[pt] Começamos estudando uma classe particular de códigos lineares, os chamados códigos de Goppa que são obtidos calculando o valor de certas funções em pontos de Kn, onde K é um corpo finito. Apresentamos uma generalização desta construção e definimos códigos de avaliação sobre K- ágebras satisfazendo certas propriedades. Para estes códigos, descrevemos um algoritmo de decodificação e mostramos que se considerarmos os códigos de Goppa em um ponto como exemplo desta nova construção, o algoritmo corrige mais erros do que o algoritmo clássico para os códigos de Goppa. / [en] We begin studying a certain type of linear code the so-called Goppa codes. These codes are constructed by taking the evaluation of certain functions at points in Kn, where K is a finite field. As a generalization of this construction, we introduce the so-called evaluation codes defined over K-algebras satisfying some properties. For these codes, we describe a decoding algorithm and we show that if we consider classical one-point Goppa codes as an example of the new construction, this algorithm correct more errors that the classical algorithm for Goppa codes.

[pt] Grupos de Coxeter ou de reflexões são importantes no estudo de inúmeras áreas da matemática, incluindo grupos e álgebras de Lie. Nesta dissertação apresentaremos a teoria básica de grupos de reflexões e a classificação dos grupos hiperbólicos, i.e., daqueles que agem no espaço hiperbólico tendo como domínio fundamental um politopo compacto. / [en] Groups of Coxeter or of reflections they are important in the study of countless areas of the mathematics, including groups and algebras of Lie. In this dissertation we will present the basic theory of groups of reflections and the classification of the hyperbolic groups, this is of those that act in the hyperbolic space tends as fundamental domain a compact politopo.

[pt] O produto tensorial é o formalismo adequado para desenvolver a técnica de separação de variáveis em sua generalidade. São estudadas representações tensoriais decompostas de transformações lineares e algumas aplicações recentes em análise numérica (o algoritmo de Beylkin). Os exemplos tratam da discretização do laplaciano em malhas retangulares, suas propriedades espectrais e seu cálculo funcional, com ênfase na função sinal. / [en] Separation of variables is adequately understood and extended by making use of tensor products. We consider linear transformations admitting tensor decompositions and some recent applications in numerical analysis (Beylkin s algorithm). The examples concern the discretization of the Laplacian on rectangular meshes, its spectral properties and functional calculus, with emphasis on its sign function.

[pt] O objetivo deste trabalho é apresentar conteúdos necessários para a construção de uma base sólida em Matemática do Ensino Fundamental e Médio, mas que são em geral mal assimilados pelos alunos. Inicialmente apresentaremos o plano cartesiano, equações de uma e duas variáveis, funções de uma variável real e gráfico de funções. Passaremos então ao estudo de curvas simples e bem conhecidas dos alunos em geral, como a circunferência, e chegaremos até as cônicas rotacionadas. A partir daí, procuramos relacionar as duas partes do trabalho, mostrando como as cônicas podem ser vistas como gráficos de função de uma variável. Pretende-se que este trabalho possa ser utilizado por professores do Ensino Fundamental e Médio em sala de aula, pois boa parte do conteúdo apresentado faz parte do currículo mínimo da Secretaria de Educação do Estado do Rio de Janeiro. Propomos atividades teóricas e computacionais, utilizando o software Geogebra para construção de curvas no plano cartesiano. / [en] The objective of this paper is to present content needed to build a solid foundation in mathematics from primary and secondary schools, but are generally poorly assimilated by the students. Initially present the Cartesian plane, equations of one and two variables, functions of a real variable and function graph. Then we pass to the study of simple curves and well known to students in general, as the circumference, and arrive until the conical rotated. From there, we try to relate the two parts of the work, showing how the taper can be seen as a variable function graphs. It is intended that this work can be used by teachers of primary and secondary education in the classroom, because much of the content presented is part of the minimum curriculum of the Department of Education of the State of Rio de Janeiro. We propose theoretical and computational activities, using the Geogebra software to build curves in the Cartesian plane.

[pt] Trata-se de uma exposição do trabalho publicado por Alan D.Rendall intitulado Unique determination of an inner product by adjointness relations in the algebra of quantum observables, onde é demonstrado que dada uma representação de uma *- álgebra em um espaço pré-Hilbert V que é uma *- representação irredutível com relação ao produto interno definido em V podemos garantir, dadas algumas condições técnicas, a unicidade do produto interno a menos de uma constante multiplicativa. É feito um breve estudo sobre representações de álgebras e a Construção de Gelfand- Naymark-Segal é apresentada. / [en] This thesis is concerned with a paper from Alan D. Rendall named Unique determination of an inner product by adjointness relations in the algebra of quantum observables, in which is proved that given a *- representation of a *-algebra in a pre-Hilbert space V irreducible with regard to the inner product defined in V we can assure the uniqueness of the inner product up to a multiplicative constant subject to some technical conditions. We also make a brief study about algebra representations and the Gelfand-Naimark- Segal Construction is presented.

[pt] A álgebra de Clifford é uma álgebra associativa que pode ser realizada matricialmente. O grupo Spin é uma superfície contida na álgebra de Clifford e fechada por multiplicação. Estudamos os geradores de tal grupo, assim como do grupo finito gerado pelos elementos agúdos e o grupo Quat, ambos grupos de matrizes e subconjuntos do grupo Spin. Uma permutação no grupo de permutações, pode ser expressa como uma palavra reduzida, por meio de geradores de Coxeter. Os mapas acute e grave nos fornecem elementos no grupo finito, já mencionado, gerado pelos elementos agúdos, a partir das palavras reduzidas de uma permutação. Um elemento da álgebra de Clifford pode ser escrito como uma combinação linear de elementos do grupo Quat, onde o coeficiente independente é conhecido como parte real. Estudamos resultados que relacionam as características de uma permutação no grupo de permutações, com o elemento a ela relacionado na álgebra de Clifford. / [en] The Clifford algebra is an associative algebra that can be constructed as an algebra of matrices. The group Spin is a surface contained in the Clifford algebra and closed by multiplication. We studied the generators of such group, as well as of the finite group contained in Spin and generated by the acute elements and the group Quat, both matrix groups and subsets of Spin. A permutation in the permutation group, can be expressed as a reduced word, using transpositions to define the family of Coxeter generators. The acute and grave maps provide us with elements in the finite group, already mentioned, generated by the acute elements, based on the reduced words of a permutation. An element of Clifford algebra can be written as a linear combination of elements in Quat, where the independent coefficient is known as the real part. We studied results that relate the characteristics of a permutation in the permutation group, with the element related to it in the Clifford algebra.

[pt] Problemas dinâmicos governados por problemas de valor inicial (PVI) não lineares, em geral, despertam grande interesse da comunidade científica. O conhecimento da solução desses PVI facilita o entendimento das características dinâmicas do problema. Porém, infelizmente, muitos dos PVI de interesse não têm solução conhecida. Nesse caso, uma alternativa é o cálculo de aproximações para a solução. Métodos numéricos e analíticos são eficientes nessa tarefa e podem fornecer aproximações com a precisão desejada. Os métodos numéricos foram muito desenvolvidos nos últimos anos e amplamente aplicados em problemas de diversas áreas da engenharia. Pacotes computacionais de fácil utilização foram criados e hoje fazem parte dos mais tradicionais programas de simulação numérica. Entretanto, as aproximações numéricas têm uma desvantagem em relação às aproximações analíticas. Elas não permitem o entendimento de como a solução depende dos parâmetros do problema. Visto isso, esta dissertação foca na análise e implementação de técnicas analíticas denominadas métodos de perturbação. Foram estudados os métodos de Lindstedt-Poincaré e de múltiplas escalas de tempo. As metodologias foram aplicadas em um PVI envolvendo a equação de Duffing não amortecida. Programas em álgebra simbólica foram desenvolvidos com objetivo de calcular aproximações analíticas hierárquicas para a solução desse problema. Foi feita uma análise paramétrica, ou seja, estudo de como as condições iniciais e os valores de parâmetros influem nas aproximações. Além disso, as aproximações analíticas obtidas foram comparadas com aproximações numéricas calculadas através do método do Runge- Kutta. O método de múltiplas escalas de tempo também foi aplicado em um PVI que representa a dinâmica de um sistema massa-mola-amortecedor com atrito seco. Devido ao atrito, a resposta do sistema pode ser caracterizada em duas fases alternadas, a fase de stick e a fase de slip, compondo um fenômeno chamado stick-slip. Verificou-se que as aproximações obtidas para resposta do sistema pelo método de múltiplas escalas de tempo têm boa acurácia na representação da dinâmica do stick-slip. / [en] Dynamical problems governed by non-linear initial value problems (IVP), in general, are of great interest of the scientific community. The knowledge of the solution of these IVPs facilitates the understanding of the dynamic characteristics of the problem. However, unfortunately, many of the IVPs of interest does not present a known solution. In this case, an alternative is to calculate approximations for the solution. Numerical and analytical methods are efficient in this assignment and can provide approximations with the desired precision. Numerical methods have been developed over the last years and have been widely applied to dynamical problems in various engineering areas. Computational packages, easy to use, were created and today are part of the most traditional numerical simulation programs. However, numerical approximations have a disadvantage in relation to analytical approaches. They do not allow the understanding of how the solution depends on the problem parameters. Given this, this dissertation focuses on the analysis and implementation of analytical techniques called perturbation methods. The Lindstedt-Poincaré method and multiple time scales method were studied. The methodologies were applied in an IVP involving the non-damped Duffing equation. Symbolic algebra programs were developed with the purpose of calculating hierarchical analytical approximations to the solution of this problem. A parametric analysis was performed, in other words, a study of how the approximations are influenced by initial conditions and parameter values. In addition, the analytical approximations obtained were compared with numerical approximations calculated using the Runge-Kutta method. The multiple scales method was also applied in a IVP that represents the dynamics of a mass-spring-damper oscillator with dry friction. Due to friction, the system response can be characterized in two alternating phases, the stick phase and the slip phase, composing a phenomenon called stick-slip. It was verified that the approximations obtained for system response by the multiple scales method represent the stick-slip dynamics with good accuracy.

[pt] Por suas características naturais e sociais, o Brasil desponta como um dos países mais afetados pelos eventos extremos. Diante de tantas tragédias oriundas dos chamados desastres naturais, faz-se necessário redimensionar a importância da discussão acerca dos riscos socioambientais. A prevenção para os desastres naturais é um procedimento eficaz e de baixo custo se comparada com a restauração dos prejuízos ocasionados por esses eventos. As ferramentas contidas nos Sistemas de Informação Geográficas (SIGs) podem auxiliar efetivamente na prevenção dos riscos. A presente pesquisa é uma proposta metodológica para a análise de riscos socioambientais, utilizando como base a álgebra de mapas. O cenário escolhido foi o município fluminense de Teresópolis, por conta de sua geografia e de seu histórico de eventos naturais extremos. Fez-se uso de três frentes de dados para o cálculo do risco socioambiental: cartas de suscetibilidade da CPRM, mapeamento de uso e cobertura do INEA; e dados censitários do IBGE. Cruzou-se, através da álgebra de mapas, as três bases de dados oficiais, gerando resultados satisfatórios na análise de risco socioambiental. Nesse sentido a metodologia da presente pesquisa permitiu o manuseio de alguns dados dispersos, correlacionando-os em ambiente SIG e, oferecendo uma nova proposta no tratamento do risco socioambiental. / [en] Due to its natural and social characteristics, Brazil emerges as one of the countries most affected by extreme events. Faced with so many tragedies arising from the so-called natural disasters, it is necessary to re-dimension the importance of the discussion about socio-environmental risks. Preventing natural disasters is an efficient and cost-effective procedure compared to restoring the damages caused by these events. The tools contained in Geographic Information Systems (GIS) can effectively aid in risk prevention. The present research is a methodological proposal for the analysis of socioenvironmental risks, based on map algebra. The chosen scenario was the Rio de Janeiro municipality of Teresópolis, due to its geography and its history of extreme natural events. Three data fronts were used to calculate socioenvironmental risk: CPRM susceptibility charts, use mapping and INEA coverage; and IBGE census data. All the data were integrated and manipulated in a GIS environment, providing reliable results about the social-environmental risk level of the municipality. In this sense, the methodology of the present research allowed the manipulation of some dispersed data, correlating them in a GIS environment, and offering a new proposal in the treatment of socio-environmental risk.

[pt] Arnold no seu trabalho The asymptotic Hopf Invariant and its applications de 1986, considerou sobre um domínio (ômega maiúsculo) compacto de R3 com bordo suave e homología trivial campos X e Y de divergência nula e tangentes ao bordo de (ômega maiúsculo) e definiu o índice de enlaçamento assintótico lk(X; Y ) e o invariante de Hopf associados a X e Y pela integral I(X; Y ) igual a (integral em ômega maiúsculo de alfa produto d-beta), onde (d-alfa) igual a iX-vol e (d-beta) igual a iy-vol, e mostrou que I(X; Y ) igual a lk(X; Y ). Agora, no presente trabalho estenderemos estas definições de índices de enlaçamento assintótico lk(fi maiúsculo,xi maiúsculo) e de invariante de Hopf I(fi maiúsculo,xi maiúsculo), onde (fi maiúsculo) e (xi maiúsculo) são ações de Rk e de Rs, k mais s igual a n-1, respectivamente de difeomorfismos que preservam volume em (ômega maiúsculo n) a bola unitária fechada em Rn e mostraremos que lk (fi maiúsculo, xi maiúsculo) igual a I(fi maiúsculo,xi maiúsculo). / [en] V.I. Arnold, in his paper The algebraic Hopf invariant and its applications published in 1986, considered a compact domain (ômega maiúsculo) in R3 with a smooth boundary and trivial homology and two divergence free vector fields X and Y in (ômega maiúsculo) tangent to the boundary. He defined an asymptotic linking invariant lk(X; Y ) and a Hopf invariant associated to X and Y by the integral I(X; Y ) equal (integral em ômega maiúsculo de alfa produto d-beta) where (d-alfa) equal iX-vol e (d-beta) equal iy- vol. He showed that que I(X; Y ) equal lk(X; Y ). In the present work we extend these definitions of the asymptotic linking invariant lk(fi capital letter,xi capital letter) and the Hopf invariant I(fi maiúsculo,xi capital letter) where (fi capital letter) and (xi capital letter) are actions Rk and Rs, k plus s equal n-1 by volume preserving diffeomorphisms, on the closed unit ball (ômega capital letter n) in and we show lk (fi capital letter, xi capital lette r equal I(ficapital letter ,xi capital letter).

[pt] Este trabalho faz uma introdução básica aos temas Cadeias de Markov e Matriz de Leontief visando mostrar aplicações práticas de sistemas lineares e matrizes com foco na aplicação no Ensino Médio brasileiro. Para tal, revisou-se as bases teóricas necessárias para o aluno ser capaz de entender e resolver problemas com estes temas. Em complemento, apresenta-se uma proposta de introdução à álgebra linear com geometria analítica, assim como a forma de cobrança da álgebra linear em concursos militares no Brasil. Com o uso de vídeos e ferramentas online, criando caminhos mais amistosos em assunto tão teórico, demonstra-se como o Youtube pode ser uma ferramenta poderosa na visualização de problemas abstratos envolvendo a álgebra linear. / [en] This work makes a basic introduction to the themes Markov Chains and Leontief Matrix aiming to show practical applications of linear systems and matrices with a focus on its application in Brazilian High School. To achieve this goal, the theoretical bases necessary for the student to be able to understand and solve problems with these themes has been revised. In addition, we present a proposal to introduce linear algebra with analytical geometry, as well as the way of taking linear algebra in military tests in Brazil. With the use of videos and online tools and creating friendlier paths on such a theoretical theme, it is demonstrated how Youtube can be a powerful tool in visualizing abstract problems involving linear algebra.