Um problema central em teoria de subvariedades é estudar imersões isométricas f : Mn → Qn+kc de uma variedade Riemanniana completa em uma forma espacial sob a ação de um subgrupo conexo e fechado do grupo de isometrias Iso(M). Esse estudo teve início com o relevante trabalho de Kobayashi (KOBAYASHI, 1958), que provou que se Mn é uma hipersuperfície compacta e homogênea no espaço Euclidiano, então Mn é isométrica à esfera usual. Neste trabalho estudamos imersões isométricas em formas espaciais com codimensão igual a 2. Mais precisamente, obtemos uma classificação das imersões isométricas f : Mn → Qn+2c de uma variedade Riemanniana completa sob a ação de cohomogeneidade 1 de um subgrupo fechado G ⊂ Iso(M), de modo que as órbitas principais são hipersuperfícies umbílicas de Mn. / An important problem in submanifold theory is to study isometric immersions f : Mn → Qn+kc into a space form of a complete Riemannian manifold of dimension n acted on by a closed connected subgroup of its isometry group Iso(M). This study was initiated by Kobayashi (KOBAYASHI, 1958), who proved that if Mn is a compact and homogeneous hypersurface into Euclidean space, then Mn must be a round sphere. In this work we study isometric immersions into a space form with codimension 2. More precisely, we give a complete classification of isometric immersions f : Mn → Qn+2c of complete Riemannian manifold into a space form acted on by a closed connected subgroup G &sub: Iso(M) of cohomogeneity one, under the assumption that all principal orbits are umbilical hypersurfaces of Mn.

Neste trabalho estudamos alguns resultados importantes sobre a teoria das subvariedades bi-harmônicas de espaços homogêneos tridimensionais. Existem três classes de espaços homogêneos tridimensionais simplesmente conexos dependendo da dimensão do grupo de isometrias, que pode ser: 3, 4 ou 6. No caso da dimensão ser 6, M é uma forma espacial; se a dimensão do grupo de isometrias for 4, M é isométrica a: \'H IND. 3\' (grupo de Heisenberg), SU(2) (grupo unitário especial), ~SL(2,R) (revestimento universal do grupo linear especial), ou aos espaços produtos \'S POT. 2\' × R e \'H POT. 2\' × R. Feita exceção para \'H POT. 3\', no caso da dimensão ser 4 ou 6 o espaço homogêneo é localmente isométrico a (uma parte de) \'R POT. 3\', munido de uma métrica que depende de dois parâmetros reais. Tal família de métricas aparece primeiramente no trabalho [3] de L. Bianchi e, mais tarde, nos artigos [14, 35] de É. Cartan e G. Vranceanu, respectivamente. Nesse projeto de mestrado, queremos estudar (essencialmente) resultados de existência e classificação de subvariedades bi-harmônicas nesses espaços, também conhecidos como variedades de Bianchi-Cartan-Vranceanu / In this work we study some important results about the theory of the biharmonic submanifolds of tridimensional homogeneous spaces. There exist three classes of simply connected tridimensional homogeneous spaces depending on the dimension of the group of isometries, which can be: 3, 4 or 6. In the case of dimension 6, M will be a space form; if the dimension of the group of isometries is 4, M will be isometric to: either \'H IND. 3\' (Heisenbergs group), or SU(2) (special unitary group), or ~SL(2,R) (universal recovering of the special linear group), or the product spaces \'S POT. 2\' × R and \'H POT. 2\' × R. Except for \'H POT. 3\', in the case of dimension 4 or 6 the homogeneous space is locally isometric to (a part of) \'R POT. 3\', endowed with a metric that depends on two real parameters. Such family of metrics first appears in the work [3] of L. Bianchi and later in the articles [14, 35] of ´E. Cartan and G. Vranceanu, respectively. In this master thesis, we want to study (essentially) results of existence and classification of bi-harmonic submanifolds in these spaces, also known as Bianchi-Cartan-Vranceanus manifolds

O presente trabalho tem por objeto fazer uma introdução ao estudo das subvariedades isoparamétricas do espaço Euclidiano. Começamos com uma introdução ao desenvolvimento histórico desses objetos. A seguir apresentamos os conceitos básicos da teoria de subvariedades de formas espaciais. Deduzimos as equações fundamentais de primeira e segunda ordem e demonstramos o teorema fundamental da teoria de subvariedades. Em seguida damos a definição de subvariedade isoparamétrica e desenvolvemos conceitos elementares para o caso do espaço Euclidiano como são normais de curvatura, grupo de Coxeter, câmera de Weyl e variedades paralelas e focais. Provamos dois teoremas referentes à decomposição de subvariedades isoparamétricas do espaço Euclidiano adaptando ferramentas usadas em [HL97] para ocaso de subvariedades isoparamétricas de espaços de Hilbert. Demonstramos o teorema da fatia e discutimos sobre subvariedades isoparamétricas desde o ponto de vista clássico, a saber, aplicações isoparamétricas. Concluímos com alguns exemplos: hipersuperfécies isoparamétricas da esfera e órbitas principais da ação adjunta de um grupo de Lie sobre a respectiva álgebra de Lie. / The goal of this dissertation is to present an introduction to the study of isoparametric submanifolds of Euclidean space. We begin with an introduction to the history of the subject. Then we present the basic results of submanifold theory of space forms. We compute the fundamental equations of first and second order, and we prove the fundamental theorem of submanifold theory. Next, we define isoparametric submanifolds and discuss some basic constructions, as curvature normals, Coxeter groups, Weyl chambers and parallel and focal submanifolds. We prove two decomposition theorems about isoprametric submanifolds using techniques that we learnt from [HL97], paper in which the case of submanifolds of Hilbert spaces is studied. Then we prove slice theorem. We also discuss those submanifold from the classical point of view, namely, isoparametric maps. We finish by explaining some examples: isoparametric hipersurfaces of spheres and principal orbits of the adjoint action of a Lie group on its Lie algebra.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Seja Mn uma hipersuperficie r&#8722;minima de Rn+1, ou seja, suponha que M tem curvatura S r+1 identicamente nula. M Ã dita regular se fora de algum compacto M Ã a uniÃo disjunta de um nÃmero finito de fins, cada um deles regular, isto Ã, com o mesmo comportamento assintÃtico de uma hipersuperfÃcie rotacional. Mostramos que hipersuperfÃcies r-mÃnimas elipticas e mergulhadas no espaÃo Euclidiano Rn+1, 3/2(r + 1) n < 2(r + 1), com dois fins, ambos regulares, sÃo catenÃides (i.e. hipersuperfÃcies rotacionais). Isto estende resultados prÃvios apresentadospor Schoen [7] e Hounie-Leite [3]. / Let Mn be a r-minimal hypersurface in Rn+1, i.e., suppose M has curvature S r+1 identically zero. M is said regular if out of any compact M is the disjunct union of a finite number of ends, each regular, i.e., with the same assymptotic behavior that a rotational hypersurface. It is shown that embedded, elliptic rminimal hypersurfaces in Euclidean space Rn+1, 3/2 (r + 1) n < 2(r + 1), with two ends, both regular, are catenoids (i.e. rotational hypersurfaces). This extendsprevious results by Schoen [7] and Hounie-Leite [3].

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / O problema de Bernstein clÃssico, resolvido por S. Bernstein em 1915-1917 em seu artigo [12], pergunta se existe um grÃfico mÃnimo completo em R3 alÃm do plano. Bernstein mostrou que a resposta para este problema à nÃo, utilizando mÃtodos analÃticos para o estudo de equaÃÃes de curvatura prescrita. Veremos aqui como este problema està relacionado com a aplicaÃÃo de Gauss deste grÃfico, e como conseqÃÃncia desta relaÃÃo iremos generalizar este teorema para uma classe de superfÃcies maior (nÃo necessariamente grÃficos), seguindo a prova dada por R. Osserman em [51]. Veremos a seguir generalizaÃÃes deste teorema em dimensÃes maiores, seguindo essencialmente os mÃtodos introduzidos Por W. Fleming em [31], e refinados posteriormente por E. De Giorgi, em [20], F. Almgren, em [6], e J. Simons, em [62], que resolvem o problema para grÃficos em Rn, n < 9 mostrando que o Ãnico grÃfico mÃnimo completo nesses espaÃos à o hiperplano. Mostraremos tambÃm que em dimensÃo n &#8805; 9, à possÃvel construir grÃficos mÃnimos completos em Rn, seguindo a prova apresentada por E. Bombieri, E. Di Giorgi e E. Giusti em [14]. Por fim, concluÃmos com uma extensÃo do teorema de Bernstein para a classe das subvariedades estÃveis com respeito à segunda variaÃÃo de volume, sob certas condiÃÃes de crescimento de curvatura ou volume, e investigaremos ainda o caso que a variedade ambiente nÃo à o espaÃo euclidiano. / The classical Bernstein problem, solved by S. Bernstein in 1915-1917 in his article [12], asks if there is a complete minimal graph in R3 besides the plane. Bernstein showed that the answer to this question is no using analytical methods for study of equations of prescribed curvature. We will see here how this problem is related to the Gauss map of the graph, and as consequence of this relationship we generalize this theorem to a larger class of surfaces (not necessarily graphs), following the proof given by R. Osserman in [51]. We will see next generalizations of this theorem in higher dimensions, following essentially the methods introduced by W. Fleming in [31], and later refined by E. De Giorgi in [20], F. Almgren in [6] and J. Simons in [62]. In fact, they solve the problem for graphs in Rn, n < 9, namely they prove that the only complete minimal graph in these espaces is the hyperplane. Following the proof given by E. Bombieri, E. De Giorgi and E. Giusti in [14], we also show that, in dimension n &#8805; 9, it is possible to construct complete minimal graphs in Rn. At last, we conclude with an extension of Bernsteinâs theorem to the class of submanifolds stable with respect to the second variation of volume, under certain conditions of curvature and volume growth, and yet we investigate the case in which the ambient manifold is not the Euclidean space.

Neste trabalho estudamos alguns resultados importantes sobre a teoria das subvariedades bi-harmônicas de espaços homogêneos tridimensionais. Existem três classes de espaços homogêneos tridimensionais simplesmente conexos dependendo da dimensão do grupo de isometrias, que pode ser: 3, 4 ou 6. No caso da dimensão ser 6, M é uma forma espacial; se a dimensão do grupo de isometrias for 4, M é isométrica a: \'H IND. 3\' (grupo de Heisenberg), SU(2) (grupo unitário especial), ~SL(2,R) (revestimento universal do grupo linear especial), ou aos espaços produtos \'S POT. 2\' × R e \'H POT. 2\' × R. Feita exceção para \'H POT. 3\', no caso da dimensão ser 4 ou 6 o espaço homogêneo é localmente isométrico a (uma parte de) \'R POT. 3\', munido de uma métrica que depende de dois parâmetros reais. Tal família de métricas aparece primeiramente no trabalho [3] de L. Bianchi e, mais tarde, nos artigos [14, 35] de É. Cartan e G. Vranceanu, respectivamente. Nesse projeto de mestrado, queremos estudar (essencialmente) resultados de existência e classificação de subvariedades bi-harmônicas nesses espaços, também conhecidos como variedades de Bianchi-Cartan-Vranceanu / In this work we study some important results about the theory of the biharmonic submanifolds of tridimensional homogeneous spaces. There exist three classes of simply connected tridimensional homogeneous spaces depending on the dimension of the group of isometries, which can be: 3, 4 or 6. In the case of dimension 6, M will be a space form; if the dimension of the group of isometries is 4, M will be isometric to: either \'H IND. 3\' (Heisenbergs group), or SU(2) (special unitary group), or ~SL(2,R) (universal recovering of the special linear group), or the product spaces \'S POT. 2\' × R and \'H POT. 2\' × R. Except for \'H POT. 3\', in the case of dimension 4 or 6 the homogeneous space is locally isometric to (a part of) \'R POT. 3\', endowed with a metric that depends on two real parameters. Such family of metrics first appears in the work [3] of L. Bianchi and later in the articles [14, 35] of ´E. Cartan and G. Vranceanu, respectively. In this master thesis, we want to study (essentially) results of existence and classification of bi-harmonic submanifolds in these spaces, also known as Bianchi-Cartan-Vranceanus manifolds

El objetivo de esta tesis es abordar distintos problemas algebraicos acerca de algunas subvariedades de las álgebras de De Morgan Heyting y de las álgebras pseudocomplementadas de Kleene utilizando dualidades topológicas tipo Priestley correspondientes a dichas variedades. Se investiga la sucesión de subvariedades SDHn de las álgebras de De Morgan Heyting caracterizadas por la identidad xn(1*) = x(n+1)(1*) definidas por H.P. Sankappanavar en [26]. Se obtienen condiciones necesarias y sufi- cientes sobre el espacio de filtros primos para que un álgebra de De Morgan Heyting pertenezca a la variedad SDH1 y se caracterizan las álgebras subdirectamente irreducibles y simples de dicha variedad. Todos estos resultados son extendidos para las álgebras finitas en el caso general SDHn. La clase de las álgebras de Boole es un ejemplo familiar de álgebras de Heyting y es bien conocido que existe una correspondencia entre las subálgebras de un álgebra de Boole y ciertas relaciones de equivalencia definidas sobre su espacio Booleano (ver, por ejemplo [13]). En esta tesis se extiende esta correspondencia tanto para la clase de las álgebras de Heyting como para la clase de las álgebras de De Morgan Heyting, es decir, se caracterizan las subálgebras de las álgebras de Heyting y de De Morgan Heyting definiendo ciertas relaciones de equivalencia sobre los espacios topológicos de sus respectivas representaciones tipo Priestley. Como caso particular de este resultado, se obtiene la caracterización para subálgebras maximales de las álgebras de Heyting finitas dada por M. Adams en [2]. Se estudian las álgebras subdirectamente irreducibles en la variedad PCDM de las álgebras pseudocomplementadas de De Morgan a través de sus pm-espacios. Se introduce la noción de body de un álgebra L 2 PCDMy se caracteriza completamente Body(L) cuando L es subdirectamente irreducible, directamente indescomponible o simple. Como consecuencia de esto, en el caso particular de las álgebras pseudocomplementadas de Kleene, surgen naturalmente tres subvariedades de la misma para las cuales se determinan identidades que las caracterizan. Se define la subvariedad BPK, de particular interés ya que sus álgebras subdirectamente irreducibles son suma ordinal de álgebras de Boole y cadenas, realizándose un estudio de la misma. Se determina completamente el reticulado de sus subvariedades y se encuentran bases ecuacionales para cada una de ellas. Una de estas subvariedades, llamada BPK0 es aquella cuyos miembros subdirectamente irreducibles son de la forma B B, donde B es un álgebra de Boole. La última parte de la tesis está destinada al estudio de la variedad BPK0 resolviéndose problemas tales como la obtención de las álgebras libres con una cantidad finita de generadores libres y la descripción completa del reticulado de cuasivariedades junto con una base de cuasi-identidades para cada cuasivariedad. / The objective of this thesis is to study several algebraic problems regarding some subvarieties of De Morgan Heyting algebras and pseudocomplemented Kleene algebras using the corresponding Priestley dualities as a main tool. We focus on the sequence of subvarieties SDHn, which consist of the De Morgan Heyting algebras characterized by the identity xn(1*) =x(n+1)(1*), as defined by H. P. Sankappanavar in [26]. We give necessary and suficient conditions on the space of prime filters for a De Morgan Heyting algebra to belong to the variety SDH1. We also characterize the subdirectly irreducible and simple members of this variety. These results are all further extended for finite algebras in the general case of the varieties SDHn. The class of Boolean algebras is a familiar example of Heyting algebras and it is well known that there exists a correspondence between subalgebras of a Boolean algebra and certain equivalence relations on its Boolean space (see, for example, [13]). In this thesis, we extend this correspondence both for the class of Heyting algebras and for the class of De Morgan Heyting algebras, that is, we characterize the subalgebras of a Heyting algebra and a De Morgan Heyting algebra by defining certain equivalence relations on their respective Priestley spaces. The characterization of maximal subalgebras in finite Heyting algebras given by M. Adams in [2] follows now as a special case of our characterization. We also study the subdirectly irreducible members of the variety PCDM of pseudocomplemented De Morgan algebras in terms of their pm-spaces. We introduce the notion of body of an algebra L 2 PCDM and characterize completely the body of L when L is subdirectly irreducible, directly indecomposable or simple. As a consequence of this, in the case of pseudocomplemented Kleene algebras, three special subvarieties arise naturally, for which we give explicit identities that characterize them. We also define the variety BPK which is of particular interest because its subdirectly irreducible algebras are ordinal sums of Boolean algebras and chains. We study this variety in depth. We determine the whole subvariety lattice and find explicit equational bases for each of the subvarieties. The subdirectly irreducible members of one of these subvarieties, called BPK0, are of the form B B, where B is a Boolean algebra. The last part of this thesis is devoted to the study of this variety: we characterize the finitely generated free algebras and give a full description of the quasivariety lattice as well as the corresponding quasi-equational basis for each of the quasivarieties.

Submitted by Maike Costa (maiksebas@gmail.com) on 2016-03-23T11:16:42Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1343904 bytes, checksum: dfca90c2164204a1513fc4a55eca4527 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-03-23T11:16:43Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1343904 bytes, checksum: dfca90c2164204a1513fc4a55eca4527 (MD5) Previous issue date: 2015-05-26 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / Our purpose is to study the geometry of Riemannian immersions in certain semi- Riemannian manifolds. Initially, considering linearWeingarten hypersurfaces immersed in locally symmetric manifolds and, imposing suitable constraints on the scalar curvature, we guarantee that such a hypersurface is either totally umbilical or isometric to a isoparametric hypersurface with two distinct principal curvatures, one of them being simple. In higher codimension, we use a Simons type formula to obtain new characterizations of hyperbolic cylinders through the study of submanifolds having parallel normalized mean curvature vector field in a semi-Riemannian space form. Finally, we investigate the rigidity of complete spacelike hypersurfaces immersed in the steady state space via applications of some maximum principles. / Nos propomos estudar a geometria de imersões Riemannianas em certas variedades semi-Riemannianas. Inicialmente, consideramos hipersuperfícies Weingarten lineares imersas em variedades localmente simétricas e, impondo restrições apropriadas à curvatura escalar, garantimos que uma tal hipersuperfície é totalmente umbílica ou isométrica a uma hipersuperfície isoparamétrica com duas curvaturas principais distintas, sendo uma destas simples. Em codimensão alta, usamos uma fórmula do tipo Simons para obter novas caracterizações de cilindros hiperbólicos a partir do estudo de subvariedades com vetor curvatura média normalizado paralelo em uma forma espacial semi-Riemanniana. Finalmente, investigamos a rigidez de hipersuperfícies tipo-espaço completas imersas no steady state space via aplicações de alguns princípios do máximo.

[pt] Um resultado clássico da teoria de grupos de Lie garante que as órbitas da ação adjunta de um grupo de Lie compacto interceptam um toro máximo ortogonalmente. Esta ação é um exemplo das chamadas ações polares. Ações polares são ações de grupos compactos de isometrias que admitem seções (subvariedades totalmente geodésicas que interceptam as órbitas ortogonalmente). Ações polares e subvariedades isoparamétricas são casos particulares das chamadas folheações riemannianas singulares com seções,assunto que é estudado nesta tese. Além de apresentarmos resultados sobre essas folheações singulares apresentamos também resultados sobre as chamadas aplicações transnormais (generalizações das aplicações isoparamétricas) destacando como estes objetos estão relacionados. / [en] It follows from the classical Lie group theory that the orbits of an adjoint action of a compact Lie group intercept a maximal toru in a orthogonal way. This is an example of the so called Polar Action. A compact isometric action is said to be Polar if it admits sections, i.e. totally geodesic submanifolds that intercept the orbits orthogonally. Polar Actions and isoparametric manifolds are examples of a more general structure, the so called singular Riemannian Foliation with Section, the main subject of the thesis. Besides the results about these singular foliations we show also some results about transnormal maps (generalization of isoparametric maps) and stress the its connections with the singulare riemannian foliation with section.

VIEIRA, F. B. Controlabilidade de algumas EDPs não lineares, e, densidade e espectro de subvariedades mínimas em espaço forma. 2017. 89 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-04-19T13:15:27Z No. of bitstreams: 1 2016_tese_fbvieira.pdf: 681898 bytes, checksum: d123b89ff8ddaa52a643807b847421b5 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Para o aluno. Alterar a data e incluir a conclusão, tanto no sumário como no final do texto. Conclusão é capítulo portanto numerado. Rocilda on 2017-04-19T14:54:37Z (GMT) / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-04-19T16:23:39Z No. of bitstreams: 1 2016_tese_fbvieira.pdf: 683722 bytes, checksum: 8e8575ca8d8e8496b31047d5bc8c68c0 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-04-24T11:15:25Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_tese_fbvieira.pdf: 683722 bytes, checksum: 8e8575ca8d8e8496b31047d5bc8c68c0 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-24T11:15:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_tese_fbvieira.pdf: 683722 bytes, checksum: 8e8575ca8d8e8496b31047d5bc8c68c0 (MD5) Previous issue date: 2017-05-24 / In the first part of this thesis we deal with the 3D Navier-Stokes and Boussinesq systems in a cube. We prove some results concerning the global approximate controllability by means of boundary controls which act in some part of the boundary. They are generalizations and variants of some previous results by Guerrero, Imanuvilov and Puel. Still in the first part of this Thesis, we prove the internal and boundary local null controllability of a 1D parabolic PDE with nonlinear diffusion. Here, the main tools are Liusternik’s inverse function Theorem and appropriate Carleman estimates. In the second part of this Thesis, we consider M m minimal properly immersed submanifolds in a complete ambient space N n suitably close to a space form N n k of curvature −k ≤ 0. We are interested in the relation between the density function Θ(r) of M m and the spectrum of the Laplace-Beltrami operator. In particular, we prove that if Θ(r) has subexponential growth (when k < 0) or sub-polynomial growth (k = 0) along a sequence, then the spectrum of M m is the same as that of the space form N m k . Notably, the result applies to Anderson’s (smooth) solutions of Plateau’s roblem at infinity on the hyperbolic space H n , independently of their boundary regularity. We also give a simple condition on the second fundamental form that ensures M to have finite density. In particular, we show that minimal submanifolds of H n with finite total curvature have finite density. / Na primeira parte desta tese tratamos dos sistemas 3D de Navier-Stokes e Boussinesq em um cubo. Nós provamos alguns resultados sobre a controlabilidade aproximada global por meio de controles de bordo que agem em uma parte da fronteira. Estes reultados são generalizações e variações de alguns resultados anteriores de Guerrero, Imanuvilov e Puel. Ainda na primeira parte da tese, nós provamos a controlabilidade nula local interna e de bordo de uma EDP parabólica 1D com difusão não linear. Aqui, as ferramentas principais são o teorema da função inversa de Liusternik e desigualdades de Carleman adequadas. Na segunda parte desta tese, consideramos M m subvariedades mínimas propriamente imersas em um espaço ambiente completo N n adequadamente próximo a um espaço forma N n k de curvatura −k ≤ 0. Estamos interessados na relação entre a função densidade Θ(r) de M m e o espectro do operador Laplace-Beltrami. Em particular, provamos que se Θ(r) temum crescimento subexponencial (quando k < 0) ou bubpolinomial (k = 0) ao longo de uma sequência, então o espectro de M m é o mesmo do espaço forma N m k . Notavelmente, o resultado se aplica a soluções Anderson (suaves) do problema de Plateau no infinito sobre o espaço hiperbólico H n , independentemente da regularidade dos seus bordos. Nós também fornecemos uma condição simples sobre a segunda forma fundamental que garante que M tem densidade finita. Em particular, mostramos que subvariedades mínimas de H n com curvatura total finita te densidade finita.