Using the finite element software FEMLAB® solutions are computed to Dirichlet problems for the Infinity-Laplace equation ∆∞(u) ≡ u2xuxx + 2uxuyuxy + u2yuyy = 0. For numerical reasons ∆q(u) = div (|▼u|q▼u) = 0, which (formally) approaches as ∆∞(u) = 0 as q → ∞, is used in computation. A parametric nonlinear solver is used, which employs a variant of the damped Newton-Gauss method. The analysis of the experiments is done using the known theory of solutions to Dirichlet problems for ∆∞(u) = 0, which includes AMLEs (Absolutely Minimizing Lipschitz Extensions), sets of uniqueness, critical segments and lines of singularity. From the experiments one main conjecture is formulated: For Dirichlet problems, which have a non-constant boundary function, it is possible to predict the structure of the lines of singularity in solutions in the Infinity-Laplace case by examining the corresponding Laplace case.

In the first part of our work we focus on the model of the optimal consumption with a random income. We provide the three dimensional equation for this model, demonstrate the reduction to the two dimensional case and provide for two different utility functions the full point-symmetries' analysis of the equations. We also demonstrate that for the logarithmic utility there exists a unique and smooth viscosity solution the existence of which as far as we know was never demonstrated before. In the second part of our work we develop the concept of the empirical liquidity measure. We provide the retrospective view of the works on this issue, discuss the proposed definitions and develop our own empirical measure based on the intuitive mathematical model and comprising several features of the definitions that existed before. Then we verify the measure provided on the real data from the market and demonstrate the advantages of the proposed value for measuring the illiquidity.

One of the major problem faced by banks is how to manage the risk exposure in large portfolios. According to Basel II regulation banks has to measure the risk using Value-at-Risk with confidence level 99%. However, this regulation does not specify the way to calculate Valueat- Risk. The easiest way to calculate Value-at-Risk is to assume that portfolio returns are normally distributed. Altough, this is the most common way to calculate Value-at-Risk, there exists also other methods. The previous crisis shows that the regular methods are unfortunately not always enough to prevent bankruptcy. This paper is devoted to compare the classical methods of estimating risk with other methods such as Cornish-Fisher Expansion (CFVaR) and assuming generalized hyperbolic distribution. To be able to do this study, we estimate the risk in a large portfolio consisting of ten stocks. These stocks are chosen from the NASDAQ 100-list in order to have highly liquid stocks (bluechips). The stocks are chosen from different sectors to make the portfolio welldiversified. To investigate the impact of dependence between the stocks in the portfolio we remove the two most correlated stocks and consider the resulting eight stock portfolio as well. In both portfolios we put equal weight to the included stocks. The results show that for a well-diversified large portfolio none of the risk measures are violated. However, for a portfolio consisting of only one highly volatile stock we prove that we have a violation in the classical methods but not when we use the modern methods mentioned above.

The problem of managing the portfolio provisions is of very high importance for any financial institution. In this paper we provide both static and dynamic models of provisions estimation for the case when the decision about provisions is made at the first moment of time subject to the absence of information and for the case of complete and incomplete information. Also the hedging strategy for the case of the defaultable market is presented in this work as another tool of reducing the risk of default. The default time is modelled as a first-passage time of a standard Brownian motion through a deterministic barrier. Some methods of numerical provision estimation are also presented.

Quantum key growing, often called quantum cryptography or quantum key distribution, is a method using some properties of quantum mechanics to create a secret shared cryptography key even if an eavesdropper has access to unlimited computational power. A vital but often neglected part of the method is unconditionally secure message authentication. This thesis examines the security aspects of authentication in quantum key growing. Important concepts are formalized as Python program source code, a comparison between quantum key growing and a classical system using trusted couriers is included, and the chain rule of entropy is generalized to any Rényi entropy. Finally and most importantly, a security flaw is identified which makes the probability to eavesdrop on the system undetected approach unity as the system is in use for a long time, and a solution to this problem is provided. / ICG QC

Inom vården utförs ofta schemaläggning av personal manuellt, vilket kräver mycket tid och resurser. Att planera arbetet för en grupp läkare, med dess ofta mycket komplexa sammansättning vad gäller exempelvis arbetsuppgifter och kompetenser, är ingen lätt uppgift. Detta examensarbete studerar huruvida en automatiserad taktisk bemanningsplanering med en tidshorisont på ett halvår till ett år, skulle kunna underlätta denna uppgift. I rapporten presenteras en måloptimeringsmodell som implementerats i AMPL för att med CPLEX som lösare generera förslag till bemanningsplaner. För att utveckla en matematisk modell som väl representerar de förutsättningar som råder vid bemanningsplanering av läkare har alternativa formuleringar provats och utvärderats. Den mest lovande av modellerna, som baseras på måloptimering, har i en pilotstudie testats på data från Onkologiska kliniken vid Linköpings universitetssjukhus. Flexibiliteten i modellen gjorde att den enkelt kunde användas på de data som erhölls därifrån. Resultatet från pilotstudien indikerar att den utvecklade modellen har kapacitet att ge förslag till rimliga bemanningsplaner. / Scheduling of staff in the health care industry is typically done by hand, thus consuming a lot of time and effort. To plan the work for a group of physicians is a complex task, having to take into account factors like individual preferences and competences among the physicians. This thesis studies whether an automated tactical workforce planning, with a time horizon of half a year to a year, could facilitate this task. This thesis presents a goal programming model for generating suggestions to workforce plans for physicians. The model has been implemented in AMPL and is solved using CPLEX. During the development of the mathematical model for workforce planning, alternative model formulations have been tested and evaluated, and some of these are presented in the report. The most promising of them is one based solely on goal programming, and it has been tested in a pilot study on data from the Oncology Clinic at the University Hospital in Linköping. The flexibility of the model made it easy to use on the data provided by the clinic. The result of the pilot study indicates that the developed model has the capacity to give reasonable suggestions for workforce plans.

To extract usable information from financial data the prices of financial instruments must be summarized in an efficient manner. Typically price quotes are sampled at discrete and equidistant points in time to create a time series of prices at fixed times. However, alternative methods that instead utilize certain changes in the price data, such as price changes or drawdowns, could potentially create time series with more relevant information. This thesis builds upon previous research on so called ”directional changes” to establish scaling laws using such alternative sampling methods. This has been studied extensively for foreign exchange rates, and some of those results are replicated in this thesis. But here we also extend the results to a new domain of instruments, namely futures. In addition, data sampled with different methods is investigated for predictability using a simple classifier for forecasting trend direction. The main findings are that the aforementioned scaling laws hold for the time period investigated (2016-2020), and that using other methods than the typical discrete time method yields a more predictable time series when it comes to price trend. / För att utvinna användbar information ur finansiell data måste priser för finansiella instrument sammanställas på ett effektivt sätt. För kvoteringsdata görs detta vanligtvis genom att sampla priser vid diskreta tidsintervall för att får en serie av priser vid fixa tidsintervall. Alternativa metoder som använder händelser i prisdatan, som ändringar eller nedgångar, kan dock potentiellt skapa tidserier med mer relevant information. Den här uppsatsen bygger på tidigare forskning om s.k. ”directional changes” för att fastställa skalagar med sådana alternativa samplingmetoder. Det här görs inte bara för valutapar utan även för ett fåtal terminskontrakt. Utöver det undersöks prediktabiliteten hos data samplad med olika metoder med en enkel klassificerare för framtida trendriktning. De huvudsakliga resultaten är att de nämnda skallagarna håller för den undersökta tidsperioden (2016-2020) och att användandet av andra samplingsmetoder än diskret tidssampling resulterar i mer förutsägbara tidsserier när det kommer till pristrender.

Creating realistic models of human fighter pilot behavior is made possible with recent deep learning techniques. However, these techniques are often highly dependent on large datasets, often unavailable in many settings, or expensive to produce. Transfer learning is an active research field where the idea is to leverage the knowledge gained from studying a problem for which large amounts of training data are more readily available, when considering a different, related problem. The related problem is called the target task and the initial problem is called the source task. Given a successful transfer scenario, a smaller amount of data, or less training, can be required to reach high quality results on the target task. The first part of this thesis focuses on the development of a fighter pilot model using behavior cloning, a method for reducing an imitation learning problem to standard supervised learning. The resulting model, called a policy, is capable of imitating a human pilot controlling a fighter jet in the military combat simulator Virtual BattleSpace 3. In this simulator, the forces acting on the aircraft can be modelled using one of several flight dynamic models (FDMs). In the second part, the efficiency of transfer learning is measured. This is done by replacing the built-in FDM to one with a significant variation in the input response, and subsequently train two policies on successive amount of data. One policy was trained using only the latter FDM, whereas the other policy exploits the gained knowledge from the first part of the thesis, using a technique called fine-tuning. The results indicate that a model already capable of handling one FDM, adapts to a different FDM with less data compared to a previously untrained policy. / Realistiska modeller av mänskligt pilotbeteende kan potentiellt skapas med djupinlärningstekniker. För detta krävs ofta stora datamängder som för många tillämpningar saknas, eller är dyra att ta fram. Överföringsinlärning är ett aktivt forskningsfält där grundidén är att utnyttja redan inlärd kunskap från ett problem där stora mängder träningsdata finns tillgängligt, vid undersökning av ett relaterat problem. Vid lyckad överföringinlärning behövs en mindre mängd data, eller mindre träning, för att uppnå ett önskvärt resultat på denna måluppgift. Första delen av detta examensarbete handlar om utvecklingen av en pilotmodell med hjälp av beteendekloning, en metod som reducerar imitationsinlärning till vanlig övervakad inlärning. Den resulterande pilotmodellen klarar av att imitera en mänsklig pilot som styr ett stridsflygplan i den militära simulatormiljön Virtual BattleSpace 3, där krafterna som verkar på flygplanet modelleras med en enkel inbyggd flygdynamiksmodell. I den andra delen av arbetet utvärderas överföringsförmågan mellan olika flygdynamiksmodeller. Detta gjordes genom att ersätta den inbyggda dynamiken till en dynamik som modellerar ett annat flygplan och som svarar på styrsignaler på ett vida olikartat sätt. Sedan tränades två stridspilotmodeller successivt på ökad mängd data. Den ena pilotmodellen tränas endast med den ena dynamiken varvid den andra pilotmodellen utnyttjar det redan inlärda beteendet från första delen av arbetet, med hjälp av en teknik som kallas finjustering. Resultaten visar att en pilotmodell som redan lärt sig att flyga med en specifik flygdynamik har lättare att lära sig en ny dynamik, jämfört med en pilotmodell som inte förtränats.

Product pricing is an always present issue and there are a number of different traditional pricing strategies that can be applied depending on the situation. With an increasing amount of available data, as well as new improved methods to take advantage of this information, companies are presented with the opportunity to become more data driven in their decision making. The aim of this this thesis is to examine the possibilities of using statistical machine learning methods, more specifically neural networks, to predict what effect price changes have on sales numbers, and to identify what features are of importance when making these predictions. This would allow us to use a more data driven pricing strategy. The work is done in collaboration with Kjell \& Company, a Swedish consumer electronics retailer.  The results of this thesis shows that no predictions regarding sales can be done with any meaningful accuracy using the limited features available at the time of this thesis. More work has to be done in order to identify and quantify more value contributing features. Due to the limitations of the results presented here, no conclusions can be made regarding applying neural networks for these types of problems in general, based on the results of this report. However, the author still believes that it is a promising area of research, and that with a greater domain knowledge, interesting results could be achieved using similar methods. / Prissättning är ett alltid närvarande problem, och det finns ett antal olika traditionella strategier för prissättning som kan användas beroende på situationen. I samband med att mer och mer data blir tillgänglig, samt att nya metoder som kan användas för att ta tillvara på informationen läggs fram, presenteras företag med möjligheter att bli mer datadrivna i sitt beslutsfattande. Syftet med den här rapporten är att undersöka möjligheterna att använda statiska maskininlärningsmetoder, specifikt neurala nätverk, för att förutsäga vilken påverkan prisändringar har på försäljning samt vilka faktorer som är viktiga för att kunna göra dessa förutsägningar. Detta skulle innebära att man kan en mer datadriven prisstrategi. Arbetet görs i sammarbete med Kjell \& Company, en svensk butikskedja med fokus på hemelektronik. Resultaten av det här projektet tyder inte på det går att göra förutsägningar med någon meningsfull noggrannhet med den data som var tillgänglig. Mer arbete måste göras för att identifiera och kvantifiera nya parametrar, föreslagsvis parametrar med större koppling till värdeskapande faktorer. Baserat på de begränsade resultaten från detta arbete, går det inte att dra några slutsatser angående användandet av neurala nätverk i denna typ av problem i allmänhet. Dock anser författaren att det är ett lovande område med stora möjligheter, och att man med bättre domänkunskap borde kunna få fram intressanta resultat med liknande metoder.

The ground state of a quantum system is the minimizer of the total energy of that system. The aim of this thesis is to present and numerically solve the Gross-Pitaevskii eigenvalue problem (GPE) as a physical model for the formation of ground states of dilute Bose gases at ultra-low temperatures in a disordered potential. The first part of the report introduces the quantum mechanical phenomenon that arises at ground states of the Bose gases; the Anderson localization, and presents the nonlinear eigenvalue problem and the finite element method (FEM) used to discretize the GPE. The numerical method used to solve the eigenvalue problem for the smallest eigenvalue is called the inverse power iteration method, which is presented and explained. In the second part of the report, the smallest eigenvalue of a linear Schrödinger equation is compared with the numerically computed smallest eigenvalue (ground state) in order to evaluate the accuracy of a linear numerical scheme constructed as first step for numerically solving the non-linear problem. In the next part of the report, the numerical methods are implemented to solve for the eigenvalue and eigenfunction of the (non-linear) GPE at ground state (smallest eigenvalue). The mathematical expression for the quantum energy and smallest eigenvalue of the non-linear system are presented in the report. The methods used to solve the GPE are the FEM and inverse power iteration method and different instances of the Anderson localization are produced. The study shows that the error of the smallest eigenvalue approximation for the linear case without disorder is satisfying when using FEM and Power iteration method. The accuracy of the approximation obtained for the linear case without disorder is satisfying, even for a low numbers of iterations. The methods require many more iterations for solving the GPE with a strong disorder. On the other hand, pronounced instances of Anderson localizations are produced in a certain scaling regime. The study shows that the GPE indeed works well as a physical model for the Anderson localization. / Syftet med denna avhandling är att undersöka hur väl Gross-Pitaevskii egenvärdesekvation (GPE) passar som en fysisk modell för bildandet av stationära elektronstater i utspädda Bose-gaser vid extremt låga temperaturer. Fenomenet som skall undersökas heter Anderson lokalisering och uppstår när potentialfältets styrka och störning i systemet är tillräckligt hög. Undersökningen görs i denna avhandling genom att numeriskt lösa GPE samt illustrera olika utfall av Anderson lokaliseringen vid olika numeriska värden. Den första delen av rapporten introducerar det icke-linjära matematiska uttrycket för GPE samt de numeriska metoderna som används för att lösa problemet numerisk: finita elementmetoden (FEM) samt egenvärdesalgoritmen som heter inversiiteration. Finita elementmetoden används för att diskretisera variationsproblemet av GPE och ta fram en enkel algebraisk ekvation. Egenvärdesalgoritmen tillämpas på den algebraiska ekvation för att iterativt beräkna egenfunktionen som motsvarar det minsta egenvärdet. Det minsta egenvärdet av en fullt definierad (linjär) Schrödinger ekvation löses i rapportens andra del. Den linjära ekvationen löses för att ta fram en förenklad numerisk algoritm att utgå ifrån innan den icke-linjära algoritmen tas fram. För att försäkra sig att den linjära algoritmen stämmer bra jämförs det exakta egenvärdet för problemet med ett numeriskt framtaget värde. Undersökningen av den linjära algoritmen visar att vi får en bra uppskattning av egenvärdet - även vid få iterationer. Vidare konstrueras den ickelinjära algoritmen baserat på den linjära. Ekvationen löses och undersökes. Egenfunktionen som motsvarar minsta egenvärdet framtas och beskriver kvantsystemet i lägsta energitillståndet, så kallade grundtillståndet. Undersökningen av GPE visar att de numeriska metoderna kräver många fler iterationer innan en tillräckligt bra uppskattning av egenvärdet fås. Å andra sidan fås markanta Anderson lokaliseringar för ett skalningsområde som beskrivs av styrkan av potentialfältet i relation till dess störning. Slutsatsen är att Gross-Pitaevskii egenvärdesekvation passar bra som en fysisk modell för detta kvantsystem.