We focus on the programming aspect of the treatment of digitized geometries for subsequent use in mesh-free and mesh-based numerical solvers. That perspective includes the description of our C/C++ implementations which use OpenGL for the visualization and MFC classes for the user interface. We report on our experience about implementing with the IGES interface which serves as input for storage of geometric information. For mesh-free numerical solvers, it is helpful to decompose the boundary of a given solid into a set of four-sided surfaces. Additionally, we will describe the treatment of diffeomorphisms on four-sided domains by using transfinite interpolations. In particular, Coons and Gordon patches are appropriate for dealing with such mappings when the equations of the delineating curves are explicitly known. On the other hand, we show the implementation of the mesh generation algorithms which invoke the Laplace-Beltrami operator. We start from coarse meshes which one refine according to generalized Delaunay techniques. Our software is also featured by its ability of treating assembly of solids in B-Rep scheme.

Given a square with integer side length n, we ask for the number of different ways to divide it into sub-squares, considering only the list of parts. We enumerate all possible lists and check whether a placement with those squares is possible. In order to do this, we propose a new algorithm for creating perfect square packings.

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem $Au = f$ mit Koeffizientenmatrix $A$, welche eine spezielle block-tridiagonale Struktur besitzt. Solche lineare Gleichungssysteme entstehen bei der Diskretisierung dreidimensionaler elliptischer Randwertprobleme mit 7- oder 27-Punkte-Stern. In geophysikalischen Anwedungen, insbesondere bei Aufgaben aus der Geoelektrik, haben die Randwertprobleme unstetige Koeffizienten und sind meistens auf nicht-uniformen Gittern diskretisiert. Klassische geometrische Mehrgitterverfahren konvergieren um so langsamer, je stärker die Koeffizientensprünge ausfallen. Außerdem kann die Konvergenz durch die Variation der Gitterabstände beeinträchtigt werden. Zur Lösung wird ein matrix-abhängiges Mehrgitterverfahren vorgestellt. Als Glätter wird eine unvollständige Block LU-Zerlegung verwendet. Die Gittertransferoperationen werden anhand der Einträge der Matrix $A$ ermittelt. Das resultierende Verfahren erweist sich als sehr robust, insbesondere wenn es als Vorkonditionierung für das Verfahren der konjugierten Gradienten eingesetzt wird.

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem $Au = f$ mit Koeffizientenmatrix $A$, welche eine spezielle block-tridiagonale Struktur besitzt. Solche lineare Gleichungssysteme entstehen bei der Diskretisierung dreidimensionaler elliptischer Randwertprobleme mit 7- oder 27-Punkte-Stern. In geophysikalischen Anwedungen, insbesondere bei Aufgaben aus der Geoelektrik, haben die Randwertprobleme unstetige Koeffizienten und sind meistens auf nicht-uniformen Gittern diskretisiert. Klassische geometrische Mehrgitterverfahren konvergieren um so langsamer, je stärker die Koeffizientensprünge ausfallen. Außerdem kann die Konvergenz durch die Variation der Gitterabstände beeinträchtigt werden. Zur Lösung wird ein matrix-abhängiges Mehrgitterverfahren vorgestellt. Als Glätter wird eine unvollständige Block LU-Zerlegung verwendet. Die Gittertransferoperationen werden anhand der Einträge der Matrix $A$ ermittelt. Das resultierende Verfahren erweist sich als sehr robust, insbesondere wenn es als Vorkonditionierung für das Verfahren der konjugierten Gradienten eingesetzt wird.

In der vorliegenden Diplomarbeit wird untersucht welche Wirkungen der Industriegüterhandel auf die Beschäftigung im Verarbeitenden Gewerbe Indiens hat. Dazu werden die Implikationen der handelstheoretischen Modelle der Neoklassik, der Neuen sowie der Neu-Neuen Handelstheorie abgeleitet und erörtert. Es schließt sich eine empirische Analyse an, die sich an Jenkins und Sen (2006) orientiert. Dabei werden zunächst der Faktorgehalt sowie die Handelsstruktur analysiert. Um die Beschäftigungseffekte zu quantifizieren, erfolgt eine Zerlegung des Beschäftigungswachstums. Es wird auch untersucht, inwiefern die handelsinduzierte Wettbewerbsintensivierung zu einem effizienteren Arbeitseinsatz geführt hat. Die Ergebnisse zeigen, dass die handelsinduzierten Beschäftigungseffekte im Beobachtungszeitraum zwar positiv, aber vergleichsweise gering ausgefallen sind. Gleichzeitig wirkt sich die Entwicklung der Handelsstruktur zunehmend negativ auf das potentielle Beschäftigungswachstum aus, sodass auf Basis der hier gewonnenen Erkenntnisse nicht davon auszugehen ist, dass zukünftige Handelsflüsse einen signifikanten Beitrag zur Schaffung neuer Beschäftigungsmöglichkeiten leisten können. / This paper investigates the employment effects of trade in the manufacturing sector in India. In a first step the theoretical implications of different trade theories, including the Neoclassical, the New and the New-New trade theory, are discussed. The employment effects are then analyzed from an empirical perspective, where the approach is taken from Jenkins and Sen (2006). The analysis comprises a factor content analysis of trade flows and a decomposition of employment growth. It is also examined whether the trade induced increase in competition has led to a more efficient use of labor. The results show, that the employment effects have been positive over the whole observation period. However, they are comparatively small. Additionally, the development of the trade structure lowers the potential of trade induced employment growth. Based on these results, it can be concluded that future trade flows will not significantly help to create new jobs in the manufacturing sector in India.

Wir modellieren einen Finanzmarkt mit unendlich vielen Wertpapieren als stochastischen Prozeß X in stetiger Zeit mit Werten in einem separablen Hilbertraum H. In diesem Rahmen zeigen wir die Äquivalenz von Vollständigkeit des Marktes und der Eindeutigkeit des äquivalenten Martingalmaßes unter der Bedingung, daß X stetige Pfade besitzt. Weiter zeigen wir, daß (unter gewissen technischen Bedingungen) für X die Abwesenheit von asymptotischer Arbitrage der ersten/zweiten Art (im Sinne von Kabanov/Kramkov) äquivalent zur Absolutstetigkeit des Referenzmaßes zu einem eindeutigen, lokal äquivalenten Martingalmaß ist. Hat X stetige Pfade, so ist die Abwesenheit von allgemeiner asymptotischer Arbitrage äquivalent zur Existenz eines äquivalenten lokalen Martingalmaßes. Außerdem geben wir ein Kriterium für die Existenz einer optionalen Zerlegung von X an. Dies wenden wir auf das Problem der Risikominimierung bei vorgegebener Investitionsobergrenze (effizientes Hedgen (Föllmer/Leukert)) an, um dieses im unendlichdimensionalen Kontext zu behandeln. Außerdem stellen wir eine unendlichdimensionale Erweiterung des Heath-Jarrow-Morton-Modells vor und nutzen den Potentialansatz nach Rodgers, um zwei weitere Zinsstrukturmodelle zu konstruieren. Als Beitrag zur allgemeinen stochastischen Analysis in Hilberträumen beweisen wir eine pfadweise Version der Itoformel für stochastische Prozesse mit stetigen Pfaden in einem separablen Hilbertraum. Daraus läßt sich eine pfadweise Version des Satzes über die Vertauschbarkeit von stochastischem und Lebesgue-Integral ableiten. Außerdem zeigen wir eine Version der Clark-Formel für eine Brownsche Bewegung mit Werten in einem Hilbertraum. / We model a financial market with infinitely many assets as a stochastic process X with values in a separable Hilbert space H. In this setting we show the equivalence of market completeness and the uniqueness of the equivalent martingale measure, if X has continuous paths. Another result for our model is, that under some technical conditions, the absence of asymptotic arbitrage of the first/second kind (in the sense of Kabanov/Kramkov) is equivalent to the absolute continuity of the reference measure to a unique, locally equivalent, martingale measure. If X has continuous paths, the absence of general asymptotic arbitrage is equivalent to the existence of an equivalent local martingale measure. Furthermore, we give a sufficient condition for the existence of the optional decomposition of X. We apply this result to the problem of risk minimization with given upper limit for investion (efficient hedging (Föllmer/Leukert)). This allows us to solve this optimization problem in our infinite dimensional context. Another result is an infinite dimensional extension of the Heath-Jarrow-Morton term structure model. Two further term structure models are constructed, using the Markov potential approach developed by Rodgers. As a contribution to the theory of stochastic analysis in Hilbert spaces, we proof a pathwise version of the Ito formula for stochastic processes with continuous paths in a separable Hilbert space. This leads to a pathwise version of the interchangability theorem for stochastic and Lebesgue integrals. We also show a version of the Clark formula for Hilbert space valued Brownian motion.

In this paper I present a theoretical analysis (genetic decomposition) of the cognitive constructions for the concept of infinite Riemann sums following Piaget\'s model of epistemology. This genetic decomposition is primarily based on my own mathematical knowledge as well as on my continual observations of students in the process of learning. Based on this analysis I plan to suggest instructional procedures that motivate the mental activities described in the proposed genetic decomposition. In a later study, I plan to present empirical data in the form of informal interviews with students at different stages of learning. The analysis of those interviews may suggest a review of my initial genetic decomposition.

In dieser Arbeit wird die de-Rham-Kohomologie für die Quantengruppen zu den vier klassischen Serien von Lie-Gruppen bestimmt und es wird der Hodgeschen Zerlegungssatz gezeigt. Als entscheidendes Mittel wurde der Laplace-Beltrami-Operator L für Woronowicz’ äußere Algebren entwickelt. Für transzendente Werte von q und reguläre Kalkülparameter z ist L diagonalisierbar. Für die obigen Quantengruppen bestimmen wir die Eigenwerte von L, die neben q und z von zwei integralen dominanten Gewichten abhängen. Wie im klassischen Fall wird die de-Rham-Kohomologie durch harmonische Formen repräsentiert. Jedoch entspricht nur im Fall der A-Serie jeder harmonischen Form auch eine de-Rham-Kohomologieklasse. Im Falle der B-, C- und D-Serien sind biinvariante Formen nicht notwendig geschlossen. Es gilt aber, dass jede biinvariante Form harmonisch ist. Das zweite Hauptresultat ist die Hodge-Zerlegung für die Quantengruppen GLq(N) und SLq(N): Ist der Kalkülparameter z regulär, so lässt sich jede Form eindeutig zerlegen in die Summe aus einem Rand, einem Korand und einem Kohomologierepräsentanten. Ferner gilt, analog zum klassischen Fall, dass die folgenden drei Formenräume übereinstimmen: die biinvarianten Formen, die harmonischen Formen und die de-Rham-Kohomologie. Für die orthogonalen und symplektischen Quantengruppen gibt es keine vollständige Hodge-Zerlegung. Nur für die Elemente, die im Bild des Laplace-Beltrami-Operators liegen, gibt es eine eindeutige Zerlegung in Rand und Korand. Für die Standardkalküle auf den Quantengruppen GLq(N) und SLq(N) wird die Größe von Woronowicz’ äußerer Algebra bestimmt. Es wird gezeigt, dass der Raum der linksinvarianten k-Formen (N² über k)-dimensional ist. Die Algebra der biinvarianten Formen ist graduiert kommutativ. Ihre Poincaré-Reihe ist (1+t)(1+t³) ... (1+t^(2N-1)). Biinvariante Formen sind geschlossen. / Consider one of the standard bicovariant first order differential calculi for the quantum groups GLq(N), SLq(N), SOq(N), or SPq(N), where q is a transcendental complex number. It is shown that the de Rham cohomology of Woronowicz'' external algebra coincides with the de Rham cohomologies of its left-invariant, its right-invariant and its bi-invariant subcomplexes. In the cases GLq(N) and SLq(N), the cohomology ring is isomorphic to the left-invariant external algebra and to the vector space of harmonic forms. We prove a Hodge decomposition theorem in these cases. The main technical tool is the spectral decomposition of the quantum Laplace-Beltrami operator. As in the classical case all three spaces of differential forms coincide: bi- invariant forms, harmonic forms and the de-Rham-cohomology. For orthog- onal and symplectic quantum groups there is no complete Hodge decompo- sition. In case of the standard calculi on the quantum groups GLq(N) and SLq(N), the size of exterior algebra is computed. The space of left-invariant k-forms has dimension C(N², k) (binomial coefficient). The algebra of bi-invariant forms is graded commutative with Poincaré series (1+t)(1+t³) ... (1+t^(2N-1)). Bi-invariant forms are closed.

Die Arbeit basiert auf zwei Veröffentlichungen zur graduierten kommutativen Algebra: Thema des ersten Artikels ist die Übertragung eines klassischen Ergebnisses zur Höhe von Primidealen in Polynomringen auf allgemeine multigraduierte Ringe; einige Anwendungen für die multigraduierte Dimensionstheorie werden vorgestellt. Der zweite Artikel behandelt Hilbertreihen von Moduln über einem standard-graduierten Polynomring über einem Körper. Ausgehend von einem grundlegenden Ergebnis über gewisse formale Laurentreihen werden unter anderem die möglichen Hilbertreihen und h-Vektoren solcher Moduln charakterisiert.

Die Reichhaltigkeit und breite Anwendbarkeit der Theorie der holomorphen Funktionen in der komplexen Ebene ist stark motivierend eine ähnliche Theorie für höhere Dimensionen zu entwickeln. Viele Forscher waren und sind in diese Aufgaben involviert, insbesondere in der Entwicklung der Quaternionenanalysis. In den letzten Jahren wurde die Quaternionenanalysis bereits erfolgreich auf eine Vielzahl von Problemen der mathematischen Physik angewandt. Das Ziel der Dissertation besteht darin, holomorphe Strukturen in höheren Dimensionen zu studieren. Zunächst wird ein neues Holomorphiekonzept vorgelegt, was auf der Theorie rechtsinvertierbarer Operatoren basiert und nicht auf Verallgemeinerungen des Cauchy-Riemann-Systems wie üblich. Dieser Begriff umfasst die meisten der gut bekannten holomorphen Strukturen in höheren Dimensionen. Unter anderem sind die üblichen Modelle für reelle und komplexe quaternionenwertige Funktionen sowie Clifford-algebra-wertige Funktionen enthalten. Außerdem werden holomorphe Funktionen mittels einer geeignete Formel vom Taylor-Typ durch spezielle Funktionen lokal approximiert. Um globale Approximationen für holomorphe Funktionen zu erhalten, werden im zweiten Teil der Arbeit verschiedene Systeme holomorpher Basisfunktionen in drei und vier Dimensionen mittels geeigneter Fourier-Entwicklungen explizit konstruiert. Das Konzept der Holomorphie ist verbunden mit der Lösung verallgemeinerter Cauchy-Riemann Systeme, deren Funktionswerte reellen Quaternionen bzw. reduzierte Quaternionen sind. In expliziter Form werden orthogonale holomorphe Funktionensysteme konstruiert, die Lösungen des Riesz-Systems bzw. des Moisil-Teodorescu Systems über zylindrischen Gebieten im R3, sowie Lösungen des Riesz-Systems in Kugeln des R4 sind. Um konkrete Anwendungen auf Randwertprobleme realisieren zu können wird eine orthogonale Zerlegung eines Rechts-Quasi-Hilbert-Moduls komplex-quaternionischer Funktionen unter gegebenen Bedingungen studiert. Die Ergebnisse werden auf die Behandlung von Maxwell-Gleichungen mit zeitvariabler elektrischer Dielektrizitätskonstante und magnetischer Permeabilität angewandt. / The richness and widely applicability of the theory of holomorphic functions in complex analysis requires to perform a similar theory in higher dimensions. It has been developed by many researchers so far, especially in quaternionic analysis. Over the last years, it has been successfully applied to a vast array of problems in mathematical physics. The aim of this thesis is to study the structure of holomorphy in higher dimensions. First, a new concept of holomorphy is introduced based on the theory of right invertible operators, and not by means of an analogue of the Cauchy-Riemann operator as usual. This notion covers most of the well-known holomorphic structures in higher dimensions including real, complex, quaternionic, Clifford analysis, among others. In addition, from our operators a local approximation of a holomorphic function is attained by the Taylor type formula. In order to obtain the global approximation for holomorphic functions, the second part of the thesis deals with the construction of different systems of basis holomorphic functions in three and four dimensions by means of Fourier analysis. The concept of holomorphy is related to the null-solutions of generalized Cauchy-Riemann systems, which take either values in the reduced quaternions or real quaternions. We obtain several explicit orthogonal holomorphic function systems: solutions to the Riesz and Moisil-Teodorescu systems over cylindrical domains in R3, and solutions to the Riesz system over spherical domains in R4. Having in mind concrete applications to boundary value problems, we investigate an orthogonal decomposition of complex-quaternionic functions over a right quasi-Hilbert module under given conditions. It is then applied to the treatment of Maxwell’s equations with electric permittivity and magnetic permeability depending on the time variable.