Mes travaux de recherche portent sur l'analyse numérique des intégrateurs géométriques et multi-échelles pour les équations différentielles déterministes ou stochastiques. Les modèles d'équations différentielles issus de la physique ou la chimie possèdent souvent une structure géométrique ou multi-échelles particulière (par exemple, les structures hamiltoniennes, les intégrales premières, les structures multi-échelles en temps ou en espace, les systèmes hautement oscillatoires), mais leur complexité est souvent telle qu'une solution satisfaisante est hors de portée en utilisant seulement des méthodes numériques standards à usage général. L'objectif est donc d'identifier les propriétés géométriques ou multi-échelles pertinentes de ces problèmes, et d'en tirer avantage pour concevoir et analyser de nouveaux intégrateurs efficaces, fiables et précis, reproduisant fidèlement le comportement qualitatif de la solution exacte des modèles considérés.

Les écoulements de mousse liquide sont directement impliqués dans de nombreuses applications dans des domaines aussi variés que les industries agro-alimentaire et cosmétique, l'extraction pétrolière, ou encore la décontamination nucléaire. Par ailleurs, l'étude des mousses apporte des connaissances fondamentales : plus facile à manipuler et analyser, la mousse est un fluide modèle pour comprendre des matériaux tels que les émulsions, les polymères, les pâtes, ou les agrégats de cellules, qui possèdent à la fois des propriétés liquides et solides. Les expériences systématiques réalisées par l'équipe de F. Graner ont fourni une série de données précises qui mettent l'accent sur les propriétés non newtoniennes de la mousse. Dans le même temps, P. Saramito a proposé un modèle visco-élasto-plastique (VEP) continu et tensoriel, à même de prédire le comportement de la mousse. L'objectif de cette thèse est de comprendre ce comportement complexe en s'appuyant sur ces deux éléments. Nous avons élaboré et validé un algorithme de résolution basé sur une méthode d'éléments finis bidimensionnelle. Les solutions numériques sont en excellent accord avec tous les champs mesurés (vitesse, déformation élastique, taux de déformation plastique), et nous avons confirmé le caractère prédictif du modèle. Nous avons identifié les paramètres dominants et établi la nécessité de traiter simultanément les contributions visqueuse, élastique, et plastique dans un formalisme tensoriel. Notre travail apporte une contribution substantielle à la compréhension des mousses et ouvre la voie à la simulation réaliste d'écoulements complexes de fluides VEP en vue d'applications industrielles.

Dans un grand nombre d'applications modernes, on est amené à estimer l'état initial (ou final) d'un système infini-dimensionnel (typiquement un système gouverné par une Équation aux Dérivées Partielles (EDP) d'évolution) à partir de la connaissance partielle du système sur un intervalle de temps limité. Un champ d'applications dans lequel apparaît fréquemment ce type de problème d'identification est celui de la médecine. Ainsi, la détection de tumeurs par tomographie thermo-acoustique peut se ramener à des problèmes de reconstruction de données initiales. D'autres méthodes nécessitent l'identification d'un terme source, qui, sous certaines hypothèses, peut également se réécrire sous la forme d'un problème de reconstruction de données initiales. On s'intéresse dans cette thèse à la reconstruction de la donnée initiale d'un système d'évolution, en travaillant autant que possible sur le système infini-dimensionnel, à l'aide du nouvel algorithme développé par Ramdani, Tucsnak et Weiss (Automatica 2010). Nous abordons en particulier l'analyse numérique de l'algorithme dans le cadre des équations de Schrödinger et des ondes avec observation interne. Nous étudions les espaces fonctionnels adéquats pour son utilisation dans les équations de Maxwell, avec observations interne et frontière. Enfin, nous tentons d'étendre le cadre d'application de cet algorithme lorsque le système initial est perturbé ou que le problème inverse n'est plus bien posé, avec application à la tomographie thermo-acoustique.

Ce travail présente quelques résultats sur les systèmes de particules en interaction pour l'interprétation probabiliste des équations aux dérivées partielles, avec des applications à des questions de dynamique moléculaire et de chimie quantique. On présente notamment une méthode particulaire permettant d'analyser le processus de la force biaisante adaptative, utilisé en dynamique moléculaire pour le calcul de différences d'énergies libres. On étudie également la sensibilité de dynamiques stochastiques par rapport à un paramètre, en vue du calcul des forces dans l'approximation de Born-Oppenheimer pour rechercher l'état quantique fondamental de molécules. Enfin, on présente un schéma numérique basé sur un système de particules pour résoudre des lois de conservation scalaires, avec un terme de diffusion anormale se traduisant par une dynamique de sauts sur les particules

Cette thèse est consacrée à l'étude des applications de la théorie des erreurs par formes de Dirichlet. Notre travail se divise en trois parties. La première analyse les modèles gouvernés par une équation différentielle stochastique. Après un court chapitre technique, un modèle innovant pour les carnets d'ordres est proposé. Nous considérons que le spread bid-ask n'est pas un défaut, mais plutôt une propriété intrinsèque du marché. L'incertitude est porté par le mouvement Brownien qui conduit l'actif. Nous montrons que l'évolution des spread peut être évalué grâce à des formules fermés et nous étudions l'impact de l'incertitude du sous-jacent sur les produits dérivés. En suite, nous introduisons le modèle PBS pour le pricing des options européennes. L'idée novatrice est de distinguer la volatilité du marché par rapport au paramètre utilisé par les traders pour se couvrir. Nous assumons la première constante, alors que le deuxième devient une estimation subjective et erronée de la première. Nous prouvons que ce modèle prévoit un spread bid-ask et un smile de volatilité. Les propriétés plus intéressantes de ce modèle sont l'existence de formules fermés pour le pricing, l'impact de la dérive du sous-jacent et une efficace stratégie de calibration. La seconde partie s'intéresse aux modèles décrit par une équation aux dérivées partielles. Les cas linéaire et non-linéaire sont analysés séparément. Dans le premier nous montrons des relations intéressantes entre la théorie des erreurs et celui des ondelettes. Dans le cas non-linéaire nous étudions la sensibilité des solutions à l'aide de la théorie des erreurs. Sauf dans le cas d'une solution exacte, il y a deux approches possibles: On peut d'abord discrétiser l'EDP et étudier la sensibilité du problème discrétisé, soit démontrer que les sensibilités théoriques vérifient des EDP. Les deux cas sont étudiés, et nous prouvons que les sharp et le biais sont solutions d'EDP linéaires dépendantes de la solution de l'EDP originaire et nous proposons des algorithmes pour évaluer numériquement les sensibilités. Enfin, la troisième partie est dédiée aux équations stochastiques aux dérivées partielles. Notre analyse se divise en deux chapitres. D'abord nous étudions la transmission de l'incertitude, présente dans la condition initiale, à la solution de l'EDPS. En suite, nous analysons l'impact d'une perturbation dans les termes fonctionnelles de l'EDPS et dans le coefficient de la fonction de Green associée. Dans le deux cas, nous prouvons que le sharp et le biais sont solutions de deux EDPS linéaires dépendantes de la solution de l'EDPS originaire.

Le but de cette thèse est de développer une méthode numérique simple, robuste, efficace et précise pour résoudre des problèmes d'ingénierie de grande taille à partir de la méthode Taylor Meshless (TMM) et fournir de nouvelles idées principales de TMM est d'utiliser comme fonctions de forme des polynômes d'ordre élevé qui sont des solutions approchées de l'EDP. Ainsi la discrétisation ne concerne que la frontière. Les coefficients de ces fonctions de forme sont obtenus en discrétisant les conditions aux limites par des procédures de collocation associées à la méthode des moindres carrés. TMM est alors une véritable méthode sans maillage sans processus d'intégration, les conditions aux limites étant obtenues par collocation. Les principales contributions de cette thèse sont les suivantes: 1) Basé sur TMM, un algorithme général et efficace a été développé pour résoudre des EDP elliptiques tridimensionnelles; 2) Trois techniques de couplage pour des résolutions par morceaux ont été discutées dans des cas de problèmes à grande échelle: la méthode de collocation par les moindres carrés et deux méthodes de couplage basées sur les multiplicateurs de Lagrange; 3) Une méthode numérique générale pour résoudre les EDP non-linéaires a été proposée en combinant la méthode de Newton, la TMM et la technique de différentiation automatique. 4) Pour résoudre des problèmes avec un bord non régulier, des solutions singulières satisfaisant l'équation de contrôle sont introduites comme des fonctions de forme complémentaires, ce qui fournit une base théorique pour la résolution de problèmes singuliers / Based on Taylor Meshless Method (TMM), the aim of this thesis is to develop a simple, robust, efficient and accurate numerical method which is capable of solving large scale engineering problems and to provide a new idea for the follow-up study on meshless methods. To this end, the influence of the key factors in TMM has been studied by solving three-dimensional and non-linear Partial Differential Equations (PDEs). The main idea of TMM is to use high order polynomials as shape functions which are approximated solutions of the PDE and the discretization concerns only the boundary. To solve the unknown coefficients, boundary conditions are accounted by collocation procedures associated with least-square method. TMM that needs only boundary collocation without integration process, is a true meshless method. The main contributions of this thesis are as following: 1) Based on TMM, a general and efficient algorithm has been developed for solving three-dimensional PDEs; 2) Three coupling techniques in piecewise resolutions have been discussed and tested in cases of large-scale problems, including least-square collocation method and two coupling methods based on Lagrange multipliers; 3) A general numerical method for solving non-linear PDEs has been proposed by combining Newton Method, TMM and Automatic Differentiation technique; 4) To apply TMM for solving problems with singularities, the singular solutions satisfying the control equation are introduced as complementary shape functions, which provides a theoretical basis for solving singular problems

Cette thèse présente quelques contributions à l'étude qualitative de solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires dans des modèles issus de l'optique et de la mécanique des fluides. Nous nous intéressons plus précisément à l'existence de solutions et à leur stabilité temporelle. Le Chapitre 1 est consacré à l'équation de Lugiato-Lefever, qui est une variante de l'équation de Schrödinger non linéaire et qui a été dérivée dans plusieurs contextes en optique. En utilisant des outils de la théorie des bifurcations et des formes normales, nous procédons à une étude systématique des solutions stationnaires de cette équation, et prouvons l'existence de solutions périodiques et localisées. Dans le Chapitre 2, nous présentons un critère simple d'instabilité linéaire pour des ondes non linéaires. Nous appliquons ce résultat aux équations de Lugiato-Lefever, de Kadomtsev-Petviashvili-I et de Davey-Stewartson. Ces deux dernières équations sont des équations modèles dérivées en mécanique des fluides. Dans le Chapitre 3, nous montrons un critère d'instabilité linéaire pour des solutions périodiques de petite amplitude, par rapport à certaines perturbations quasipériodiques. Ce résultat est ensuite appliqué à l'équation de Lugiato-Lefever. / In this thesis we present several contributions to qualitative study of solutions of nonlinear partial differential equations in optics and fluid mechanics models. More precisely, we focus on the existence of solutions and their stability properties. In Chapter 1, we study the Lugiato-lefever equation, which is a variant of the nonlinear Schrödinger equation arising in sereval contexts in nonlinear optics. Using tools from bifurcation and normal forms theory, we perfom a systematic analysis of stationary solutions of this equation and prove the existence of periodic and localized solutions. In Chapter 2, we present a simple criterion for linear instability of nonlinear waves. We then apply this result to the Lugiato-Lefever equation, to the Kadomtsev-Petviashvili-I equation and the Davey-Stewartson equations. These last two equations are model equations arising in fluid mechanics. In Chapter 3, we prove a criterion for linear instability of periodic solutions with small amplitude, with respect to certain quasiperiodic perturbations. This result is then applied to the Lugiato-Lefever equation.

Prédire la statistique des grandes échelles des écoulements turbulents constitue un enjeu important. Pour l'équation d'Euler 2D et des modèles analogues d'écoulements géophysiques, une auto-organisation est observée (formation de cyclones/anticyclones, jets intenses). La mécanique statistique d'équilibre des écoulements bidimensionnels s'est avérée fondamentale et pertinente même en présence de forçage et dissipation, dans la limite inertielle. La thèse est motivée par le phénomène de transitions aléatoires entre deux topologies différentes, lié à une bistabilité. Il s'agit de prédire la multiplicité des équilibres d'un écoulement (quasi) bidimensionnel. On développe une classification des transitions de phase, pour des équilibres (statistiques et/ou dynamiques) d'un tel écoulement. Les diagrammes de phase font apparaître la présence générique de points critiques et tricritiques, et des domaines d'inéquivalence d'ensembles statistiques. Dans le cas d'une géométrie annulaire, on décrit les effets de la topographie et de la conservation de deux circulations. Des analogies avec la bistabilité du courant océanique Kuroshio sont proposées à partir de cette étude académique. Enfin, pour le système Euler 2D, on détaille un résultat de mécanique statistique dans l'ensemble énergie-enstrophie : la distribution microcanonique, construite à partir du théorème de Liouville en dimension finie, correspond à la maximisation d'une entropie de mélange de la vorticité. / A most challenging problem in turbulence is to predict the statistics of flows at the large scales. In the case of the 2D Euler equation and analogous models for geophysical flows, the flow is observed to self-organize: cyclones/anticyclones and intense jets form. Equilibrium statistical mechanics has proven to be fundamental and relevant even in the presence of forcing and dissipation, in the inertial limit. The thesis is motivated by the phenomenon of random transitions between two different topologies. This phenomenon implies bistability. The goal is to predict the multiplicity of equilibria for a (quasi) two-dimensional flow. We develop a classification of phase transitions for the (statistical and/or dynamical) equilibria of this flow. Phase diagrams show critical and tricritical points as well as domains of statistical ensemble inequivalence, all this generically. In the case of an annular geometry, the effects of topography and of conserving two circulations are described. Analogies between the bistability of the ocean current Kuroshio and this academic study are suggested. Lastly, for the 2D Euler system, a statistical-mechanical result in the energy-enstrophy ensemble is detailed: the microcanonical distribution, constructed from Liouville's theorem in finite dimension, corresponds to the maximization of a vorticity-mixing entropy.

Cette thèse présente des travaux sur l’étude et la calibration de modèles d’équations aux dérivées partielles pour la croissance tumorale. La première partie porte sur l’analyse d’un modèle de croissance tumorale pour le cas de métastases au foie de tumeurs gastro-intestinales (GIST). Le modèle est un système d’équations aux dérivées partielles couplées et prend en compte plusieurs traitements dont un traitement anti-angiogénique. Le modèle permet de reproduire des données cliniques. La première partie de ce travail concerne la preuve d’existence/unicité de la solution du modèle. La seconde partie du travail porte sur l’étude du comportement asymptotique de la solution du modèle lorsqu’un paramètre du modèle, décrivant la capacité de la tumeur à évacuer la nécrose, converge vers 0. La seconde partie de la thèse concerne le développement d’un modèle de croissance pour des sphéroïdes tumoraux ainsi que sur la calibration de ce modèle à partir de données expérimentales in vitro. L’objectif est de développer un modèle permettant de reproduire quantitativement la distribution des cellules proliférantes à l’intérieur d’un sphéroïde en fonction de la concentration en nutriments. Le travail de modélisation et de calibration du modèle a été effectué à partir de données expérimentales permettant d’obtenir la répartition spatiale de cellules proliférantes dans un sphéroïde tumoral. / In this thesis, we present several works on the study and the calibration of partial differential equations models for tumor growth. The first part is devoted to the mathematical study of a model for tumor drug resistance in the case of gastro-intestinal tumor (GIST) metastases to the liver. The model we study consists in a coupled partial differential equations system and takes several treatments into account, such as a anti-angiogenic treatment. This model is able to reproduce clinical data. In a first part, we present the proof of the existence/uniqueness of the solution to this model. Then, in a second part, we study the asymptotic behavior of the solution when a parameter of this model, describing the capacity of the tumor to evacuate the necrosis, goes to 0. In the second part of this thesis, we present the development of model for tumor spheroids growth. We also present the model calibration thanks to in vitro experimental data. The main objective of this work is to reproduce quantitatively the proliferative cell distribution in a spheroid, as a function of the concentration of nutrients. The modeling and calibration of this model have been done thanks to experimental data consisting of proliferative cells distribution in a spheroid.

Cette thèse est consacrée à l'étude de plusieurs problèmes d'équations aux dérivées partielles non-linéaires.<p><p>La première partie (chapitres 1-2-3) traite d'un problème trouvant son origine en biologie mathématique, à savoir l'étude de la survie à long terme d'une population dont l'évolution est gouvernée par une équation parabolique non-linéaire. Dans le modèle considéré, le mécanisme de diffusion est contrôlé par le p-Laplacien, la non-linéarité est de type logistique et fait intervenir un poids m pouvant changer de signe, et les conditions aux limites sont de flux nul. Le poids m correspond à une répartition des ressources devant permettre la survie de la population. Dans le chapitre 1, nous déterminons entre autres un critère de survie à long terme faisant intervenir la valeur propre principale du p-Laplacien avec poids m. Cette valeur propre apparait, plus précisément, comme la valeur limite d'un paramètre en-dessous de laquelle toute solution positive de l'équation converge vers zéro lorsque t tend vers l'infini. Ceci nous conduit naturellement au problème de minimiser la valeur propre en question lorsque m varie dans une classe adéquate de poids. Dans le chapitre 2, nous prouvons l'existence de minimiseurs et montrons que ces derniers satisfont une propriété de type “bang-bang”. Plusieurs propriétés de montonie sont aussi étudiées dans des situations géométriques particulières, et une caractérisation complète est donnée en dimension 1. Le chapitre 3 est consacré à l'élaboration de simulations numériques, où l'algorithme utilisé combine un méthode de plus grande pente avec une représentation de certains ensembles comme ensembles de niveaux.<p><p>La deuxième sujet de cette thèse (chapitre 4) est un problème elliptique faisant intervenir l'opérateur de courbure moyenne. Nous nous intéressons à l'existence et à la multiplicité de solutions nodales de ce problème. Nous montrons que, si un certain paramètre de l'équation est suffisamment grand, il existe une solution nodale qui change de signe exactement deux fois. Nous établissons également l'existence d'un nombre arbitrairement grand de solutions nodales. Enfin, dans le cas particulier où le domaine est une boule, un résultat de brisure de symétrie est obtenu, résultat qui induit l'existence d'au moins deux solutions à deux domaines nodaux. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished