Cette thèse porte sur des questions liées à la conjecture de parité. On démontre la conjecture de p-parité pour un certain twist d'une courbe elliptique sur un corps local. On en déduit des résultats globaux d'invariance de la conjecture de p-parité (pour une courbe elliptique) par certaines extensions. Avec l'objectif de généraliser les résultats précédents, on démontre une formule pour les signes locaux des représentations essentiellement symplectiques et modérément ramifiées du groupe de Weil. Cette formule généralise celle, déjà connue, pour les courbes elliptiques ayant potentiellement bonne réduction. Finalement, on fait un premier pas vers la généralisation escomptée en comparant les nombres de Tamagawa et les constantes de régulation pour certains prémotifs.

Dans cette thèse, je propose des architectures de coprocesseurs haute performance pour implémenter les primitives de cryptographie asymétrique, comme le RSA, les courbes elliptiques ou le couplage. Les coprocesseurs décrits dans cette thèse ont été implémentés dans des FPGA, et présentent des performances jamais égalées auparavant dans la littérature publique sur ce type de technologie. La particularité de ces architectures est l'utilisation du Residue Number System, un mode de représentation alternatif qui utilise les restes chinois pour calculer efficacement les opérations arithmétiques sur les grands nombres. Ces travaux permettent de confirmer expérimentalement les avantages théoriques de ce mode de représentation pour l'arithmétique modulaire, issus de [14, 13, 43]. Au bénéfice théorique que le RNS apporte s'ajoute une forte capacité de parallélisation qui permet d'obtenir des designs réguliers et pipelinés, proposant une fréquence maximale importante tout en réalisant les opérations modulaires dans un nombre très faible de cycles, et ce quelle que soit la taille des nombres. A titre d'exemple, une multiplication scalaire sur une courbe de 160 bits s'effectue en 0.57 ms sur un Altera Stratix, et en 4 ms pour une courbe de 512 bits, là ou les techniques de représentation classiques réalisent la même opération en le double de temps, à technologie équivalente (excepté pour des courbes particulières). Dans le cas du couplage, le gain est encore plus intéressant, puisqu'il a permis une division par 4 de latence de la meilleure implémentation sur corps de grande caractéristique au moment de la publication de [35], et la première implémentation d'un couplage à 128 bits de sécurité sur corps de grande caractéristique à descendre en dessous de la milliseconde. Enfin, je démontre la capacité du RNS à sécuriser une implémentation haute performance, en proposant 2 contre-mesures contre les canaux auxiliaires et les fautes s'adaptant efficacement sur les coprocesseurs et pouvant être utilisées pour toutes les primitives cryptographiques basées sur l'arithmétique modulaire de grands nombres.

Nous nous intéressons aux aspects algorithmiques de la théorie des représentations modulo p de groupes de Galois p-adiques. À cet effet, l'un des outils introduits par Fontaine est la théorie de ϕ-modules : un ϕ-module sur un corps K de caractéristique p est la donnée d'un espace vectoriel de dimension finie sur K muni d'un endomorphisme ϕ, semi-linéaire par rapport au morphisme de Frobenius sur K. Les représentations à coefficients dans un corps fini du groupe de Galois absolu de K forment une catégorie équivalente à la catégorie des ϕ-modules dits " étales " sur K. Le but des travaux rassemblés ici est donner des algorithmes pour décrire le plus complètement possible la représentation associée à un ϕ-module donné. Nous étudions en préambule les ϕ-modules sur les corps finis, ce qui nous permet d'obtenir de nouveaux résultats décrivant les polynômes tordus sur un corps fini, qui sont des ob jets utilisés notamment en théorie des codes correcteurs. Cela nous permet d'améliorer en partie l'algorithme dû à Giesbrecht pour la factorisation de ces polynômes. Nous nous intéressons ensuite à la catégorie des ϕ-modules sur un corps de séries formelles de caractéristique p. Nous donnons une classification des ob jets simples de cette catégorie lorsque le corps résiduel est algébrique- ment clos, et décrivons un algorithme efficace pour décomposer un ϕ-module en ϕ-modules " isoclines ". Nous donnons des applications à l'étude algorithmique des représentations de p-torsion de groupes de Galois p-adiques.

Cette thèse se propose d'obtenir des résultats statistiques sur les zéros non-triviaux de fonctions L. Dans le cas des fonctions L de formes modulaires, on prouve qu'une proportion positive explicite de zéros non-triviaux se situe sur la droite critique. Afin d'arriver à ce résultat, il nous faut préalablement étendre un théorème sur les problèmes de convolution avec décalage additif en moyenne de manière à déterminer le comportement asymptotique du second moment intégral ramolli d'une fonction L de forme modulaire au voisinage de la droite critique. Une autre partie de cette thèse, indépendante de la précédente, est consacrée à l'étude du plus petit zéro non-trivial d'une famille de fonctions L. Ces résultats sont en particulier appliqués aux fonctions L de puissance symétrique.

Le théorème de Schneider-Lang est un critère classique de transcendance pour des nombres complexes. Il dit que des fonctions méromorphes d'ordre fini, vérifiant une équation différentielle polynomiale à coefficients dans un corps de nombres et algébriquement indépendantes ne peuvent prendre simultanément des valeurs dans ce corps de nombres qu'en un nombre fini de points. Dans cette thèse, nous démontrons des généralisations géométriques de ce critère, valables sur le corps des nombres complexes ou sur un corps p-adique. Ces résultats s'appuient sur des lemmes de Schwarz adaptés, que nous avons établis. En dimension 1, nous démontrons un théorème concernant des sous-schémas formels admettant une uniformisation par une courbe algébrique affine. En dimension supérieure, notre théorème s'applique à des sous-schémas formels admettant une uniformisation par un produit d'ouverts de la droite affine, sous l'hypothèse supplémentaire que l'ensemble des points étudiés est un produit cartésien. Les démonstrations de ces résultats reposent sur la méthode des pentes développée par J.-B. Bost et utilisent le langage de la géométrie d'Arakelov.

A l'articulation de la théorie des nombres et de la didactique des mathématiques, notre recherche vise à étudier la question de la transposition du travail du mathématicien, via l'analyse de processus de recherche de chercheurs, élèves et étudiants sur la recherche d'un même problème non résolu : la conjecture d'Erdös-Straus. Les analyses mathématiques et épistémologiques nous ont permis d'identifier différents aspects du travail du mathématicien et les éléments moteurs dans l'avancée de ses recherches. Cela nous a conduite à développer la notion de "geste" de la recherche pour décrire, analyser et mettre en perspective les processus de recherche des trois publics. Ces analyses ont mis en évidence les potentialités du problème pour créer une situation de recherche de problèmes en classe, plaçant les élèves dans une position proche de celle du mathématicien. Les analyses didactiques se sont appuyées sur la construction d'une telle situation puis sur sa mise à l'épreuve dans un contexte de laboratoire avec des élèves de terminale scientifique. Nous avons analysé finement les processus de recherche des élèves à l'aide des outils méthodologiques développés dans les analyses mathématiques et épistémologiques. Les analyses ont mis en évidence la richesse des procédures mises en oeuvre, un travail effectif de la dialectique entre les connaissances mathématiques et les heuristiques mobilisées, et selon les groupes, une mise en oeuvre de démarches de type expérimental, l'approfondissement de connaissances mathématiques notionnelles et une acquisition d'heuristiques expertes de recherche de problème non résolu. Elles montrent également la pertinence de la notion de "geste" de la recherche pour étudier la question de la transposition du travail des chercheurs.

Cette thèse porte sur les jeux d'évolution et de congestion.Après une revue des études sur les jeux de congestion dans les réseaux dans le chapitre 1, nous étudions la relation entre la composition des joueurs (non-atomiques, atomiques, composites) et les coûts d'équilibre dans les chapitres 2 et 3. En particulier, l'impact de la formation des coalitions est examiné.Les chapitres 4 et 5 introduisent le comportement de délégation dans les jeux composites et les jeux divisibles en entiers. Plusieurs jeux et processus de délégation dans des contextes différents sont définis et étudiés.Enfin, nous nous penchons sur l'aspect dynamique des jeux. Le chapitre 6 est consacré à une dynamique à deux échelles qui modélise le phénomène de sélection à niveaux multiples. La thèse est conclue par une revue des études sur les dynamiques de type réplicateur dans le chapitre 7.

Le problème de la factorisation et celui du logarithme discret sont deux fondements essentiels de nombreux algorithmes de la cryptographie à clé publique. Dans le champ des algorithmes pour attaquer ces problèmes éminemment ardus, le crible algébrique et ses algorithmes cousins occupent une place de première importance. La première partie de ce mémoire est consacrée à la présentation de la " famille " du crible algébrique, et à plusieurs de mes contributions dans ce domaine. D'autres travaux sont abordés dans la partie suivante, notamment en lien avec le problème du logarithme discret sur les jacobiennes de courbes, et à ma contribution à de nouveaux algorithmes pour ce problème dans certains cas particuliers. La partie 3 du mémoire aborde mes travaux sur le thème de l'algèbre linéaire creuse sur les corps finis, motivés par le contexte d'application des algorithmes précédemment cités. La partie 4, enfin, traite de mes travaux dans le domaine de l'arithmétique, notamment concernant l'arithmétique des polynômes sur GF(2). La proximité des travaux apparaissant dans ces parties 3 et 4 avec des problématiques d'implantation indique le souci permanent, dans mes travaux, de ne pas laisser de côté cet aspect.