Gitterweite gegen Null konvergiert. Für zufällige Federparameter wird das Verhalten von ein- und zweidimensionalen Federsystemen simuliert. Das zugehörige Grenzwertsystem weist jedoch numerische Schwierigkeiten auf, weshalb zur Lösung dessen die Methode der Approximation durch Periodisierung herangezogen wird, welche wiederum zum Lösen eines diskreten, stochastischen Systems führt. Dieses wird durch einen stochastischen Spannungstensor charakterisiert. Für diesen sind jedoch lediglich analytische Resultate über das Verhalten und dessen Varianz in Abhängigkeit von der Zeit und Gittergröße bekannt, wenn keine der Federn eine plastische Verformung annimmt. Durch numerische Implementierung solcher Federsysteme mit Hilfe des TNNMG-Algorithmus werden auch Verhaltensweisen des Spannungstensors im plastischen Bereich für ein- und zweidimensionale Federsysteme untersucht. So wird in Simulationen deutlich, dass ein starker Zusammenhang mit dem Anteil an verformten Federn besteht. Neben den bereits bekannten Resultaten wird anhand von Simulationen vermutet, dass bei vorgegebener, linearer makroskopischer Verschiebung sich der Verlauf des Operators im plastischen Bereich einem linearen Anstieg und dessen Varianz einem quadratischen Anstieg in der Zeit asymptotisch nähert. / Evolutionary rate-independent systems (ERIS) describe for example strongly heterogeneous elastoplastic materials. In this thesis a discrete network of elastoplastic springs with length greater than zero, described by an ERIS, is considered. For constant spring parameters it is analytically proved that the solution of the discrete ERIS converges to the solution of a continuous system as the length tends to zero. For random spring parameters, the behaviour of one- and two-dimensional spring network is simulated. However, the associated limit system presents some numerical difficulties, so the method of approximation by periodization is used to solve it. This, in turn, leads to solving a discrete stochastic system, which is characterised by a stochastic stress tensor, for which, however, only analytical results about the behaviour as a function of time and grid size and its variance are known, if none of the springs assume a plastic deformation. By implementing such systems with the help of the TNNMG algorithm, it is also possible to investigate the behaviour of the stress tensor in the plastic range for one- and two-dimensional spring networks. Thus, in simulations it becomes clear that there is a strong correlation with the proportion of deformed springs. In addition to the already known results, it is assumed on the basis of simulations that for an predetermined linear macroscopic displacement the course of the operator in the plastic range approaches a linear increase and its variance approaches a quadratic increase in time asymptotically.

Intrazelluläre Calcium Signale bilden einen der wichtigsten Bestandteile vieler Signalwege in der Zellbiologie. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf der hierachischen Struktur der Calcium Muster, welche durch die Rückkopplung von Ip3 Rezeptor (Ip3R) mit Calcium verursacht wird. Auf der obersten Stufe stehen zellweite Wellen aus Calcium. Das zweite Level der Hierarchie bilden sogenante Puffs oder Sparks und entspricht der Freisetzung von Calcium von einzelnen Clustern. Das untere Ende wird durch Blibs gebildet: kleine Calcium Signale einzelner Kanäle. Die Entstehung der Calcium Wellen und der Zusammenhang mit den Ip3 Bindungszuständen individueller Ip3 Kanäle stehen dabei im Vordergund. Ein erstes Modell verwendet ein System von Reaktions-Diffusions-Gleichungen zur Beschreibung der Calciumentwicklung in der Umgebung einzelner Cluster. Es wird festgestellt, dass ein Cluster nicht-stereotype Puffs erzeugen kann, wobei Dauer und Amplitude durch die Ip3-Konzentration moduliert werden. Stärkere Ip3-Stimulation erhöht die Wahrscheinlichkeit, lang anhaltende Freisetzungsereignisse zu beobachten, welche als die Quelle der Wellenbildung identifiziert werden. Die simulierten Daten werden mit experimentellen Ergebnissen aus Xenopus-Oozyten verglichen, wo eine ähnliche Durchsetzung der Wellen- und Puff-Muster beobachtet werden kann. Ein zweites grobkörniges und phänomenologisches Modell auf Basis von ODEs ermöglicht das Sampling langer Trajektorien für ein größeres System aus gekoppelten Clustern mit vertretbarem Rechenaufwand. Auf einem Gitter von Clustern wird gezeigt, dass die wellenartigen Freisetzungsereignisse sich synchronisieren. Während die Wellenfrequenz mit Ip3 zunimmt, gibt es eine optimale Synchronisation für die mittlere Ip3-Anregung. Dieses Modell zeigt, dass die Terminierung der Wellen durch Dissosation von Ip3 erreicht werden kann, was dazu führt, dass sich Kanäle nicht mehr öffnen, und somit eine anhaltende Freisetzung von Ca2+ verhindert wird. / The dynamics of intracellular calcium represent one of the most important signal pathways in cell biology. Within this work, the focus lies on the hierarchical structure of calcium release events emerging from the feedback of Ip3 receptor Ca2+ ion channel with Ca2+ itself. The head of this hierarchy consists of calcium waves or global oscillations. Release events from individual clusters of channels, constitute the intermediate level. Single channel release events are called blibs. This work investigates the emergence and termination of waves by using a stochastic Ip3R model with non-equilibrium Ip3 binding and discrete individual channel states. First, a system of reaction diffusion equations of calcium and buffers around a single cluster is used as a description of the calcium evolution. It is found, that a cluster can produce non stereotype puffs, where duration and amplitude are modulated by the Ip3 concentration. For increasing Ip3 stimulation, the likelihood to observe long lasting release events increases, and these events are identified as the source of wave formation. The simulated data is compared to experimental results from Xenopus oocytes, where a similar interspersion of puffs between waves can be observed. Specifically, experiments and simulations support the hypothesis of wave-like events already on a single cluster scale. The insights of the first model are then used to develop a second coarse grained and phenomenological model based on ODEs. It allows sampling of long trajectories of a system of coupled clusters with reasonable computational effort. Within a grid of coupled clusters, it is showed that the wave-like release events synchronize. While the wave frequency increases with Ip3, there is an optimal synchronization for intermediate Ip3 excitation. This model indicates that wave termination is achieved by unbinding of Ip3 from the receptor, which renders the channel unable to open, and hence prohibits any further sustained release.

Für einen R^d-wertigen stochastischen Prozess X auf R bezeichne X_t den Segmentprozess X_t:={X(t+u): u = 0. Es wird folgende affine stochastische Differentialgleichung mit unendlichem Gedächtnis betrachtet: dX(t)=L(X_t)dt + dW(t) für t >= 0, X_0=F, (A) wobei L:B -> R^d ein lineares stetiges Funktional, W einen Wiener-Prozess mit Werten in R^d sowie B einen semi-normierten linearen Unterraum von {f:(-00, 0] -> R^d} bezeichnen. Die Anfangsbedingung F ist eine B-wertige Zufallsvariable. Die Lösung X der Gleichung (A) lässt sich mittels einer Formel der Variation der Konstanten darstellen. Für die Existenz einer stationären Lösung werden hinreichende und notwendige Bedingungen vorgestellt. Für eine spezielle Klasse von Funktionalen L kann Gleichung (A) auf ein System gewöhnlicher stochastischer Gleichungen ohne Gedächtnis reduziert werden. Diese Reduktion wird im Detail untersucht, insbesondere gewinnt man hierdurch ein einfaches äquivalentes Kriterium für die Existenz stationärer Lösungen von Gleichungen mit Funktionalen L dieser Klasse. Durch Einbettung der Gleichung (A) in den Bidualraum B** gelingt die Bestimmung der Lyapunov-Exponenten der Lösung. Hierzu wird ein neuer Zusammenhang der Lösung der sogenannten adjungierten Gleichung von (A) und einer Spektralzerlegung des Raumes B benutzt. Die Untersuchung der stetigen Abhängigkeit der Lösung von dem Funktional L und der Anfangsbedingung F ermöglicht die Behandlung anwendungsorientierter Aspekte. In Verbindung mit den Ergebnissen über reduzierbare Gleichungen wird ein Verfahren zur Approximation der Lösung von Gleichung (A) durch Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse vorgestellt. Eine allgemeine Klasse von Ito-Differentialgleichungen mit nichtlinearen vergangenheitsabhängigen Drift- und Dispersionskoeffizienten wird eingeführt, in der die Gleichung (A) als eine spezielle affine Gleichung verstanden werden kann. Für diese allgemeinen Gleichungen wird ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz nachgewiesen. / For an R^d-valued stochastic process X denote the segment process by X_t:={X(t+u): u = 0. We consider the following affine stochastic differential equation with infinite delay: dX(t)=L(X_t)dt + dW(t) for t >= 0, X_0= F, (A) where L:B -> R^d denotes a linear continuous functional, W denotes a Wiener process with values in R^d and B is a semi-normed linear subspace of {f: (-00, 0] -> R^d}. The initial condition F is a B-valued random variable. The solution X of equation (A) can be represented by a variation of constants formula. We provide sufficient and necessary conditions for the existence of a stationary solution. For a special class of functionals L the equation (A) can be reduced to a system of ordinary stochastic differential equations without memory. This reduction is studied in detail. In particular, we deduce a simple equivalent condition for the existence of stationary solutions of equations with functionals L in this class. The embedding of equation (A) into the bidualspace B** enables us to calculate the Lyapunov exponents of the solution. For this purpose we exploit a new connection between the solution of the so-called adjoint equation of (A) and a spectral decompositon of the space B. By considering the continuous dependence of the solution on the functional L and the initial condition F we obtain results useful in applications. In conjunction with results on reducible equations we establish an approximation scheme for the solution of equation (A) by Ornstein-Uhlenbeck processes. Moreover, we introduce a general class of Ito differential equations with non-linear drift and dispersion hereditary coefficients. We deduce a result on the existence of unique solutions for this general class of equations. Equation (A) can be regarded as a special affine equation in this class.

Diese Dissertation behandelt Fragen aus der stochastischen Analysis und der Finanzmathematik, die sich unter dem Begriff der Robustheit zusammenfassen lassen. Zunächst betrachten wir finanzmathematische Modelle mit Arbitragemöglichkeiten. Wir identifizieren die Abwesenheit von Arbitragemöglichkeiten der ersten Art (NA1) als minimale Eigenschaft, die in jedem finanzmathematischen Modell gelten muss, und zeigen, dass (NA1) äquivalent zur Existenz eines dominierenden lokalen Martingalmaßes ist. Als Beispiel für Prozesse, die (NA1) erfüllen, studieren wir stetige lokale Martingale, die darauf bedingt werden nie Null zu treffen. Anschließend verwenden wir eine modellfreie Version der (NA1) Eigenschaft, die es erlaubt, qualitative Eigenschaften von “typischen Preistrajektorien” zu beschreiben. Hier konstruieren wir ein pfadweises Itô-Integral. Dies deutet an, dass sich typische Preispfade als rough-path-Integratoren verwenden lassen. Nun entwickeln wir mittels Fourierentwicklungen einen alternativen Zugang zur rough-path-Theorie. Wir zerlegen das Integral in drei Operatoren mit verschiedenen Eigenschaften. So wird offensichtlich, dass Integratoren mit der Regularität der Brownschen Bewegung mit ihrer Lévy-Fläche versehen werden müssen, um ein pfadweise stetiges Integral zu erhalten. Daraufhin bemerken wir, dass die Integration zweier Funktionen gegeneinander äquivalent dazu ist, eine Funktion mit der Ableitung einer anderen (im Allgemeinen eine Distribution) zu multiplizieren. In höheren Dimensionen ist das Multiplikationsproblem jedoch allgemeiner. Wir verwenden Littlewood-Paley-Theorie, um unseren Fourier-Zugang zur rough-path-Theorie auf Funktionen mehrdimensionaler Variablen zu erweitern. Wir konstruieren einen Operator, der für Funktionen mit dem punktweisen Produkt übereinstimmt und in einer geeigneten Topologie stetig ist. Nun lassen sich stochastische partielle Differentialgleichungen lösen, die bisher aufgrund von Nichtlinearitäten nicht zugänglich waren. / This thesis deals with various problems from stochastic analysis and from mathematical finance that can best be summarized under the common theme of robustness. We begin by studying financial market models with arbitrage opportunities. We identify the weak notion of absence of arbitrage opportunities of the first kind (NA1) as the minimal property that every sensible asset price model should satisfy, and we prove that (NA1) is equivalent to the existence of a dominating local martingale. As examples of processes that satisfy (NA1) but do not admit equivalent local martingale measures, we study continuous local martingales conditioned not to hit zero. We continue by working with a model free formulation of the (NA1) property, which permits to describe qualitative properties of “typical asset price trajectories”. We construct a pathwise Itô integral for typical price paths. Our results indicate that typical price paths can be used as integrators in the theory of rough paths. Next, we use a Fourier series expansion to develop an alternative approach to rough path integration. We decompose the integral into three components with different behavior. Then it is easy to see that integrators with the regularity of the Brownian motion must be equipped with their Lévy area to obtain a pathwise continuous integral operator. We now note that integrating two functions against each other is equivalent to multiplying one with the derivative of the other, which will in general only be a distribution. In higher index dimensions however, the multiplication problem is more general. We use Littlewood-Paley theory to extend our Fourier approach from rough path integrals to multiplying functions of a multidimensional index. We construct an operator which agrees with the usual product for smooth functions, and which is continuous in a suitable topology. We apply this to solve stochastic partial differential equations that were previously difficult to access due to nonlinearities.

Liberalisation of energy markets, climate policy and the promotion of renewable energy have changed the framework conditions of the formerly strictly regulated energy markets. Generating companies are mainly affected by these changing framework conditions as they are exposed to the different risks from liberalised energy markets in combination with huge and largely irreversible investments. Uncertainties facing generating companies include: the development of product prices for electricity as well as for primary energy carriers; technological developments; availability of power plants; the development of regulation and political context, as well as the behaviour of competitors. The need for decision support tools in the energy business, mainly based on operation research models, has therefore significantly increased. Especially to cope with different uncertain parameters, several stochastic modelling approaches have been developed in the last few years for liberalised energy markets. In this context, the present paper aims to give an overview and classification of stochastic models dealing with price risks in electricity markets. The focus is thereby placed on various stochastic methods developed in operation research with practical relevance and applicability, including the concepts of: – stochastic processes for commodity prices (especially for electricity); –scenario generation and reduction, which is important due to the need for a structured handling of large data amounts; as well as –stochastic optimising models for investment decisions, short- and mid-term power production planning and long-term system optimisation. The approaches within the energy business are classified according to the above structure. The practical relevance of the different methods and their applicability to real markets is thereby of crucial importance. Shortcomings of existing approaches and open issues that should be addressed by operation research are also discussed.

Diese Dissertation widmet sich der Untersuchung singulärer stochastischer partieller Differentialgleichungen (engl. SPDEs). Wir entwickeln Erweiterungen der bisherigen Lösungstheorien, zeigen fundamentale Beziehungen zwischen verschiedenen Ansätzen und präsentieren Anwendungen in der Finanzmathematik und der mathematischen Physik. Die Theorie parakontrollierter Systeme wird für diskrete Räume formuliert und eine schwache Universalität für das parabolische Anderson Modell bewiesen. Eine fundamentale Relation zwischen Hairer's modellierten Distributionen und Paraprodukten wird bewiesen: Wir zeigen das sich der Raum modellierter Distributionen durch Paraprodukte beschreiben lässt. Dieses Resultat verallgemeinert die Fourierbeschreibung von Hölderräumen mittels Littlewood-Paley Theorie. Schließlich wird die Existenz von Lösungen der stochastischen Schrödingergleichung auf dem ganzen Raum bewiesen und eine Anwendung Hairer's Theorie zur Preisermittlung von Optionen aufgezeigt. / This thesis is concerned with the study of singular stochastic partial differential equations (SPDEs). We develop extensions to existing solution theories, present fundamental interconnections between different approaches and give applications in financial mathematics and mathematical physics. The theory of paracontrolled distribution is formulated for discrete systems, which allows us to prove a weak universality result for the parabolic Anderson model. This thesis further shows a fundamental relation between Hairer's modelled distributions and paraproducts: The space of modelled distributions can be characterized completely by using paraproducts. This can be seen a generalization of the Fourier description of Hölder spaces. Finally, we prove the existence of solutions to the stochastic Schrödinger equation on the full space and provide an application of Hairer's theory to option pricing.