L'��tude des marches al ��atoires fait appara��tre des connexions entre leurs propri��t��s alg ebriques, g ��om ��triques ou encore combinatoires et leurs propri��t��s stochastiques. Le premier exemple de telles connexions est donn �� par le th ��or��me de P olya concernant les marches al��atoires aux plus proches voisins sur le groupe Z^N. Si les marches al��atoires sur les groupes - ou sur des espaces homog��nes - fournissent beaucoup d'exemples, il serait appr��ciable d'obtenir de tels r��sultats de rigidit �� sur des structures alg��briques plus faibles telles celles de semi-groupo��de ou de groupo��de. Dans cette th��se il est consid��r�� un exemple de semi-groupo��de et un exemple de groupo��de, tous les deux sont d��fi nis �� partir de sous-graphes contraints du graphe de Cayley d'un groupe - le premier graphe est dirig�� alors que le second ne l'est pas. Pour ce premier exemple, on pr��cise un r��sultat de Campanino et Petritis - ils ont montr�� que la marche al��atoire simple etait transiente pour cet exemple de graphe dirig�� - en d ��terminant la fronti��re de Martin associ ��e �� cette marche et ��tablissant sa trivialit��. Dans le second exemple apparaissant dans ce manuscrit, on consid��re des pavages quasi-p��riodiques de l'espace euclidien obtenus �� l'aide de la m��thode de coupe et projection. Nous consid��rons la marche al��atoire simple le long des ar��tes des polytopes constituant le pavage, et nous r epondons a la question du type de celle-ci, c'est-��-dire nous d��terminons si elle est r��currente ou transiente. Nous montrons ce r esultat en etablissant des in egalit es isop erim etriques. Cette strat egie permet d'obtenir des estim��es de la vitesse de d ecroissance du noyau de la chaleur, ce que n'aurait pas permis l'utilisation d'un crit��re de type Nash-Williams.

Pour optimiser la gestion des réseaux de télécommunication, nous considérons le système de file d'attente M^X / G / 1 avec rappels et clients impatients. En utilisant la méthode des variables supplémentaires, nous obtenons les fonctions génératrices partielles de l'état stationnaire conjointe de l'état du serveur et du nombre de clients dans le groupe de rappels. Pour compléter l'analyse du modèle considéré, nous calculons la distribution stationnaire de la chaîne de Markov induite, grâce à laquelle nous présentons la propriété de la décomposition stochastique. Cependant, la fonction génératrice de la distribution stationnaire du nombre de clients dans le groupe de rappels, est obtenue sous une forme explicite, très complexe et ne révèle pas la nature de la distribution en question. Alors, nous étudions le comportement asymptotique de la variable aléatoire représentant le nombre de clients en orbite et dans le système pour des valeurs limites des différents paramètres. Nous complétons notre travail par des exemples numériques.

Cette thèse étudie le Q-processus de certains processus de branchement (superprocessus inhomogènes) ou de recombinaison (processus de Lambda-Fleming-Viot) via une approche généalogique. Dans le premier cas, le Q-processus est défini comme le processus conditionné à la non-extinction, dans le second cas comme le processus conditionné à la non-absorption. Des constructions trajectorielles des Q-processus sont proposées dans les deux cas. Une nouvelle relation entre superprocessus homogènes et processus de Lambda-Fleming-Viot est établie. Enfin, une étude du Q-processus est menée dans le cadre général des processus régénératifs

Les résultats de cette thèse sont composés de trois parties relativement indépendantes. Dans la première partie, nous reprenons le problème de la définition d'une classe de processus markoviens à une infinité de coordonnées (systèmes de particules en interaction). Nous en proposons une construction ne mettant en jeu ni d'analyse fonctionnelle (ou peu), ni de problème de martingale. Ceci est fait en utilisant des outils probabilistes élémentaires, notamment des couplages adéquats. On fait pour cela une certaine hypothèse sur les taux individuels de transition, qui a été déjà exploitée dans la construction de T. M. Liggett (1972) notamment. Notre construction a l'avantage d'expliquer, plus concrètement que dans les autres constructions, le caractère naturel de cette hypothèse. \\Dans une seconde partie, nous considérons un modèle de croissance cristalline introduit par D. J. Gates et M. Westcott en 1987, où des particules du milieu environnant s'agrègent à la surface d'un cristal à maille carrée. Le modèle est caractérisé par des taux de déposition en chaque site qui prennent une certaine forme. Nos résultats portent principalement sur la question de la récurrence et de la récurrence positive de la surface du cristal en fonction de certains paramètres. Nous montrons notamment l'existence d'une zone de paramètres dans laquelle transience et récurrence positive coexistent, et suspectée de présenter un phénomène critique. La troisième partie porte sur la question de la convergence en loi pour le processus de contact (sur Z) sous-critique vu du bord, partant d'une demi-droite de sites occupés. Nous donnons dans un premier temps une démonstration alternative d'un résultat récent de E. D. Andjel, pour la convergence en loi dans la percolation 2D orientée qui est un équivalent discret du contact. Nous établissons un résultat en relation : le processus de contact vu du bord, sur les configurations finies, admet une limite de Yaglom. Enfin nous mettons en évidence les difficultés à surmonter pour adapter le résultat d'Andjel au temps continu.

Cette thèse est consacrée à l'étude de systèmes subissant des coagulations et fragmentations succesives. Dans le cas déterministe, on travaille avec des solutions mesures de l'équation de coagulation - multifragmentation. On étudie aussi la contrepartie stochastique de ces systèmes : les processus de coalescence - multifragmentation qui sont des processus de Markov à sauts. Dans un premier temps, on étudie le phénomène de coagulation seul. D'un côté, l'équation de Smoluchowski est une équation intégro-différentielle déterministe. D'un autre côté, on considère le processus stochastique connu sous le nom de Marcus-Lushnikov qui peut être regardé comme une approximation de la solution de l'équation de Smoluchowski. Nous étudions la vitesse de convergence par rapport à la distance de type Wassertein entre les mesures lorsque le nombre de particules tend vers l'infini. Notre étude est basée sur l'homogénéité du noyau de coagulation $K$. On complémente les calculs pour obtenir un résultat qui peut être interprété comme une généralisation de la Loi des Grands Nombres. Des conditions générales et suffisantes sur des mesures discrètes et continues $mu_0$ sont données pour qu'une suite de mesures $mu_0^n$ à support compact existe. On a donc trouvé un taux de convergence satisfaisant du processus Marcus-Lushnikov vers la solution de l'équation de Smoluchowski par rapport à la distance de type Wassertein égale à $1/sqrt{n}$. Dans un deuxième temps on présente les résultats des simulations ayant pour objectif de vérifier numériquement le taux de convergence déduit précédemment pour les noyaux de coagulation qui y sont étudiés. Finalement, on considère un modèle prenant en compte aussi un phénomène de fragmentation où un nombre infini de fragments à chaque dislocation est permis. Dans la première partie on considère le cas déterministe, dans la deuxième partie on étudie un processus stochastique qui peut être interprété comme la version macroscopique de ce modèle. D'abord, on considère l'équation intégro-partielle différentielle de coagulation - multifragmentation qui décrit l'évolution en temps de la concentration $\mu_t(x)$ de particules de masse $x>0$. Le noyau de coagulation $K$ est supposé satisfaire une propriété de $\lambda$-homogénéité pour $lambda in (0,1]$, le noyau de fragmentation $F$ est supposé borné et la mesure $beta$ sur l'ensemble de ratios est conservative. Lorsque le moment d'ordre $lambda$ de la condition initial $mu_0$ est fini, on est capable de montrer existence et unicité d'une solution mesure de l'équation de coagulation - multifragmentation. Ensuite, on considère la version stochastique de cette équation, le processus de coalescence - fragmentation est un processus de Markov càdlàg avec espace d'états l'ensemble de suites ordonnées et est défini par un générateur infinitésimal donné. On a utilisé une représentation Poissonienne de ce processus et la distance $\delta_{\lambda}$ entre deux processus. Grâce à cette méthode on est capable de construire une version finie de ce processus et de coupler deux processus démarrant d'états initiaux différents. Lorsque l'état initial possède un moment d'ordre $lambda$ fini, on prouve existence et unicité de ces processus comme la limite de suites de processus finis. Tout comme dans le cas déterministe, le noyau de coagulation $K$ est supposé satisfaire une propriété d'homogénéité. Les hypothèses concernant la mesure $\beta$ sont exactement les mêmes. D'un autre côté, le noyau de fragmentation $F$ est supposé borné sur tout compact dans $(0,\infty)$. Ce résultat est meilleur que celui du cas déterministe, cette amélioration est due à la propriété intrinsèque de masse totale non-explosive que possède un système avec un moment fini d'ordre $\lambda$.

Cette thèse traite du problème de valorisation par des méthodes numériques efficaces de contrats GMWB dans une optique de calcul par formules fermées ou par méthode de Monte Carlo sous contrainte de faible nombre de simulations. Les produits GMWB sont des produits très complexes qui ont connu ces dernières années un grand succès de par la garantie dont bénéficie l'assuré sur les retraits futurs avec un effet upside dépendant de la performance du fond sous-jacent au contrat. En outre, le souscripteur dispose de nombreuses options attrayantes qu'il peut exercer à tout moment dont l'option de racheter partiellement ou totalement son contrat, la possibilité de modifier l'allocation de la prime payée (fund switching) pendant la durée du contrat et enfin l'option d'avancer ou de reporter la date de début des paiements. Cependant, de telles options cumulées avec la complexité du produit et les risques de marché et de mortalité exposent l'assureur qui doit gérer des dizaines de milliers de contrats sous plusieurs contraintes opérationnelles (temps de calcul,faible nombre de simulation, etc.) à une difficulté majeure en terme de valorisation et de couverture. Une grande partie de cette thèse (chapitres de 2, 4, 5 et 6) est consacrée à l'étude de l'option de rachat partiel ou total dans les contrats GMWB selon deux angles : le point de vue assuré rationnel et le point de vue couvreur appréhendant le pire cas. A ce propos, dans notre cadre général en temps discret avec une volatilité locale et taux d'intérêt à la Hull-White 1 facteur, la stratégie optimale déterminant le coût du contrat dans les deux cas est la solution d'un problème de contrôle stochastique optimal en temps discret. Néanmoins, grâce à une propriété d'homogénéité partielle sur le prix et les flux, on démontre qu'elle est explicite et de type Bang-Bang. Le problème de valorisation étant ainsi ramené à celui d'arrêt optimal , nous avons proposé une méthode de Monte Carlo de type Longstaff Schwartz dont l'étape de régression empirique a été traitée par la méthode de moindres carrés habituels et par une nouvelle méthode appelée VCP (Variables de contrôle préliminaires). Cette dernière consiste dans un premier temps à réduire la variance empirique des flux à régresser à travers une projection L2 sur des variables de contrôle adaptées et centrées, et puis à faire la régression par moindres carrées habituels sur les nouveaux flux à variance réduite. Une étude numérique sur un cas test ainsi qu'une quantification théorique de l'erreur par les techniques de régression non paramétriques ont conclu à son efficacité dans un contexte de faible nombre de simulation (contrainte d'Axa). Quant au chapitre 3, il est consacré à justifier numériquement et théoriquement l'hypothèse de mutualisation du risque de mortalité souvent supposée par les praticiens dans le cas américain sur un produit simple sensible à ce risque. Enfin, la dernière partie de la thèse (chapitre 7) est consacrée à la valorisation par formules fermées approchées pour des contrats GMWB simplifiés dans un modèle Black Scholes avec taux d'intérêt de dynamique Hull-White à 1 facteur. En effectuant un développement asymptotique sur le montant des retraits, on obtient des formules approchées du prix du contrat GMWB par un prix Black-Scholes corrigé par une somme explicite de Grecques, le tout étant plus rapide à évaluer. Des estimations d'erreur sont établies lorsque la fonction payoff est régulière. La précision des formules asymptotiques est testée numériquement et montre un excellent comportement de ces approximations, même pour des contrats à longue maturité (20 ans).

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques propriétés mathématiques de deux modèles de population : le processus Fleming-Viot généralisé d'une part et le processus de branchement d'autre part. Dans les deux cas, la population est composée d'une infinité d'individus, chacun étant caractérisé par un type génétique. Au cours du temps les fréquences asymptotiques de ces types évoluent de façon aléatoire au travers d'événements de reproduction où un individu tiré aléatoirement donne naissance à une descendance portant le même type génétique. Mathématiquement ces deux modèles sont décrits par des processus aléatoires à valeurs mesures. Afin de donner un sens à la généalogie de la population sous-jacente, plusieurs approches ont été proposées au cours des quinze dernières années. La contribution principale de cette thèse consiste en l'unification de deux constructions : la représentation lookdown définie par Peter Donnelly et Thomas Kurtz en 1999 et les flots stochastiques de ponts (ou de subordinateurs) introduits au début des années 2000 par Jean Bertoin et Jean-François Le Gall. Cette unification nécessite l'introduction d'objets nouveaux (les Eves, les flots stochastiques de partitions) et repose sur une étude fine des comportements asymptotiques des deux modèles mentionnés précédemment. En particulier, nous définissons la propriété d'Eve comme suit : si la fréquence asymptotique d'un type génétique tend vers $1$ lorsque $t$ devient grand alors la population descend asymptotiquement d'un seul individu au temps initial, appelé l'Eve de la population. Dans le cas des processus de branchement nous obtenons une condition nécessaire et suffisante sur le paramètre du modèle (aussi appelé mécanisme de branchement) qui assure que cette propriété d'Eve est vérifiée. Nous obtenons également une classification complète de tous les autres comportements possibles. Dans le cas des processus Fleming-Viot généralisés, nous obtenons une classification partielle des comportements possibles en fonction du paramètre du modèle. Enfin, lorsque la propriété d'Eve est vérifiée, nous construisons de façon trajectorielle la représentation lookdown à partir d'un flot stochastique de ponts (ou de subordinateurs). Nous présentons également une étude complète du processus de branchement explosif conditionné à la non-explosion et faisons apparaître une famille infinie de mesures quasi-stationnaires pour ce processus. Finalement nous nous intéressons au processus des longueurs du coalescent de Kingman dynamique et présentons une construction alternative à celle de Pfaffelhuber, Wakolbinger et Weisshaupt.

Depuis septembre 2006, je suis maître de conférences à l'université Montesquieu Bordeaux IV en mathématiques appliquées. Je suis membre du GREThA (groupement de recherche en économie théorique et appliquée), de l'IMB (Institut de Mathématiques de Bordeaux, équipe probabilités et statistique) et de l'équipe Inria CQFD (contrôle de qualité et fiabilité dynamique). Depuis mon arrivée à Bordeaux, mes travaux de recherche se poursuivent dans deux directions principales : l'une concerne les processus auto-régressifs de bifurcation sur des arbres binaires et l'autre le développement d'outils numériques pour le contrôle des processus markoviens déterministes par morceaux. Il s'agit de processus en temps continu qui changent de régime de façon markovienne au cours du temps. Ce mémoire présente uniquement mes travaux réalisés à Bordeaux depuis 2006.

Nous considérons le mouvement brownien branchant qui est un objet mathématique modélisant l'évolution d'une population. Dans ce système, les individus se déplacent indépendamment selon des mouvement browniens et se divisent indépendamment à taux 1 en deux individus. Nous nous intéressons à la position la plus à droite (resp. à gauche) au temps s, qui est définie comme le maximum (resp. le minimum) des positions des individus vivants à ce temps-là. D'après Lalley et Sellke \cite{Lalley-Sellke1987}, chaque individu apparu dans ce système aura un descendant atteignant la position la plus à droite. Nous étudions ce phénomène quantitativement, en estimant le premier instant où chaque individu vivant à l'instant s a eu un tel descendant. Nous étudions ensuite la marche aléatoire branchante en temps discret qui est un système analogue dans lequel les marches aléatoires sont indexées par un arbre de Galton-Watson. On définit de la même façon la position la plus à droite et celle la plus à gauche à la génération n. Nous considérons la marche partant de la racine qui va à la position la plus à gauche. le chemin reliant la racine à la position la plus à gauche. Nous montrons que cette marche, convenablement renormalisée, converge en loi vers une excursion brownienne normalisée. Dans la dernière partie de cette thèse, nous nous plaçons "dans un cadre avec un critère de sélection". Etant donné un arbre régulier dont chaque individu a N enfants, nous attachons à chaque individu une variable aléatoire. Toutes les variables attachées sont i.i.d., de loi uniforme sur [0,1]. La sélection intervient de la façon suivante: un individu est conservé si le long du chemin le plus court le reliant à la racine, les variables aléatoires attachées sont croissantes; les autres individus sont éliminés du système. Nous étudions le comportement asymptotique de la population dans le processus lorsque N tend vers l'infini.

Ce manuscrit est un document de synthèse et de présentation d'une majorité des travaux que j'ai effectués entre septembre 2008 et septembre 2013 (voir la liste des publications ci-dessous1). Les publications [P1-6] sont issues de la thèse ainsi qu'une grande partie de [P11]. Afin de présenter un document concis et cohérent nous avons choisi de ne pas traiter les publications [P3], [P5], [P9] et [P10]. Que mes co-auteurs m'excusent. Le document est construit autour de deux parties principales : les arbres aléatoires d'une part et les cartes planaires aléatoires d'autre part. Les contributions originales sont signalées par des théorèmes encadrés et sont numérotés 1, 2, 3, . . ..