Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Esta tesis esta dividida en seis partes. La primera parte está dedicada a probar propiedades de Hadamard y teoremas del tipo de Liouville para soluciones viscosas de ecuaciones diferenciales parciales elípticas completamente no lineales con término gradiente \begin{equation}\label{eq06-10-13 1} \mathcal{M}^{-}(|x|,D^2u)+\sigma(|x|)|Du|+f(x,u)\leq 0,\quad \ x\in\Omega, \end{equation} donde $\Omega=\mathbb{R}^N$ o un dominio exterior, las funciones $\sigma:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ y $f:\Omega\times (0,\infty)\to (0,\infty)$ son continuas las cuales satisfacen algunas condiciones extras. En la segunda parte se estudia la existencia de soluciones que explotan en la frontera para ecuaciones elípticas fraccionarias semilineales \begin{equation}\label{eq06-10-13 2} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}u(x)=h(x),\quad & x\in\Omega,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}} u(x)=0,\quad & x\in\bar\Omega^c,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} \ } \lim_{x\in\Omega, x\to\partial\Omega}u(x)=+\infty, \end{array} \end{equation} donde $p>1$, $\Omega$ es un dominio abierto acotado $C^2$ de $\mathbb{R}^N(N\geq2)$, el operador $(-\Delta)^{\alpha}$ con $\alpha\in(0,1)$ es el Laplaciano fraccionario y $h:\Omega\to\R$ es una función continua la cual satisface algunas condiciones extras. Por otra parte, analizamos la unicidad y el comportamiento asimptótico de soluciones al problema (\ref{eq06-10-13 2}). El objetivo principal de la tercera parte es investigar soluciones positivas para ecuaciones elípticas fraccionarias \begin{equation}\label{eq06-10-13 3} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}u(x)=0,\quad & x\in\Omega\setminus\mathcal{C},\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}} u(x)=0,\quad & x\in\Omega^c,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta) \ } \lim_{x\in\Omega\setminus\mathcal{C}, \ x\to\mathcal{C}}u(x)=+\infty, \end{array} \end{equation} donde $p>1$ y $\Omega$ es un dominio abierto acotado $C^2$ de $\mathbb{R}^N(N\geq2)$, $\mathcal{C}\subset \Omega$ es el frontera de dominio $G$ que es $C^2$ y satisface $\bar G\subset\Omega$. Consideramos la existencia de soluciones positivas para el problema (\ref{eq06-10-13 3}). Mas aún, analizamos la unicidad, el comportamiento asimptótico y la no existencia al problema (\ref{eq06-10-13 3}). En la cuarta parte, estudiamos la existencia de soluciones débiles de (F) $ (-\Delta)^\alpha u+g(u)=\nu $ en un dominio $\Omega$ abierto acotado $C^2$ de $\R^N (N\ge2)$ el cual se desvanece en $\Omega^c$, donde $\alpha\in(0,1)$, $\nu$ es una medida de Radon y $g$ es una función no decreciente satisfaciendo algunas hipótesis extras. Cuando $g$ satisface una condición de integrabilidad subcrítica, probamos la existencia y unicidad de una solución débil para el problema (F) para cualquier medida. En el caso donde $\nu$ es una masa de Dirac, caracterizamos el comportamiento asimptótico de soluciones a (F). Asimismo, cuando $g(r)=|r|^{k-1}r$ con $k$ supercrítico, mostramos que una condición de absoluta continuidad de la medida con respecto a alguna capacidad de Bessel es una condición necesaria y suficiente para que (F) sea resuelta. El propósito de la quinta parte es investigar soluciones singulares débiles y fuertes de ecuaciones elípticas fraccionarias semilineales. Sean $p\in(0,\frac{N}{N-2\alpha})$, $\alpha\in(0,1)$, $k>0$ y $\Omega\subset \R^N(N\geq2)$ un dominio abierto acotado $C^2$ conteniendo a $0$ y $\delta_0$ la masa de Dirac en $0$, estudiamos que la solución débil de $(E)_k$ $ (-\Delta)^\alpha u+u^p=k\delta_0 $ en $\Omega$ la cual se desvanece en $\Omega^c$ es una solución débil singular de $(E^*)$ $ (-\Delta)^\alpha u+u^p=0 $ en $\Omega\setminus\{0\}$ con el mismo dato externo. Por otra parte, estudiamos el límite de soluciones débiles de $(E)_k$ cuando $k\to\infty$. Para $p\in(0, 1+\frac{2\alpha}{N}]$, el límite es infinito en $\Omega$. Para $p\in(1+\frac{2\alpha}N,\frac{N}{N-2\alpha})$, el límite es una solución fuertemente singular de $(E^*)$. Finalmente, en la sexta parte estudiamos la ecuación elíptica fraccionaria semilineal (E1) $(-\Delta)^\alpha u+\epsilon g(|\nabla u|)=\nu $ en un dominio $\Omega$ abierto acotado $C^2$ de $\R^N (N\ge2)$, el cual se desvanece en $\Omega^c$, donde $\epsilon=\pm1$, $\alpha\in(1/2,1)$, $\nu$ es una medida de Radon y $g:\R_+\mapsto\R_+$ es una funci\'on continua. Probamos la existencia de soluciones débiles para el problema (E1) cuando $g$ es subcrítico. Además, el comportamiento asimptótico y la unicidad de soluciones son descritas cuando $\epsilon=1$, $\nu$ es una masa de Dirac y $g(s)=s^p$ con $p\in(0,\frac)$.

[pt] Filmes finos líquidos desempenham um grande papel em diversas aplicações cotidianas e são de interesse indiscutível para pesquisadores científicos e industriais. Evidências de filmes finos são observadas na natureza em grandes escalas, como avalanches de neve nas montanhas, escoamento de lava em vulcões e deslizamentos de terra, e em pequenas escalas, como nas vias respiratórias pulmonares e na superfície dos olhos. Eles também são estão presentes em muitas aplicações industriais, variando de resistores de filme fino de alta resistência, atomização, métodos de litografia e várias técnicas de revestimento. Entender os mecanismos que contribuem para a estabilidade de filmes finos líquidos é um problema desafiador, pois o escoamento de filmes finos apresenta uma interface fluido-fluido livre para deformar. A instabilidade de um filme fino é geralmente impulsionada por forças intermoleculares de longo alcance, também conhecidas como atrações de van der Waals, e resultam na ruptura do filme. Investigações numéricas são frequentemente usadas para entender a dinâmica de ruptura de filmes líquidos finos, abordando a evolução da espessura do filme usando derivações assintóticas da teoria da lubrificação ou técnicas de rastreamento de interface. Neste trabalho, uma investigação computacional da dinâmica de ruptura de um filme fino líquido estacionário com uma interface viscosa é apresentada. O método Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) é usado para rastrear a posição da interface. O comportamento reológico da interface viscosa é modelado pela lei constitutiva de Boussinesq-Scriven, e a solução numérica é obtida através da aproximação de elementos finitos. Os resultados mostram que a estabilidade do filme líquido fino é influenciada tanto pela reologia da superfície quanto pela atração intermolecular e que o caráter viscoso da interface retarda a quebra da folha, levando a filmes mais estáveis. / [en] Thin liquid films play a big role in many real-life applications and are of indisputable interest to scientific and industrial researchers. Evidence of thin films are observed in nature in large scales such as snow avalanches in the mountains, lava flows on volcanoes and landslides, and in small scales such as the pulmonary airways and the eye surface. They are also widespread in many industrial applications, ranging from high-resistance thin film resistors, atomization, soft-lithography methods and several coating techniques such as dip, roll, slot, spin and curtain coating. Understanding the physical mechanisms contributing to the stability of thin liquid films is a challenging problem, as thin films flows present a fluid-fluid interface which is free to deform. The interface is bounded between two liquids or a liquid and a gas, typically having its own dynamic properties from which interfacial tension effects and complex interfacial rheological behavior arises. Instability is usually driven by long-range intermolecular forces, also known as van der Waals attractions, and may result in the rupture of the layer. Numerical investigation is often used to understand the breakup dynamics of thin liquid sheets by addressing the evolution of the film thickness using either asymptotic derivations of the lubrication theory or interface tracking techniques. In this work, a computational investigation of the breakup dynamics of a stationary thin liquid sheet bounded by a passive gas with a viscous interface is presented. The Arbitrary Lagrangian-Eulerian method (ALE) is used to track the interface position. The rheological behavior of the viscous interface is modeled by the Boussinesq-Scriven constitutive law, and the numerical solution is obtained through finite element approximation. The results show that thin liquid film stability is influenced both by surface rheology and disjoining effects and that the viscous character of the interface delays the sheet breakup, leading to more stable films.

Esta dissertação aborda a teoria dos jogos diferenciais em sua estreita relação com a teoria das equações de Hamilton-Jacobi (HJ). Inicialmente, uma revisão da noção de solução em teoria dos jogos é empreendida. Discutem-se nesta ocasião as idéias de equilíbrio de Nash e alguns de seus refinamentos. Em seguida, tem lugar uma introdução à teoria dos jogos diferenciais, onde noções de solução como a função de valor de Isaacs e de Friedman são discutidas. É nesta altura do trabalho que fica evidente a conexão entre este conceito de solução e a teoria das equações de Hamilton-Jacobi. Por ocasião desta conexão, é explorada a noção de solução clássica e é exposta uma demonstração do fato de que se um jogo diferencial possuir uma função de valor pelo menos continuamente diferenciável, esta será uma solução da equação de Hamilton-Jacobi associada ao jogo. Este resultado faz uso do princípio da programação dinâmica, devido a Bellman, e cuja demonstração está presente no texto. No entanto, quando a função de valor do jogo é apenas contínua, então embora esta não seja uma solução clássica da equação HJ associada a jogo, vemos que ela será uma solução viscosa, ou solução no sentido da viscosidade - e a esta altura são discutidos os elementos e propriedades desta classe de soluções, um teorema de existência e unicidade e alguns exemplos. Por fim, retomamos o estudo dos jogos diferenciais à luz das soluções viscosas da equação de Hamilton-Jacobi e, assim, expomos uma demonstração de existência da função de valor e do princípio da programação dinâmica a partir das noções da viscosidade / This dissertation aims to address the topic of Differential Game Theory in its connection with the Hamilton-Jacobi (HJ) equations framework. Firstly we introduce the idea of solution for a game, through the discussion of Nash equilibria and its refinements. Secondly, the solution concept is then translated to the context of Differential Games and the idea of value function is introduced in its Isaacs\'s as well as Friedman\'s version. As the value function is discussed, its relationship with the Hamilton-Jacobi equations theory becomes self-evident. Due to such relation, we investigate the HJ equation from two distinct points of view. First of all, we discuss a statement according to which if a differential game has a continuously differentiable value function, then such function is a classical solution of the HJ equation associated to the game. This result strongly relies on Bellman\'s Dynamic Programming Principle - and this is the reason why we devote an entire chapter to this theme. Furthermore, HJ is still at our sight from the PDE point of view. Our motivation is simple: under some lack of regularity - a value function which is continuous, but not continuously differentiable - a game may still have a value function represented as a solution of the associated HJ equation. In this case such a solution will be called a solution in the viscosity sense. We then discuss the properties of viscosity solutions as well as provide an existence and uniqueness theorem. Finally we turn our attention back to the theory of games and - through the notion of viscosity - establish the existence and uniqueness of value functions for a differential game within viscosity solution theory.

Made available in DSpace on 2015-05-14T13:21:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1275793 bytes, checksum: 6f184080723f11f294f29a4ddad08f39 (MD5) Previous issue date: 2013-08-29 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this study a flow-batch analyzer (FBA) was utilized and its performance was evaluated for the determination of Fe(III) in edible without external pretreatment. The FBA method uses the reaction between Fe(III) and thiocyanate in organic medium. The formed red complex was monitored by employing a light emitting diode (LED, λmax = 520 nm) and a phototransistor linked to the mixing chamber by optical fibers. All standard solutions were prepared in-line and all analytical processes were carried out by simply changing the operational parameters in FBA control software. Comparing with the reference method, no statistically significant differences were observed when applying the paired t-test at a 95% confidence level. For the three types of samples studied the estimated standard deviation was less than 0.03 mg kg-1 (n = 3). The analytical frequency was 95 h-1, the limit of detection was 0.004 mg kg-1 and the limit of quantification was 0.013 mg kg-1. The recovery study shows results between 98.4% and 104.2%. The FBA method showed better analytical features when compared with previous automatic flow methods. Thus, the automated method proposed is potentially useful as an alternative for the determination of other ions in similar samples or in other viscous matrices without external pretreatment. / Neste estudo, um analisador em fluxo-batelada (FBA) foi desenvolvido e seu desempenho foi avaliado na determinação de Fe (III) em óleos comestíveis sem pré-tratamento da amostra. O método utiliza a reação entre os íons Fe(III) e o tiocianato solubilizado em meio orgânico. O complexo vermelho formado foi monitorado utilizando um diodo emissor de luz (LED, λmax = 520 nm) e um fototransistor acoplados ao interior da câmara de mistura por meio de fibras ópticas. As soluções-padrão foram preparadas em linha e todas as etapas de análise foram efetuadas através de simples alterações nos parâmetros operacionais no programa de gerenciamento do sistema. Ao comparar os resultados obtidos com o método proposto e com o de referência, não foram observadas diferenças estatisticamente significativas ao se aplicar o teste t pareado com nível de confiança de 95%. Para os três tipos de amostras em estudo o desvio-padrão relativo estimado foi menor que 0,03 mg kg-1 (n = 3). A frequência analítica foi de 95 h-1, o limite de detecção foi 0,004 mg kg-1 e o limite de quantificação foi de 0,013 mg kg-1. Estudos com amostras fortificadas mostraram resultados de recuperação entre 98,4% e 104,2% para ambas as matrizes. De modo geral, o método proposto apresentou melhor desempenho analítico quando comparado com analisadores em fluxo automático anteriores. Assim, o método automático proposto é potencialmente útil como uma alternativa para a determinação de outros íons em amostras semelhantes aos óleos investigados ou em outras matrizes viscosas sem necessidade de um pré-tratamento.

Made available in DSpace on 2015-05-14T13:21:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 4173293 bytes, checksum: b97bdde9738a247557cc099fc80a29af (MD5) Previous issue date: 2014-04-25 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work, a novel chemiluminescence method using flow-batch analysis for the determination of iron in viscous samples (edible oil, lubricating oil and biodiesel) employing cadmium telluride quantum dots (CdTe QDs) with detection by digital images from webcam was developed. The analytical method proposed a novel strategy includes a pretreatment of the sample that constitutes on-line availability of total iron by acid extraction in one step. In the automatic pre-treatment, a new strategy was developed for chemiluminescent emission, whereby the available analyte was oxidized to Fe(III) in the presence of dichromate ions and reduced to Fe(II) by direct oxidation of CdTe QDs, allowing promote chemiluminescent emission of these nanocrystals. The influence of the size and concentration QDs in this system was estimated revealing a higher sensitivity and selectivity for the small crystals obtained (1.65 nm). Concerning the flow-batch analysis a new mixing chamber was developed in polytetrafluoroethylene (PTFE) provided with quartz windows in order to allow luminescent probes online. A novel management program the automatic system was developed enabling rapid acquisition and efficient handling of digital images without the need to use another program to tratamendo the information obtained. For the construction of the analytical curve-based mathematical model in the RGB color values was used, therefore, considered the norm of vectors in response. The limit of detection and relative standard deviation were calculated to be 0.66 μg mL 1 and < 1.5 % (n = 3), respectively. The analysis of interfering was successful for the major ions present in solution, revealing significant percentage interference (≤ 5 %). The precision of the method was evaluated by recovery test (97.5 to 103.3 %). The robustness of the method was evaluated by intra- and inter- day comparison of the results obtained and using the reference method with detection by atomic absorption graphite furnace at a 95% level of statistical confidence. Finally, the system showed quite satisfactory analytical frequency (43 h 1) and considerably reducing the consumption of chemicals. Thus, it is demonstrated appreciably the viability of new chemiluminescent method, thus allowing the development of new analytical strategies employing potentially useful quantum dots, automation and digital images. / Neste trabalho de pesquisa foi desenvolvido um novo método quimiluminescente em fluxo-batelada para determinação de ferro total em matrizes viscosas (óleo comestível, óleo lubrificante e biodiesel) empregando pontos quânticos de telureto de cádmio (PQs de CdTe) com detecção por imagens digitais via webcam. O método analítico proposto inclui uma nova estratégia de pré-tratamento da amostra que consiste na disponibilização on-line do ferro total por meio de extração ácida em fase única. Além do pré-tratamento automático, uma nova estratégia para emissão quimiluminescente foi desenvolvida, através da qual todo o analito disponível foi oxidado para Fe(III) na presença de íons dicromato e reduzido para Fe(II) mediante o processo de oxidação direta dos PQs de CdTe, o que permitiu promover a emissão quimiluminescente desses nanocristais. A influência do tamanho e concentração dos PQs nesse sistema foi avaliada revelando uma maior sensibilidade e seletividade para os cristais obtidos de menor dimensão (1,65 nm). Concernente ao sistema automático fluxo-batelada uma nova câmara de mistura foi desenvolvida em politetrafluoretileno (PTFE) provida de janelas de quartzo com o objetivo de permitir detecções luminescentes on-line. Um novo programa de gerenciamento do sistema automático foi desenvolvido permitindo uma rápida aquisição e eficiente tratamento das imagens digitais, sem a necessidade de empregar qualquer outro programa para o tratamento da informação obtida. Para a construção da curva analítica foi utilizado um modelo matemático baseado nos valores de cor RGB, sendo assim, considerada a norma dos vetores como resposta. O limite de detecção e o desvio padrão relativo foram calculados em 0,66 μg L 1 e < 1,5 % (n = 3), respectivamente. A análise de interferentes foi realizada com êxito para os principais íons presentes em solução, não revelando interferência percentual significativa (≤ 5%). A exatidão do método foi avaliada através do teste de recuperação (97,5 103,3 %). A robustez do método foi avaliada por comparação intra- e inter-dia dos resultados obtidos e empregando o método de referência com detecção por absorção atômica em forno de grafite em um nível de 95% de confiança estatística. Por fim, o sistema apresentou frequência analítica bastante satisfatória (43 h 1) e redução considerável do consumo de produtos químicos. Desta forma, é demonstrado de modo apreciável a viabilidade do novo método quimiluminescente, permitindo assim, o desenvolvimento de novas estratégias analíticas potencialmente úteis empregando pontos quânticos, automação e imagens digitais.

Esta dissertação aborda a teoria dos jogos diferenciais em sua estreita relação com a teoria das equações de Hamilton-Jacobi (HJ). Inicialmente, uma revisão da noção de solução em teoria dos jogos é empreendida. Discutem-se nesta ocasião as idéias de equilíbrio de Nash e alguns de seus refinamentos. Em seguida, tem lugar uma introdução à teoria dos jogos diferenciais, onde noções de solução como a função de valor de Isaacs e de Friedman são discutidas. É nesta altura do trabalho que fica evidente a conexão entre este conceito de solução e a teoria das equações de Hamilton-Jacobi. Por ocasião desta conexão, é explorada a noção de solução clássica e é exposta uma demonstração do fato de que se um jogo diferencial possuir uma função de valor pelo menos continuamente diferenciável, esta será uma solução da equação de Hamilton-Jacobi associada ao jogo. Este resultado faz uso do princípio da programação dinâmica, devido a Bellman, e cuja demonstração está presente no texto. No entanto, quando a função de valor do jogo é apenas contínua, então embora esta não seja uma solução clássica da equação HJ associada a jogo, vemos que ela será uma solução viscosa, ou solução no sentido da viscosidade - e a esta altura são discutidos os elementos e propriedades desta classe de soluções, um teorema de existência e unicidade e alguns exemplos. Por fim, retomamos o estudo dos jogos diferenciais à luz das soluções viscosas da equação de Hamilton-Jacobi e, assim, expomos uma demonstração de existência da função de valor e do princípio da programação dinâmica a partir das noções da viscosidade / This dissertation aims to address the topic of Differential Game Theory in its connection with the Hamilton-Jacobi (HJ) equations framework. Firstly we introduce the idea of solution for a game, through the discussion of Nash equilibria and its refinements. Secondly, the solution concept is then translated to the context of Differential Games and the idea of value function is introduced in its Isaacs\'s as well as Friedman\'s version. As the value function is discussed, its relationship with the Hamilton-Jacobi equations theory becomes self-evident. Due to such relation, we investigate the HJ equation from two distinct points of view. First of all, we discuss a statement according to which if a differential game has a continuously differentiable value function, then such function is a classical solution of the HJ equation associated to the game. This result strongly relies on Bellman\'s Dynamic Programming Principle - and this is the reason why we devote an entire chapter to this theme. Furthermore, HJ is still at our sight from the PDE point of view. Our motivation is simple: under some lack of regularity - a value function which is continuous, but not continuously differentiable - a game may still have a value function represented as a solution of the associated HJ equation. In this case such a solution will be called a solution in the viscosity sense. We then discuss the properties of viscosity solutions as well as provide an existence and uniqueness theorem. Finally we turn our attention back to the theory of games and - through the notion of viscosity - establish the existence and uniqueness of value functions for a differential game within viscosity solution theory.

Cette thèse est divisée en six parties. La première partie est consacrée à l'étude de propriétés de Hadamard et à l'obtention de théorèmes de Liouville pour des solutions de viscosité d'équations aux dérivées partielles elliptiques complètement non-linéaires avec des termes de gradient, ... / This thesis is divided into six parts. The first part is devoted to prove Hadamard properties and Liouville type theorems for viscosity solutions of fully nonlinear elliptic partial differential equations with gradient term ...