Nesta dissertação, estudamos as órbitas de uma família D de campos vetoriais suaves em uma variedade suave M. O objetivo é demonstrar dois teoremas de Sussmann: o primeiro teorema diz que as órbitas são subvariedades integrais de uma certa distribuição \'P IND. D\' de vetores tangentes em M. O segundo teorema dá condições necessárias e suficientes para que \'P IND. D\' seja igual à distribuição gerada pelos campos de D. Como aplicação, estudamos uma caracterização da condição (P) de Nirenberg-Treves para campos vetoriais complexos em \'R POT. 2\' / In this dissertation, we study the orbits of a family D of smooth vector fields on a smooth manifold M. The goal is to demonstrate two theorems of Sussmann: the first theorem says that the orbits are integral submanifolds of a certain distribution \'P IND. D\' of tangent vectors of M. The second theorem gives necessary and sufficient conditions for \'P IND. D\' to be the same as the distribution generated by the vector fields of D: As an application, we study a characterization of the condition (P) of Nirenberg and Treves for complex vector fields on \'R POT. 2\'

Orientador: Ernesto Vieira Neto / Banca: Rafael Sfair de Oliveira / Banca: André Izidoro Ferreira da Costa / Banca: Fernando Virgilio Roig / Banca: Tadashi Yokoyama / Resumo: A formação de satélites em um disco circumplanetário é tida como sendo similar a formação de planetas em um disco protoplanetário, especialmente super Terras rochosas. Dessa forma, é possível utilizar sistemas com satélites massivos para se testar teorias de formação que podem ser aplicadas à planetas extrassolares. Um melhor entendimento sobre a origem dos satélite nos dará importantes informações sobre a vizinhança do planeta durante suas últimas fases de formação. Neste trabalho nós utilizamos simulações de N-corpos e hidrodinâmicas para investigar a formação e migração dos satélites galileanos. Nos modelos de N-corpos nós simulamos um disco circumplanetário estático (sem a entrada de material vindo de fontes externas), com baixa viscosidade, onde a ação do disco gasoso sobre os satélites foi aproximada a partir de prescrições analíticas para a migração do tipo I e o amortecimento da excentricidade e inclinação. O disco de gás é representado por um perfil de densidade superficial radial. Um estudo detalhado sobre os parâmetros do disco mostraram que o número final de satélites é muito influenciado pela distribuição inicial dos embriões e pelo perfil inicial da nébula gasosa. Para distribuições de gás com baixa dependência radial a formação de satélites massivos próximos da região dos satélites galileanos é favorecida. Ainda, mostramos que a formação de satélites tão massivos quanto Ganímedes e Calisto pode ser atingida apenas em discos mais quentes, onde a linha do gelo es... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: The formation of satellite systems in circumplanetary disks is believed to be similar to the formation of rocky planets in a protoplanetary disk, especially Super-Earths. In this way, it is possible to use massive satellite systems to test the theories of planetary formation. A better understanding of the satellites origin could give important informations about the environment near the forming planet during its late stages of formation. In this work we used N-body and hydrodynamic simulations to study the formation and migration of the Galilean satellites. With the N-body models with simulated a static, low viscous circumplanetary disk, where the actions of the gaseous disk was modeled using analytical prescriptions for the type I migration, eccentricity and inclination damping. A detailed study of the disk parameters showed that the final number of satellites is strongly influenced by the initial distribution of the embryos and by the initial gas density profile. For flatter gas distributions the formation of massive satellites close to the region of the Galilean satellites. Furthermore, we show that the formation of satellites as massive as Ganymede and Callisto can be achieved only in hotter disks, where the ice line is initially located around 30 RJ . In our hydrodynamic simulations we tested different boundary conditions, gas density distributions and temperature distribution for the circumplanetary disk. Our results indicate that Jupiter was still forming during the period of migration of the Galilean satellites, the satellites migrated in a type I regime for most part of their evolution and the probability of formation of massive satellites between the Galilean satellites is very low, in this case if more satellites were formed in the Jovian disk, the mass of these bodies should be smaller that what is observed for the Galilean satellites / Doutor

Orientador: Silvia Maria Giuliatti Winter / Coorientadora: Pryscilla Maria Pires dos Santos / Banca: Rafael Sfair de Oliveira / Banca: Maria Helena Moreira Morais / Resumo: Os novos dados obtidos do sistema de Plutão, durante sua passagem pelo sistema em julho de 2015, estão sendo enviados pela sonda New Horizons. Plutão possui um conjunto de cinco satélites, Caronte (forma um sistema bin'ario com Plutão), Estige, Nix, Cérberos e Hidra. A recente descoberta desses dois pequenos satélites, Estige e C'erberos, faz com que seja necessário reestudar essa região externa, além da órbita de Caronte. Neste trabalho analisaremos a estabilidade da região externa do sistema Plutão-Caronte para um conjunto de partículas-teste da ordem de centímetros e micrometros sob a influência gravitacional de todos os corpos do sistema de Plutão e da pressão de radiação solar (para partículas de micrometros). Essas partículas estarão inicialmente em órbitas excêntricas e inclinadas; serão assumidos diferentes valores de excentricidade e inclinação. Resultados mostraram que para um conjunto de partículas, originalmente localizadas no plano orbital do sistema de Plutão, 10% colidiram com os corpos maiores e 25% foram ejetadas. Já para o sistema de partículas com órbitas inclinadas (I = 96.2 ◦ ), a maioria dessas partículas são estáveis. Apresentaremos os resultados obtidos para outros valores de inclinação e faremos a comparação com os resultados obtidos para um conjunto de partículas micrométricas da ordem de 1, 5 e 10µm / Abstract: The new data from the Pluto system during its passage through the system in July 2015, are being sent by the spacecraft NewHorizons. Pluto has a set of five satellites, Charon (forms a binary system with Pluto), Styx, Nix, Kerberos, Hydra. The recent discovery of these two small satellites, Styx and Kerberos, makes it necessary to restudy this outer region beyond the orbit of Charon. In this work we analyze the stability of the outer region Pluto-Charon system for a set of particle-test centimeters order and micron under gravitational influence of all bodies Pluto system and solar radiation pressure (for particle microns). These particles are initially eccentric and inclined orbits; They are assumed different eccentricity values and inclination. Results showed that for a set of particles originally located in orbital plane of Pluto system collided with 10% larger bodies and 25% were ejected. As for the particle system with inclined orbits (I = 96.2◦ ), most of these particles are stable. We present the results obtained for other of inclination values and make a comparison with the results obtained for a set of micrometric particles of the order of 1, 5 and 10µm / Mestre

Orientador: Ernesto Vieira Neto / Coorientador: Stéfan Renner / Banca: Silvia Maria Giuliatti Winter / Banca: Rafael Sfair de Oliveira / Banca: Elbert Einstein Nehrer Macau / Banca: Nelson Callegari Júnior / Resumo: Desde 2004, as imagens obtidas pelas câmeras da sonda Cassin têm revelado a existência de vários pequenos satélites no sistema de Saturno. Três desses pequenos satélites estão dentro de arcos de partículas. Enquanto Aegaeon, Methone e Anthe e seus arcos são conhecidos por estarem em ressonância de corrotação 7:6, 14:15 e 10:15, respectivamente, com Mimas, a origem desses arcos é desconhecida. Logo, este trabalho investiga um possível processo de captura em ressonância de corrotação, que envolve o aumento da excentricidade de um satélite perturbador. Assim, através de simulações numéricas e estudos analíticos, nós mostramos um cenário que a excitação da excentricidade de Mimas poderia capturar partículas em ressonância de corrotação 7:6 14:15 e 10:11 com Mimas, fornecendo uma possível explicação para a origem dos arcos de Saturno. Outro objetivo deste trabalho é analisar uma possível região de origem de Aegaeon. Pois, há uma possibilidade de que a pequena lua Aegaeon tenha sido formada em outra região do sistema de Saturno diferente daquela que ela se encontra atualmente. Assim, também através de simulações numéricas e estudos analíticos, verificamos se a perturbação de Jano e Epimeteu através da ressonância de corrotação e Lindblad na borda externa do anel A é responsável pela migração de objetos dessa borda / Abstract: Since 2004, the images obtained by the Cassini spacecraft on-board cameras have revealed the existence of several small satellites in Saturn system. Three of these small satellites are embedded in arcs of particles. While Aegaeon, Methone and Anthe and their arcs are known to be in 7:6, 14:15 and 10:11 corotation resonances, respectively with Mimas, their origin remains unknown. This work investigates one possible process for capturing bodies into a corotation resonance, which involves increasing in the eccentricity of the perturbing body. Therefore, through numerical simulations and analytical studies, we showed a scenario in which the excitation of Mimas' eccentricity could capture particles in 7:6, 14:15 and 10:11 corotation resonance. This is a possible explanation for the origin of the arcs. Another goal of this work is to analyze a region possible of Aegaeon's origin. Because, there's a possibility of which Aegaon moonlet has been formed in another region of Saturn's system different of that Aegaeon finds itself today. Thus, also through numerical simulations and analytical studies, we verified that perturbation of Jano and Epimeteu by corotation and Lindblad resonance in the outer edge of Saturn's A ring can be responsible by the migration of particles of this edge / Doutor

Nesta Tese discutimos três problemas chave que estabelecem um número de conexões entre aspectos fundamentais e aplicações práticas em Dinâmica Não-Linear. No primeiro capítulo revisamos conceitos básicos e como simplificar e resolver de modo exato as equações de movimento de um difeomorfismo polinomial que exibe um cenário rico em complexidade, da integrabilidade ao caos dissipativo: o mapa de Hénono Apresentamos resultados exatos definindo todas as órbitas periódicas de períodos até 6 no limite Hamiltoniano do modelo para uma de não-linearidade representativa onde existe uma ferradura completa de Smale, quando todas órbitas possíveis são reais. Mostramos que é possível classificar as órbitas segundo as irracionalidades algébricas envolvidas nas soluções exatas, re-ordenando e mostrando inter-dependências dos rótulos normalmente derivados através da dinâmica simbólica. Nossas soluções exatas permitem-nos resolver de uma vez por todas o enigma do centro de massa orbital, que consiste na observação empírica, apresentada na literatura, da simplificação freqüente da soma das coordenadas dos pontos orbitais em simples números racionais. No segundo capítulo mostramos que, ainda no limite Hamiltoniano mas para valores arbitrários do parâmetro de não-linearidade, o conjunto das órbitas periódicas é formado por três classes de conjugação algébrica bem definidas. Mostramos que a classe das órbitas assimétricas é composto por pares de órbitas que exibem simetria quiral. Apesar de ser comum na literatura estudar-se preferencialmente apenas as órbitas simétricas, mostramos que as órbitas assimétricas são as que dominam por completo a estatística orbital à medida que o período cresce. Por exemplo, para período 20, computamos que 97.2% das 52377 órbitas existentes, consideradas até aqui como meramente assimétricas são, na verdade, pares de órbitas com simetria quiral. A Tese é concluida no terceiro capítulo, onde apresentamos um estudo numérico para verificar alguns aspectos dinâmicos que, devido à extensão dos cálculos, não podem ser decididos analiticamente como nos dois capítulos precedentes. Mais especificamente, estudamos a conexão entre os espaços de fase real e complexo de mapa de Hénon dissipativos, quando se mantém os parâmetros de controle no domínio real. Tal cenário nos permite encontrar dois resultados novos: (i) a existência de uma infinidade de órbitas periódicas que, apesar de existirem no plano complexo, são estáveis para valores reais dos parâmetros de controle, e (ii) que os pontos críticos, atores centrais hoje em dia da dinâmica holomórfica (i. e. analítica complexa), na verdade são totalmente não-essenciais. Isto porque, como demonstramos, a mesma fenomenologia da dinâmica holomórfica pode ser obtida num regime realístico onde sequer é possível definir-se pontos críticos. Em particular, mostramos como obter conjuntos mais gerais que o famoso conjunto de Mandelbrot sem envolver considerações de pontos críticos. / In this Thesis we discuss three key prablems that establish a number of connections between fundamental aspects and practical applications in Nonlinear Dynamics. In the first chapter we review basic concepts and how to simplify and exactly solve the equations of motion of a polynomial di.ffeomorphism which exhibits a full range of complexity, fram integrability to dissipative chaos: the Hénon map. We report exact results defining all periodic orbits with periods up to 6 in the Hamiltonian limit of the model for a representative nonlinearity supporting a full Smale horseshoe, when all possible orbits are real. We show that it is possible to classify the orbits according the algebraic irrationality involved in the exact solutions) re-ordering and making visible interdependencies of the labels normally derived via symbolic dynamics. Our exact solution allow us to solve for good the puzzle of the orbital center-of-mass. In the second chapter we show that, still in the Hamiltonian limit but for arbitrary values of the nonlinearity parameter) the set of periodic orbits is composed by three well-defined algebraic con,jugacy classes. We show that the class of asymmetrical orbits is composed by pairs of orbits exhibiting a chiral symmetry. Although in the literature it is common to study mainly symmetrical orbits) we show that it is the asymmetric orbits that completely dominate the orbital statistics when the period graws. For instance, for period 20 we computed that 97.2% of the 52377 existing orbits, considered thus far as being merely asymmetric orbits, are in fact pairs of orbits with chiral symmetry. The Thesis concludes in the third chapter, where we present a numerical study to verify some dynamical aspects that) due to the extension of the calculations) cannot be decided analytically as in the two preceding chapters. More specifically) we study the connection between the real and the complex phase-spaces of the dissipative Hénon map when maintaining the control parameters in the real domain. This scenario allows v.S to find two new results which are extremely surprising: (i) The existence of an infinity of periodic orbits which, albeit living in the complex plane) are stable for real values of the contral parameters) and (ii) That the critical point) key players nowadays in holomorphic (i. e. analytic complex) dynamics, in fact are totally non-essential. This because, as we show, the same phenomenology of holomorphic dynamics may be obtained in a realistic regime where it is not even possible to define critical points. In particular, we show how to obtain sets more general than the famous Mandelbrat set without considering critical points.

A transformada de Fourier da densidade de estados de grafos quˆanticos unidimensionais apresenta picos d localizados precisamente nos valores da ac¸ ˜ao de trajet´orias Newtonianas e n˜ao-Newtonianas. Introduzindo fios extendendo-se ao infinito, investigamos o problema de espalhamento correspondente; atrav´es do espectro transformado, encontramos picos que indicam que a condutˆancia tamb´em apresenta uma assinatura destas ´orbitas. C´alculos indicam que resultados de trabalhos anteriores para grafos fechados podem ser extendidos para sistemas abertos. Em particular, uma f´ormula do trac¸o ´e apresentada para trˆes exemplos em particular. / The Fourier transform of the density of states of one-dimensional, closed quantum graph exhibits d-peaks located precisely at the actions of Newtonian and non-Newtonian orbits. By introducing leads extending to infinity, we investigate the corresponding scattering problem; through the Fourier-transformed spectra, peaks are found indicating that also the conductance displays a signature of such periodic orbits. Our calculations indicate that results from previous work on closed graphs can be extended to open systems. In particular, we indicate a trace formula for three different cases.

A transformada de Fourier da densidade de estados de grafos quˆanticos unidimensionais apresenta picos d localizados precisamente nos valores da ac¸ ˜ao de trajet´orias Newtonianas e n˜ao-Newtonianas. Introduzindo fios extendendo-se ao infinito, investigamos o problema de espalhamento correspondente; atrav´es do espectro transformado, encontramos picos que indicam que a condutˆancia tamb´em apresenta uma assinatura destas ´orbitas. C´alculos indicam que resultados de trabalhos anteriores para grafos fechados podem ser extendidos para sistemas abertos. Em particular, uma f´ormula do trac¸o ´e apresentada para trˆes exemplos em particular. / The Fourier transform of the density of states of one-dimensional, closed quantum graph exhibits d-peaks located precisely at the actions of Newtonian and non-Newtonian orbits. By introducing leads extending to infinity, we investigate the corresponding scattering problem; through the Fourier-transformed spectra, peaks are found indicating that also the conductance displays a signature of such periodic orbits. Our calculations indicate that results from previous work on closed graphs can be extended to open systems. In particular, we indicate a trace formula for three different cases.

Nesta dissertação, estudamos as órbitas de uma família D de campos vetoriais suaves em uma variedade suave M. O objetivo é demonstrar dois teoremas de Sussmann: o primeiro teorema diz que as órbitas são subvariedades integrais de uma certa distribuição \'P IND. D\' de vetores tangentes em M. O segundo teorema dá condições necessárias e suficientes para que \'P IND. D\' seja igual à distribuição gerada pelos campos de D. Como aplicação, estudamos uma caracterização da condição (P) de Nirenberg-Treves para campos vetoriais complexos em \'R POT. 2\' / In this dissertation, we study the orbits of a family D of smooth vector fields on a smooth manifold M. The goal is to demonstrate two theorems of Sussmann: the first theorem says that the orbits are integral submanifolds of a certain distribution \'P IND. D\' of tangent vectors of M. The second theorem gives necessary and sufficient conditions for \'P IND. D\' to be the same as the distribution generated by the vector fields of D: As an application, we study a characterization of the condition (P) of Nirenberg and Treves for complex vector fields on \'R POT. 2\'

Orientador: Othon Cabo Winter / Coorientador: Décio Cardozo Mourão / Banca: Roberto Vieira Martins / Banca: Silvia Maria Giuliatti / Resumo: Dados observacionais obtidos em 1995 durante a passagem da Terra pelo plano dos anéis de Saturno indicaram defasagens angulares nas posições previstas de Prometeu e Pandora. Usando dados adicionais as defasagens foram confirmadas com Prometeu cerca de -19º de sua longitude prevista e Pandora cerca de +25º. Uma possível relação caótica provocada pela ressonância 121:118 de movimento médio entre os dois satélites é atualmente aceita para explicar essas defasagens (Goldreich & Rappaport 2003b). Entretanto, um trabalho alternativo que analisa as evoluções temporais dos semieixos maiores dos satélites propõe que essas defasagens são consequência de dados iniciais não ideais que pertencem a um momento muito específico e não representam o comportamento dos satélites a maior parte do tempo (Cruz 2004). Neste trabalho reanalisamos as defasagens de Prometeu e Pandora por meio do estudo detalhado dos dois trabalhos citados, testando analítica e numericamente seus principais resultados. Os nossos resultados indicam que as defasagens observadas são originarias da utilização de uma condição inicial do momento de anti-alinhamento dos periapses orbitais dos satélites, que uma vez relacionados pela ressonância 121:118, geram as defasagens. É proposta uma maneira de mensurar a massa do anel F a partir do modelo dinâmico desenvolvido no trabalho, que resultou em um limite superior de massa demasiadamente grande para ser considerado. Além disso, partindo de um estudo da conservação angular, mensuramos novas densidades para Prometeu e Pandora de [0; 85 - 0; 99]g cm-³ e [0; 62 - 0; 85]g cm-³,respectivamente / Abstract: Observational data collected in 1995 during the passage of the Earth by the ring plane of Saturn indicated angular lags in the predicted positions of Prometheus and Pandora. Using additional data these lags were confirmed, with Prometheus being about -19º of their estimated longitude and Pandora about 25º. A possible chaotic relationship due to a 121:118 mean motion resonance between the two satellites is currently accepted to explain those lags (Goldreich & Rappaport 2003b). However, an alternative work analyses the temporal evolution of the satellites semi-major axes and suggests that these lags are the result of non-ideal initial data which corresponds to a particular time and do not represent the behavior of satellites most of the time (Cruz 2004). In this work, we reanalyzed the lags of Prometheus and Pandora through a detailed study of the two aforementioned papers, testing analytically and numerically their main results. The results indicate that the observed lag originate from an initial condition corresponding to the time alignment of anti-periapses orbital of the satellites, once their are related by the 121: 118 mean motion resonance, they generate lags. It is proposed a way to measure the mass of the F-ring, which is still unknown, from the dynamic model developed in this work, resulting in an excessively large mass of the upper limit to be considered. In addition, from a study of the angular momentum conservation, we measure new densities for Prometheus and Pandora as [0:85 - 0:99]g cm-³ and [0:62 - 0:85]g cm-³, respectively / Mestre

Nesta Tese discutimos três problemas chave que estabelecem um número de conexões entre aspectos fundamentais e aplicações práticas em Dinâmica Não-Linear. No primeiro capítulo revisamos conceitos básicos e como simplificar e resolver de modo exato as equações de movimento de um difeomorfismo polinomial que exibe um cenário rico em complexidade, da integrabilidade ao caos dissipativo: o mapa de Hénono Apresentamos resultados exatos definindo todas as órbitas periódicas de períodos até 6 no limite Hamiltoniano do modelo para uma de não-linearidade representativa onde existe uma ferradura completa de Smale, quando todas órbitas possíveis são reais. Mostramos que é possível classificar as órbitas segundo as irracionalidades algébricas envolvidas nas soluções exatas, re-ordenando e mostrando inter-dependências dos rótulos normalmente derivados através da dinâmica simbólica. Nossas soluções exatas permitem-nos resolver de uma vez por todas o enigma do centro de massa orbital, que consiste na observação empírica, apresentada na literatura, da simplificação freqüente da soma das coordenadas dos pontos orbitais em simples números racionais. No segundo capítulo mostramos que, ainda no limite Hamiltoniano mas para valores arbitrários do parâmetro de não-linearidade, o conjunto das órbitas periódicas é formado por três classes de conjugação algébrica bem definidas. Mostramos que a classe das órbitas assimétricas é composto por pares de órbitas que exibem simetria quiral. Apesar de ser comum na literatura estudar-se preferencialmente apenas as órbitas simétricas, mostramos que as órbitas assimétricas são as que dominam por completo a estatística orbital à medida que o período cresce. Por exemplo, para período 20, computamos que 97.2% das 52377 órbitas existentes, consideradas até aqui como meramente assimétricas são, na verdade, pares de órbitas com simetria quiral. A Tese é concluida no terceiro capítulo, onde apresentamos um estudo numérico para verificar alguns aspectos dinâmicos que, devido à extensão dos cálculos, não podem ser decididos analiticamente como nos dois capítulos precedentes. Mais especificamente, estudamos a conexão entre os espaços de fase real e complexo de mapa de Hénon dissipativos, quando se mantém os parâmetros de controle no domínio real. Tal cenário nos permite encontrar dois resultados novos: (i) a existência de uma infinidade de órbitas periódicas que, apesar de existirem no plano complexo, são estáveis para valores reais dos parâmetros de controle, e (ii) que os pontos críticos, atores centrais hoje em dia da dinâmica holomórfica (i. e. analítica complexa), na verdade são totalmente não-essenciais. Isto porque, como demonstramos, a mesma fenomenologia da dinâmica holomórfica pode ser obtida num regime realístico onde sequer é possível definir-se pontos críticos. Em particular, mostramos como obter conjuntos mais gerais que o famoso conjunto de Mandelbrot sem envolver considerações de pontos críticos. / In this Thesis we discuss three key prablems that establish a number of connections between fundamental aspects and practical applications in Nonlinear Dynamics. In the first chapter we review basic concepts and how to simplify and exactly solve the equations of motion of a polynomial di.ffeomorphism which exhibits a full range of complexity, fram integrability to dissipative chaos: the Hénon map. We report exact results defining all periodic orbits with periods up to 6 in the Hamiltonian limit of the model for a representative nonlinearity supporting a full Smale horseshoe, when all possible orbits are real. We show that it is possible to classify the orbits according the algebraic irrationality involved in the exact solutions) re-ordering and making visible interdependencies of the labels normally derived via symbolic dynamics. Our exact solution allow us to solve for good the puzzle of the orbital center-of-mass. In the second chapter we show that, still in the Hamiltonian limit but for arbitrary values of the nonlinearity parameter) the set of periodic orbits is composed by three well-defined algebraic con,jugacy classes. We show that the class of asymmetrical orbits is composed by pairs of orbits exhibiting a chiral symmetry. Although in the literature it is common to study mainly symmetrical orbits) we show that it is the asymmetric orbits that completely dominate the orbital statistics when the period graws. For instance, for period 20 we computed that 97.2% of the 52377 existing orbits, considered thus far as being merely asymmetric orbits, are in fact pairs of orbits with chiral symmetry. The Thesis concludes in the third chapter, where we present a numerical study to verify some dynamical aspects that) due to the extension of the calculations) cannot be decided analytically as in the two preceding chapters. More specifically) we study the connection between the real and the complex phase-spaces of the dissipative Hénon map when maintaining the control parameters in the real domain. This scenario allows v.S to find two new results which are extremely surprising: (i) The existence of an infinity of periodic orbits which, albeit living in the complex plane) are stable for real values of the contral parameters) and (ii) That the critical point) key players nowadays in holomorphic (i. e. analytic complex) dynamics, in fact are totally non-essential. This because, as we show, the same phenomenology of holomorphic dynamics may be obtained in a realistic regime where it is not even possible to define critical points. In particular, we show how to obtain sets more general than the famous Mandelbrat set without considering critical points.