Universiẗat, Diss., 1999--Freiburg (Breisgau).

Techn. University, Habil.-Schr., 2005--Chemnitz.

Diss--Frankfurt,Main,Univ., 2004.

Extreme value theory aims at modeling extreme but rare events from a probabilistic point of view. It is well-known that so-called generalized Pareto distributions, which are briefly reviewed in Chapter 1, are the only reasonable probability distributions suited for modeling observations above a high threshold, such as waves exceeding the height of a certain dike, earthquakes having at least a certain intensity, and, after applying a simple transformation, share prices falling below some low threshold. However, there are cases for which a generalized Pareto model might fail. Therefore, Chapter 2 derives certain neighborhoods of a generalized Pareto distribution and provides several statistical tests for these neighborhoods, where the cases of observing finite dimensional data and of observing continuous functions on [0,1] are considered. By using a notation based on so-called D-norms it is shown that these tests consistently link both frameworks, the finite dimensional and the functional one. Since the derivation of the asymptotic distributions of the test statistics requires certain technical restrictions, Chapter 3 analyzes these assumptions in more detail. It provides in particular some examples of distributions that satisfy the null hypothesis and of those that do not. Since continuous copula processes are crucial tools for the functional versions of the proposed tests, it is also discussed whether those copula processes actually exist for a given set of data. Moreover, some practical advice is given how to choose the free parameters incorporated in the test statistics. Finally, a simulation study in Chapter 4 compares the in total three different test statistics with another test found in the literature that has a similar null hypothesis. This thesis ends with a short summary of the results and an outlook to further open questions. / Gegenstand der Extremwerttheorie ist die wahrscheinlichkeitstheoretische Modellierung von extremen, aber seltenen Ereignissen. Es ist wohlbekannt, dass sog. verallgemeinerte Pareto-Verteilungen, die in Kapitel 1 kurz zusammengefasst werden, die einzigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind, mit denen sich Überschreitungen über hohe Schwellenwerte geeignet modellieren lassen, wie z. B. Fluthöhen, die einen Deich überschreiten, Erdbeben einer gewissen Mindeststärke, oder - nach einer einfachen Transformation - Aktienkurse, die einen festen Wert unterschreiten. Jedoch gibt es auch Fälle, in denen verallgemeinerte Pareto-Modelle fehlschlagen könnten. Deswegen beschäftigt sich Kapitel 2 mit gewissen Umgebungen einer verallgemeinerten Pareto-Verteilung und leitet mehrere statistische Tests auf diese Umgebungen her. Dabei werden sowohl multivariate Daten als auch Datensätze bestehend aus stetigen Funktionen auf [0,1] betrachtet. Durch Verwendung einer Notation basierend auf sog. D-Normen wird insbesondere gezeigt, dass die vorgestellten Testverfahren beide Fälle, den multivariaten und den funktionalen, auf natürliche Weise miteinander verbinden. Da das asymptotische Verhalten dieser Tests von einigen technischen Voraussetzungen abhängt, werden diese Annahmen in Kapitel 3 detaillierter analysiert. Insbesondere werden Beispiele für Verteilungen betrachtet, die die Nullhypothese erfüllen, und solche, die das nicht tun. Aufgrund ihrer Bedeutung für die funktionale Version der Tests wird auch der Frage nachgegangen, ob sich ein Datensatz durch stetige Copula-Prozesse beschreiben lässt. Außerdem wird auf die Wahl der freien Parameter in den Teststatistiken eingegangen. Schließlich befasst sich Kapitel 4 mit den Ergebnissen einer Simulationsstudie, um die insgesamt drei Testverfahren mit einem ähnlichen Test aus der Literatur zu vergleichen. Diese Arbeit endet mit einer kurzen Zusammenfassung und einem Ausblick auf weiterführende Fragestellungen.

Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge sollen erstmals in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht werden. Eine jährliche Fortsetzung ist geplant. Der 9. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 29.09.2003 bis zum 01.10.2003 in Bärenstein statt.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit asymptotischen Entwicklungen höherer Ordnung für zweite Momente von Zufallsvariablen bzw. Zufallsfunktionen, die als lineare Integralfunktionale über schwach abhängige oder schwach korrelierte Zufallsfunktionen definiert sind. Unter bestimmten Glattheits- und Integrabilitätsbedingungen an die Kernfunktionen und Regularitätsbedingungen an die Zufallsfunktionen werden entsprechende asymptotische Entwicklungen angegeben, außerdem wird auf Abschätzungen der Genauigkeit eingegangen. Die auftretenden Zufallsfunktionen sind dabei stationäre reell- oder vektorwertige Zufallsprozesse, bestimmte Klassen nichtstationärer Zufallsprozesse und homogene Zufallsfelder. Die Anwendungsmöglichkeit wird an einer Reihe von Beispielen aufgezeigt.

Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge werden seit 2003 in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht. Der 10. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 27.09.2004 bis zum 29.09.2004 in Klingenthal statt.

Von der Professur Stochastik der Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Chemnitz werden seit 1995 regelmäßig jedes Jahr im Herbst die Workshops "Stochastische Analysis" organisiert. Ausgewählte Beiträge werden in Form eines Tagungsbandes veröffentlicht. Der 12. Workshop "Stochastische Analysis" fand vom 20.09.2006 bis zum 22.09.2006 in Schöneck/Vogtland statt.

Für mikroskopische Teilchen, die sich durch eine überdämpfte Fockker-Planck-Gleichung beschreiben lassen, werden thermodynamische Größen definiert. Es wird ein Ausdruck für die irreversible Arbeit berechnet. Weiterhin wird ein Kreisprozess konstruiert und für diesen der Wirkungsrad am Punkt maximaler Leistung berechnet. Als Spezialfall wird dann ein Teilchen in einem harmonischen Potential betrachtet. Alle Ergebnisse stammen bereits aus einer Veröffentlichung, es werden jedoch hier alle Berechnungen angegeben.

The purpose of this research is to investigate properties of diffusion processes in porous media. Porous media are modelled by random Sierpinski carpets, each carpet is constructed by mixing two different generators with the same linear size. Diffusion on porous media is studied by performing random walks on random Sierpinski carpets and is characterized by the random walk dimension $d_w$. In the first part of this work we study $d_w$ as a function of the ratio of constituents in a mixture. The simulation results show that the resulting $d_w$ can be the same as, higher or lower than $d_w$ of carpets made by a single constituent generator. In the second part, we discuss the influence of static external fields on the behavior of diffusion. The biased random walk is used to model these phenomena and we report on many simulations with different field strengths and field directions. The results show that one structural feature of Sierpinski carpets called traps can have a strong influence on the observed diffusion properties. In the third part, we investigate the effect of diffusion under the influence of external fields which change direction back and forth after a certain duration. The results show a strong dependence on the period of oscillation, the field strength and structural properties of the carpet.