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This thesis introduces an alternative potentially low cost solution for hardware-in-the-loop (HIL) simulation based on the waveform relaxation (WR) method. The WR tech-nique is extended so that, without the need for a real-time simulator, the behaviour of an actual piece of physical hardware can nevertheless be tested as though it were connected to a large external electrical network. This is achieved by simulating the external network on an off-line electromagnetic transients (EMT) simulation program, and utilizing iterative exchange of waveforms between the simulation and the hardware by means of a spe-cialized Real-Time Player/Recorder (RTPR) interface device. The approach is referred to as waveform relaxation based hardware-in-the-loop (WR-HIL) simulation. To make the method possible, the thesis introduces several new innovations for stabi-lizing and accelerating the WR-HIL algorithm. It is shown that the classical WR shows poor or no convergence when at least one of the subsystems is an actual device. The noise and analog-digital converters’ quantization errors and other hardware disturbances can affect the waveforms and cause the WR to diverge. Therefore, the application of the WR method in performing HIL simulation is not straightforward and the classical WR need to be modified accordingly. Three convergence techniques are proposed to improve the WR-HIL simulation con-vergence. Each technique is evaluated by an experimental example. The stability of the WR-HIL simulation is studied and a stabilization technique is proposed to provide suffi-cient conditions for the simulation stability. The approach is also extended to include the optimization of the parameters of power system controllers located in geographically distant places. The WR-HIL simulation technique is presented with several examples. At the end of the thesis, suggestions for the future work are presented. / February 2016

Ce travail de thèse porte sur les équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades, en particulier celles dont le coefficient de diffusion progressif dépend de toutes les inconnues. Nous proposons une manière originale d'aborder le problème, nous permettant de retrouver des résultats classiques d'existence et d'unicité de Pardoux-Tang ou Yong. Nous obtenons de surcroît, en adoptant l'approche Pardoux-Tang en solutions de viscosité, des représentations probabilistes de toute une nouvelle classe d'EDP paraboliques dont les coefficients de dérivation d'ordre 2 dépendent du gradient de la solution. Nous proposons également un schéma de discrétisation itératif dont nous prouvons la convergence et évaluons l'erreur sur un exemple bien particulier.

L’analyse de stabilité en régime transitoire du réseau de transport électrique permet de contrôler le bon retour au régime stationnaire du système soumis à une perturbation. Cette analyse systématique des systèmes de réseaux en développement permet notamment d’optimiser la production et la consommation de l’énergie électrique, et de protéger les équipements tels que les centrales électriques, les transformateurs, les lignes haute-tension, etc. Afin d’améliorer la stabilité, la robustesse et la viabilité de ces systèmes, la tendance est à l’interconnexion des réseaux de transport régionaux et nationaux, et ainsi, au développement et à l’analyse de systèmes toujours plus grands. Le problème de stabilité électrique peut être simulé numériquement grâce à l’intégration d’un système d’équations algébro-différentielles non-linéaire et raide. Lorsque le problème traité est très grand, la simulation numérique devient très coûteuse en temps de calcul et ralentit considérablement le travail des professionnels du secteur. Cette thèse a pour but de proposer, d’étudier, et de développer des méthodes innovantes de calcul parallèle pour la résolution des systèmes d’équations différentielles issus de la simulation de grands réseaux électriques tel que le réseau européen. Dans ce manuscrit, on livre une analyse des propriétés de ces systèmes assez spécifiques : creux, irréguliers, non-linéaires, raides et hétérogènes. On discute notamment de la structure particulière de ces systèmes qui rend attrayante l’application d’une méthode de décomposition de domaine. On étudie ainsi plusieurs méthodes de parallélisation en espace : la parallélisation fine de chaque opération coûteuse, la résolution du système non-linéaire par décomposition en sous-réseaux faiblement couplés, d’abord sur chaque étape d’intégration, puis par méthode de relaxation d’ondes. On aborde aussi la parallélisation en temps de type algorithme Pararéel ainsi qu’une méthode parallèle espace-temps bénéficiant des propriétés couplées des méthodes de relaxation d’ondes et de Pararéel. Dans ces travaux, nous proposons des méthodes assurant la convergence rapide des méthodes de décomposition de domaine quel que soit le nombre de sous-domaines et de processeurs employés. Nous introduisons pour cela des techniques de préconditionnement en espace adéquates afin d’améliorer la scalabilité des méthodes de parallélisation envisagées. / Power system transient stability analysis enables to control the return to equilibrium of the system subjected to a disturbance. This systematic analysis of developing transport networks allows to optimize the production and the consumption of electric power and to protect the equipments such as power plants, transformers, highvoltage lines and so on. In order to improve the stability, the robustness, and the sustainability of these systems, a worldwide trend is to interconnect regional and national transport networks. This leads to analyze ever larger systems. The power-stability problem can be numerically simulated owing to the integration of a differential-algebraic system which is nonlinear and stiff. When considering a very large problem, numerical simulation is very time consuming and significantly slows down the work of professionals. This thesis aims at studying innovative parallel computing methods for the resolution of differential systems arising from the transient stability analysis of large power systems such as the European Transport Network. In this manuscript, we first deliver an analysis of the properties of these rather specific systems: sparse, irregular, nonlinear, stiff, and heterogeneous. We discuss the particular structure of these systems making the application of a domain decomposition method interesting. Thus, we study several space parallelization methods: the fine parallelization of each costly tasks, the resolution of the nonlinear system by decomposition into weakly coupled subnetworks, first on each integration step separately, and then by waveform relaxation method. We also address the time parallelization with a Parareal-based algorithm and a space-time parallel method which benefits from the coupled properties of waveform relaxation and Parareal methods. In this work, we focus on methods which ensure a fast convergence of domain decomposition methods whatever the number of subdomains/processors used. In order to achieve such a goal, we introduce space preconditioning techniques to improve the scalability of the parallelization methods considered.

Diese Arbeit widmet sich der Simulation von elektrischen/elektronischen Schaltungen welche um elektromagnetische Bauelemente erweitert werden. Im Fokus stehen unterschiedliche Kopplungen der Schaltungsgleichungen, modelliert mit der modifizierten Knotenanalyse, und den elektromagnetischen Bauelementen mit deren verfeinerten Modell basierend auf den vollen Maxwell-Gleichungen in der Lorenz-geeichten A-V Formulierung welche durch Finite-Integrations-Technik räumlich diskretisiert werden. Eine numerische Analyse erweitert die topologischen Kriterien für den Index der resultierenden differential-algebraischen Gleichungen, wie sie bereits in anderen Arbeiten mit ähnlichen Feld/Schaltkreis-Kopplungen hergeleitet wurden. Für die Simulation werden sowohl ein monolithischer Ansatz als auch Waveform-Relaxationsmethoden untersucht. Im Mittelpunkt stehen dabei Zeitintegration, Skalierungsmethoden, strukturelle Eigenschaften und ein hybride Ansatz zur Lösung der zugrundeliegenden linearen Gleichungssysteme welcher den Einsatz spezialisierter Löser für die jeweiligen Teilsysteme erlaubt. Da die vollen Maxwell-Gleichungen zusätzliche Ableitungen in der Kopplungsstruktur verursachen, sind bisher existierende Konvergenzaussagen für die Waveform-Relaxation von gekoppelten differential-algebraischen Gleichungen nicht anwendbar und motivieren eine neue Konvergenzanalyse. Auf dieser Analyse aufbauend werden hinreichende topologische Kriterien entwickelt, welche eine Konvergenz von Gauß-Seidel- und Jacobi-artigen Waveform-Relaxationen für die gekoppelten Systeme garantieren. Schließlich werden numerische Benchmarks zur Verfügung gestellt, um die eingeführten Methoden und Theoreme dieser Abhandlung zu unterstützen. / This work is devoted to the simulation of electrical/electronic circuits incorporating electromagnetic devices. The focus is on different couplings of the circuit equations, modeled with the modified nodal analysis, and the electromagnetic devices with their refined model based on full-wave Maxwell's equations in Lorenz gauged A-V formulation which are spatially discretized by the finite integration technique. A numerical analysis extends the topological criteria for the index of the resulting differential-algebraic equations, as already derived in other works with similar field/circuit couplings. For the simulation, both a monolithic approach and waveform relaxation methods are investigated. The focus is on time integration, scaling methods, structural properties and a hybrid approach to solve the underlying linear systems of equations with the use of specialized solvers for the respective subsystems. Since the full-Maxwell approach causes additional derivatives in the coupling structure, previously existing convergence statements for the waveform relaxation of coupled differential-algebraic equations are not applicable and motivate a new convergence analysis. Based on this analysis, sufficient topological criteria are developed which guarantee convergence of Gauss-Seidel and Jacobi type waveform relaxation schemes for introduced coupled systems. Finally, numerical benchmarks are provided to support the introduced methods and theorems of this treatise.

Die Hauptthemen dieser Arbeit sind einerseits eine tiefgehende Analyse von nichtlinearen differential-algebraischen Gleichungen (DAEs) vom Index 2, die aus der modifizierten Knotenanalyse (MNA) von elektrischen Schaltkreisen hervorgehen, und andererseits die Entwicklung von Konvergenzkriterien für Waveform Relaxationsmethoden zum Lösen gekoppelter Probleme. Ein Schwerpunkt in beiden genannten Themen ist die Beziehung zwischen der Topologie eines Schaltkreises und mathematischen Eigenschaften der zugehörigen DAE. Der Analyse-Teil umfasst eine detaillierte Beschreibung einer Normalform für Schaltkreis DAEs vom Index 2 und Abschätzungen, die für die Sensitivität des Schaltkreises bezüglich seiner Input-Quellen folgen. Es wird gezeigt, wie diese Abschätzungen wesentlich von der topologischen Position der Input-Quellen im Schaltkreis abhängen. Die zunehmend komplexen Schaltkreise in technologischen Geräten erfordern oftmals eine Modellierung als gekoppeltes System. Waveform relaxation (WR) empfiehlt sich zur Lösung solch gekoppelter Probleme, da sie auf die Subprobleme angepasste Lösungsmethoden und Schrittweiten ermöglicht. Es ist bekannt, dass WR zwar bei Anwendung auf gewöhnliche Differentialgleichungen konvergiert, falls diese eine Lipschitz-Bedingung erfüllen, selbiges jedoch bei DAEs nicht ohne Hinzunahme eines Kontraktivitätskriteriums sichergestellt werden kann. Wir beschreiben allgemeine Konvergenzkriterien für WR auf DAEs vom Index 2. Für den Fall von Schaltkreisen, die entweder mit anderen Schaltkreisen oder mit elektromagnetischen Feldern verkoppelt sind, leiten wir außerdem hinreichende topologische Konvergenzkriterien her, die anhand von Beispielen veranschaulicht werden. Weiterhin werden die Konvergenzraten des Jacobi WR Verfahrens und des Gauss-Seidel WR Verfahrens verglichen. Simulationen von einfachen Beispielsystemen zeigen drastische Unterschiede des WR-Konvergenzverhaltens, abhängig davon, ob die Konvergenzbedingungen erfüllt sind oder nicht. / The main topics of this thesis are firstly a thorough analysis of nonlinear differential-algebraic equations (DAEs) of index 2 which arise from the modified nodal analysis (MNA) for electrical circuits and secondly the derivation of convergence criteria for waveform relaxation (WR) methods on coupled problems. In both topics, a particular focus is put on the relations between a circuit's topology and the mathematical properties of the corresponding DAE. The analysis encompasses a detailed description of a normal form for circuit DAEs of index 2 and consequences for the sensitivity of the circuit with respect to its input source terms. More precisely, we provide bounds which describe how strongly changes in the input sources of the circuit affect its behaviour. Crucial constants in these bounds are determined in terms of the topological position of the input sources in the circuit. The increasingly complex electrical circuits in technological devices often call for coupled systems modelling. Allowing for each subsystem to be solved by dedicated numerical solvers and time scales, WR is an adequate method in this setting. It is well-known that while WR converges on ordinary differential equations if a Lipschitz condition is satisfied, an additional convergence criterion is required to guarantee convergence on DAEs. We present general convergence criteria for WR on higher index DAEs. Furthermore, based on our results of the analysis part, we derive topological convergence criteria for coupled circuit/circuit problems and field/circuit problems. Examples illustrate how to practically check if the criteria are satisfied. If a sufficient convergence criterion holds, we specify at which rate of convergence the Jacobi and Gauss-Seidel WR methods converge. Simulations of simple benchmark systems illustrate the drastically different convergence behaviour of WR depending on whether or not the circuit topological convergence conditions are satisfied.

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