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Cette thèse est consacrée à l'étude du groupe d'automorphismes de groupes agissant sur des arbres d'une part, et du rang des groupes de Coxeter d'autre part.<p><p>Via la théorie de Bass-Serre, un groupe agissant sur un arbre est doté d'une structure algébrique particulière, généralisant produits amalgamés et extensions HNN. Le groupe est en fait déterminé par certaines données combinatoires découlant de cette action, appelées graphes de groupes. <p><p>Un cas particulier de cette situation est celle d'un produit libre. Une présentation du groupe d'automorphisme d'un produit libre d'un nombre fini de groupes librement indécomposables en termes de présentation des facteurs et de leurs groupes d'automorphismes a été donnée par Fouxe-Rabinovich. Il découle de son travail que si les facteurs et leurs groupes d'automorphismes sont de présentation finie, alors le groupe d'automorphisme du produit libre est de présentation finie. Une première partie de cette thèse donne une nouvelle preuve de ce résultat, se basant sur le langage des actions de groupes sur les arbres.<p><p>Un groupe accessible est un groupe de type fini déterminé par un graphe de groupe fini dont les groupes d'arêtes sont finis et les groupes de sommets ont au plus un bout, c'est-à-dire qu'ils ne se décomposent pas en produit amalgamé ni en extension HNN sur un groupe fini. L'étude du groupe d'automorphisme d'un groupe accessible est ramenée à l'étude de groupes d'automorphismes de produits libres, de groupes de twists de Dehn et de groupes d'automorphismes relatifs des groupes de sommets. En particulier, on déduit un critère naturel pour que le groupe d'automorphismes d'un groupe accessible soit de présentation finie, et on donne une caractérisation des groupes accessibles dont le groupe d'automorphisme externe est fini. Appliqués aux groupes hyperboliques de Gromov, ces résultats permettent d'affirmer que le groupe d'automorphismes d'un groupe hyperbolique est de présentation finie, et donnent une caractérisation précise des groupes hyperboliques dont le groupe d'automorphisme externe est fini.<p><p>Enfin, on étudie le rang des groupes de Coxeter, c'est-à-dire le cardinal minimal d'un ensemble générateur pour un groupe de Coxeter donné. Plus précisément, on montre que si les composantes de la matrice de Coxeter déterminant un groupe de Coxeter sont suffisamment grandes, alors l'ensemble générateur standard est de cardinal minimal parmi tous les ensembles générateurs. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Esse trabalho visa a investigar a estrutura bi-Hamiltoniana de uma classe de sistemas dinâmicos. Depois de introduzir as ferramentas necessárias, a saber, as noções de variedade de Poisson, de grupo de PoissonLieedenetworknodiscoenoanêl,introduziremosossistemasdinâmicos relevantes nessa dissertação, chamados de reticulados de Coxeter-Toda. Esses sistemas dinâmicos, cujo espaço de fase pode ser identicado com umoportunoquocientedeumacéluladupladeCoxeter-Bruhatdogrupo linear geral, são obtidos por redução do sistema de Toda em GLn. Na parte nal do presente trabalho apresentaremos alguns resultados relacionado à um sistema dinâmico discreto chamado de aplicação do pentagrama, o qual pode ser obtido através uma oportuna discretização do sistema dinâmico de Boussinesq. / This work aims to study the bi-Hamiltonian structure of a class of dynamical systems. After introducing the relevant tools, namely the notions of Poisson manifold, Poisson-Lie group and of network dened in a disc and in an annulus, we will introduce the dynamical systems of interest for this dissertation, i.e., the Coxeter-Toda lattices. These dynamical systems, whose phase-space can be identied with a suitable quotient of a Coxeter double Bruhat cell of the general linear group, are obtained by reduction starting from the Toda ow on GLn. In the nal part of the present work will be presented some results concerning a discrete integrable system close to the so called Pentagram map, which is a discretization of the Boussinesq dynamical system..

L'ordre faible sur un groupe de Coxeter W est un ordre partiel sur les éléments de W, intervenant dans de nombreux domaines de la combinatoire algébrique. Dans cette thèse, on propose un nouveau modèle général pour l'étude de cet ordre ainsi que d'autres ensembles ordonnés affiliés, et on explore diverses conséquences aussi bien algébriques que combinatoires de cette construction. On commence, dans le chapitre 3, par étudier une version restreinte de ce modèle. Plus précisément, on explique comment on peut associer un ensemble ordonné (aussi appelé « poset » à tout graphe orienté, simple, acyclique et muni d'une valutation sur ses sommets (aussi appelé « graphe valué »). On montre ensuite que ces posets sont en général des semi-treillis inférieurs, des treillis quand le graphe est fini, et on donne une formule explicite pour les valeurs de leurs fonctions de Möbius. On prouve ensuite que l'ordre faible sur les groupes de Coxeter de type A, B et A, le « flag weak order », ainsi que le treillis des idéaux supérieurs et inférieurs de tout poset fini peuvent être décrit avec notre modèle. Cette description amène naturellement à associer une série quasi-symétrique à chaque élément de An et An et on montre que cette série est en fait la série de Stanley associée. On présente dans le chapitre 4 les résultats centraux de la thèse, en effet on y introduit la généralisation de la construction faite au chapitre précédent au cas de tout graphe valué, c'est-à-dire sans condition s'acyclicité et de simplicité. On s'affranchit également de certaines contraintes imposées par la définition du chapitre 3, ce qui nous permet d'associer à tout graphe valué un treillis complet, et non plus un semi-treillis. En particulier, les semi-treillis du chapitre 3 se retrouvent naturellement plongés dans un treillis complet. Ceci nous amène à nous intéresser à des conjectures de Dyer portant sur l'étude d'une extension de l'ordre faible sur tout groupe de Coxeter (entre autres, il est conjecturé que ces extensions sont des treillis complets). On construit alors, à l'aide de notre formalisme, des extensions de l'ordre faible ayant beaucoup des propriétés conjecturalement attachées aux extensions de Dyer, et contenant ces dernières comme sous-poset. On conjecture que l'une de ces extensions coïncide avec celle de Dyer, et on fournit des outils pour le tester. Finalement, on étudie diverses conséquences de notre théorie : la construction d'extensions des semi-treillis cambriens (fin du chapitre 4), la construction d'un nouveau modèle combinatoire pour le treillis de Tamari et m-Tamari (chapitre 5), et enfin on propose une application à la combinatoire des tableaux (chapitre 6) / Weak order on a Coxeter group W is a partial order on W appearing in many areas of algebraic combinatorics. In this thesis, we propose a new general model for the study of the weak order and other related partially ordered sets (also called “posets”) and we explore various algebraic and combinatorial consequences of this construction. We begin with studying a restricted version of this model in Chapter 3. More precisely, we explain how one can associate a poset to any simple acyclic digraph together with a valuation on its vertices (also called “valued digraph”). We then prove that these posets are complete meet semi-lattices in general, complete lattices when the underlying digraph is finite, and we give an explicit formula to compute the value of their Möbius functions. Then, we show that the weak order on Coxeter groups of type A, B and A, the flag weak order, and the up-set (resp. down-set) lattices of any finite poset can be described within this theory. This description naturally leads to associate a quasi-symmetric function to any element of An And An, and we demonstrate that this function is in fact the corresponding Stanley symmetric function. In Chapter 4 we introduce the main results of this thesis. Indeed, we introduce in this chapter the generalization of the construction made in Chapter 3 to the case of any valued digraph, that is without the simplicity and acyclicity condition. Furthermore, this new definition allows us to get rid of some constraints of the definition of Chapter 3, allowing us to associate a complete lattice to each valued digraph. In particular, the meet semi-lattices of Chapter 3 are naturally extended into complete lattices. This leads us to the study of some conjectures of Dyer about the properties of an extension of the weak order having a lot of the properties conjecturally attached to Dyer’s extensions, and we prove that each one of our extensions contains Dyer’s extension as a sub-poset. We make the conjecture that one of this extension coincide with the one of Dyer, and we provide tools in order to test this conjecture. Finally, we study various consequences of out theory : we provide extensions of Cambrian semi-lattices into complete lattices (end of Chapter 4), we construct a new combinatorial model for Tamari and m-Tamari lattices (Chapter 5), and we finish with an application to tableaux combinatorics (Chapter 6)

Esse trabalho visa a investigar a estrutura bi-Hamiltoniana de uma classe de sistemas dinâmicos. Depois de introduzir as ferramentas necessárias, a saber, as noções de variedade de Poisson, de grupo de PoissonLieedenetworknodiscoenoanêl,introduziremosossistemasdinâmicos relevantes nessa dissertação, chamados de reticulados de Coxeter-Toda. Esses sistemas dinâmicos, cujo espaço de fase pode ser identicado com umoportunoquocientedeumacéluladupladeCoxeter-Bruhatdogrupo linear geral, são obtidos por redução do sistema de Toda em GLn. Na parte nal do presente trabalho apresentaremos alguns resultados relacionado à um sistema dinâmico discreto chamado de aplicação do pentagrama, o qual pode ser obtido através uma oportuna discretização do sistema dinâmico de Boussinesq. / This work aims to study the bi-Hamiltonian structure of a class of dynamical systems. After introducing the relevant tools, namely the notions of Poisson manifold, Poisson-Lie group and of network dened in a disc and in an annulus, we will introduce the dynamical systems of interest for this dissertation, i.e., the Coxeter-Toda lattices. These dynamical systems, whose phase-space can be identied with a suitable quotient of a Coxeter double Bruhat cell of the general linear group, are obtained by reduction starting from the Toda ow on GLn. In the nal part of the present work will be presented some results concerning a discrete integrable system close to the so called Pentagram map, which is a discretization of the Boussinesq dynamical system..

In the last few decades, combinatorial families exhibiting noncrossing or cluster phenomena have proven useful in understanding and connecting mathematical objects arising in seemingly unrelated branches of mathematics and theoretical physics. These phenomena can be modeled in the context of Coxeter groups and play an important role in algebraic combinatorics. In finite type, such families are enumerated by generalized Catalan numbers. In this thesis, we consider the extension of this theory to parabolic quotients of Coxeter groups. We outline the history, present the basic definitions and constructions, and provide a number of conjectures and research challenges arising in this context. We then solve these questions in linear type A and exhibit surprising connections of this theory to certain Hopf algebras and to the theory of diagonal harmonics. We end this thesis by proposing related directions for future research.:Chapter 0. Prologue Noncrossing partitions Triangulations Stack-sortable permutations Dyck paths Chapter 1. Preliminaries 1.1. Posets and lattices 1.1.1. A notion of order 1.1.2. Diagrams and labelings 1.1.3. Duality and multichains 1.1.4. Zeta polynomial and Möbius function 1.1.5. Lattices 1.1.6. Distributivity 1.1.7. Semidistributivity 1.1.8. Trimness 1.1.9. Congruence-uniformity 1.1.10. The core label order 1.2. Coxeter groups 1.2.1. Coxeter systems 1.2.2. The geometric representation 1.2.3. Ordering a Coxeter group 1.2.4. Orienting a Coxeter group Chapter 2. Cataland 2.1. Catalan numbers 2.2. Aligned elements 2.2.1. Cambrian lattices 2.3. Noncrossing partitions 2.4. Clusters 2.5. Nonnesting partitions 2.5.1. v-Tamari lattices 2.6. Chapoton Triangles Chapter 3. Parabolic Cataland: Origins 3.1. Parabolic quotients of Coxeter groups 3.2. Parabolic aligned elements 3.3. Parabolic noncrossing partitions 3.4. Parabolic clusters 3.5. Parabolic nonnesting partitions 3.6. Parabolic Chapoton triangles Chapter 4. Parabolic Cataland: Linear type A 4.1. Definitions 4.1.1. Parabolic quotients of the symmetric group 4.1.2. The longest α-permutation 4.1.3. The root poset of S_α and α-Dyck paths 4.1.4. c-clusters for S_α 4.1.5. c-aligned elements for S_α 4.1.6. c-noncrossing partitions for S_α 4.1.7. α-trees 4.2. Bijections 4.2.1. Noncrossing α-partitions and (α, 231)-avoiding permutations 4.2.2. Noncrossing α-partitions and α-Dyck paths 4.2.3. α-trees and (α, 231)-avoiding permutations 4.2.4. α-trees and noncrossing α-partitions 4.2.5. α-trees and α-Dyck paths 4.3. Posets 4.3.1. The weak order on S_α(231) 4.3.2. The rotation order on Dyck(α) 4.3.3. The core label order of Tam(α) 4.4. Chapoton triangles 4.5. Applications 4.5.1. A Hopf algebra on pipe dreams 4.5.2. A zeta map from diagonal harmonics Chapter 5. Epilogue 5.1. Arbitrary type A 5.2. Linear type B 5.3. (α, m)-Tamari lattices 5.4. Parabolic multiclusters Chapter A. Data A.1. Parabolic Catalan numbers in rank 3 A.2. Parabolic Catalan numbers in rank 4 A.3. Answers to Research Challenge 3.3.4 in rank 4 / Kombinatorische Familien, die nichtkreuzende oder Cluster-Phänomene aufweisen, haben sich in den letzten Jahrzehnten als wichtiges Werkzeug für das Verständnis und die Verbindung mathematischer Objekte aus scheinbar unverbundenen Teilgebieten der Mathematik und der theoretischen Physik erwiesen. Diese Phänomene können im Zusammenhang mit Coxeter-Gruppen modelliert werden, und spielen eine wichtige Rolle in der algebraischen Kombinatorik. Im endlichen Fall werden derartige kombinatorische Familien von verallgemeinerten Catalanzahlen abgezählt. In dieser Schrift betrachten wir eine Erweiterung dieser Theorie auf parabolische Quotienten von Coxeter-Gruppen. Wir stellen die historische Entwicklung und die grundlegenden Definitionen und Konstruktionen dar und präsentieren eine Reihe von Vermutungen und Forschungsfragen, die in diesem Zusammenhang entstehen. Anschließend lösen wir diese Fragen im sogenannten 'linearen Typ A' und decken überraschende Zusammenhänge dieser Theorie zu bestimmten Hopf-Algebren und zur Theorie der diagonal-harmonischen Polynome auf. Am Ende dieser Schrift schlagen wir weiterführende Forschungsrichtungen vor.:Chapter 0. Prologue Noncrossing partitions Triangulations Stack-sortable permutations Dyck paths Chapter 1. Preliminaries 1.1. Posets and lattices 1.1.1. A notion of order 1.1.2. Diagrams and labelings 1.1.3. Duality and multichains 1.1.4. Zeta polynomial and Möbius function 1.1.5. Lattices 1.1.6. Distributivity 1.1.7. Semidistributivity 1.1.8. Trimness 1.1.9. Congruence-uniformity 1.1.10. The core label order 1.2. Coxeter groups 1.2.1. Coxeter systems 1.2.2. The geometric representation 1.2.3. Ordering a Coxeter group 1.2.4. Orienting a Coxeter group Chapter 2. Cataland 2.1. Catalan numbers 2.2. Aligned elements 2.2.1. Cambrian lattices 2.3. Noncrossing partitions 2.4. Clusters 2.5. Nonnesting partitions 2.5.1. v-Tamari lattices 2.6. Chapoton Triangles Chapter 3. Parabolic Cataland: Origins 3.1. Parabolic quotients of Coxeter groups 3.2. Parabolic aligned elements 3.3. Parabolic noncrossing partitions 3.4. Parabolic clusters 3.5. Parabolic nonnesting partitions 3.6. Parabolic Chapoton triangles Chapter 4. Parabolic Cataland: Linear type A 4.1. Definitions 4.1.1. Parabolic quotients of the symmetric group 4.1.2. The longest α-permutation 4.1.3. The root poset of S_α and α-Dyck paths 4.1.4. c-clusters for S_α 4.1.5. c-aligned elements for S_α 4.1.6. c-noncrossing partitions for S_α 4.1.7. α-trees 4.2. Bijections 4.2.1. Noncrossing α-partitions and (α, 231)-avoiding permutations 4.2.2. Noncrossing α-partitions and α-Dyck paths 4.2.3. α-trees and (α, 231)-avoiding permutations 4.2.4. α-trees and noncrossing α-partitions 4.2.5. α-trees and α-Dyck paths 4.3. Posets 4.3.1. The weak order on S_α(231) 4.3.2. The rotation order on Dyck(α) 4.3.3. The core label order of Tam(α) 4.4. Chapoton triangles 4.5. Applications 4.5.1. A Hopf algebra on pipe dreams 4.5.2. A zeta map from diagonal harmonics Chapter 5. Epilogue 5.1. Arbitrary type A 5.2. Linear type B 5.3. (α, m)-Tamari lattices 5.4. Parabolic multiclusters Chapter A. Data A.1. Parabolic Catalan numbers in rank 3 A.2. Parabolic Catalan numbers in rank 4 A.3. Answers to Research Challenge 3.3.4 in rank 4

[pt] A álgebra de Clifford é uma álgebra associativa que pode ser realizada matricialmente. O grupo Spin é uma superfície contida na álgebra de Clifford e fechada por multiplicação. Estudamos os geradores de tal grupo, assim como do grupo finito gerado pelos elementos agúdos e o grupo Quat, ambos grupos de matrizes e subconjuntos do grupo Spin. Uma permutação no grupo de permutações, pode ser expressa como uma palavra reduzida, por meio de geradores de Coxeter. Os mapas acute e grave nos fornecem elementos no grupo finito, já mencionado, gerado pelos elementos agúdos, a partir das palavras reduzidas de uma permutação. Um elemento da álgebra de Clifford pode ser escrito como uma combinação linear de elementos do grupo Quat, onde o coeficiente independente é conhecido como parte real. Estudamos resultados que relacionam as características de uma permutação no grupo de permutações, com o elemento a ela relacionado na álgebra de Clifford. / [en] The Clifford algebra is an associative algebra that can be constructed as an algebra of matrices. The group Spin is a surface contained in the Clifford algebra and closed by multiplication. We studied the generators of such group, as well as of the finite group contained in Spin and generated by the acute elements and the group Quat, both matrix groups and subsets of Spin. A permutation in the permutation group, can be expressed as a reduced word, using transpositions to define the family of Coxeter generators. The acute and grave maps provide us with elements in the finite group, already mentioned, generated by the acute elements, based on the reduced words of a permutation. An element of Clifford algebra can be written as a linear combination of elements in Quat, where the independent coefficient is known as the real part. We studied results that relate the characteristics of a permutation in the permutation group, with the element related to it in the Clifford algebra.

[pt] Decompõe-se o espaço das curvas não-degeneradas sobre a n-esfera sujeitas a uma dada matriz de monodromia (munido de uma estrutura de variedade de Hilbert adequada) em uma coleção enumerável de células contráteis parametrizadas pelos itinerários admissíveis para os levantamentos a SOn+1 das referidas curvas através das células obtidas de uma estratificação de SOn+1 estreitamente relacionada com a clássica decomposição de Bruhat de GLn+1. A expressão itinerário admissível significa aqui uma sequência finita de células sujeitas a umas poucas restrições que, ademais, são naturalmente insinuadas pela geometria do problema. O principal interesse dessa nova abordagem é que essa combinatorialização funciona homogeneamente em todas as dimensões n (não obstante óbvias dificuldades computacionais), diferentemente dos métodos ad-hoc, de cunho mais geométrico, até aqui empregados para obter informações topológicas sobre esses e outros espaços de curvas relacionados (que têm sido bem sucedidos apenas em dimensões n baixas). Essa abordagem pode ser considerada como uma primeira tentativa de chegar a um método unificado para a determinação do tipo homotópico de tais espaços, e ajuda a dispensar certos argumentos de análise funcional usualmente empregados na definição da topologia correta para os referidos espaços de curvas. / [en] The space of nondegenerate curves on the n-sphere subject to a fixed monodromy matrix (provided with a suitable Hilbert manifold structure) is decomposed into a countable collection of contractible cells parameterized by the SOn+1-lifted curves admissible itineraries through cells arriving from a stratification of SOn+1 closely related to the classical Bruhat decomposition of GLn+1. The expression admissible itinerary herein stands for a finite sequence of cells subject to a few constraints that are otherwise naturally suggested by the geometry of the problem. The main interest of such a new approach is that this combinatorialization works homogeneously in any dimension n (with obvious computational difficulties), unlike the more geometry-flavoured ad-hoc methods for achieving topological information about these and related spaces of curves (which usually have had a good run only in low dimensions n). This approach can be regarded as a first attempt at a unified method for figuring out the homotopy-type of such spaces, and it helps to override some functional analysis arguments usually deployed in defining the right topology for these spaces of curves.

Dans ma thèse, je me suis intéressé à l'étude des sous-groupes discrets $\G$ de $\s$ (resp. de $ßs^{\pm}_{4}(\R)$) qui préservent un ouvert proprement convexe $\O$ de l'espace projectif réel $\P(\R)$ (resp. $\PP^3(\R)$). En dimension 2, j'ai caractérisé le fait que la surface quotient $\Quo$ est de volume fini de différentes façons, notamment à l'aide l'holonomie des pointes de la surface $S$, ou de l'ensemble limite du groupe $\G$. Cette étude m'a permis de montrer que lorsque le quotient $\Quo$ est de volume fini, alors l'ouvert proprement convexe $\O$ est strictement convexe et son bord $\partial \O$ est $C^1$. Enfin, j'ai montré que l'espace des modules des structures projectives proprement convexes de volume fini, sur une surface (de caractéristique d'Euler strictement négative) de genre $g$ et à $p$ pointes est homéomorphe à une boule de dimension $16g-16+6p$. En dimension 3, je me suis intéressé à l'espace des modules des structures projectives proprement convexes sur les 3-orbifolds de Coxeter compact. J'ai dû faire une hypothèse sur la forme de l'orbifold pour montrer que l'espace des modules est une réunion de $n$ boules de dimension $d$, où les entiers $n$ et $d$ se calculent à l'aide de la combinatoire de l'orbifold.

Cette thèse est consacrée à l'étude du groupe d'automorphismes de groupes agissant sur des arbres d'une part, et du rang des groupes de Coxeter d'autre part. Via la théorie de Bass-Serre, un groupe agissant sur un arbre est doté d'une structure algébrique particulière, généralisant produits amalgamés et extensions HNN. Le groupe est en fait déterminé par certaines données combinatoires découlant de cette action, appelées graphes de groupes. Un cas particulier de cette situation est celle d'un produit libre. Une présentation du groupe d'automorphisme d'un produit libre d'un nombre fini de groupes librement indécomposables en termes de présentation des facteurs et de leurs groupes d'automorphismes a été donnée par Fouxe-Rabinovich. Il découle de son travail que si les facteurs et leurs groupes d'automorphismes sont de présentation finie, alors le groupe d'automorphisme du produit libre est de présentation finie. Une première partie de cette thèse donne une nouvelle preuve de ce résultat, se basant sur le langage des actions de groupes sur les arbres. Un groupe accessible est un groupe de type fini déterminé par un graphe de groupe fini dont les groupes d'arêtes sont finis et les groupes de sommets ont au plus un bout, c'est-à-dire qu'ils ne se décomposent pas en produit amalgamé ni en extension HNN sur un groupe fini. L'étude du groupe d'automorphisme d'un groupe accessible est ramenée à l'étude de groupes d'automorphismes de produits libres, de groupes de twists de Dehn et de groupes d'automorphismes relatifs des groupes de sommets. En particulier, on déduit un critère naturel pour que le groupe d'automorphismes d'un groupe accessible soit de présentation finie, et on donne une caractérisation des groupes accessibles dont le groupe d'automorphisme externe est fini. Appliqués aux groupes hyperboliques de Gromov, ces résultats permettent d'affirmer que le groupe d'automorphismes d'un groupe hyperbolique est de présentation finie, et donnent une caractérisation précise des groupes hyperboliques dont le groupe d'automorphisme externe est fini. Enfin, on étudie le rang des groupes de Coxeter, c'est-à-dire le cardinal minimal d'un ensemble générateur pour un groupe de Coxeter donné. Plus précisément, on montre que si les composantes de la matrice de Coxeter déterminant un groupe de Coxeter sont suffisamment grandes, alors l'ensemble générateur standard est de cardinal minimal parmi tous les ensembles générateurs.