In this thesis, we discuss the formulation of variational problems on supermanifolds. Supermanifolds incorporate bosonic as well as fermionic degrees of freedom. Fermionic fields take values in the odd part of an appropriate Grassmann algebra and are thus showing an anticommutative behaviour. However, a systematic treatment of these Grassmann parameters requires a description of spaces as functors, e.g. from the category of Grassmann algberas into the category of sets (or topological spaces, manifolds). After an introduction to the general ideas of this approach, we use it to give a description of the resulting supermanifolds of fields/maps. We show that each map is uniquely characterized by a family of differential operators of appropriate order. Moreover, we demonstrate that each of this maps is uniquely characterized by its component fields, i.e. by the coefficients in a Taylor expansion w.r.t. the odd coordinates. In general, the component fields are only locally defined. We present a way how to circumvent this limitation. In fact, by enlarging the supermanifold in question, we show that it is possible to work with globally defined components. We eventually use this formalism to study variational problems. More precisely, we study a super version of the geodesic and a generalization of harmonic maps to supermanifolds. Equations of motion are derived from an energy functional and we show how to decompose them into components. Finally, in special cases, we can prove the existence of critical points by reducing the problem to equations from ordinary geometric analysis. After solving these component equations, it is possible to show that their solutions give rise to critical points in the functor spaces of fields. / In dieser Dissertation wird die Formulierung von Variationsproblemen auf Supermannigfaltigkeiten diskutiert. Supermannigfaltigkeiten enthalten sowohl bosonische als auch fermionische Freiheitsgrade. Fermionische Felder nehmen Werte im ungeraden Teil einer Grassmannalgebra an, sie antikommutieren deshalb untereinander. Eine systematische Behandlung dieser Grassmann-Parameter erfordert jedoch die Beschreibung von Räumen durch Funktoren, z.B. von der Kategorie der Grassmannalgebren in diejenige der Mengen (der topologischen Räume, Mannigfaltigkeiten, ...). Nach einer Einführung in das allgemeine Konzept dieses Zugangs verwenden wir es um eine Beschreibung der resultierenden Supermannigfaltigkeit der Felder bzw. Abbildungen anzugeben. Wir zeigen, dass jede Abbildung eindeutig durch eine Familie von Differentialoperatoren geeigneter Ordnung charakterisiert wird. Darüber hinaus beweisen wir, dass jede solche Abbildung eineindeutig durch ihre Komponentenfelder, d.h. durch die Koeffizienten einer Taylorentwickelung bzgl. von ungeraden Koordinaten bestimmt ist. Im Allgemeinen sind Komponentenfelder nur lokal definiert. Wir stellen einen Weg vor, der diese Einschränkung umgeht: Durch das Vergrößern der betreffenden Supermannigfaltigkeit ist es immer möglich, mit globalen Koordinaten zu arbeiten. Schließlich wenden wir diesen Formalismus an, um Variationsprobleme zu untersuchen, genauer betrachten wir eine super-Version der Geodäte und eine Verallgemeinerung von harmonischen Abbildungen auf Supermannigfaltigkeiten. Bewegungsgleichungen werden von Energiefunktionalen abgeleitet und wir zeigen, wie sie sich in Komponenten zerlegen lassen. Schließlich kann in Spezialfällen die Existenz von kritischen Punkten gezeigt werden, indem das Problem auf Gleichungen der gewöhnlichen geometrischen Analysis reduziert wird. Es kann dann gezeigt werden, dass die Lösungen dieser Gleichungen sich zu kritischen Punkten im betreffenden Funktor-Raum der Felder zusammensetzt.

Für mikroskopische Teilchen, die sich durch eine überdämpfte Fockker-Planck-Gleichung beschreiben lassen, werden thermodynamische Größen definiert. Es wird ein Ausdruck für die irreversible Arbeit berechnet. Weiterhin wird ein Kreisprozess konstruiert und für diesen der Wirkungsrad am Punkt maximaler Leistung berechnet. Als Spezialfall wird dann ein Teilchen in einem harmonischen Potential betrachtet. Alle Ergebnisse stammen bereits aus einer Veröffentlichung, es werden jedoch hier alle Berechnungen angegeben.

Stuttgart, Univ., Diss., 2002.

Stuttgart, Univ., Diss., 2004.

Techn. Hochsch., Diss., 2003--Aachen.

The work in this thesis contains three main topics. These are the passage from discrete to continuous models by means of $\Gamma$-convergence, random as well as periodic homogenization and fracture enabled by non-convex Lennard-Jones type interaction potentials. Each of them is discussed in the following. We consider a discrete model given by a one-dimensional chain of particles with randomly distributed interaction potentials. Our interest lies in the continuum limit, which yields the effective behaviour of the system. This limit is achieved as the number of atoms tends to infinity, which corresponds to a vanishing distance between the particles. The starting point of our analysis is an energy functional in a discrete system; its continuum limit is obtained by variational $\Gamma$-convergence. The $\Gamma$-convergence methods are combined with a homogenization process in the framework of ergodic theory, which allows to focus on heterogeneous systems. On the one hand, composite materials or materials with impurities are modelled by a stochastic or periodic distribution of particles or interaction potentials. On the other hand, systems of one species of particles can be considered as random in cases when the orientation of particles matters. Nanomaterials, like chains of atoms, molecules or polymers, are an application of the heterogeneous chains in experimental sciences. A special interest is in fracture in such heterogeneous systems. We consider interaction potentials of Lennard-Jones type. The non-standard growth conditions and the convex-concave structure of the Lennard-Jones type interactions yield mathematical difficulties, but allow for fracture. The interaction potentials are long-range in the sense that their modulus decays slower than exponential. Further, we allow for interactions beyond nearest neighbours, which is also referred to as long-range. The main mathematical issue is to bring together the Lennard-Jones type interactions with ergodic theorems in the limiting process as the number of particles tends to infinity. The blow up at zero of the potentials prevents from using standard extensions of the Akcoglu-Krengel subadditive ergodic theorem. We overcome this difficulty by an approximation of the interaction potentials which shows suitable Lipschitz and Hölder regularity. Beyond that, allowing for continuous probability distributions instead of only finitely many different potentials leads to a further challenge. The limiting integral functional of the energy by means of $\Gamma$-convergence involves a homogenized energy density and allows for fracture, but without a fracture contribution in the energy. In order to refine this result, we rescale our model and consider its $\Gamma$-limit, which is of Griffith's type consisting of an elastic part and a jump contribution. In a further approach we study fracture at the level of the discrete energies. With an appropriate definition of fracture in the discrete setting, we define a fracture threshold separating the region of elasticity from that of fracture and consider the pointwise convergence of this threshold. This limit turns out to coincide with the one obtained in the variational $\Gamma$-convergence approach. / Diese Arbeit vereinigt im Wesentlichen drei Themen: Den Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen mittels $\Gamma$-Konvergenz, stochastische sowie periodische Homogenisierung, sowie Bruchmechanik, die durch nicht-konvexe Wechselwirkungspotentiale vom Lennard-Jones-Typ ermöglicht wird. Jedes dieser drei Themen wird im Folgenden diskutiert. Wir betrachten ein diskretes Modell, bestehend aus einer eindimensionale Kette von Teilchen mit zufällig verteilten Wechselwirkungspotentialen. Wir sind am Kontinuumsgrenzwert interessiert, welcher das effektive Verhalten des Systems widerspiegelt. In diesem Grenzwert läuft die Anzahl der Atome gegen unendlich, was einem verschwindenden Abstand zwischen den Teilchen entspricht. Ausgehend von einer Energie eines diskreten Systems erhalten wir den Kontinuumsgrenzwert durch die variationelle Methode der $\Gamma$-Konvergenz, welche den Übergang zum kontinuierlichen System liefert. Die $\Gamma$-Konvergenzmethoden werden im Rahmen der Ergodentheorie mit einem Homogenisierungsprozess kombiniert, wodurch die Betrachtung heterogener Systeme möglich wird. Einerseits werden Verbundwerkstoffe oder Materialien mit Verunreinigungen durch eine stochastische oder periodische Verteilung der Teilchen oder der Wechselwirkungspotentiale modelliert. Andererseits können Systeme einer Teilchenart als zufällig angesehen werden, wenn die Orientierung der Teilchen von Bedeutung ist. Nanomaterialien wie Ketten von Atomen, Molekülen oder Polymeren bieten eine Anwendung des Modells der heterogenen Ketten in den experimentellen Wissenschaften. Von besonderem Interesse ist das Auftreten von Brüchen in diesen heterogenen Systemen. Wir betrachten Wechselwirkungspotentiale vom Lennard-Jones Typ. Die nicht-standardisierten Wachstumsbedingungen und die konvex-konkave Struktur der Lennard-Jones Potentiale werfen mathematische Schwierigkeiten auf, ermöglichen jedoch das Auftreten von Brüchen. Die Wechselwirkungen gelten als langreichweitig in dem Sinne, dass ihr Betrag langsamer als exponentiell abfällt. Darüber hinaus betrachten wir Wechselwirkungen jenseits der nächsten Nachbarn, was ebenfalls als langreichweitig bezeichnet wird. Eine der größten mathematischen Schwierigkeiten besteht darin, die Wechselwirkungen vom Lennard-Jones Typ mit den Ergodensätzen zusammenzuführen. Die Singularität der Potentiale bei Null erlaubt keine Verwendung der Standardtechniken zur Erweiterung des subadditiven Ergodensatzes von Akcoglu-Krengel. Die Lösung dieses Problems ist eine Approximation der Wechselwirkungspotentiale, welche eine geeignete Lipschitz- und Hölder-Regularität besitzt. Darüber hinaus stellt die Verwendung von kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, anstelle von nur endlich vielen verschiedenen Potentialen, eine weitere Herausforderung dar. Das Integralfunktional im Grenzwert besteht aus einer homogenisierten Energiedichte und ermöglicht Brüche, jedoch ohne einen Beitrag dieser Brüche zur Energie. Um dieses Ergebnis zu verfeinern, skalieren wir unser Modell neu und betrachten dessen $\Gamma$-Grenzwert, der in Form einer Energie vom Griffith-Typ gegeben ist und aus einem elastischen Teil und einem Sprungbeitrag besteht. In einem weiteren Ansatz untersuchen wir Brüche auf Ebene der diskreten Energien. Mit einer geeigneten Definition des Bruchpunktes im diskreten System definieren wir eine Bruchschwelle, die den Elastizitätsbereich von dem Gebiet mit Brüchen trennt. Von diesem Schwellwert berechnen wir anschließend den punktweisen Grenzwert. Es stellt sich heraus, dass dieser Grenzwert mit dem durch die variationelle $\Gamma$-Konvergenz errechneten übereinstimmt.

Für mikroskopische Teilchen, die sich durch eine überdämpfte Fockker-Planck-Gleichung beschreiben lassen, werden thermodynamische Größen definiert. Es wird ein Ausdruck für die irreversible Arbeit berechnet. Weiterhin wird ein Kreisprozess konstruiert und für diesen der Wirkungsrad am Punkt maximaler Leistung berechnet. Als Spezialfall wird dann ein Teilchen in einem harmonischen Potential betrachtet. Alle Ergebnisse stammen bereits aus einer Veröffentlichung, es werden jedoch hier alle Berechnungen angegeben.

In this thesis, we derive necessary optimality conditions for bilevel programming problems (BPPs for short) in Banach spaces. This rather abstract setting reflects our desire to characterize the local optimal solutions of hierarchical optimization problems in function spaces arising from several applications. Since our considerations are based on the tools of variational analysis introduced by Boris Mordukhovich, we study related properties of pointwise defined sets in function spaces. The presence of sequential normal compactness for such sets in Lebesgue and Sobolev spaces as well as the variational geometry of decomposable sets in Lebesgue spaces is discussed. Afterwards, we investigate mathematical problems with complementarity constraints (MPCCs for short) in Banach spaces which are closely related to BPPs. We introduce reasonable stationarity concepts and constraint qualifications which can be used to handle MPCCs. The relations between the mentioned stationarity notions are studied in the setting where the underlying complementarity cone is polyhedric. The results are applied to the situations where the complementarity cone equals the nonnegative cone in a Lebesgue space or is polyhedral. Next, we use the three main approaches of transforming a BPP into a single-level program (namely the presence of a unique lower level solution, the KKT approach, and the optimal value approach) to derive necessary optimality conditions for BPPs. Furthermore, we comment on the relation between the original BPP and the respective surrogate problem. We apply our findings to formulate necessary optimality conditions for three different classes of BPPs. First, we study a BPP with semidefinite lower level problem possessing a unique solution. Afterwards, we deal with bilevel optimal control problems with dynamical systems of ordinary differential equations at both decision levels. Finally, an optimal control problem of ordinary or partial differential equations with implicitly given pointwise state constraints is investigated.

In this thesis, we derive necessary optimality conditions for bilevel programming problems (BPPs for short) in Banach spaces. This rather abstract setting reflects our desire to characterize the local optimal solutions of hierarchical optimization problems in function spaces arising from several applications. Since our considerations are based on the tools of variational analysis introduced by Boris Mordukhovich, we study related properties of pointwise defined sets in function spaces. The presence of sequential normal compactness for such sets in Lebesgue and Sobolev spaces as well as the variational geometry of decomposable sets in Lebesgue spaces is discussed. Afterwards, we investigate mathematical problems with complementarity constraints (MPCCs for short) in Banach spaces which are closely related to BPPs. We introduce reasonable stationarity concepts and constraint qualifications which can be used to handle MPCCs. The relations between the mentioned stationarity notions are studied in the setting where the underlying complementarity cone is polyhedric. The results are applied to the situations where the complementarity cone equals the nonnegative cone in a Lebesgue space or is polyhedral. Next, we use the three main approaches of transforming a BPP into a single-level program (namely the presence of a unique lower level solution, the KKT approach, and the optimal value approach) to derive necessary optimality conditions for BPPs. Furthermore, we comment on the relation between the original BPP and the respective surrogate problem. We apply our findings to formulate necessary optimality conditions for three different classes of BPPs. First, we study a BPP with semidefinite lower level problem possessing a unique solution. Afterwards, we deal with bilevel optimal control problems with dynamical systems of ordinary differential equations at both decision levels. Finally, an optimal control problem of ordinary or partial differential equations with implicitly given pointwise state constraints is investigated.

Die Verwendung von lang kragenden Schaftfräsern im Bereich der Hochgeschwindigkeitsbearbeitung birgt besondere Herausforderungen bezüglich der Prozessdynamik. In diesem Zusammenhang werden verschiedene kontinuumsmechanische Berechnungsmodelle für Werkzeuge mit Hohlschaft vorgestellt. Dabei wird eine teilweise Füllung des Schaftes mit einer fließfähigen Ausgleichsmasse zum Zweck des automatischen Wuchtens berücksichtigt. Ausgehend von der Verformungskinematik wird die systembeschreibende Variationsformulierung mit Hilfe des Hamilton'schen Prinzips hergeleitet. Dabei wird auch auf den Einfluss von stochastisch verteilten Unwuchten, geometrischen Nichtlinearitäten und Schubdeformationen eingegangen. Zur Ortsdiskretisierung werden sowohl lokale als auch globale Methoden angewendet und miteinander verglichen. Die Auswertung stellt den Einfluss von verschiedenen geometrischen sowie prozessbedingten Parametern auf die Eigenfrequenzen, stationäre Deformation, Stabilität sowie Zeitlösung dar.:1. Einleitung 1.1. Problemstellung und Motivation der Arbeit 1.2. Stand der Technik 1.2.1. Hochgeschwindigkeitsfräsen 1.2.2. Verwendung lang kragender Schaftfräser 1.3. Thema und Aufbau der Arbeit 2. Theoretische Grundlagen 2.1. Kontinuumsmechanische Grundbegriffe 2.2. Spannungen und konstitutive Gleichungen 2.3. Prinzip von Hamilton 2.4. Lösungstheorie 2.4.1. Anfangswertprobleme 2.4.2. Randwertprobleme 2.5. Stochastische Grundbegriffe 3. Balkenmodelle 3.1. Verformungskinematik des Balkens 3.2. Variationsformulierung 3.3. Modellierung der Unwucht 3.4. Globale Diskretisierung 3.4.1. Stationäre Lage und Linearisierung 3.4.2. Ortsfunktionen 3.5. Lokale Diskretisierung 3.6. Anmerkungen zur schubweichen Formulierung 3.7. Berechnungsergebnisse 3.7.1. Ruhendes Werkzeug 3.7.2. Rotierendes Werkzeug 4. Schalenmodelle 4.1. Verformungskinematik der Schale 4.2. Variationsformulierung 4.3. Globale Diskretisierung 4.3.1. Stationäre Lage und Linearisierung 4.4. Lokale Diskretisierung mittels FEM 4.4.1. Konforme flache Schalenelemente 4.5. Anmerkungen zur schubweichen Formulierung 4.6. Berechnungsergebnisse 4.6.1. Ruhender Schaft 4.6.2. Rotierender Schaft 5. Zusammenfassung und Ausblick 6. Verzeichnisse 6.1. Quellenverzeichnis 6.2. Symbolverzeichnis 6.3. Abbildungsverzeichnis 6.4. Tabellenverzeichnis A. Feldgleichungen und Ableitungen der Ansätze für die Balkenmodelle B. Anmerkungen zum Timoshenko-Balken C. Feldgleichungen und Ableitungen der Ansätze für die Schalenmodelle D. Anmerkungen zur Mindlin-Reissner-Schale / The use of long slender end mills for high-speed-cutting (HSC) holds special requirements with respect to the system dynamics. In this context, several tool models in the area of continuum mechanics are presented. Especially hollow tool shafts, with a fluid medium inside, for the purpose of automatic balancing are considered. Starting with the kinematics of deformation, Hamilton's principle is used to evaluate the variational formulation. Therefore, also the influence of a stochastic distributed unbalance, geometrical nonlinearities and shear deformations are discussed. For space discretisation local as well as global approaches are used and compared with each other. Following up on this, results are presented, which show the influence of different geometrical and process-related parameters due to the eigenfrequencies, stationary deformation, stability and time solution.:1. Einleitung 1.1. Problemstellung und Motivation der Arbeit 1.2. Stand der Technik 1.2.1. Hochgeschwindigkeitsfräsen 1.2.2. Verwendung lang kragender Schaftfräser 1.3. Thema und Aufbau der Arbeit 2. Theoretische Grundlagen 2.1. Kontinuumsmechanische Grundbegriffe 2.2. Spannungen und konstitutive Gleichungen 2.3. Prinzip von Hamilton 2.4. Lösungstheorie 2.4.1. Anfangswertprobleme 2.4.2. Randwertprobleme 2.5. Stochastische Grundbegriffe 3. Balkenmodelle 3.1. Verformungskinematik des Balkens 3.2. Variationsformulierung 3.3. Modellierung der Unwucht 3.4. Globale Diskretisierung 3.4.1. Stationäre Lage und Linearisierung 3.4.2. Ortsfunktionen 3.5. Lokale Diskretisierung 3.6. Anmerkungen zur schubweichen Formulierung 3.7. Berechnungsergebnisse 3.7.1. Ruhendes Werkzeug 3.7.2. Rotierendes Werkzeug 4. Schalenmodelle 4.1. Verformungskinematik der Schale 4.2. Variationsformulierung 4.3. Globale Diskretisierung 4.3.1. Stationäre Lage und Linearisierung 4.4. Lokale Diskretisierung mittels FEM 4.4.1. Konforme flache Schalenelemente 4.5. Anmerkungen zur schubweichen Formulierung 4.6. Berechnungsergebnisse 4.6.1. Ruhender Schaft 4.6.2. Rotierender Schaft 5. Zusammenfassung und Ausblick 6. Verzeichnisse 6.1. Quellenverzeichnis 6.2. Symbolverzeichnis 6.3. Abbildungsverzeichnis 6.4. Tabellenverzeichnis A. Feldgleichungen und Ableitungen der Ansätze für die Balkenmodelle B. Anmerkungen zum Timoshenko-Balken C. Feldgleichungen und Ableitungen der Ansätze für die Schalenmodelle D. Anmerkungen zur Mindlin-Reissner-Schale