Strukturoptimierung ist momentan stark auf Diskretisierungsmethoden angewiesen. In einfachen Fällen, wie die Simulation von Rahmen und Stabwerke, wo eine Diskretisierung nicht notwendig ist, werden nur die Dehnung oder die Stauchung der Stäbe betrachtet, und die Verbindungen sind frei, wie Kugelgelenke, um die Biegungen der Stäbe zu vermeiden. In dieser Dissertation wird eine diskretisierungsfreie Methode zur Modellierung und Optimierung eines Rahmens entwickelt, die die Biegung der Balken sowie die Dehnung oder Stauchung zusammen betrachtet, wobei starre Verbindungen angenommen werden. Starre Verbindungen entstehen, wenn die Balken zusammen geschweißt oder mit mehrere Nieten verbunden sind. Die Optimierungsprobleme, sowohl das Zustands- und als auch das Entwurfsproblem, sind durch die gesamte elastische Energie und die Arbeit der äußeren Kräfte gegeben. Für das Problem der optimalen Größeneinteilung wird darüber hinaus eine topologische Sensitivität zur Einführung neuer Balken zwischen zwei beliebigen Punkten auf dem Rahmen diskutiert. / Structural optimisation currently relies heavily on methods based on discretisation. In simpler cases like the simulation of frames and trusses, where discretisation is not necessary, only the elongation or compression is considered and the joints are free, like ball and socket joints, in order to avoid bending the trusses. In this dissertation a discretisation free method for the modelling and optimisation of frames is developed which considers bending of the beams along with compression or elongation with joints between the beams being rigid. Rigid joints are commonly the result of welding two beams together or connecting them using mutiple rivets. The optimisation problems, both state and design optimisation, are formulated via the total elastic energy and the work done by external forces. Moreover, for the optimal sizing problem a topological sensitivity for introduction of new beams between any two arbitrary positions in the frame is discussed.

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:50:29Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Apresentacao.pdf: 103220 bytes, checksum: c76acce6b0debd619e9db9533aa20f11 (MD5) Previous issue date: 2003-02-13 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnologico / The Topological Sensitivity Analysis results in a scalar function, denoted as Topological Derivative, that supplies for each point of the domain of definition of the problem the sensitivity of a given cost function when a small hole is created. However, when a hole is introduced, it is no longer possible to stablish a homeomorphism between the domains. Due to this mathematical difficulty the Topological Derivative may become restrictive, nevertheless be extremely general. Thus, in the present work it is proposed a new method to calculte the Topological Derivative via Shape Sensitivity Analysis. This result, formally proved through a theorem, leads to a simpler and more general methodology than the others found in the literature. The Topological Sensitivity Analysis is performed for several Engineering problems, and the obtained results are used to improve the design of mechanical devices by introducing holes. The same theory developed to calculate the Topological Derivative is used to determine the sensitivity of the cost function when a small incrustation is introduced in each position of the domain, resulting in a novel concept denoted as Configurational Sensitivity Analysis, being discussed some possible applications in the context of Inverse Problems and modelling of phenomena that experiment changes in the physical properties of the medium. Thus, the methodology developed in the present work results in a framework with potential applications in Topology Optimization, Inverse Problems and Mechanical Modelling, which may be seen, from now on, not only as a method to calculate the Topological Derivative, but as a promising research area in Computational Modelling. / A análise de Sensibilidade Topológica resulta em uma função escalar, denominada Derivada Topológica, que fornece para cada ponto do domínio de definição do problema a sensibilidade de uma dada função custo quando um pequeno furo é criado. No entanto, ao introduzir um furo, não é mais possível estabelecer um homeomorfismo entre os domínios envolvidos. Devido a essa dificuldade matemática a Derivada Topológica pode se tornar restritiva, não obstante seja extremamente geral. No presente trabalho, portanto, é proposto um novo método de cálculo da Derivada Topológica via Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma. Este resultado, formalmente demonstrado através de um teorema, conduz a uma metodologia mais simples e geral do que as demais encontradas na literatura. A Análise de Sensibilidade Topológica é então realizada em diversos problemas da Engenharia e os resultados obtidos são empregados para melhorar o projeto de componentes mecânicos mediante a introdução de furos. A mesma teoria desenvolvida para calcular a Derivada Topológica é utilizada para determinar a sensibilidade da função custo ao introduzir uma pequena incrustação numa dada posição do domínio, resultando em um novo conceito denominado Análise de Sensibilidade Configuracional, sendo discutidas suas possíveis aplicações no contexto de Problemas Inversos e de modelagem de fenômenos que experimentam mudanças nas propriedades físicas do meio. Assim, a metodologia aqui desenvolvida é uma ferramenta em potencial tanto de Otimização Topológica quanto de Problemas Inversos e de Modelagem Mecânica, podendo ser vista, a partir de agora, não somente como um método de cálculo da Derivada Topológica, mas como uma promissora área de pesquisa em Modelagem Computacional.

The Topological Sensitivity Analysis results in a scalar function, denoted as Topological Derivative, that supplies for each point of the domain of definition of the problem the sensitivity of a given cost function when a small hole is created. However, when a hole is introduced, it is no longer possible to stablish a homeomorphism between the domains. Due to this mathematical difficulty the Topological Derivative may become restrictive, nevertheless be extremely general. Thus, in the present work it is proposed a new method to calculte the Topological Derivative via Shape Sensitivity Analysis. This result, formally proved through a theorem, leads to a simpler and more general methodology than the others found in the literature. The Topological Sensitivity Analysis is performed for several Engineering problems, and the obtained results are used to improve the design of mechanical devices by introducing holes. The same theory developed to calculate the Topological Derivative is used to determine the sensitivity of the cost function when a small incrustation is introduced in each position of the domain, resulting in a novel concept denoted as Configurational Sensitivity Analysis, being discussed some possible applications in the context of Inverse Problems and modelling of phenomena that experiment changes in the physical properties of the medium. Thus, the methodology developed in the present work results in a framework with potential applications in Topology Optimization, Inverse Problems and Mechanical Modelling, which may be seen, from now on, not only as a method to calculate the Topological Derivative, but as a promising research area in Computational Modelling. / A análise de Sensibilidade Topológica resulta em uma função escalar, denominada Derivada Topológica, que fornece para cada ponto do domínio de definição do problema a sensibilidade de uma dada função custo quando um pequeno furo é criado. No entanto, ao introduzir um furo, não é mais possível estabelecer um homeomorfismo entre os domínios envolvidos. Devido a essa dificuldade matemática a Derivada Topológica pode se tornar restritiva, não obstante seja extremamente geral. No presente trabalho, portanto, é proposto um novo método de cálculo da Derivada Topológica via Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma. Este resultado, formalmente demonstrado através de um teorema, conduz a uma metodologia mais simples e geral do que as demais encontradas na literatura. A Análise de Sensibilidade Topológica é então realizada em diversos problemas da Engenharia e os resultados obtidos são empregados para melhorar o projeto de componentes mecânicos mediante a introdução de furos. A mesma teoria desenvolvida para calcular a Derivada Topológica é utilizada para determinar a sensibilidade da função custo ao introduzir uma pequena incrustação numa dada posição do domínio, resultando em um novo conceito denominado Análise de Sensibilidade Configuracional, sendo discutidas suas possíveis aplicações no contexto de Problemas Inversos e de modelagem de fenômenos que experimentam mudanças nas propriedades físicas do meio. Assim, a metodologia aqui desenvolvida é uma ferramenta em potencial tanto de Otimização Topológica quanto de Problemas Inversos e de Modelagem Mecânica, podendo ser vista, a partir de agora, não somente como um método de cálculo da Derivada Topológica, mas como uma promissora área de pesquisa em Modelagem Computacional.

The topological derivative provides the sensitivity of a given shape functional with respect to an infinitesimal non-smooth domain pertubation (insertion of hole or inclusion, for instance). Classically, this derivative comes from the second term of the topological asymptotic expansion, dealing only with inifinitesimal pertubations. However, for pratical applications, we need to insert pertubations of finite sizes.Therefore, we consider other terms in the expansion, leading to the concept of higher-order topological derivatives. In a particular, we observe that the topological-shape sensitivity method can be naturally extended to calculate these new terms, resulting in a systematic methodology to obtain higher-order topological derivatives. In order to present these ideas, initially we apply this technique in some problems with exact solution, where the topological asymptotic expansion is obtained until third order. Later, we calculate first as well as second order topological derivative for the total potential energy associated to the Laplace equation in two-dimensional domain pertubed with the insertion of a hole, considering homogeneous Neumann or Dirichlet boundary conditions, or an inclusion with thermal conductivity coefficient value different from the bulk material. With these results, we present some numerical experiments showing the influence of the second order topological derivative in the topological asymptotic expansion, which has two main features:it allows us to deal with pertubations of finite sizes and provides a better descent direction in optimization and reconstruction algorithms. / A derivada topológica fornece a sensibilidade de uma dada função custo quando uma pertubação não suave e infinitesimal (furo ou inclusão, por exemplo) é introduzida. Classicamente, esta derivada vem do segundo termo da expansão assintótica topológica considerando-se apenas pertubações infinitesimais. No entanto, em aplicações práticas, é necessário considerar pertubação de tamanho finito. Motivado por este fato, o presente trabalho tem como objetivo fundamental introduzir o conceito de derivadas topológicas de ordem superiores, o que permite considerar mais termos na expansão assintótica topológica. Em particular, observa-se que o topological-shape sensitivity method pode ser naturalmente estendido para o cálculo destes novos termos, resultando em uma metodologia sistemática de análise de sensibilidade topológica de ordem superior. Para se apresentar essas idéias, inicialmente essa técnica é verificada através de alguns problemas que admitem solução exata, onde se calcula explicitamente a expansão assintótica topológica até terceira ordem. Posteriormente, considera-se a equação de Laplace bidimensional, cujo domínio é topologicamente pertubado pela introdução de um furo com condição de contorno de Neumann ou de Dirichlet homogêneas, ou ainda de uma inclusão com propriedade física distinta do meio. Nesse caso, são calculadas explicitamente as derivadas topológicas de primeira e segunda ordens. Com os resultados obtidos em todos os casos, estuda-se a influência dos termos de ordem superiores na expansão assintótica topológica, através de experimentos numéricos. Em particular, observa-se que esses novos termos, além de permitir considerar pertubações de tamanho finito, desempenham ainda um importante papel tanto como fator de correção da expansão assintótica topológica, quanto como direção de descida em processos de otimização. Finalmente, cabe mencionar que a metodologia desenvolvida neste trabalho apresenta um grande potencial para aplicação na otimização e em algoritimos de reconstrução.

Made available in DSpace on 2015-03-04T18:50:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tese Jairo.pdf: 2924101 bytes, checksum: 8a9716b369188f13960e4f2bc2fbbacb (MD5) Previous issue date: 2008-10-16 / Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nivel Superior / The topological derivative provides the sensitivity of a given shape functional with respect to an infinitesimal non-smooth domain pertubation (insertion of hole or inclusion, for instance). Classically, this derivative comes from the second term of the topological asymptotic expansion, dealing only with inifinitesimal pertubations. However, for pratical applications, we need to insert pertubations of finite sizes.Therefore, we consider other terms in the expansion, leading to the concept of higher-order topological derivatives. In a particular, we observe that the topological-shape sensitivity method can be naturally extended to calculate these new terms, resulting in a systematic methodology to obtain higher-order topological derivatives. In order to present these ideas, initially we apply this technique in some problems with exact solution, where the topological asymptotic expansion is obtained until third order. Later, we calculate first as well as second order topological derivative for the total potential energy associated to the Laplace equation in two-dimensional domain pertubed with the insertion of a hole, considering homogeneous Neumann or Dirichlet boundary conditions, or an inclusion with thermal conductivity coefficient value different from the bulk material. With these results, we present some numerical experiments showing the influence of the second order topological derivative in the topological asymptotic expansion, which has two main features:it allows us to deal with pertubations of finite sizes and provides a better descent direction in optimization and reconstruction algorithms. / A derivada topológica fornece a sensibilidade de uma dada função custo quando uma pertubação não suave e infinitesimal (furo ou inclusão, por exemplo) é introduzida. Classicamente, esta derivada vem do segundo termo da expansão assintótica topológica considerando-se apenas pertubações infinitesimais. No entanto, em aplicações práticas, é necessário considerar pertubação de tamanho finito. Motivado por este fato, o presente trabalho tem como objetivo fundamental introduzir o conceito de derivadas topológicas de ordem superiores, o que permite considerar mais termos na expansão assintótica topológica. Em particular, observa-se que o topological-shape sensitivity method pode ser naturalmente estendido para o cálculo destes novos termos, resultando em uma metodologia sistemática de análise de sensibilidade topológica de ordem superior. Para se apresentar essas idéias, inicialmente essa técnica é verificada através de alguns problemas que admitem solução exata, onde se calcula explicitamente a expansão assintótica topológica até terceira ordem. Posteriormente, considera-se a equação de Laplace bidimensional, cujo domínio é topologicamente pertubado pela introdução de um furo com condição de contorno de Neumann ou de Dirichlet homogêneas, ou ainda de uma inclusão com propriedade física distinta do meio. Nesse caso, são calculadas explicitamente as derivadas topológicas de primeira e segunda ordens. Com os resultados obtidos em todos os casos, estuda-se a influência dos termos de ordem superiores na expansão assintótica topológica, através de experimentos numéricos. Em particular, observa-se que esses novos termos, além de permitir considerar pertubações de tamanho finito, desempenham ainda um importante papel tanto como fator de correção da expansão assintótica topológica, quanto como direção de descida em processos de otimização. Finalmente, cabe mencionar que a metodologia desenvolvida neste trabalho apresenta um grande potencial para aplicação na otimização e em algoritimos de reconstrução.

Cette thèse s’inscrit dans le domaine des mathématiques appelé optimisation de formes. Plus précisément, nous étudions ici un problème inverse de détection à l’aide du calcul de forme et de l’analyse asymptotique. L’objectif est de localiser un objet immergé dans un fluide visqueux, incompressible et stationnaire. Les questions principales qui ont motivé ce travail sont les suivantes :– peut-on détecter un objet immergé dans un fluide à partir d’une mesure effectuée à la surface ?– peut-on reconstruire numériquement cet objet, i.e. approcher sa position et sa forme, à partir de cette mesure ?– peut-on connaître le nombre d’objets présents dans le fluide en utilisant cette mesure ?Les résultats obtenus sont décrits dans les cinq chapitres de cette thèse :– le premier met en place un cadre mathématique pour démontrer l’existence des dérivées de forme d’ordre un et deux pour les problèmes de détection d’inclusions ;– le deuxième analyse le problème de détection à l’aide de l’optimisation géométrique de forme : un résultat d’identifiabilité est montré, le gradient de forme de plusieurs types de fonctionnelles de forme est caractérisé et l’instabilité de ce problème inverse est enfin démontrée ;– le chapitre 3 utilise nos résultats théoriques pour reconstruire numériquement des objets immergés dans un fluide à l’aide d’un algorithme de gradient de forme ;– le chapitre 4 analyse la localisation de petites inclusions dans un fluide à l’aide de l’optimisation topologique de forme : le gradient topologique d’une fonctionnelle de forme de Kohn-Vogelius est caractérisé ;– le dernier chapitre utilise cette dernière expression théorique pour déterminer numériquement le nombre et la localisation de petits obstacles immergés dans un fluide à l’aide d’un algorithme de gradient topologique. / This dissertation takes place in the mathematic field called shape optimization. More precisely, we focus on a detecting inverse problem using shape calculus and asymptotic analysis. The aim is to localize an object immersed in a viscous, incompressible and stationary fluid. This work was motivated by the following main questions:– can we localize an obstacle immersed in a fluid from a boundary measurement?– can we reconstruct numerically this object, i.e. be close to its localization and its shape, from this measure?– can we know how many objects are included in the fluid using this measure?The results are described in the five chapters of the thesis:– the first one gives a mathematical framework in order to prove the existence of the shape derivatives oforder one and two in the frame of the detection of inclusions;– the second one analyzes the detection problem using geometric shape optimization: an identifiabilityresult is proved, the shape gradient of several shape functionals is characterized and the instability of thisinverse problem is proved;– the chapter 3 uses our theoretical results in order to reconstruct numerically some objets immersed in a fluid using a shape gradient algorithm;– the fourth chapter analyzes the detection of small inclusions in a fluid using the topological shape optimization : the topological gradient of a Kohn-Vogelius shape functional is characterized;– the last chapter uses this theoretical expression in order to determine numerically the number and the location of some small obstacles immersed in a fluid using a topological gradient algorithm.