Neste trabalho apresentamos um estudo de uma classe de teoremas, que são variações do clássico teorema de Liouville. Este estudo irá mostrar quando uma dada função que satisfaça uma determinada inequação diferencial é constante, mostrando contraexemplos de quando as condições necessárias não são todas satisfeitas. / In this work we present a study of a class of theorems, which are variations of the classical Liouville theorem. This study will show when a given function satisfying a certain differential inequality is constant, showing counterexamples when the necessary conditions are not all satisfied.

A razão de chances (RC) e o risco relativo (RR) são medidas de associação utilizadas em epidemiologia. Existem discussões sobre desvantagens da RC como medida de associação em delineamentos prospectivos, e que nestes o RR deve ser utilizado, especialmente se o desfecho for comum (>10%). No caso de desfechos binários e dados independentes, alternativas ao uso da RC estimada pela regressão logística foram propostas. Uma delas é o modelo log-binomial e outra é a regressão de Poisson com variância robusta. Tais modelos permitem identificar fatores associados ao desfecho e estimar a probabilidade do evento para cada unidade observacional. Em relação à estimação das probabilidades, a regressão de Poisson robusta tem como desvantagem a possibilidade de estimar probabilidades maiores que 1. Isto não ocorre com o modelo log-binomial, entretanto, o mesmo pode enfrentar problemas de convergência. Alguns autores recomendam que o modelo log-binomial seja a primeira escolha de análise, deixando-se o uso da regressão de Poisson robusta apenas para as situações em que o primeiro método não converge. Em 2010, o uso de metodologia bayesiana foi proposta como maneira de solucionar os problemas de convergência e simulações comparando com as abordagens anteriores foram procedidas. No entanto, tais simulações tiveram limitações: preditores categóricos não foram considerados; apenas um tamanho de amostra foi avaliado; apenas a mediana e o intervalo de credibilidade de caudas iguais foram considerados na abordagem bayesiana, quando existem outras opções; e a principal delas, as medidas comparativas foram calculadas para os coeficientes do modelo e não para o RR. Nesta tese, tais limitações foram superadas, e encontrou-se outro estimador bayesiano para o RR, a moda, com menor viés e erro quadrático médio em geral. Os modelos citados anteriormente são apropriados para análise de observações independentes, entretanto há casos em que esta suposição não é válida, como em ensaios clínicos randomizados em cluster ou modelagem multinível. Apenas cinco trabalhos foram encontrados com propostas de como estimar o RR para esses casos. Quando o interesse é a estimação do RR com desfechos politômicos, apenas dois trabalhos apresentaram sugestões. Conseguiu-se neste trabalho estender a metodologia bayesiana proposta para desfechos binários e dados independentes para lidar com essas duas situações. / The odds ratio (OR) and relative risk (RR) are measures of association used in epidemiology. There are discussions about disadvantages of the OR as an measure of association in prospective studies, and that instead of this measure, the RR should be used, especially if the outcome is common (>10%). In the case of binary outcomes and independent data, alternatives to OR estimated by logistic regression were proposed. One is the log-binomial model and other is the Poisson regression with robust variance. Such models allow to identify factors associated with outcome and to estimate the probability of the event for each observational unit. Regarding the estimation of probabilities, the robust Poisson regression has the disadvantage of possibly estimating probabilities greater than 1. This does not occur with the logbinomial model; however, the same can face convergence problems. Some authors recommend the log-binomial model as the first choice of analysis, leaving the use of robust Poisson regression just for situations where the first model does not converge. In 2010, the use of Bayesian methodology was proposed as a way to solve the convergence problems and simulations comparing with the previous approaches were proceeded. However, such simulations had limitations: categorical predictors were not considered; only one sample size was evaluated; only the median and equal tail credible interval were addressed in the Bayesian approach, when there are other options; and the main one, the comparative measures were calculated only for the model coefficients and not for the RR. In this thesis, these limitations have been overcome, and another Bayesian estimator of the RR, the mode, presented less bias and mean squared error in general. The models mentioned above are suitable for analysis of independent observations; however there are cases where this assumption is not valid, as in clustered randomized trials or multilevel modeling. Only five papers were found with proposals of how to estimate the RR in these cases. When the interest is on estimation of the RR with polytomous outcomes, only two studies presented suggestions. In this work, the Bayesian methodology proposed for binary outcomes and independent data was extended to deal with these two situations.

Neste trabalho provamos três teoremas sobre a existência e unicidade de soluções para o Problema de Dirichlet para a equação das superfícies de curvatura média constante H sobre domínios Ω limitados do plano não necessariamente convexos com hipóteses relacionando a condição do círculo exterior de Ω, a norma C² do dado do bordo e H. / In this work we prove three theorems on the existence and uniqueness of solutions to the Dirichlet Problem for the constant mean curvature H surface equation on a bounded not necessarily convex domain Ω of the plane from hypothesis relating the exterior circle condition of Ω, the C² norm of a the bounded date and H.

Iniciamos este trabalho apresentando alguns resultados bem conhecidos sobre semigrupos que serão utilizados frequentemente nesta dissertação. Iremos provar o Teorema de Wagner-Preston. Em seguida, dado um grupo G, constru mos um semigrupo universal S(G), via geradores e relações. Al em disso, mostramos que as ações parciais de G em um conjunto X estão em correspondência uma a uma com as ações de S(G) em X. Esses resultados foram obtidos por R. Exel em [4]. / In this work we present some well known results on semigroups which will be frequently utilized in this dissertation. We prove the Wagner-Preston's theorem. Furthermore, given a group G, we construct the universal semigroup S(G), via generators and relations. Besides, we show that the partial actions of G on a set X are in a one-to-one correspondence to the actions of S(G) on X. These results were obtained by R. Exel in [4].

Neste trabalho, estudamos duas identidades teta uma devida a Ramanujan e outra a Andrews. Provamos essas identidades de forma analítica e as interpretamos através de argumentos combinat orios como funções geradoras para o número de parti ções contadas considerando pesos para elas. A partir das demonstrações anal tics deduzimos tamb em algumas identidades envolvendo funções partições. / In this work, we study two theta identities one of them due to Ramanujan and the other due to Andrews. We prove them in an analytical way and we interpret them using combinatorial arguments as generating functions for partitions counted attributing weights to them. From the analytical proofs we also deduce some identities involving partition functions.

Neste trabalho apresentamos uma demonstração detalhada do Teorema Liapunov relativo a existência das variedades subcentrais de um sistema hamiltoniano em um ponto de equilíbrio sem ressonância. Introduzindo este teorema, estudamos a formulação hamiltoniana de um sistema mecânico, e aspectos qualitativos locais dos campos hamiltonianos. Além disso exibimos exemplos e contra-exemplos de sistemas hamiltonianos, comparando o seu comportamento na vizinhança de um ponto de equilibrio, com as conclusões do Teorema de Liapunov.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2013. / Submitted by Flávia Renata Santos Gasparotto (flavia.gasparotto@gmail.com) on 2014-08-19T19:44:07Z No. of bitstreams: 1 2014_ReinaldodeMarchi.pdf: 506898 bytes, checksum: 8dcd606614c71227c05c144a84942216 (MD5) / Approved for entry into archive by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2014-08-20T12:57:51Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_ReinaldodeMarchi.pdf: 506898 bytes, checksum: 8dcd606614c71227c05c144a84942216 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-08-20T12:57:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_ReinaldodeMarchi.pdf: 506898 bytes, checksum: 8dcd606614c71227c05c144a84942216 (MD5) / Nesse trabalho, estabelecemos resultados de existência e multiplicidade de soluções para algumas classes de problemas elípticos semilineares periódicos e assintoticamente periódicos. Consideramos três tipos de problemas: a equação de Schroedinger, caso positivo definido; a equação de Schroedinger, caso indefinido, e uma classe de sistemas hamiltonianos. As principais ferramentas utilizadas são métodos variacionais, tais como Teorema do Passo da Montanha, Teoremas de Linking, Variedade de Nehari Generalizada e o Princípio de Concentração de Compacidade de Lions. _____________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work, we establish some results on the existence and multiplicity of solutions for some classes of semilinear elliptic periodic and asymptotically periodic problems. Weconsider three types of problems: the Schrodinger equation, positive definite case; the Schrodinger equation, indefinite case, and a class of Hamiltonian systems. The main tools used are variational methods, such as the Mountain Pass Theorem, Linking Theorems,Generalized Nehari Manifold and Concentration Compactness Principle of Lions.

The principal aim of this paper is to give an example of the Gauss-Bonnet Theorem together with its anew structure by using connection and curvature matrices with stereographic projection on the unit 2-sphere, S². We determine an orthonormal basis by applying stereographic projection on S² and we obtain the area of the unit 2 -sphere S² computing connection and curvature matrices.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2013. / Submitted by Alaíde Gonçalves dos Santos (alaide@unb.br) on 2014-03-12T15:26:59Z No. of bitstreams: 1 2013_ElianaCarlaRodrigues.pdf: 745754 bytes, checksum: d595202cb5a7f903685f7c35f894d475 (MD5) / Approved for entry into archive by Guimaraes Jacqueline(jacqueline.guimaraes@bce.unb.br) on 2014-03-17T14:24:06Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2013_ElianaCarlaRodrigues.pdf: 745754 bytes, checksum: d595202cb5a7f903685f7c35f894d475 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-03-17T14:24:06Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2013_ElianaCarlaRodrigues.pdf: 745754 bytes, checksum: d595202cb5a7f903685f7c35f894d475 (MD5) / Sejam G um grupo finito e R um subanel de C que contém Z. Richard Brauer demonstrou que uma função de classe de G é um R-caráter generalizado se, e somente se, sua restrição a qualquer subgrupo elementar de G é uma R-combinação linear de caracteres irredutíveis desse subgrupo. Ele também demonstrou que todo caráter irredutível de G pode ser escrito como uma Z-combinação linear de caracteres obtidos por indução sobre caracteres lineares de subgrupos elementares de G. Nesta dissertação, apresentamos as demonstrações destes dois fundamentais teoremas seguindo o livro de Isaacs. Em seguida, demonstramos dois resultados que aprimoram o segundo Teorema de Brauer. O primeiro, devido a Wilde, considera a hipótese adicional que o grupo é solúvel e o segundo, demonstrado por van der Waall, considera o caso de caracteres não principais. Para finalizar, apresentamos algumas aplicações desses importantes Teoremas de Brauer. Vamos definir uma particular função de classe e mostrar que um múltiplo apropriado dessa função é um caráter generalizado. Esta função de classe aparece em vários problemas computacionais e apresentamos um deles. Em particular, vamos mostrar que os grupos PSp(4; 3) e Sp(4; 3) não são (2; 3)-gerados. _______________________________________________________________________________________ ABSTRACT / Let G be a finite group and R be a subring of C such that Z ? R. Richard Brauer showed that a class function of G is a R-generalized character if, and only if, its restriction to any elementary subgroup of G is a R-linear combination of irreducible characters of this subgroup. Moreover, he showed that every irreducible character of G can be written as a Z-linear combination of characters obtained by induction from linear characters of elementary subgroups of G. In this dissertation, we will present the proof of these fundamental theorems following Isaacs' book. Afterwards, we will prove two results that improve the second Brauer's Theorem. The first one is a result of Wilde, obtained adding the hypothesis that the group is solvable. The second result, estabilished by van der Waall, considers characters that are not principal. To conclude, we will present some applications of these important theorems due to Brauer. We will define a particular class function and show that an appropriate multiple of this function is a generalized character. This class function appears in many computational problems and we will present one of them. In particular, we will show that the groups PSp(4; 3) and Sp(4; 3) are both not (2; 3)-generated.

Iniciamos este trabalho apresentando alguns resultados bem conhecidos sobre semigrupos que serão utilizados frequentemente nesta dissertação. Iremos provar o Teorema de Wagner-Preston. Em seguida, dado um grupo G, constru mos um semigrupo universal S(G), via geradores e relações. Al em disso, mostramos que as ações parciais de G em um conjunto X estão em correspondência uma a uma com as ações de S(G) em X. Esses resultados foram obtidos por R. Exel em [4]. / In this work we present some well known results on semigroups which will be frequently utilized in this dissertation. We prove the Wagner-Preston's theorem. Furthermore, given a group G, we construct the universal semigroup S(G), via generators and relations. Besides, we show that the partial actions of G on a set X are in a one-to-one correspondence to the actions of S(G) on X. These results were obtained by R. Exel in [4].