Cette thèse présente une étude des applications des groupes de réflexion finis aux problems liés aux réseaux bidimensionnels et aux polytopes tridimensionnels. Plusieurs familles de fonctions orbitales, appelées fonctions orbitales de Weyl, sont associées aux groupes de réflexion cristallographique. Les propriétés exceptionnelles de ces fonctions, telles que l’orthogonalité continue et discrète, permettent une analyse de type Fourier sur le domaine fondamental d’un groupe de Weyl affine correspondant. Dans cette considération, les fonctions d’orbite de Weyl constituent des outils efficaces pour les transformées discrètes de type Fourier correspondantes connues sous le nom de transformées de Fourier–Weyl. Cette recherche limite notre attention aux fonctions d’orbite de Weyl symétriques et antisymétriques à deux variables du groupe de réflexion cristallographique A2. L’objectif principal est de décomposer deux types de transformations de Fourier–Weyl du réseau de poids correspondant en transformées plus petites en utilisant la technique de division centrale. Pour les cas non cristallographiques, nous définissons les indices de degré pair et impair pour les orbites des groupes de réflexion non cristallographique avec une symétrie quintuple en utilisant un remplacement de représentation-orbite. De plus, nous formulons l’algorithme qui permet de déterminer les structures de polytopes imbriquées. Par ailleurs, compte tenu de la pertinence de la symétrie icosaédrique pour la description de diverses molécules sphériques et virus, nous étudions la brisure de symétrie des polytopes doubles de type non cristallographique et des structures tubulaires associées. De plus, nous appliquons une procédure de stellation à la famille des polytopes considérés. Puisque cette recherche se concentre en partie sur les fullerènes icosaédriques, nous présentons la construction des nanotubes de carbone correspondants. De plus, l’approche considérée pour les cas non cristallographiques est appliquée aux structures cristallographiques. Nous considérons un mécanisme de brisure de symétrie appliqué aux polytopes obtenus en utilisant les groupes Weyl tridimensionnels pour déterminer leurs extensions structurelles possibles en nanotubes. / This thesis presents a study of applications of finite reflection groups to the problems related to two-dimensional lattices and three-dimensional polytopes. Several families of orbit functions, known as Weyl orbit functions, are associated with the crystallographic reflection groups. The exceptional properties of these functions, such as continuous and discrete orthogonality, permit Fourier-like analysis on the fundamental domain of a corresponding affine Weyl group. In this consideration, Weyl orbit functions constitute efficient tools for corresponding Fourier-like discrete transforms known as Fourier–Weyl transforms. This research restricts our attention to the two-variable symmetric and antisymmetric Weyl orbit functions of the crystallographic reflection group A2. The main goal is to decompose two types of the corresponding weight lattice Fourier–Weyl transforms into smaller transforms using the central splitting technique. For the non-crystallographic cases, we define the even- and odd-degree indices for orbits of the non-crystallographic reflection groups with 5-fold symmetry by using a representation-orbit replacement. Besides, we formulate the algorithm that allows determining the structures of nested polytopes. Moreover, in light of the relevance of the icosahedral symmetry to the description of various spherical molecules and viruses, we study symmetry breaking of the dual polytopes of non-crystallographic type and related tube-like structures. As well, we apply a stellation procedure to the family of considered polytopes. Since this research partly focuses on the icosahedral fullerenes, we present the construction of the corresponding carbon nanotubes. Furthermore, the approach considered for the non-crystallographic cases is applied to crystallographic structures. We consider a symmetry-breaking mechanism applied to the polytopes obtained using the three-dimensional Weyl groups to determine their possible structural extensions into nanotubes.

Lorsque W est un groupe de réflexion complexe bien engendré, le treillis NCP_W des partitions non-croisées de type W est un objet combinatoire très riche, généralisant la notion de partitions non-croisées d'un n-gone, et intervenant dans divers contextes algébriques (monoïde de tresses dual, algèbres amassées...). De nombreuses propriétés combinatoires de NCP_W sont démontrées au cas par cas, à partir de la classification des groupes de réflexion. C'est le cas de la formule de Chapoton, qui exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans le treillis NCP_W en fonction des degrés invariants de W. Les travaux de cette thèse sont motivés par la recherche d'une explication géométrique de cette formule, qui permettrait une compréhension uniforme des liens entre la combinatoire de NCP_W et la théorie des invariants de W. Le point de départ est l'utilisation du revêtement de Lyashko-Looijenga (LL), défini à partir de la géométrie du discriminant de W. Dans le chapitre 1, on raffine des constructions topologiques de Bessis, permettant de relier les fibres de LL aux factorisations d'un élément de Coxeter. On établit ensuite une propriété de transitivité de l'action d'Hurwitz du groupe de tresses B_n sur certaines factorisations. Le chapitre 2 porte sur certaines extensions finies d'anneaux de polynômes, et sur des propriétés concernant leurs jacobiens et leurs discriminants. Dans le chapitre 3, on applique ces résultats au cas des extensions définies par un revêtement LL. On en déduit — sans utiliser la classification — des formules donnant le nombre de factorisations sous-maximales d'un élément de Coxeter de W en fonction des degrés homogènes des composantes irréductibles du discriminant et du jacobien de LL.

With the advent of quantum computers, the security of number-theoretic cryptography has been compromised. Consequently, new cryptosystems have been suggested in the field of non-commutative group theory. In this thesis, we provide all the necessary background to understand and work with the Artin groups. We then show that Artin groups of finite type and Artin groups of large type possess an easily-computable normal form by explicitly writing the algorithms. This solution to the word problem makes these groups candidates to be cryptographic platforms. Finally, we present some combinatorial problems that can be used in group-based cryptography and we conjecture, through empirical evidence, that the conjugacy problem in Artin groups of large type is not a hard problem.

Es wird die Theorie der generischen pro-$p$ Hecke-Algebren und ihrer Bernstein-Abbildungen entwickelt. Für eine Unterklasse diese Algebren, der \textit{affinen} pro-$p$ Hecke-Algebren wird ein Struktursatz bewiesen, nachdem diese Algebren unter anderem stets noethersch sind, wenn es der Koeffizientenring ist. Hilfsmittel ist dabei der Nachweis der Bernsteinrelationen, der in abstrakter Weise geführt wird und so die bestehende Theorie verallgemeinert. Ferner wird der top. Raum der Orientierungen einer Coxetergruppe eingeführt und im Falle der erweiterten modularen Gruppe $\operatorname{PGL}_2(\mathds{Z})$ untersucht, und ausgenutzt um Kenntnisse über die Struktur der zugehörigen Hecke-Algebra als Modul über einer gewissen Unteralgebra, welche zur Spitze im Unendlichen zugeordnet ist, zu erlangen. Schließlich wird die Frage des Zerfallens des Normalisators eines maximalen zerfallenden Torus innerhalb einer zerfallenden reduktiven Gruppe als Erweiterung der Weylgruppe durch die Gruppe der rationalen Punkte des Torus untersucht, und mittels zuvor erreichter Ergebnisse auf eine kohomologische Frage zurückgeführt. Zur Teilbeantwortung dieser werden dann die Kohomologiegruppen bis zur Dimension drei der Kocharaktergitter der fasteinfachen halbeinfachen Wurzeldaten einschließlich des Rangs 8 berechnet. Mittels der Theorie der $\mathbf{FI}$-Moduln wird daraus die Berechnung der Kohomologie der mod-2-Reduktion der Kowurzelgitter für den Typ $A$ in allen Rängen bewiesen. / The theory of generic pro-$p$ Hecke algebras and their Bernstein maps is developed. For a certain subclass, the \textit{affine} pro-$p$ Hecke algebras, we are able to prove a structure theorem that in particular shows that the latter algebras are always noetherian if the ring of coefficients is. The crucial technical tool are the Bernstein relations, which are proven in an abstract way that generalizes the known cases. Moreover, the topological space of orientations is introduced and studied in the case of the extended modular group $\operatorname{PGL}_2(\mathds{Z})$, and used to determine the structure of its Hecke algebra as a module over a certain subalgebra, attached to the cusp at infinity. Finally, the question of the splitness of the normalizer of a maximal split torus inside a split reductive groups as an extension of the Weyl group by the group of rational points is studied. Using results obtained previously, this questioned is then reduced to a cohomological one. A partial answer to this question is obtained via computer calculations of the cohomology groups of the cocharacter lattices of all almost-simple semisimple root data of rank up to $8$. Using the theory of $\mathbf{FI}$-modules, these computations are used to determine the cohomology of the mod 2 reduction of the coroot lattices for type $A$ and all ranks.

Cette thèse est centrée sur l'étude des polytopes hyperboliques, des groupes de réflexions et invariants associes. Soit G un groupe de Coxeter, sous-groupe de Isom Hn. Alors, il existe un domaine fondamental P ⊂ Hn qui est naturellement associe 'a ce groupe G. Le domaine P est un polytope de Coxeter. Réciproquement, chaque polytope de Coxeter P engendre un groupe de Coxeter agissant sur Hn: le groupe engendre par les réflexions par rapport a ses facettes. Ces réflexions forment un ensemble naturel de générateurs pour le groupe G. On peut donc exprimer la série de d'accroissement fS (t) du groupe G par rapport a l'ensemble S. Par un resultat de R. Steinberg, la série d'accroissement associée correspond a la série de Taylor d'une fonction rationnelle. Le taux d'accroissement τ de G est l'inverse du rayon de convergence de cette dernière. Le taux de convergence est un entier algébrique et, par un resultat de J. Milnor, τ > 1. Par un résultat de W. Parry, si G agit sur H2 de fa¸con co-compacte, son taux d'accroissement est un nombre de Salem. Par un résultat de W. Floyd, il existe un lien géométrique entre les taux d'accroissement des groupes de Coxeter cocompacts et ceux des groupes a co-volume fini agissant sur H2. Ce lien correspond a une image géométrique de la convergence d'une suite de nombres de Salem vers un nombre de Pisot. Dans cette thèse, on verra un phénomène analogue en dimension 3. En dimension n ≥ 4, le taux d'accroissement d'un groupe de Coxeter agissant de fa¸con cocompacte sur Hn n'est plus un nombre de Salem, ni un nombre de Pisot. Nous nous intéressons a une classe particulière de groupes de Coxeter est celle des groupes de Coxeter rectangulaires. Dans ce cas, les domaines fondamentaux sont des poly- topes aux angles diedres droits. Concernant la classe de polytopes rectangulaires compacts (respectivement, 'a volume fini, id'eaux) dans H4, on pose les problèmes suivants: - déterminer le volume minimal dans ces familles, - déterminer le nombre minimal de composante combinatoire (facettes, faces, arêtes, sommets) dans ces familles. Dans le cas des polytopes rectangulaires a volume fini, la solution a été donnée par E. Vinberg, L. Potyagailo et par B. Everitt, J. Ratcliffe, S. Tschantz. Pour les polytopes rectangulaires compacts, il existe seulement une conjecture. Dans cette these, nous repondons a ces questions dans le cas des polytopes rectangulaires id'eaux.

With the advent of quantum computers, the security of number-theoretic cryptography has been compromised. Consequently, new cryptosystems have been suggested in the field of non-commutative group theory. In this thesis, we provide all the necessary background to understand and work with the Artin groups. We then show that Artin groups of finite type and Artin groups of large type possess an easily-computable normal form by explicitly writing the algorithms. This solution to the word problem makes these groups candidates to be cryptographic platforms. Finally, we present some combinatorial problems that can be used in group-based cryptography and we conjecture, through empirical evidence, that the conjugacy problem in Artin groups of large type is not a hard problem.

Cette thèse porte sur trois problèmes en combinatoire algébrique effective et algorithmique.Les premières parties proposent une approche alternative aux bases de Gröbner pour le calcul des invariants secondaires des groupes de permutations, par évaluation en des points choisis de manière appropriée. Cette méthode permet de tirer parti des symétries du problème pour confiner les calculs dans un quotient de petite dimension, et ainsi d'obtenir un meilleur contrôle de la complexité algorithmique, en particulier pour les groupes de grande taille. L'étude théorique est illustrée par de nombreux bancs d'essais utilisant une implantation fine des algorithmes. Un prérequis important est la génération efficace de vecteurs d'entiers modulo l'action d'un groupe de permutation, dont l'algorithmique fait l'objet d'une partie préliminaire.La quatrième partie cherche à déterminer, pour un certain quotient naturel d'une algèbre de Hecke affine, quelles spécialisations des paramètres aux racines de l'unité donne un comportement non générique.Finalement, la dernière partie présente une conjecture sur la structure d'une certaine $q$-déformation des polynômes harmoniques diagonaux en plusieurs paquets de variables pour la famille infinie de groupes de réflexions complexes.Tous ces chapitres s'appuient fortement sur l'exploration informatique, et font l'objet de multiples contributions au logiciel Sage.

La théorie des groupes de Coxeter, qui a pour origine l'étude des groupes<br /> d'isométries, permet de relier entre eux divers domaines d'algèbre et de<br /> géométrie, allant de la théorie des representations (des groupes de Coxeter<br /> et de Lie, des algèbres de Lie et de Hecke) et de la géométrie algébrique<br /> (variétés de Schubert) à la combinatoire (ordre de Bruhat). Les polynômes<br /> de Kazhdan-Lusztig apparaissent sous des formes assez différentes dans plusieurs<br /> de ces domaines : ces polynômes <br /> peuvent être définis comme coordonnées d'une base<br /> remarquable de l'algèbre de Hecke (ce qui donne une représentation non triviale<br /> de cette algèbre), leur valeur au point 1 intervient dans la décomposition de certains<br /> modules de Verma, et leur coefficients peuvent être interprétés comme des dimensions<br /> de certains espaces d'homologie locale. La définition originale de ces polynômes<br /> se traduit par une formule de récurrence compliquée qui conduit naturellement à<br /> s'interroger sur une éventuelle définition purement combinatoire. Ce rapport essaye<br /> de montrer quelques développements récents dans les tentatives de réponse à cette<br /> question. Notre résultat principal est le suivant : un isomorphisme entre<br /> deux intervalles initiaux préserve les polynômes de Kazhdan-Lusztig. Nous explicitons <br /> également des arguments (théoriques et calculatoires)<br /> tendant à confirmer la conjecture que cela reste vrai pour un isomorphisme entre des intervalles<br /> complètement compressibles dans des groupes de Coxeter finis.\newline<br /><br /> Mots-clés : groupe de Coxeter, polynôme de Kazhdan-Lusztig,<br /> sous-groupe de réflections, intervalle de Bruhat, couplage distingué,<br /> intervalle complètement compressible

With the advent of quantum computers, the security of number-theoretic cryptography has been compromised. Consequently, new cryptosystems have been suggested in the field of non-commutative group theory. In this thesis, we provide all the necessary background to understand and work with the Artin groups. We then show that Artin groups of finite type and Artin groups of large type possess an easily-computable normal form by explicitly writing the algorithms. This solution to the word problem makes these groups candidates to be cryptographic platforms. Finally, we present some combinatorial problems that can be used in group-based cryptography and we conjecture, through empirical evidence, that the conjugacy problem in Artin groups of large type is not a hard problem.

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