On s'intéresse dans cette thèse au modèle de la marche aléatoire branchante, un système de particules qui évoluent au court du temps en se déplaçant et se reproduisant de façon indépendante. Le but est d'étudier le rythme auquel ces particules se déplacent, dans deux variantes particulières de marches aléatoires branchantes. Dans la première variante, la façon dont les individus se déplacent et se reproduisent dépend du temps. Ce modèle a été introduit par Fang et Zeitouni en 2010. Nous nous intéresserons à trois types de dépendance en temps : une brusque modification du mécanisme de reproduction des individus après un temps long ; une lente évolution de ce mécanisme à une échelle macroscopique ; et des fluctuations aléatoires à chaque génération. Dans la seconde variante, le mécanisme de reproduction est constant, mais les individus subissent un processus de sélection darwinien. La position d'un individu est interprétée comme son degré d'adaptation au milieu, et le déplacement d'un enfant par rapport à son parent représente l'héritage des gènes. Dans un tel processus, la taille maximale de la population est fixée à une certaine constante N, et à chaque étape, seuls les N plus à droite sont conservés. Ce modèle a été introduit par Brunet, Derrida, Mueller et Munier, et étudié par Bérard et Gouéré en 2010. Nous nous sommes intéressés dans un premier temps à une variante de ce modèle, qui autorise quelques grands sauts. Dans un second temps, nous avons considéré que la taille totale N de la population dépend du temps. / In this thesis, we take interest in the branching random walk, a particles system, in which particles move and reproduce independently. The aim is to study the rhythm at which these particles invade their environment, a quantity which often reveals information on the past of the extremal individuals. We take care of two particular variants of branching random walk, that we describe below.In the first variant, the way individuals behave evolves with time. This model has been introduced by Fang and Zeitouni in 2010. This time-dependence can be a slow evolution of the reproduction mechanism of individuals, at macroscopic scale, in which case the maximal displacement is obtained through the resolution of a convex optimization problem. A second kind of time-dependence is to sample at random, at each generation, the way individuals behave. This model has been introduced and studied in an article in collaboration with Piotr Mi\l{}os.In the second variant, individuals endure a Darwinian selection mechanism. The position of an individual is understood as its fitness, and the displacement of a child with respect to its parent is associated to the process of heredity. In such a process, the total size of the population is fixed to some integer N, and at each step, only the N fittest individuals survive. This model was introduced by Brunet, Derrida, Mueller and Munier. In a first time, we took interest in a mechanism of reproduction which authorises some large jumps. In the second model we considered, the total size N of the population may depend on time.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Les fichiers qui accompagnent mon document ont été réalisés avec le logiciel Latex et les simulations ont été réalisés par Splus(R). / Dans ce mémoire, nous travaillons sur une méthode de simulation de Monte-Carlo qui utilise des variables antithétiques pour estimer un intégrale de la fonction f(x) sur un intervalle (0,1] où f peut être une fonction monotone, non-monotone ou une autre fonction difficile à simuler. L'idée principale de la méthode qu'on propose est de subdiviser l'intervalle (0,1] en m sections dont chacune est subdivisée en l sous intervalles. Cette technique se fait en plusieurs étapes et à chaque fois qu'on passe à l'étape supérieure la variance diminue. C'est à dire que la variance obtenue à la kième étape est plus petite que celle trouvée à la (k-1)ième étape ce qui nous permet également de rendre plus petite l'erreur d’estimation car l'estimateur de l'intégrale de f(x) sur [0,1] est sans biais. L'objectif est de trouver m, le nombre optimal de sections, qui permet de trouver cette diminution de la variance. / In this master thesis, we consider simulation methods based on antithetic variates for estimate integrales of f(x) on interval (0,1] where f is monotonic function, not a monotonic function or a function difficult to integrate. The main idea consists in subdividing the (0,1] in m sections of which each one is subdivided in l subintervals. This method is done recursively. At each step the variance decreases, i.e. The variance obtained at the kth step is smaller than that is found at the (k-1)th step. This allows us to reduce the error in the estimation because the estimator of integrales of f(x) on interval [0,1] is unbiased. The objective is to optimize m.

Cette thèse se consacre à l'étude de théorèmes limites pour des suites de variables aléatoires stationnaires (en particulier issues d'un système dynamique). Nous nous concentrons sur deux résultats importants, notamment par leurs applications en statistiques. Nous étudions tout d'abord le comportement limite des sommes de variables aléatoires, plus précisément le théorème limite central et son principe d'invariance. Ensuite nous considérons le principe d'invariance pour les processus empiriques.<br />Dans le cadre du principe d'invariance faible de Donsker, plusieurs résultats s'obtiennent au travers d'approximations par des martingales et plus généralement par des critères projectifs. Nous comparons quatre de ces critères et montrons leur indépendance mutuelle. Les critères étudiés sont la décomposition martingale-cobord (Gordin, 1969), la condition de Hannan (1979), le critère de Dedecker et Rio (2000) et<br />la condition de Maxwell et Woodroofe (2000).<br />En ce qui concerne le comportement asymptotique des processus empiriques, nous établissons un principe d'invariance dans le cas des automorphismes du tore. Cela permet de sortir du cadre hyperbolique connu et d'obtenir un premier résultat pour une transformation partiellement hyperbolique.<br />Nous proposons également une nouvelle approche, basée sur des méthodes d'opérateurs, permettant d'établir un principe d'invariance empirique. Cette méthode s'applique en particulier aux cas où l'on a de bonnes propriétés pour une classe de fonctions ne contenant pas les fonctions indicatrices. C'est en particulier le cas de certains systèmes dynamiques dont l'opérateur de transfert admet un trou spectral.<br />En dernier lieu, suivant une question de Burton et Denker (1987), nous nous intéressons à la classe des processus pour lesquels le théorème limite central a lieu. En référence au cadre des processus empiriques, nous étudions en particulier les suites de sommes partielles des itérées d'une fonction indicatrice.

Dans ce mémoire, nous travaillons sur une méthode de simulation de Monte-Carlo qui utilise des variables antithétiques pour estimer un intégrale de la fonction f(x) sur un intervalle (0,1] où f peut être une fonction monotone, non-monotone ou une autre fonction difficile à simuler. L'idée principale de la méthode qu'on propose est de subdiviser l'intervalle (0,1] en m sections dont chacune est subdivisée en l sous intervalles. Cette technique se fait en plusieurs étapes et à chaque fois qu'on passe à l'étape supérieure la variance diminue. C'est à dire que la variance obtenue à la kième étape est plus petite que celle trouvée à la (k-1)ième étape ce qui nous permet également de rendre plus petite l'erreur d’estimation car l'estimateur de l'intégrale de f(x) sur [0,1] est sans biais. L'objectif est de trouver m, le nombre optimal de sections, qui permet de trouver cette diminution de la variance. / In this master thesis, we consider simulation methods based on antithetic variates for estimate integrales of f(x) on interval (0,1] where f is monotonic function, not a monotonic function or a function difficult to integrate. The main idea consists in subdividing the (0,1] in m sections of which each one is subdivided in l subintervals. This method is done recursively. At each step the variance decreases, i.e. The variance obtained at the kth step is smaller than that is found at the (k-1)th step. This allows us to reduce the error in the estimation because the estimator of integrales of f(x) on interval [0,1] is unbiased. The objective is to optimize m. / Les fichiers qui accompagnent mon document ont été réalisés avec le logiciel Latex et les simulations ont été réalisés par Splus(R).

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