[pt] Grupos de Coxeter ou de reflexões são importantes no estudo de inúmeras áreas da matemática, incluindo grupos e álgebras de Lie. Nesta dissertação apresentaremos a teoria básica de grupos de reflexões e a classificação dos grupos hiperbólicos, i.e., daqueles que agem no espaço hiperbólico tendo como domínio fundamental um politopo compacto. / [en] Groups of Coxeter or of reflections they are important in the study of countless areas of the mathematics, including groups and algebras of Lie. In this dissertation we will present the basic theory of groups of reflections and the classification of the hyperbolic groups, this is of those that act in the hyperbolic space tends as fundamental domain a compact politopo.

[pt] Um politopo convexo é semiregular se todas as suas faces forem regulares e o grupo de isometrias agir transitivamente sobre os vértices. A classificação dos politopos semiregulares inclui algumas famílias infinitas, algumas exceções em dimensão baixa e uma família, os politopos de Gosset, que está definida para dimensão entre 3 e 8. Certos grupos de isometrias de R(n) gerados por reflexões são chamados grupos de Coxeter. A classificação dos grupos de Coxeter inclui três famílias infinitas, algumas exceções em dimensão menor ou igual a 4 e os grupos excepcionais E(6), E(7) e E(8). O grupo E(n) é o grupo das isometrias do politopo de Gosset em dimensao n. Nesta dissertação construiremos os grupos de Coxeter En, os politopos de Gosset e indicaremos a relação destes objetos com os reticulados e as álgebras de Lie também conhecidos como E(n). / [en] A convex polytope is semiregular if all its faces are regular and the group of isometries acts transitively over vertices. The classification of semiregular polytopes includes a few infinite families, some low dimensional exceptions and a family, the Gosset polytopes, which is defined for dimension 3 to 8. Certain groups of isometries of R(n) generated by reflections are called Coxeter groups. The classification of finite Coxeter groups includes three infinite families, some exceptions in dimension 4 or lower and the exceptional groups E(6), E(7) and E(8). The group En is the group of isometries of the Gosset polytope in dimension n. In this dissertation we construct the Coxeter groups En, the Gosset polytopes and indicate the relationship of these objects with the lattices and Lie algebras which are also known as E(n).

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse se propose d'étudier sous divers points de vue les groupes d'automorphismes d'immeubles. Un de ses objectifs est de mettre en valeur les différences autant que les analogies entre les immeubles affines et non affines. Pour appuyer cette dichotomie, on y démontre que les groupes d'automorphismes d'immeubles non affines n'ont jamais de paire de Gelfand, contrairement aux immeubles affines. Dans l'autre sens, pour souligner l'analogie entre immeubles affines et non affines, on définit une nouvelle notion de bord combinatoire d'un immeuble. Dans le cas des immeubles affines, ce bord s'identifie au bord polyédral. On relie la construction de ce bord à d'autres constructions déjà existantes, par exemple, la compactification de Busemann du graphe des chambres. La compactification combinatoire est également isomorphe à la compactification par la topologie de Chabauty de l'ensemble des chambres, sous des hypothèses de transitivité. On relie aussi le bord combinatoire à un autre espace, généralisant une construction de F. Karpelevic pour les espaces symétriques : celle du bord raffiné d'un espace CAT(0).On démontre alors que les points du bord paramètrent les sous-groupes moyennables maximaux de l'immeuble, à indice fini près. Enfin, on prouve que l'action du groupe d'automorphismes d'un immeuble localement fini sur le bord combinatoire de ce dernier est moyennable, fournissant ainsi des résolutions en cohomologie bornée et des applications bord explicites. Ceci donne aussi une nouvelle preuve que ces groupes satisfont la conjecture de Novikov.

Originally presented as the author's Thesis (Ph. D.)--Scuola normale superiore Pisa. / Includes bibliographical references (p. [125]-131) and index.

University, Diss., 2003--München.

Thesis (Ph. D.)--Ohio State University, 2007. / Title from first page of PDF file. Includes bibliographical references (p. 51-52).

Soit Г un graphe de Coxeter. Soient W le groupe de Coxeter, A le groupe d'Artin, et A+ le monoïde d'Artin, associés à Г. Soit G un groupe de symétries du graphe de Coxeter Г. Alors G agit sur W, A et A+, et il est connu que le sous-groupe fixe, WG, est un groupe de Coxeter, le sous-monoïde fixe, A+G, est un monoïde d'Artin, et, lorsque Г est de type sphérique, le sous-groupe fixe, AG, est un groupe d'Artin. Cette thèse étudie le comportement de WG, A+G et AG par rapport à des représentations fidèles de W, A et A+, respectivement.Dans un premier temps nous considérons les représentations enracinées introduites par Krammer dans sa thèse. Ce sont une généralisation des représentations canoniques. On se donne une telle représentation f : W → GL(V ) et on suppose que l'action de G sur les racines simples s'étend à V . Dans ce cas f induit une représentation linéaire fG : WG → GL(V G). Nous démontrons que cette représentation est aussi une représentation enracinée. En particulier, elle est fidèle.Dans un second temps nous supposons que Г est simplement lacé, c'est-à-dire que les arêtes de Г n'ont pas de poids. Nous considérons une représentation linéaire fidèle ψ : A+ → GL(E) introduite par Paris. Si Г est de type sphérique, alors cette représentation induit une représentation fidèle ψ : A → GL(E) du groupe. Dans le cas des groupe de tresses, c'est la célèbre représentation linéaire fidèle étudiée par Bigelow et Krammer. Nous démontrons que G agit aussi sur E, que la représentation ψ : A+ → GL(E) est équivariante, et qu'elle induit une représentation fidèle ψ : A+G → GL(EG). Si Г est de type sphérique, alors on obtient une représentation fidèle du groupe fixe, ψ : AG → GL(EG). Finalement, nous déterminons les cas où EG admet une base naturelle en bijection avec le système de racines positives de WG. Ce dernier résultat est motivé par la recherche d'une extension de la représentation ψ : A+ → GL(E) aux graphes qui ne sont pas simplement lacés. / Let Г be a Coxeter graph. Let W be the Coxeter group, A be the Artin group, and A+ be the Artin monoid associated with Г. Let G be a group of symmetries of Г. Then G acts on W, A and A+. The fixed subgroup WG is known to be a Coxeter group, the fixed submonoid A+G is known to be an Artin monoid, and, when Г is of spherical type, the fixed subgroup AG is known to be an Artin group. This thesis studies the behavior of WG, A+G and AG with respect to some faithful linear representations of W, A and A+, respectively.Firstly, we consider the rooted representations of the Coxeter groups introduced by Krammer in his Ph. D. Thesis. These are a generalization of the canonical representations. We take such a linear representation f : W → GL(V ), assuming that the action of G on the simple roots extends to V . Then f induces a linear representation fG : WG → GL(V G). We prove that fGis a rooted representation of WG. In particular, fG is faithful.Afterwards, we assume that Г is simply laced, that is, all the edges of Г are label free. Then we consider a faithful linear representation ψ : A+ → GL(E) introduced by Paris. If Г is of spherical type, this representation extends to a faithful linear representation ψ : A → GL(E) of the Artin group. In the case of the braid groups, it is the celebrated representation studiedby Bigelow and Krammer. Take a group G of symmetries of Г. We prove that G acts on E, that the representation ψ : A+ → GL(E) is equivariant, and that it induces a faithful linear representation ψ : A+G → GL(EG). If Г is of spherical type, then we get a faithful linear representation ψ : AG → GL(EG) of the fixed subgroup. Finally, we determine the cases where EG admits a natural basis in one-to-one correspondence with the positive root system of WG. This last result is motivated by the search of an extension of the linear representation ψ : A+ → GL(E) to Artin monoids (or groups) that are not simply laced.

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