Si j'ai toujours été sensible à la beauté des exemples en mathématiques, je n'avais pas conscience, avant de rédiger ce mémoire, que cet intérêt pour les exemples relevait chez moi de l'obsession~! Oui, la majeure partie de mes travaux de recherches réside dans le calcul ou l'explicitation d'exemples. Selon moi, l'un des critère de beauté d'un exemple en mathématique est son caractère explicite et les exemples rejoignent ainsi l'autre spécificité des mathématiques que j'affectionne, à savoir leur aspect explicite, voire algorithmique. Cela étant, les exemples qui m'ont préoccupés sont tous issus de la théorie des nombres. Plus particulièrement, il s'agit, pour la plupart des exemples, de courbes ou de revêtements de courbes possédant des propriétés spéciales pour ce qui est de leur groupe de Galois, ou de leur module, ou de leur corps de définition, ou encore de leur nombre de points quand elles sont définies sur un corps fini. Hormis la fascination pour les exemples, le fil conducteur de mon travail reste donc l'arithmétique des courbes au sens large.

L'étude de la répartition des points rationnels ou algébriques d'une variété algébrique selon leur hauteur est un problème classique de géométrie diophantienne. Dans cette thèse, nous nous intéresserons au cardinal asymptotique de l'ensemble des points algébriques de degré fixé et de hauteur bornée d'une variété lisse de Fano définie sur un corps de nombres, lorsque la borne sur la hauteur tend vers l'infini. En particulier nous montrerons que cette question peut-être reliée à la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre, c'est-à-dire le cas des points rationnels, sur un schéma de Hilbert ponctuel. Nous en déduisons ainsi la distribution des points algébriques de degré fixé d'une courbe rationnelle. Lorsque la variété de départ est une surface lisse de Fano, notre étude montre que les schémas de Hilbert associés fournissent, sous certaines conditions, de nouveaux contre-exemples à la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre. Néanmoins, pour deux surfaces que nous étudions en détail, les schémas de Hilbert associés vérifient une version légèrement affaiblie de la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre. / The study of the distribution of rational or algebraic points of an algebraic variety according to their height is a classic problem in Diophantine geometry. In this thesis, we will be interested in the asymptotic cardinality of the set of algebraic points of fixed degree and bounded height of a smooth Fano variety defined over a number field, when the bound on the height tends to infinity. In particular, we show that this can be connected to the Batyrev-Manin-Peyre conjecture, i.e. the case of rational points, on some ponctual Hilbert scheme. We thus deduce the distribution of algebraic points of fixed degree on a rational curve. When the variety is a smooth Fano surface, our study shows that the associated Hilbert schemes provide, under certain conditions, new counterexamples to the Batyrev-Manin-Peyre conjecture. However, in two cases detailed in this thesis, the associated Hilbert schemes satisfie a slightly weaker version of the Batyrev-Manin-Peyre conjecture.

Cette thèse est consacrée à l'étude des représentations automorphes algébriques des groupes linéaires découvertes par Chenevier-Renard. On s'intéresse plus particulièrement à leurs paramètres de Satake. Pour cela, nous utilisons la théorie d'Arthur afin de faire apparaître ces représentations par le biais de représentations automorphes discrètes des groupes spéciaux orthogonaux de réseaux bien choisis. Ensuite, on détermine des propriétés d'opérateurs de Hecke agissant sur ces mêmes réseaux, ce qui nous donne de nombreuses informations sur ces paramètres de Satake. On arrive notamment à déterminer la trace dans la représentation standard de nombreux paramètres de Satake des représentations algébriques évoquées, dont les poids peuvent être arbitrairement grands. Ces résultats nous permettent aussi de déterminer de nombreux opérateurs de Hecke, associés aux voisinage de Kneser, vus comme endomorphismes agissant sur les classes d'isomorphisme des réseaux pairs de déterminant 2 en dimension 23 ou 25. / In this these we study the different algebraic automorphic representations discovered by Chenevier-Renard. We focus more particularly on their Satake parameters. To do so, we use Arthur's theory, which enables us to see these representations through discrete automorphic representations for the special orthogonal group of well chosen lattices. Afterwards, we can compute some properties of Hecke operators acting on these lattices. This gives us a lot of information on these Satake parameters. In particular, we can determine the trace in the standard representation for many of these algebraic representations, which weight can be arbitrarily high. These results also enable us to compute many Hecke operators, connected to the notion of neighbourhood developed by Kneser, seen as linear operators acting on the classes of isomorphism of even lattices with determinant 2 in dimension 23 or 25.

Cette thèse porte sur la famille des nombres dits multizêtas, et sur les relations qu'ils vérifient.Le premier chapitre est une introduction générale au domaine et se donne pour objectif de présenter brièvement les différents cadres dans lesquels s'inscrivent les résultats des trois autres chapitres, et d'énoncer ces résultats.Dans le chapitre 2, on étudie les relations linéaires entre zêtas simples et zêtas doubles, en établissant un lien rigoureux entre ces relations, les relations linéaires entre crochets de Poisson d'éléments de profondeur 1 de l'algèbre de Lie libre à deux générateurs, et l'espace des formes modulaires. Il s'agit en grande partie d'algèbre linéaire élémentaire sur des matrices définies explicitement.Le résultat principal du chapitre 3 a trait à une algèbre de Lie de dérivations déduite de l'étude de la catégorie des motifs elliptiques mixtes introduite par Hain et Matsumoto. Il démontre l'existence de relations linéaires observées par Pollack dans cette algèbre et provenant elles aussi des formes modulaires. Les démonstrations consistent majoritairement à adapter des techniques introduites par Ecalle à l'étude des propriétés de certains polynômes non commutatifs.Le quatrième et dernier chapitre propose une construction d'une algèbre de multizêtas elliptiques formels, en analogie avec les travaux de Hain et Matsumoto sur les motifs elliptiques mixtes et d'Enriquez sur les associateurs elliptiques. Celle-ci se place dans le formalisme écallien des moules ; on prouve deux résultats partiels qui corroborent la validité de cette dernière construction.

Cette thèse consiste d'une étude de la géométrie d'une certaine classe de groupes arithmétiques, à travers d'une action propre sur un espace contractile. Nous calculons explicitement leur homologie de groupe, et leur K-homologie équivariante. Plus précisément, considérons un corps de nombres quadratique imaginaire et son anneau d'entiers A. Les groupes de Bianchi sont les groupes SL_2(A) et PSL_2(A). Ces groupes agissent d'une manière naturelle sur l'espace hyperbolique à 3 dimensions. Ils constituent une clef pour l'étude d'une classe plus large de groupes, les groupes Kleiniens, étudiés depuis Poincaré. En fait, chaque groupe Kleinien arithmétique non-cocompact est commensurable avec un des groupes de Bianchi. L'auteur a implémenté à l'ordinateur, le calcul d'un domaine fondamental pour ces groupes. En calculant les stabilisateurs et identifications sur ce domaine fondamental, nous obtenons une structure explicite d'orbi-espace. Nous nous en servons pour étudier des aspects différents de la géométrie des groupes de Bianchi. D'abord, nous calculons l'homologie de groupe à coefficients entiers, à l'aide de la suite spectrale équivariante de Leray/Serre. Ensuite, nous calculons l'homologie de Bredon de groupes de Bianchi, de laquelle nous déduisons leur K-homologie équivariante. Par la conjecture de Baum/Connes, qui est vérifiée par nos groupes, nous obtenons la K-théorie des C*-algèbres réduites de nos groupes. Finalement, nous complexifions nos orbi-espaces, en complexifiant l'espace hyperbolique. Ceci nous permet de calculer la cohomologie d'orbi-espace de Chen/Ruan, qui est l'un des deux côtés de la conjecture de la résolution cohomologique crépante de Ruan.

Nous nous intéressons au nombre de points rationnels des variétés algébriques projectives sur un corps fini. Nous déterminons notamment la fonction zêta (et plus précisément les polynômes caractéristiques de l'endomorphisme de Frobenius sur les espaces de cohomologie étale l-adique) des courbes algébriques projectives sans autre hypothèse de lissité ou d'irréductibilité. Nous montrons la divisibilité de ces polynômes dans un revêtement plat de courbes connexes, que l'on peut interpréter comme un analogue de la conjecture d'holomorphie d'Artin sur les fonctions zêta de Dedekind des corps de nombres. Nous obtenons des bornes sur le nombre de points rationnels sur un corps fini dans un revêtement plat entre courbes algébriques projectives connexes, généralisant les bornes connues et notamment celle de Weil. Nous nous sommes également intéressé au problème du nombre de classes dans les corps de fonctions à une variable sur un corps fini. Nous avons établi un théorème de finitude en ce qui concerne les extensions totalement imaginaires d'extensions totalement réelles dont le nombre de classes d'idéaux du corps imaginaire est fixé . Dans le cas où ces extensions sont quadratiques, nous donnons une formule du nombre de classes relatif en terme de fonction L, ainsi qu'une formule liant cette fonction L à une somme de caractères de type Legendre dans le cas du nombre de classe 1. Si l'on suppose de plus que le groupe de Galois d'une telle extension est isomorphe au groupe de Klein, via la théorie du corps de classes ainsi que des factorisations de fonctions zêta et des estimations de régulateurs, nous déterminons ces corps via les extensions d'Artin-Schreier et les jacobiennes.

Le problème du logarithme discret sur courbes elliptiques est à la base de nombreux protocoles cryptographiques, dans la mesure où on ne connaît jusqu'à présent aucun algorithme permettant de l'attaquer efficacement. Du point de vue de la cryptanalyse, certaines approches basées sur des méthodes de calcul d'indices, et s'appuyant sur la résolution de systèmes pour la recherche de relations, sont toutefois prometteuses. La première partie de cette thèse est consacrée aux techniques de calcul de bases de Gröbner appliquées à la résolution de systèmes polynomiaux. Après une description détaillée des algorithmes F4 et F5 de Faugère considérés comme les plus performants actuellement, on présente et analyse une variante de l'algorithme F4, particulièrement utile pour la résolution de nombreux systèmes "similaires". Plusieurs exemples d'applications de ce nouvel algorithme sont donnés à la fois au domaine du calcul formel et de la cryptographie, montrant que pour certaines attaques algébriques, cette variante est plus efficace que F4 et F5. Etant munis de ces nouveaux outils, on étudie dans la seconde partie le problème du logarithme discret sur courbes algébriques. Après une présentation rapide des attaques existantes sur ce type de courbes dans un contexte général, on s'intéresse plus particulièrement aux courbes elliptiques définies sur des extensions de corps finis. On donne ainsi une description complète des techniques GHS, puis des méthodes d'attaques par décomposition introduites par Gaudry et Diem. On présente notamment des variantes de ces méthodes de décompositions permettant, grâce aux outils introduits en première partie de cette thèse, de fragiliser le DLP (et des problèmes reliés) sur courbes elliptiques sur une gamme plus large d'extensions de corps finis. Enfin, une nouvelle approche combinant les attaques par recouvrement ainsi que les méthodes de décompositions est proposée : cette attaque permet entre autres de calculer complètement le logarithme discret sur des courbes elliptiques définies sur des extensions sextiques de taille jamais atteinte auparavant.

En informatique, les images sont numériques et donc composées de pixels en 2D et de voxels en 3D. Dans une scène virtuelle 3D, il est impossible de manipuler directement les objets comme des ensembles de voxels en raison du trop gros volume de données. Les objets sont alors polyédrisés, c’est-à-dire remplacés par une collection de facettes. Pour ce faire, il est primordial de savoir décider si un sous-ensemble de voxels peut être transformé en une facette dans la représentation polyédrique. Ce problème est appelé reconnaissance de plans discrets. Pour le résoudre, nous mettons en place un nouvel algorithme spécialement adapté pour les ensembles de voxels denses dans une boite englobante. Notre méthode atteint une complexité quasi-linéaire dans ce cas et s’avère efficace en pratique. En parallèle, nous nous intéressons à un problème algorithmique annexe intervenant dans notre méthode de reconnaissance de plans discrets. Il s’agit de calculer les deux enveloppes convexes des points de Z2 contenus dans un domaine vertical borné et situés de part et d’autre d’une droite quelconque. Nous proposons une méthode de complexité optimale et adaptative pour calculer ces enveloppes convexes. Nous présentons le problème de manière détournée : déterminer le nombre rationnel à dénominateur borné qui approxime au mieux un nombre réel donné. Nous établissons le lien entre ce problème numérique et son interprétation géométrique dans le plan. Enfin, nous proposons indépendamment un nouvel algorithme pour calculer l’épaisseur d’un ensemble de points dans le réseau Zd. Notre méthode est optimale en 2D et gloutonne mais efficace en dimension supérieure / In computer science, pictures are digital and so, they are composed of pixels in 2D or of voxels in 3D. In 3D virtual scenes, we cannot directly manipulate objects as sets of voxels because the data are too huge. As a result, the objects are transformed into polyhedra, i.e. collections of facets. For this, we must be able to decide if a subset of voxels can be replaced by a facet in the polyhedrisation. This problem is called digital plane recognition. To solve it, we design a new algorithm especially adapted for sets of voxels which are dense in a bounding box. Our method achieves a quasi-linear worst-case time complexity in this case and it is efficient in practice. In parallel, we study another algorithmic problem which occures in our digital plane recognition algorithm. It is computing the two convex hulls of grid points lying in a bounded vertical domain and located on either side of a straight line. We propose an optimal time complexity method to compute these convex hulls and which is also output sensitive. We present the problem in a different way : find the rational number of bounded denominator that best approximates a given real number. We establish the link between this numerical problem and geometry. Finally, we independently propose a new algorithm to compute the lattice width of a set of points in Zd. Our method is optimal in 2D and is greedy but efficent in higher dimension

A l’articulation de la théorie des nombres et de la didactique des mathématiques, notre recherche vise à étudier la question de la transposition du travail du mathématicien, via l’analyse de processus de recherche de chercheurs, élèves et étudiants sur la recherche d’un même problème non résolu : la conjecture d’Erdös-Straus. Les analyses mathématiques et épistémologiques nous ont permis d’identifier différents aspects du travail du mathématicien et les éléments moteurs dans l’avancée de ses recherches. Cela nous a conduit à développer la notion de « geste » de la recherche pour décrire, analyser et mettre en perspective les processus de recherche des trois publics. Ces analyses ont mis en évidence les potentialités du problème pour créer une situation de recherche de problèmes en classe, plaçant les élèves dans une position proche de celle du mathématicien. Les analyses didactiques se sont appuyées sur la construction d’une telle situation puis sur sa mise à l’épreuve dans un contexte de laboratoire avec des élèves de terminale scientifique. Nous avons analysé finement les processus de recherche des élèves à l’aide des outils méthodologiques développés dans les analyses mathématiques et épistémologiques. Les analyses ont mis en évidence la richesse des procédures mises en oeuvre, un travail effectif dela dialectique entre les connaissances mathématiques et les heuristiques mobilisées, et selonles groupes, une mise en oeuvre de démarches de type expérimental, l’approfondissement de connaissances mathématiques notionnelles et une acquisition d’heuristiques expertes de recherche de problème non résolu. Elles montrent également la pertinence de la notion de «geste » de la recherche pour étudier la question de la transposition du travail des chercheurs. / Our thesis deals with the transposition of mathematician’s reserach activity in mathematical classroom, in the domain of number theory. Our research focuses on the study of a research process for researchers, pupils and students involved in the research of an unsolved problem: the Erdös-Straus conjecture. Our mathematical and epistemological analyses allow us to identify different aspects of the mathematician’s work and the elements for progress in his research. The notion of “gesture” is developed to describe, analyze and contextualize different research processes. This analysis reveals the potentiality of this problem to create a research situation in classroom, where pupils are in a position similar to the mathematician’s one. Didactical analyses are based on the construction of such a situation and its experimentation in laboratory. We study the research process of the students with the methodological tools developed in mathematical and epistemological analyses. This analysis shows several potentiality of this situation: a wealth of procedures implemented, effective work on the dialectical aspects of the mathematical research activity and implementation of experimental approach. The notion of “gesture” is relevant to consider the question of the transposition of mathematician’s work.

Pour un réel ξ qui n’est pas algébrique de degré ≤ 2, on peut définir plusieurs exposants diophantiens qui mesurent la qualité d’approximation du vecteur (1, ξ, ξ² ) par des sous-espaces de ℝ³ définis sur ℚ de dimension donnée. Cette thèse s’inscrit dans l’étude de ces exposants diophantiens et des questions relatives à la détermination de leur spectre. En utilisant notamment les outils modernes de la géométrie paramétrique des nombres, nous construisons une nouvelle famille de réels – appelés nombres de type sturmien – et nous déterminons presque complètement le 3-système qui leur est associé. Comme conséquence, nous en déduisons la valeur de leurs exposants diophantiens et certaines informations sur les spectres. Nous considérons également le problème plus général de l’allure d’un 3-système associé à un vecteur de la forme (1, ξ, ξ ²), en formulant entre autres certaines contraintes qui n’existent pas pour un vecteur (1, ξ, η) quelconque, et en explicitant les liens qu’il entretient avec la suite des points minimaux associée à ξ. Sous certaines conditions de récurrence sur la suite des points minimaux nous montrons que nous retrouvons les 3-systèmes associés aux nombres de type sturmien. / Given a real number ξ which is not algebraic of degree ≤ 2 one may defineseveral diophantine exponents which measure how “well” the vector (1, ξ, ξ ²) can be approximated by subspaces of fixed dimension defined over ℚ. This thesis is part of the study of these diophantine exponents and their spectra. Using the parametric geometry of numbers, we construct a new family of numbers – called numbers of sturmian type – and we provide an almost complete description of the associated 3-system. As a consequence, we determine the value of the classical exponents for numbers of sturmian type, and we obtain new information on their joint spectra. We also take into consideration a more general problem consisting in describing a 3-system associated with a vector (1, ξ, ξ²). For instance we formulate special constraints which do not exist for a general vector (1, ξ, η) and we also clarify connections between a 3-system which represents ξ and the sequence of minimal points associated to ξ. Under a specific recurrence relation hypothesis on the sequence of minimal points, we show that the previous 3-system has the shape of a 3-system associated to a number of sturmian type.