Neste trabalho desenvolve-se um estudo sobre os Espaços Coerentes Gerados por Conjuntos Básicos, dotados de uma estrutura adicional. Por estrutura adicional entende-se uma estrutura algébrica, de ordem pontual, de medidas, topológica e lógica. Estes espaços, denotados por , constituem uma subcategoria dos Espaços Coerentes, cujos objetos, ordenados pela inclusão, são conjuntos coerentes constituídos por subconjuntos do conjunto básico, os quais estão relacionados pela relação de coerência induzida, que estrutura a teia deste espaço. Os morfismos desta categoria são as funções de objetos geradas por funções básicas. As propriedades algébricas e relacionais destas funções básicas, externas ao processo de construção, ao se propagarem, passam a influenciar na verificação das propriedades internas das funções de objetos. Contudo, este trabalho não é um estudo categórico. A metodologia adotada utiliza a linguagem simples e intuitiva da Teoria dos Conjuntos, que possibilita a visualização e a análise dos relacionamentos existentes, não apenas entre os morfismos que envolvem os objetos totais ou parciais desta categoria, mas também das estruturas ou pré-estruturas externas que os formam, representados pelas funções de tokens e funções básicas. Mostra-se que as funções de objetos são totais e bem definidas, alem de serem monótonas e continuas neste espaço. Entretanto a análise da estabilidade, e consequentemente da linearidade esta associada a injetividade das funções básicas. Uma das características mais importantes da construção proposta e o desenvolvimento de um sistema de representação linear para funções localmente lineares, com a definição do espaço coerente A* gerado pelo produto de subteias. Neste espaço, as funções de objetos são lineares e coincidem com os morfismo da categoria dos espaços coerentes. Além disso, mostra-se que A* e isomorfo ao espaço coerente gerado pelo produto direto dos sub-espaços, ПĄ. Desta forma, toda transformação definida para um tipo de dado estruturado a partir de um conjunto básico enumerável tem uma representação linear, constituída pelos morfismos da categoria dos espaços coerentes. A existência da representação linear para as funções elementares garante a existência da representação linear para outras funções derivadas destas. Apresenta-se ainda uma especificação desta construção, introduzindo-se o Espaço Coerente de Intervalos Racionais, IIQ. Na busca de uma aplicação compatível com uma abordagem computacional, em especial para Análise Real, mostra-se que, em IIQ, cada função real elementar esta identificada com uma função de objetos linear, definida a partir da correspondente função elementar racional. Dentre as funções que foram analisadas destacam-se: a exponencial, a logarítmica, a potência, a potência estendida, a raiz n-ésima, as funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente e suas correspondentes funções inversas, como também a função polinomial. Verificou-se que todas estas funções de objetos são totais, bem definidas, ou pertencem ou possuem uma representação linear na categoria COSP-LIN dos espaços coerentes, alem de serem fechadas para os objetos totais e quasi-totais deste espaço, sendo possível estabelecer o correspondente par-projeção para cada uma delas. / In this work the Coherence Spaces Generated by Basic Sets with additional structure are studied. By additional structure one means an algebraic, topological and logical structure with a punctual order and a measure system. These spaces, indicated by A, are a subcategory of the category of Coherence Spaces, whose objects, ordered by inclusion, are coherent sets formed by the induced web coherence relation. The morphisms of this category are the functions of objects generated by basic functions. The algebraic and relational properties of these basic functions - external to the construction process - are propagated and cause important influences in the verification of the internal properties of the functions of objects However, this research is not a categorical study. The methodology uses the simple and intuitive language of the Set Theory, which allows the visualization and the analysis of the existing relationships, not only among, the morphisms of the total and partial objects of this category, but also among their structures or pre-structures, represented by the functions of tokens and basic functions. It is shown that the functions of objects are total and well defined. They are also monotone and continuous. However the stability and the linearity of the functions of objects depend on the fact if the basic functions are injective or not. One of the most important features of this construction is the development of a linear representation system for the local linear functions, by the definition of a coherence space A*, which is generated by the subweb product. In this space the functions of objects are linear and therefore they are the morphisms of the category of Coherence Spaces. Moreover, it is proved that A* is isomorphic to the coherence space generated by the directed product of the subspaces, denoted by ПĄ . Then, for each transformation defined for a structured data type considering a denumerable basic set there exists its related linear representation. The existence of a linear representation for elementary functions guarantees the existence of a linear representation for others derived functions. As an application of this construction, the Coherence Space of Rational Intervals, denoted by IIQ, is introduced. In order to show an application which is compatible to a computational approach, specially for the real analysis, each elementary real function is identified with a linear function of objects, defined considering the related elementary rational function. Some of the analyzed functions are the exponential, the logarithmic, the power , the extended power, the root, the trigonometric (sine, cosine and tangent and their relates inverses), and the polynomial functions. It is proved that all of these functions of objects are total and well defined. Moreover, either they belong to the category COPS-LIN of the coherence spaces or they have a linear representation in the same category. It is also possible to define a related projection pair for each one of them.

Orientador: Prof. Dr. Daniel Miranda Machado / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / "A Matemática fornece uma variedade de conceitos abstratos que servem de modelos para situações concretas, permitindo assim analisar, prever e tirar conclusões de forma eficaz em circunstâncias nas quais a abordagem empírica muitas vezes conduz a nada [15]." Um desses conceitos certamente é o de função. Neste trabalho, apresentaremos as principais noções envolvendo-o. Em seguida, faremos um estudo, sob o ponto de vista elementar e com o intuito de que sirvam para um curso introdutório, das funções afins e quadráticas, que são duas das principais funções reais de uma variável real que mais aparecem na prática e no desenvolvimento do estudo da Matemática e exibiremos algumas de suas aplicações. / "Mathematics provides a variety of abstract concepts that serve as models for concrete situations, allowing us to analyze, predict and draw conclusions effectively in circumstances in which the empirical approach often leads to nothing [15]." One of these concepts is certainly that of function. In this text, we will present the main notions involving it. We will make a study, from the elementary point of view and with the purpose of serving an introductory course, of linear and quadratic functions, which are two of the main real-valued functions of a real variable that appear most in practice and development of the study of Mathematics and we will show some of its applications.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:32:16Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2007-02-16Bitstream added on 2014-06-13T21:03:49Z : No. of bitstreams: 1 forni_s_dr_jabo.pdf: 637612 bytes, checksum: 7582789a64d339985e5f44fda47b627d (MD5) / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O objetivo do presente trabalho foi estimar conjuntamente os parâmetros das curvas de crescimento de animais da raça Nelore, seus componentes de (co)variâncias e os efeitos genéticos e ambientais que atuaram sobre eles. As funções de Brody, Von Bertalanffy, Gompertz e Logística foram empregadas no primeiro estágio de um modelo hierárquico Bayesiano. Os efeitos genéticos e ambientais foram considerados em um modelo animal no segundo estágio de hierarquia. Diferentes abordagens para a variância do erro de ajuste foram avaliadas: constância ao longo da trajetória, aumento linear até os três anos de idade e aumento exponencial. Amostras aleatórias das distribuições marginais foram obtidas aplicando-se os algoritmos de Metropolis-Hastings e amostragem de Gibbs. A presença de animais que não atingiram a maturidade no conjunto de dados não prejudicou a predição dos pesos adultos. Grande parte da variância fenotípica observada neste peso foi devida a efeitos genéticos aditivos. O parâmetro a das curvas de Brody, Von Bertalanffy e Gompertz poderia ser utilizado como critério de seleção para controlar o aumento de peso adulto. O ambiente materno influenciou não somente o crescimento inicial dos animais mas também os pesos maduros e deve ser considerado na avaliação de todas as etapas do crescimento. Os modelos linear e exponencial empregados para a variância do erro de ajuste não representaram de forma adequada este parâmetro no início da curva. A seleção para alterar a pendente da curva de crescimento mantendo o peso adulto constante seria ineficiente, uma vez que, é alta e positiva a correlação genética entre o peso assintótico e a taxa de maturação. / The objective of this work was to estimate the joint posterior distribution of Nelore growth curve parameters, their (co)variance components and the environmental and additive genetic components affecting them. The Brody, Von Bertalanffy, Gompertz and Logistic functions were applied in the first stage of a hierarchical Bayesian model. The environmental and genetic effects were described by an animal model in the second stage. Different approaches for describing the adjustment error variance along the growth curve were evaluated: constancy throughout the trajectory, linear increasing until three years of age and exponential increasing. Random samples of the marginal distributions were drawn using Metropolis-Hastings and Gibbs sampling algorithms. Even thought the curve parameters were estimated for animals with records just from the beginning of the growth process, the adult weights were accurately predicted. A high additive genetic variance for mature weight was observed. The parameter a of Brody, Von Bertalanffy and Gompertz models could be used as a selection criterion to control adult weight increases. The effect of maternal environment on growth was carried through to maturity and it should be considered while evaluating all weights. The adjustment error variances at the beginning of growth curve were not adequately described by the linear and exponential models. Selection to change the growth curve slope without modifying adult weight would be inefficient, since their genetic correlation is high.

Neste trabalho desenvolve-se um estudo sobre os Espaços Coerentes Gerados por Conjuntos Básicos, dotados de uma estrutura adicional. Por estrutura adicional entende-se uma estrutura algébrica, de ordem pontual, de medidas, topológica e lógica. Estes espaços, denotados por , constituem uma subcategoria dos Espaços Coerentes, cujos objetos, ordenados pela inclusão, são conjuntos coerentes constituídos por subconjuntos do conjunto básico, os quais estão relacionados pela relação de coerência induzida, que estrutura a teia deste espaço. Os morfismos desta categoria são as funções de objetos geradas por funções básicas. As propriedades algébricas e relacionais destas funções básicas, externas ao processo de construção, ao se propagarem, passam a influenciar na verificação das propriedades internas das funções de objetos. Contudo, este trabalho não é um estudo categórico. A metodologia adotada utiliza a linguagem simples e intuitiva da Teoria dos Conjuntos, que possibilita a visualização e a análise dos relacionamentos existentes, não apenas entre os morfismos que envolvem os objetos totais ou parciais desta categoria, mas também das estruturas ou pré-estruturas externas que os formam, representados pelas funções de tokens e funções básicas. Mostra-se que as funções de objetos são totais e bem definidas, alem de serem monótonas e continuas neste espaço. Entretanto a análise da estabilidade, e consequentemente da linearidade esta associada a injetividade das funções básicas. Uma das características mais importantes da construção proposta e o desenvolvimento de um sistema de representação linear para funções localmente lineares, com a definição do espaço coerente A* gerado pelo produto de subteias. Neste espaço, as funções de objetos são lineares e coincidem com os morfismo da categoria dos espaços coerentes. Além disso, mostra-se que A* e isomorfo ao espaço coerente gerado pelo produto direto dos sub-espaços, ПĄ. Desta forma, toda transformação definida para um tipo de dado estruturado a partir de um conjunto básico enumerável tem uma representação linear, constituída pelos morfismos da categoria dos espaços coerentes. A existência da representação linear para as funções elementares garante a existência da representação linear para outras funções derivadas destas. Apresenta-se ainda uma especificação desta construção, introduzindo-se o Espaço Coerente de Intervalos Racionais, IIQ. Na busca de uma aplicação compatível com uma abordagem computacional, em especial para Análise Real, mostra-se que, em IIQ, cada função real elementar esta identificada com uma função de objetos linear, definida a partir da correspondente função elementar racional. Dentre as funções que foram analisadas destacam-se: a exponencial, a logarítmica, a potência, a potência estendida, a raiz n-ésima, as funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente e suas correspondentes funções inversas, como também a função polinomial. Verificou-se que todas estas funções de objetos são totais, bem definidas, ou pertencem ou possuem uma representação linear na categoria COSP-LIN dos espaços coerentes, alem de serem fechadas para os objetos totais e quasi-totais deste espaço, sendo possível estabelecer o correspondente par-projeção para cada uma delas. / In this work the Coherence Spaces Generated by Basic Sets with additional structure are studied. By additional structure one means an algebraic, topological and logical structure with a punctual order and a measure system. These spaces, indicated by A, are a subcategory of the category of Coherence Spaces, whose objects, ordered by inclusion, are coherent sets formed by the induced web coherence relation. The morphisms of this category are the functions of objects generated by basic functions. The algebraic and relational properties of these basic functions - external to the construction process - are propagated and cause important influences in the verification of the internal properties of the functions of objects However, this research is not a categorical study. The methodology uses the simple and intuitive language of the Set Theory, which allows the visualization and the analysis of the existing relationships, not only among, the morphisms of the total and partial objects of this category, but also among their structures or pre-structures, represented by the functions of tokens and basic functions. It is shown that the functions of objects are total and well defined. They are also monotone and continuous. However the stability and the linearity of the functions of objects depend on the fact if the basic functions are injective or not. One of the most important features of this construction is the development of a linear representation system for the local linear functions, by the definition of a coherence space A*, which is generated by the subweb product. In this space the functions of objects are linear and therefore they are the morphisms of the category of Coherence Spaces. Moreover, it is proved that A* is isomorphic to the coherence space generated by the directed product of the subspaces, denoted by ПĄ . Then, for each transformation defined for a structured data type considering a denumerable basic set there exists its related linear representation. The existence of a linear representation for elementary functions guarantees the existence of a linear representation for others derived functions. As an application of this construction, the Coherence Space of Rational Intervals, denoted by IIQ, is introduced. In order to show an application which is compatible to a computational approach, specially for the real analysis, each elementary real function is identified with a linear function of objects, defined considering the related elementary rational function. Some of the analyzed functions are the exponential, the logarithmic, the power , the extended power, the root, the trigonometric (sine, cosine and tangent and their relates inverses), and the polynomial functions. It is proved that all of these functions of objects are total and well defined. Moreover, either they belong to the category COPS-LIN of the coherence spaces or they have a linear representation in the same category. It is also possible to define a related projection pair for each one of them.

Neste trabalho desenvolve-se um estudo sobre os Espaços Coerentes Gerados por Conjuntos Básicos, dotados de uma estrutura adicional. Por estrutura adicional entende-se uma estrutura algébrica, de ordem pontual, de medidas, topológica e lógica. Estes espaços, denotados por , constituem uma subcategoria dos Espaços Coerentes, cujos objetos, ordenados pela inclusão, são conjuntos coerentes constituídos por subconjuntos do conjunto básico, os quais estão relacionados pela relação de coerência induzida, que estrutura a teia deste espaço. Os morfismos desta categoria são as funções de objetos geradas por funções básicas. As propriedades algébricas e relacionais destas funções básicas, externas ao processo de construção, ao se propagarem, passam a influenciar na verificação das propriedades internas das funções de objetos. Contudo, este trabalho não é um estudo categórico. A metodologia adotada utiliza a linguagem simples e intuitiva da Teoria dos Conjuntos, que possibilita a visualização e a análise dos relacionamentos existentes, não apenas entre os morfismos que envolvem os objetos totais ou parciais desta categoria, mas também das estruturas ou pré-estruturas externas que os formam, representados pelas funções de tokens e funções básicas. Mostra-se que as funções de objetos são totais e bem definidas, alem de serem monótonas e continuas neste espaço. Entretanto a análise da estabilidade, e consequentemente da linearidade esta associada a injetividade das funções básicas. Uma das características mais importantes da construção proposta e o desenvolvimento de um sistema de representação linear para funções localmente lineares, com a definição do espaço coerente A* gerado pelo produto de subteias. Neste espaço, as funções de objetos são lineares e coincidem com os morfismo da categoria dos espaços coerentes. Além disso, mostra-se que A* e isomorfo ao espaço coerente gerado pelo produto direto dos sub-espaços, ПĄ. Desta forma, toda transformação definida para um tipo de dado estruturado a partir de um conjunto básico enumerável tem uma representação linear, constituída pelos morfismos da categoria dos espaços coerentes. A existência da representação linear para as funções elementares garante a existência da representação linear para outras funções derivadas destas. Apresenta-se ainda uma especificação desta construção, introduzindo-se o Espaço Coerente de Intervalos Racionais, IIQ. Na busca de uma aplicação compatível com uma abordagem computacional, em especial para Análise Real, mostra-se que, em IIQ, cada função real elementar esta identificada com uma função de objetos linear, definida a partir da correspondente função elementar racional. Dentre as funções que foram analisadas destacam-se: a exponencial, a logarítmica, a potência, a potência estendida, a raiz n-ésima, as funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente e suas correspondentes funções inversas, como também a função polinomial. Verificou-se que todas estas funções de objetos são totais, bem definidas, ou pertencem ou possuem uma representação linear na categoria COSP-LIN dos espaços coerentes, alem de serem fechadas para os objetos totais e quasi-totais deste espaço, sendo possível estabelecer o correspondente par-projeção para cada uma delas. / In this work the Coherence Spaces Generated by Basic Sets with additional structure are studied. By additional structure one means an algebraic, topological and logical structure with a punctual order and a measure system. These spaces, indicated by A, are a subcategory of the category of Coherence Spaces, whose objects, ordered by inclusion, are coherent sets formed by the induced web coherence relation. The morphisms of this category are the functions of objects generated by basic functions. The algebraic and relational properties of these basic functions - external to the construction process - are propagated and cause important influences in the verification of the internal properties of the functions of objects However, this research is not a categorical study. The methodology uses the simple and intuitive language of the Set Theory, which allows the visualization and the analysis of the existing relationships, not only among, the morphisms of the total and partial objects of this category, but also among their structures or pre-structures, represented by the functions of tokens and basic functions. It is shown that the functions of objects are total and well defined. They are also monotone and continuous. However the stability and the linearity of the functions of objects depend on the fact if the basic functions are injective or not. One of the most important features of this construction is the development of a linear representation system for the local linear functions, by the definition of a coherence space A*, which is generated by the subweb product. In this space the functions of objects are linear and therefore they are the morphisms of the category of Coherence Spaces. Moreover, it is proved that A* is isomorphic to the coherence space generated by the directed product of the subspaces, denoted by ПĄ . Then, for each transformation defined for a structured data type considering a denumerable basic set there exists its related linear representation. The existence of a linear representation for elementary functions guarantees the existence of a linear representation for others derived functions. As an application of this construction, the Coherence Space of Rational Intervals, denoted by IIQ, is introduced. In order to show an application which is compatible to a computational approach, specially for the real analysis, each elementary real function is identified with a linear function of objects, defined considering the related elementary rational function. Some of the analyzed functions are the exponential, the logarithmic, the power , the extended power, the root, the trigonometric (sine, cosine and tangent and their relates inverses), and the polynomial functions. It is proved that all of these functions of objects are total and well defined. Moreover, either they belong to the category COPS-LIN of the coherence spaces or they have a linear representation in the same category. It is also possible to define a related projection pair for each one of them.

No description available.

Over the past several decades there has been an emphasis on educational research pertaining to learners’ performance in Mathematics and on finding methods to improve learner performance in this subject. In South Africa, Grade 12 learners’ results in Mathematics from 2010 to 2013 were unsatisfactory as shown in DBE, 2013a. The teachers are challenged to find new teaching methods that will make the subject more interesting and appealing to the learners (Oliver & Makar, 2010 in Goos, 2010). The purpose of this study was to investigate the effect of using computers in the teaching and learning of Mathematics with special reference to the topic of linear functions in order to improve learner performance. The literature reviewed shows that the use of computers not only improves the learners’ performance but also changes their attitude towards Mathematics (Bester & Brand, 2013). The quantitative research approach was used to gather the data, namely the quasi- experimental, non-equivalent control group pre-test-post-test design. Two intact classes formed part of the research study, that is an experimental group (n=50) and control group (n=50). The experimental group learnt the concept of linear function using GeoGebra software. The control group learnt the same concept through the traditional pen and paper method. The data were analysed using the SPSS on ANOVA. The results indicated that there was a significant difference between the mean scores of the experimental group (μ=70.5) and the control group (μ=47.5). From the results it was evident that the use of computers had a positive effect on learners understanding of linear functions as reflected in their performance and on their attitude towards Mathematics, as seen in the questionnaire responses. / Mathematics Education / M. Ed. (Mathematics Education)

As estruturas de dados concretas (cds) são quaternas (C, V, E, l-) que contêm um conjunto C de células, um conjunto V de valores, um conjunto E de eventos e uma relação de habilitação l-. O conjunto de estados de uma cds é um domínio concreto que pode ser considerada a parte "abstrata" das cds. Da mesma maneira tem-se que os domínios de eventos (que são generalizações dos domínios concretos) são a parte abstrata das estruturas de eventos. Mostra-se a relação dos domínios concretos e domínios de eventos com os espaços coerentes, assim como também das teias de espaços coerentes com as cds e estruturas de eventos. Intuitivamente, uma cds é uma teia de um espaço coerente se toda célula c de C não é habilitada por nenhum evento (ou equivalentemente, é habilitada pelo conjunto vazio), isto é, V C E C, 0 F c. Outra forma de expressar isto é dizer que uma cds e uma teia de um espaço coerente se o conjunto de estados da cds é um espaço coerente. Definem-se os algoritmos lineares como sendo estados de uma cds no estilo dos algoritmos seqüenciais do Curien ([CUR 86]). Em particular as cds consideradas são teias de espaços coerentes. Mostra-se como obter a cds !A—>B, a partir de uma função estável f. A —> B. O algoritmo linear desta cds possui todas as estratégias de computação (seqüenciais e paralelas) que computam a função subjacente f, o que implica que os algoritmos lineares podem ser considerados meta-algoritmos. Mostra-se que para toda estratégia de computação seqüencial de um algoritmo linear, existe um algoritmo seqüencial de Curien que computa a mesma função, e vice-versa. A definição de estratégia de computação é dada de maneira tal que permite se dar semântica a segmentos de programas. Define-se uma operação de composição de estratégias, de forma tal que se pode obter uma estratégia de computação de um programa, a partir da composição das estratégias dos segmentos. / The concrete data structures, or cds, (C, V, E, l-) consists of a set C of cells, a set V of values. a set E of events and an enabling relation l-. The set of states of a cds is a concrete domain, that can be considered the "abstract" counterpart of the cds. In the same way we have that the events domains (that are more general that the concretes domains) are the abstract counterpart of the events structures. We show the relation between the concretes domains and events domains with the coherence spaces, as just as the relation between the cds and events structures with webs of coherence spaces. Intuitivelly, a cds is a web of a coherence space if any cell c is not enabled for any event, i.e. Vce C, 0 F c. We can say that a cds is a web of a coherence space if the set of states of the cds is a coherence space. We define the linear algorithms as states of a cds following the Curien's sequential algorithms ([CUR 86]). In particular the cds considered are webs of coherence spaces. We show how to obtain a cds !A—>B from a stable function f. A —> B. The linear algorithm of this cds contain all the computational strategies (sequentials and parallels) that compute the subjacent function f; this implies that the linear algorithms can be considered a kind of meta-algorithms. We show that for all sequential computational strategy of a linear al gorithm exists a Curien's sequential algorithm that compute the same function and conversely. We define the computational strategies in such a way that we can give semantic of segments of programs. We define a composition operation for strategies. This operation has the advantage that we can obtain the computational strategy of a program as the composition of the segments of it.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 wagner.pdf: 444855 bytes, checksum: 21dc95d79ab210d289b2fc689d92a9eb (MD5) Previous issue date: 2003-10-03 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This research proposes an evaluation of a didactic sequence introducing the concept of function, in particular the linear functions It is based on the elements proposed by R.Duval and B.J. Caraça. It specifically intends to evaluate the didactic phenomena which happens during the process of problem solving that involves the conversion of the graphic register of a linear functions into the algebraic and vice-versa. This research was developed in an 8th grade class of an elementary public school on the east side of São Paulo. It demonstrates the importance of making use of multiple representations in the process of developing the conceptualization of function, in order to facilitate the coordination of the various pertinent visuals, in the graphic register, and the correspondent category values in the algebraic register / Esta pesquisa constituiu-se em uma proposta de avaliação de uma seqüência didática visando a introdução ao conceito de função em particular da função afim. Fundamenta-se em elementos teóricos propostos R. Duval e B.J. Caraça. De modo mais específico pretende-se avaliar os fenômenos didáticos ocorridos na resolução de problemas envolvendo a conversão do registro gráfico de uma função afim para o algébrico e vice-versa. A proposta foi desenvolvida em uma classe de 8a série do ensino fundamental de uma escola pública na zona leste da cidade de São Paulo. Esta pesquisa revelou a importância da utilização de múltiplas representações no processo de conceitualização de função; favorecendo a coordenação entre as variáveis visuais pertinentes, no registro gráfico, e os correspondentes valores categoriais no registro algébrico

As estruturas de dados concretas (cds) são quaternas (C, V, E, l-) que contêm um conjunto C de células, um conjunto V de valores, um conjunto E de eventos e uma relação de habilitação l-. O conjunto de estados de uma cds é um domínio concreto que pode ser considerada a parte "abstrata" das cds. Da mesma maneira tem-se que os domínios de eventos (que são generalizações dos domínios concretos) são a parte abstrata das estruturas de eventos. Mostra-se a relação dos domínios concretos e domínios de eventos com os espaços coerentes, assim como também das teias de espaços coerentes com as cds e estruturas de eventos. Intuitivamente, uma cds é uma teia de um espaço coerente se toda célula c de C não é habilitada por nenhum evento (ou equivalentemente, é habilitada pelo conjunto vazio), isto é, V C E C, 0 F c. Outra forma de expressar isto é dizer que uma cds e uma teia de um espaço coerente se o conjunto de estados da cds é um espaço coerente. Definem-se os algoritmos lineares como sendo estados de uma cds no estilo dos algoritmos seqüenciais do Curien ([CUR 86]). Em particular as cds consideradas são teias de espaços coerentes. Mostra-se como obter a cds !A—>B, a partir de uma função estável f. A —> B. O algoritmo linear desta cds possui todas as estratégias de computação (seqüenciais e paralelas) que computam a função subjacente f, o que implica que os algoritmos lineares podem ser considerados meta-algoritmos. Mostra-se que para toda estratégia de computação seqüencial de um algoritmo linear, existe um algoritmo seqüencial de Curien que computa a mesma função, e vice-versa. A definição de estratégia de computação é dada de maneira tal que permite se dar semântica a segmentos de programas. Define-se uma operação de composição de estratégias, de forma tal que se pode obter uma estratégia de computação de um programa, a partir da composição das estratégias dos segmentos. / The concrete data structures, or cds, (C, V, E, l-) consists of a set C of cells, a set V of values. a set E of events and an enabling relation l-. The set of states of a cds is a concrete domain, that can be considered the "abstract" counterpart of the cds. In the same way we have that the events domains (that are more general that the concretes domains) are the abstract counterpart of the events structures. We show the relation between the concretes domains and events domains with the coherence spaces, as just as the relation between the cds and events structures with webs of coherence spaces. Intuitivelly, a cds is a web of a coherence space if any cell c is not enabled for any event, i.e. Vce C, 0 F c. We can say that a cds is a web of a coherence space if the set of states of the cds is a coherence space. We define the linear algorithms as states of a cds following the Curien's sequential algorithms ([CUR 86]). In particular the cds considered are webs of coherence spaces. We show how to obtain a cds !A—>B from a stable function f. A —> B. The linear algorithm of this cds contain all the computational strategies (sequentials and parallels) that compute the subjacent function f; this implies that the linear algorithms can be considered a kind of meta-algorithms. We show that for all sequential computational strategy of a linear al gorithm exists a Curien's sequential algorithm that compute the same function and conversely. We define the computational strategies in such a way that we can give semantic of segments of programs. We define a composition operation for strategies. This operation has the advantage that we can obtain the computational strategy of a program as the composition of the segments of it.