Depuis le milieu des années 1980, les variétés abéliennes ont été abondamment utilisées en cryptographie à clé publique: le problème du logarithme discret et les protocoles qui s'appuient sur celles-ci permettent le chiffrement asymétrique, la signature, l'authentification. Dans cette perspective, les jacobiennes de courbes hyperelliptiques constituent l'un des exemples les plus intéressants de variétés abéliennes principalement polarisées. L'utilisation des fonctions thêta permet d'avoir des algorithmes efficaces sur ces variétés. En particulier nous proposons dans cette thèse une variante de l'algorithme ECM utilisant les jacobiennes de courbes de genre 2 décomposables. Par ailleurs, nous étudions les correspondances entre les coordonnées de Mumford et les fonctions thêta. Ce travail a permis la construction de lois d'additions complètes en genre 2. Finalement nous présentons un algorithme de calcul d'isogénies entre variétés abéliennes. La majorité des résultats de cette thèse sont valides pour des courbes hyperelliptiques de genre quelconque. Nous nous sommes cependant concentré sur le cas du genre 2, le plus intéressant en pratique. Ces résultats ont été implémentés dans un package Magma appelé AVIsogenies.

Blasius et Rogawski ont formulé une conjecture qui prévoit que l'action du Frobenius sur la cohomologie d'une variété de Shimura est annulée par un certain polynôme, à coefficients dans l'algèbre de Hecke. C'est l'analogue de la célèbre relation d'Eichler-Shimura pour la courbe modulaire. Dans cette thèse, on démontre cette conjecture pour les variétés de Shimura associées aux groupes unitaires en signature (n-1,1) quand n est impair. Par ailleurs, on étudie certains aspects dans le cas particulier n=3. On montre explicitement la relation de congruence sur le lieu ordinaire. De plus, on étudie le graphe des cristaux supersinguliers et les relèvements d'isogénies en caractéristique nulle.

Blasius et Rogawski ont formulé une conjecture qui prévoit que l'action du Frobenius sur la cohomologie d'une variété de Shimura est annulée par un certain polynôme, à coefficients dans l'algèbre de Hecke. C'est l'analogue de la célèbre relation d'Eichler-Shimura pour la courbe modulaire. Dans cette thèse, on démontre cette conjecture pour les variétés de Shimura associées aux groupes unitaires en signature (n-1,1) quand n est impair. Par ailleurs, on étudie certains aspects dans le cas particulier n=3. On montre explicitement la relation de congruence sur le lieu ordinaire. De plus, on étudie le graphe des cristaux supersinguliers et les relèvements d'isogénies en caractéristique nulle.

Blasius et Rogawski ont formulé une conjecture qui prévoit que l'action du Frobenius sur la cohomologie d'une variété de Shimura est annulée par un certain polynôme, à coefficients dans l'algèbre de Hecke. C'est l'analogue de la célèbre relation d'Eichler-Shimura pour la courbe modulaire. Dans cette thèse, on démontre cette conjecture pour les variétés de Shimura associées aux groupes unitaires en signature (n-1,1) quand n est impair. Par ailleurs, on étudie certains aspects dans le cas particulier n=3. On montre explicitement la relation de congruence sur le lieu ordinaire. De plus, on étudie le graphe des cristaux supersinguliers et les relèvements d'isogénies en caractéristique nulle. / Blasius and Rogawski have stated a conjecture saying that the action of the Frobenius element on the cohomology of a Shimura variety is annihilated by some polynomial with coefficients in the Hecke algebra. This is the analogue of the Eichler-Shimura congruence relation for the modular curve. In this thesis, we prove this conjecture for Shimura varieties associated to unitary groups in signature (n-1,1) when n is odd. We also investigate some particular aspects in the case n=3. We explicitely show the congruence relation on the ordinary locus. Further, we study the graph of supersingular Dieudonné crystals and liftings of isogenies to characteristic zero.

Le polynôme caractéristique d'une variété abélienne sur un corps fini est défini comme étant celui de son endomorphisme de Frobenius. La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude des polynômes caractéristiques de variétés abéliennes de petite dimension. Nous décrivons l'ensemble des polynômes intervenant en dimension 3 et 4, le problème analogue pour les courbes elliptiques et surfaces abéliennes ayant été résolu par Deuring, Waterhouse et Rück.Dans la deuxième partie, nous établissons des bornes supérieures et inférieures sur le nombre de points rationnels des variétés abéliennes sur les corps finis. Nous donnons ensuite des bornes inférieures spécifiques aux variétés jacobiennes. Nous déterminons aussi des formules exactes pour les nombres maximum et minimum de points rationnels sur les surfaces jacobiennes. / The characteristic polynomial of an abelian variety over a finite field is defined to be the characteristic polynomial of its Frobenius endomorphism. The first part of this thesis is devoted to the study of the characteristic polynomials of abelian varieties of small dimension. We describe the set of polynomials which occur in dimension 3 and 4; the analogous problem for elliptic curves and abelian surfaces has been solved by Deuring, Waterhouse and Rück.In the second part, we give upper and lower bounds on the number of points on abelian varieties over finite fields. Next, we give lower bounds specific to Jacobian varieties. We also determine exact formulas for the maximum and minimum number of points on Jacobian surfaces.

Le logarithme discret sur les courbes elliptiques fournit la panoplie standard de la cryptographie à clé publique: chiffrement asymétrique, signature, authentification. Son extension à des courbes hyperelliptiques de genre supérieur se heurte à la difficulté de construire de telles courbes qui soient sécurisées. Dans cette thèse nous utilisons la théorie des fonctions thêta développée par Mumford pour construire des algorithmes efficaces pour manipuler les variétés abéliennes. En particulier nous donnons une généralisation complète des formules de Vélu sur les courbes elliptiques pour le calcul d'isogénie sur des variétés abéliennes. Nous donnons également un nouvel algorithme pour le calcul efficace de couplage sur les variétés abéliennes en utilisant les coordonnées thêta. Enfin, nous présentons une méthode de compression des coordonnées pour améliorer l'arithmétique sur les coordonnées thêta de grand niveau. Ces applications découlent d'une analyse fine des formules d'addition sur les fonctions thêta. Si les résultats de cette thèse sont valables pour toute variété abélienne, pour les applications nous nous concentrons surtout sur les jacobienne de courbes hyperelliptiques de genre~$2$, qui est le cas le plus significatif cryptographiquement. / The discrete logarithm on elliptic curves give the standard protocols in public key cryptography: asymmetric encryption, signatures, ero-knowledge authentification. To extends the discrete logarithm to hyperelliptic curves of higher genus we need efficient methods to generate secure curves. The aim of this thesis is to give new algorithms to compute with abelian varieties. For this we use the theory of algebraic theta functions in the framework of Mumford. In particular, we give a full generalization of Vélu's formulas for the computation of isogenies on abelian varieties. We also give a new algorithm for the computation of pairings using theta coordinates. Finally we present a point compression method to manipulate These applications follow from the analysis of Riemann relations on theta functions for the addition law. If the results of this thesis are valid for any abelian variety, for the applications a special emphasis is given to Jacobians of hyperelliptic genus~$2$ curves, since they are the most significantly relevant case in cryptography.

La conjecture d'André-Pink affirme qu'une sous-variété d'une variété de Shimura ayant une intersection dense avec une orbite de Hecke est faiblement spéciale. On démontre cette conjecture dans le cas de courbes dans une variété de Shimura de type abélien, ainsi que dans certains cas de sous-variétés de dimension supérieure. Ceci est un cas spécial de la conjecture de Zilber-Pink. C'est une généralisation de théorèmes d'Edixhoven et Yafaev quand l'orbite de Hecke se compose de points spéciaux, de Pink quand l'orbite de Hecke se compose de points Galois génériques, et de Habegger et Pila quand la variété de Shimura est un produit de courbes modulaires. Notre démonstration de la conjecture d'André-Pink pour les courbes dans l'espace de modules des variétés abéliennes principalement polarisées est basée sur la méthode de Pila et Zannier, utilisant une variante forte du théorème de comptage de Pila-Wilkie. On obtient les bornes galoisiennes requises grâce au théorème d'isogénie de Masser et Wüstholz. Afin de relier les bornes sur les isogénies aux hauteurs, on démontre également diverses bornes concernant l'arithmétique des formes hermitiennes sur l'anneau d'endomorphismes d'une variété abélienne. Afin d'étendre le résultat sur la conjecture d'André-Pink aux courbes dans les variétés de Shimura de type abélien et à certains cas de sous-variétés de dimension supérieure, on étudie les propriétés fonctorielles de plusieurs variantes des orbites de Hecke. Un chapitre concerne les rangs des groupes de Mumford-Tate de variétés abéliennes complexes. On y démontre une minoration de ces rangs en fonction de la dimension de la variété abélienne, étant donné que ses sous-variétés abéliennes simples sont deux à deux non isogènes. / The André-Pink conjecture predicts that a subvariety of a Shimura variety which has dense intersection with a Hecke orbit is weakly special. We prove this conjecture for curves in a Shimura variety of abelian type, as well as for certain cases for subvarieties of higher dimension. This is a special case of the Zilber-Pink conjecture. It generalises theorems of Edixhoven and Yafaev when the Hecke orbit consists of special points, of Pink when the Hecke orbit consists of Galois generic points, and of Habegger and Pila when the Shimura variety is a product of modular curves. Our proof of the André-Pink conjecture for curves in the moduli space of principally polarised abelian varieties is based on the Pila-Zannier method, using a strong form of the Pila-Wilkie counting theorem. The necessary Galois bounds are obtained from the Masser-Wüstholz isogeny theorem. In order to relate isogeny bounds to heights, we also prove various bounds concerning the arithmetic of Hermitian forms over the endomorphism ring of an abelian variety. In order to extend the result on the André-Pink conjecture to curves in Shimura varieties of abelian type and to some cases of higher-dimensional subvarieties, we study the functorial properties of Hecke orbits and variations thereof. One chapter concerns the ranks of Mumford-Tate groups of complex abelian varieties. We prove a lower bound for these ranks in terms of the dimension of the abelian variety, subject to the condition that the simple abelian subvarieties are pairwise non-isogenous.

Dans cette thèse nous étudions deux problèmes dans le domaine de la géométrie arithmétique, concernant respectivement les points de torsion des variétés abéliennes et le polylogarithme motivique sur les schémas abéliens. La conjecture de Manin-Mumford (démontrée par Raynaud en 1983) affirme que si A est une variété abélienne et X est une sous-variété de A ne contenant aucune translatée d'une sous-variété abélienne de A, alors X ne contient qu'un nombre fini de points de torsion de A. En 1996, Buium présenta une forme effective de la conjecture dans le cas des courbes. Dans cette thèse, nous montrons que l'argument de Buium peut être utilisé aussi en dimension supérieure pour prouver une version quantitative de la conjecture pour une classe de sous-variétés avec fibré cotangent ample étudiée par Debarre. Nous généralisons aussi à toute dimension un résultat sur la dispersion des relèvements p-divisibles non ramifiés obtenu par Raynaud dans le cas des courbes. En 2014, Kings and Roessler ont montré que la réalisation en cohomologie de Deligne analytique de la part de degré zéro du polylogarithme motivique sur les schémas abéliens peut être reliée aux formes de torsion analytique de Bismut-Koehler du fibré de Poincaré. Dans cette thèse, nous utilisons la théorie de l'intersection arithmétique dans la version de Burgos pour raffiner ce résultat dans le cas où la base du schéma abélien est propre. / In this thesis we approach two independent problems in the field of arithmetic geometry, one regarding the torsion points of abelian varieties and the other the motivic polylogarithm on abelian schemes. The Manin-Mumford conjecture (proved by Raynaud in 1983) states that if A is an abelian variety and X is a subvariety of A not containing any translate of an abelian subvariety of A, then X can only have a finite number of points that are of finite order in A. In 1996, Buium presented an effective form of the conjecture in the case of curves. In this thesis, we show that Buium's argument can be made applicable in higher dimensions to prove a quantitative version of the conjecture for a class of subvarieties with ample cotangent studied by Debarre. Our proof also generalizes to any dimension a result on the sparsity of p-divisible unramified liftings obtained by Raynaud in the case of curves. In 2014, Kings and Roessler showed that the realisation in analytic Deligne cohomology of the degree zero part of the motivic polylogarithm on abelian schemes can be described in terms of the Bismut-Koehler higher analytic torsion form of the Poincaré bundle. In this thesis, using the arithmetic intersection theory in the sense of Burgos, we give a refinement of Kings and Roessler's result in the case in which the base of the abelian scheme is proper.

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques questions soulévées par le théorème de Nesterenko sur l'indépendance algébrique de valeurs des séries d'Eisentein E₂, E₄, E₆. Elle est divisée en deux parties.Dans la première partie, constituée des deux premiers chapitres, on généralise les équations différentielles algébriques satisfaites par les séries d'Eisenstein qui se trouvent dans le coeur de la méthode de Nesterenko, les équations de Ramanujan. Ces généralisations, appélées 'équations de Ramanujan supérieures', sont obtenues géométriquement à partir de champs de vecteurs définis, de manière naturelle, sur certains espaces de modules de variétés abéliennes. Afin de justifier l'intérêt des équations de Ramanujan supérieures en théorie de transcendance, on montre aussi que les valeurs d'une solution particulière remarquable de ces équations sont liées aux 'périodes' de variétés abéliennes.Dans la deuxième partie (troisième chapitre), on étudie la méthode de Nesterenko per se. On établit un énoncé géométrique, contenant le théorème de Nesterenko, sur la transcendance de valeurs d'applications holomorphes d'un disque vers une variété quasi-projective sur $overline{mathbf{Q}}$ définies comme des courbes intégrales d'un champ de vecteurs. Ces applications doivent aussi satisfaire une propriété d'intégralité, ainsi qu'une condition de croissance et une forme renforcée de la densité de Zariski, conditions qui sont naturelles pour des courbes intégrales de champs de vecteurs. / This thesis is devoted to the study of some questions motivated by Nesterenko's theorem on the algebraic independence of values of Eisenstein series E₂, E₄, E₆. It is divided in two parts.In the first part, comprising the first two chapiters, we generalize the algebraic differential equations satisfied by Eisenstein series that lie in the heart of Nesterenko's method, the Ramanujan equations. These generalizations, called 'higher Ramanujan equations', are obtained geometrically from vector fields naturally defined on certain moduli spaces of abelian varieties. In order to justify the interest of the higher Ramanujan equations in Transcendence Theory, we also show that values of a remarkable particular solution of these equations are related to 'periods' of abelian varieties.In the second part (third chapter), we study Nesterenko's method per se. We establish a geometric statement, containing the theorem of Nesterenko, on the transcendence of values of holomorphic maps from a disk to a quasi-projective variety over $overline{mathbf{Q}}$ defined as integral curves of some vector field. These maps are required to satisfy some integrality property, besides a growth condition and a strong form of Zariski-density that are natural for integral curves of algebraic vector fields.

Cette thèse porte sur des questions liées à la conjecture de parité. On démontre la conjecture de p-parité pour un certain twist d'une courbe elliptique sur un corps local. On en déduit des résultats globaux d'invariance de la conjecture de p-parité (pour une courbe elliptique) par certaines extensions. Avec l'objectif de généraliser les résultats précédents, on démontre une formule pour les signes locaux des représentations essentiellement symplectiques et modérément ramifiées du groupe de Weil. Cette formule généralise celle, déjà connue, pour les courbes elliptiques ayant potentiellement bonne réduction. Finalement, on fait un premier pas vers la généralisation escomptée en comparant les nombres de Tamagawa et les constantes de régulation pour certains prémotifs.