Ce document présente une synthèse des travaux de recherche effectués par l'auteur depuis 2000 au Massachusetts Institute Of Technology(MIT) puis à l'École Polytechnique Fédérale de Lausanne(EPFL). Ces travaux sont essentiellement axés sur les méthodes de bases réduites avec bornes d'erreur permettant la prédiction rapide et fiable de quantités issues de solutions d'équations aux dérivées partielles. L'implémentation de ces méthodes est complexe et l'auteur a également proposé et développé des outils innovants afin de tirer profit de celles-ci à moindre coût en termes de développement. cours et perspectives de recherche. Par ailleurs, ce document présente quelques travaux en cours et perspectives de recherche.

ON S'INTERESSE A UNE CLASSE D'INEQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES, ASSOCIEES A UN PROBLEME D'OBSTACLE ET DEPENDANT D'UN PARAMETRE LAMBDA : A(A,V-U) >OU= SOM::(OMEGA )LAMBDA F(U)(V-U)DX POUR TOUT V APPARTIENT A K, U APPARTIENT A K=(W APPARTIENT A H::(0)**(1)(OMEGA )/W OU= PSI P.P. SUR OMEGA ). UNE TELLE INEQUATION ADMET AU MOINS UNE BRANCHE DE SOLUTIONS EQUATION ET UNE BRANCHE DE SOLUTIONS INEQUATIONS. ON CHERCHE A CONNAITRE LA STRUCTURE LOCALE DES BRANCHES INEQUATIONS. GRACE A UN PROCESSUS DE LINEARISATION "CONIQUE" ON CLASSE LES POINTS DE LA BRANCHE INEQUATION EN POINTS REGULIERS OU SINGULIERS. AU VOISINAGE D'UN POINT REGULIER, ON MONTRE QUE LES SOLUTIONS ADMETTENT UN DEVELOPPEMENT SELON LAMBDA . PUIS ON ETUDIE LE COMPORTEMENT LOCAL DES SOLUTIONS AU VOISINAGE D'UN POINT SINGULIER VERIFIANT CERTAINES HYPOTHESES, QUI SONT A RAPPROCHER DE CELLES FAITES POUR LES EQUATIONS ET QUI ASSURENT QU'ON A DU POINT DE RETOURNEMENT. ON MONTRE QUE, DANS CERTAINS CAS, IL EXISTE UN TEL POINT SINGULIER, SUR LA BRANCHE DE SOLUTIONS MAXIMALES. LES BRANCHES EQUATIONS ET INEQUATIONS SONT RELIEES PAR UN POINT APPELE POINT DE TRANSITION. ON FAIT UNE ETUDE PLUS FINE AU VOISINAGE DE CE POINT. UNE ETUDE DES DIVERSES CONDITIONS INTRODUITES POUR L'ETUDE LOCALE, MONTRE QU'ELLES SONT FORTEMENT LIEES A UNE CONDITION TYPE STABILITE. ILLUSTRATION NUMERIQUE SUR QUELQUES PROBLEMES D'OBSTACLE

Cette thèse porte sur l'étude des ondes stationnaires d'équations dispersives non linéaires, en particulier l'équation de Schrödinger, mais aussi celle de Klein-Gordon. Les travaux présentés s'articulent autour de deux questions principales : l'existence et la stabilité orbitale de ces ondes stationnaires. <br /><br />L'existence est étudiée par des méthodes essentiellement variationnelles. En plus de la simple existence, on met en évidence différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, par exemple en tant que points critiques d'une certaine fonctionnelle au niveau du col ou au niveau de moindre énergie, ou encore en tant que minimiseurs d'une fonctionnelle sur différentes contraintes.<br /><br />Selon la puissance de la non-linéarité et la forme de la dépendance en espace, on démontre que les ondes stationnaires sont stables ou instables. Lorsqu'elles sont instables, on met en évidence que dans certaines situations l'instabilité se manifeste par explosion, tandis que dans d'autres les solutions sont globalement bien posées. En plus des différentes caractérisations variationnelles des <br />ondes stationnaires, les preuves des résultats de stabilité et d'instabilité nécessitent de dériver des informations de nature spectrale. En particulier, dans la première partie de cette thèse, on prouve un résultat de non-dégénérescence du linéarisé pour un problème limite. Dans la deuxième partie, on localise la deuxième valeur propre du linéarisé par la combinaison d'une méthode perturbative et d'arguments de continuation.

Ce travail porte principalement sur l'étude mathématique de méthodes numériques<br />pour l'homogénéisation de fonctionnelles intégrales utilisées en élasticité non linéaire. Ces mé-<br />thodes couplent, au niveau mésoscopique, un matériau hyperélastique hétérogène ou un réseau de<br />liens en interaction, avec, au niveau macroscopique, un modèle d'élasticité non linéaire. La loi de<br />constitution macroscopique est obtenue par la résolution de problèmes mésoscopiques, continus ou<br />discrets. Aux chapitres 1, 2 et 3 on introduit les modèles mécaniques et les outils mathématiques et<br />numériques utilisés par la suite. Aux chapitres 5, 6 et 7, on présente une méthode directe de réso-<br />lution numérique du comportement homogénéisé d'un matériau composite périodique en grandes<br />déformations et un cadre général pour l'analyse des méthodes d'homogénéisation numérique. On<br />démontre notamment la convergence de méthodes numériques classiques sous des hypothèses gé-<br />nérales ainsi qu'un résultat de correcteur numérique. On étend enfin les résultats au couplage avec<br />des méthodes de sur-échantillonnage. Aux chapitres 8, 9 et 10, nous considérons une modélisation<br />mésoscopique par un système discret. Nous étudions d'abord un problème de G-fermeture pour un<br />réseau de résistances. Au chapitre suivant nous démontrons un résultat de représentation intégrale<br />pour l'énergie d'un système de spins en interaction. Enfin, nous dérivons un modèle hyperélastique<br />continu à partir d'un réseau stochastique de points en interaction, et l'appliquons pour démontrer<br />la convergence de modèles discrets développés en mécanique. Dans une dernière partie, chapitre 11,<br />nous présentons une nouvelle méthode numérique pour résoudre des problèmes d'interaction fluide<br />structure, où la structure est décrite par une coque tridimensionnelle.

Nous étudions quelques applications du contrôle stochastique aux options réelles et au risque de liquidité. Plus précisément, dans la première partie, nous nous intéressons à un problème de sélection du portefeuille optimal sous un modèle de risque de liquidité, puis dans la deuxième partie, à deux options réelles: un problème de changement de régime et un problème couplé de contrôle singulier et de changement de régime pour une politique de dividende avec investissement réversible, et enfin, dans la dernière partie, à l'existence d'un équilibre dans un marché compétitif sous asymétrie d'information. Dans la résolution de ces problèmes, surtout dans les deux premières parties, des techniques de contrôle stochastique seront utilisées. L'approche typique consiste à exprimer le principe de la programmation dynamique lié à chaque problématique afin d'obtenir une caractérisation par EDP des fonctions de valeur. Par cette approche, nous montrons, dans le problème de risque de liquidité et les deux options réelles, que les fonctions de valeur correspondantes sont l'unique solution du système d'inégalités variationnelles d'HJB associé. Dans chaque problème des deux premières parties, on peut obtenir les solutions, en particulier les contrôles optimaux, soit d'une manière explicite, soit par une méthode itérative.

L'imagerie par résonance magnétique fonctionnelle (IRMf) est une technique non invasive permettant l'étude de l'activité cérébrale au travers des changements hémodynamiques associés. Récemment, une technique de détection-estimation conjointe (DEC) a été développée permettant d'alterner (1) la détection de l'activité cérébrale induite par une stimulation ainsi que (2) l'estimation de la fonction de réponse hémodynamique caractérisant la dynamique vasculaire; deux problèmes qui sont généralement traités indépendamment. Cette approche considère une parcellisation a priori du cerveau en zones fonctionnellement homogènes et alterne (1) et (2) sur chacune d'entre elles séparément. De manière standard, l'analyse DEC suppose que le cerveau entier peut être activé par tous les types de stimuli (visuel, auditif, etc.). Cependant la spécialisation fonctionnelle des régions cérébrales montre que l'activité d'une région n'est due qu'à certains types de stimuli. La prise en compte de stimuli non pertinents dans l'analyse, peut dégrader les résultats. La sous-famille des types de stimuli pertinents n'étant pas la même à travers le cerveau une procédure de sélection de modèles serait très coûteuse en temps de calcul. De plus, une telle sélection a priori n'est pas toujours possible surtout dans les cas pathologiques. Ce travail de thèse propose une extension de l'approche DEC permettant la sélection automatique des conditions (types de stimuli) pertinentes selon l'activité cérébrale qu'elles suscitent, cela simultanément à l'analyse et adaptativement à travers les régions cérébrales. Des exemples d'analyses sur des jeux de données simulés et réels, illustrent la capacité de l'approche DEC parcimonieuse proposée à sélectionner les conditions pertinentes ainsi que son intérêt par rapport à l'approche DEC standard.

Ce travail est dédié à l'étude des inégalités de type Landau-Kolmogorov en normes L2. Les mesures utilisées sont celles d'Hermite, de Laguerre-Sonin et de Jacobi. Ces inégalités sont obtenues en utilisant une méthode variationnelle. Elles font intervenir la norme d'un polynômes p et celles de ces dérivées. Dans un premier temps, on s'intéresse aux inégalités en une variable réelle qui font intervenir un nombre quelconque de normes. Les constantes correspondantes sont prises dans le domaine où une certaine forme bilinéaire est définie positive. Ensuite, on généralise ces résultats aux polynômes à plusieurs variables réelles en utilisant le produit tensoriel dans L2 et en faisant intervenir au plus les dérivées partielles secondes. Pour les mesures d'Hermite et de Laguerre-Sonin, ces inégalités sont étendues à toutes les fonctions d'un espace de Sobolev. Pour la mesure de Jacobi on donne des inégalités uniquement pour les polynômes d'un degré fixé par rapport à chaque variable.

Cette thèse traite de la reconstruction 3D par stéréophotométrie, qui consiste à utiliser plusieurs photographies d'une scène prises sous le même angle, mais sous différents éclairages. Nous nous intéressons dans un premier temps à des techniques robustes pour l'estimation des normales à la surface, et pour leur intégration en une carte de profondeur. Nous étudions ensuite deux situations où le problème est mal posé : lorsque les éclairages sont inconnus, ou lorsque seuls deux éclairages sont utilisés. La troisième partie est consacrée à l'étude de modèles plus réalistes, à la fois en ce qui concerne les éclairages et la réflectance de la surface. Ces trois premières parties nous amènent aux limites de la formulation classique de la stéréophotométrie : nous introduisons finalement, dans la partie 4, une reformulation variationnelle et différentielle du problème qui permet de dépasser ces limites. / This thesis tackles the photometric stereo problem, a 3D-reconstruction technique consisting in taking several pictures of a scene under different lightings. We first focus on robust techniques for estimating the normals to the surface, and for integrating these normals into a depth map. Then, we study two situations where the problem is ill-posed: when lightings are unknown and when only two images are used. Part 3 is devoted to more realistic models, in terms of lightings and of surface reflectance. These first three parts bring us to the limits of the usual formulation of photometric stereo: we eventually introduce in Part 4 a variational and differential reformulation of this problem which allows us to overcome these limits.

Cette thèse porte sur l’homogénéisation quantitative d’équations aux dérivées partielles paraboliques, et de problèmes elliptiques discrets. Dans l’introduction, nous voyons comment de tels problèmes, même lorsque les coefficients sont déterministes, résultent d’un modèle aléatoire. Nous donnons ensuite une notion de ce qu’est l’homogénéisation : que se passe-t-il lorsque les coefficients eux-mêmes sont aléatoires, est-il possible de considérer qu’un environnement présentant des inhomogénéités sur de très petites échelles, se comporte d’une manière proche d’un environnement fictif qui serait homogène ?Nous donnons ensuite une interprétation de cette question en terme de marche aléatoire en conductances aléatoires, puis donnons une idée des outils utilisés dans les preuves des deux chapitres suivants. Dans le chapitre II, nous démontrons un résultat d’homogénéisation quantitative pour une équation parabolique – l’équation de la chaleur par exemple – dans un environnement admettant des coefficients aléatoires et dépendant du temps. La méthode utilisée consiste à considérer les solutions d’un tel problème comme optimiseurs de fonctionnelles qui seront définies au préalable, puis d’utiliser la propriété cruciale de sous-additivité de ces quantités, afin d’en déduire une convergence puis un résultat de concentration, qui permettra d’en déduire une vitesse de convergence des solutions vers la solution du problème homogénéisé, Dans le chapitre III, nous adaptons ces méthodes pour un problème elliptique sur le graphe Zd. / This thesis deals with quantitative stochastic homogenization of parabolic partial differential equations, and discrete elliptic problems. In the introduction, we see how can such problems come from random models, even when the coefficients are deterministic. Then, we introduce homogenization : what happen if the coefficients themselves are random ? Could we consider that an environment with microscopical random heterogeneities behaves, at big scale, as a fictious deterministic homogeneous environment ? Then, we give a random walk in random environment interpretation and the sketch of the proofs in the two following chapters. In chapter II, we prove a quantitative homogenization result for parabolic PDEs, such as heat equation, in environment admitting time and space dependent coefficients. The method of the proof consists in considering solutions of such problems as minimizers of variational problems. The first step is to express solutions as minimizers, and then to use the capital property of subadditivity of the corresponding quantities, in order to deduce convergence and concentration result. From that, we deduce a rate of convergence of the actual solutions to the homogenized solution. In chapter III, we adapt these methods to a discrete elliptic problem on the lattice Zd.

Cette thèse traite de problèmes liés à la couleur. En particulier, on s’intéresse à des problématiques communes à la colorisation d’images, de vidéos et au rehaussement de contraste. Si on considère qu’une image est composée de deux informations complémentaires, une achromatique (sans couleur) et l’autre chromatique (en couleur), les applications étudiées consistent à traiter une de ces deux informations en préservant sa complémentaire. En colorisation, la difficulté est de calculer une image couleur en imposant son niveau de gris. Le rehaussement de contraste vise à modifier l’intensité d’une image en préservant sa teinte. Ces problématiques communes nous ont conduits à étudier formellement la géométrie de l’espace RGB. On a démontré que les espaces couleur classiques de la littérature pour résoudre ces types de problème conduisent à des erreurs. Un algorithme, appelé spécification luminance-teinte, qui calcule une couleur ayant une teinte et une luminance données est décrit dans cette thèse. L’extension de cette méthode à un cadre variationnel a été proposée. Ce modèle a été utilisé avec succès pour rehausser les images couleur, en utilisant des hypothèses connues sur le système visuel humain. Les méthodes de l’état-de-l’art pour la colorisation d’images se divisent en deux catégories. La première catégorie regroupe celles qui diffusent des points de couleurs posés par l’utilisateur pour obtenir une image colorisée (colorisation manuelle). La seconde est constituée de celles qui utilisent une image couleur de référence ou une base d’images couleur et transfèrent les couleurs de la référence sur l’image en niveaux de gris (colorisation basée exemple). Les deux types de méthodes ont leurs avantages et inconvénients. Dans cette thèse, on propose un modèle variationnel pour la colorisation basée exemple. Celui-ci est étendu en une méthode unifiant la colorisation manuelle et basée exemple. Enfin, nous décrivons des modèles variationnels qui colorisent des vidéos tout en permettent une interaction avec l’utilisateur. / This thesis deals with problems related to color. In particular, we are interested inproblems which arise in image and video colorization and contrast enhancement. When considering color images composed of two complementary information, oneachromatic (without color) and the other chromatic (in color), the applications studied in this thesis are based on the processing one of these information while preserving its complement. In colorization, the challenge is to compute a color image while constraining its gray-scale channel. Contrast enhancement aims to modify the intensity channel of an image while preserving its hue.These joined problems require to formally study the RGB space geometry. In this work, it has been shown that the classical color spaces of the literature designed to solve these classes of problems lead to errors. An novel algorithm, called luminance-hue specification, which computes a color with a given hue and luminance is described in this thesis. The extension of this method to a variational framework has been proposed. This model has been used successfully to enhance color images, using well-known assumptions about the human visual system. The state-of-the-art methods for image colorization fall into two categories. The first category includes those that diffuse color scribbles drawn by the user (manual colorization). The second consists of those that benefits from a reference color image or a base of reference images to transfer the colors from the reference to the grayscale image (exemplar-based colorization). Both approach have their advantages and drawbacks. In this thesis, we design a variational model for exemplar-based colorization which is extended to a method unifying the manual colorization and the exemplar-based one. Finally, we describe two variational models to colorize videos in interaction with the user.