Simuler les réservoirs souterrains permet d’optimiser la production d’hydrocarbures. Les réservoirs naturellement ou hydrauliquement fracturés détiennent une part importante des réserves et exhibent un degré élevé d’hétérogénéité : les fractures, difficiles à détecter, impactent fortement la production via des réseaux préférentiels d’écoulement. Une modélisation précise de ces forts contrastes permettrait d’optimiser l’exploitation des ressources tout en maîtrisant mieux les risques environnementaux. L’enjeu est de prédire les processus d’écoulement multi échelles par un modèle simplement paramétrable. Une stratégie de simulations, qui améliore la fiabilité et les temps de calculs est mise au point dans cette thèse. Elle permet de simuler numériquement ou analytiquement la complexité d’un réservoir fracturé à grande échelle. Ces techniques dont l’intérêt est démontré sur un réservoir de roche mère trouvent des applications en géothermie ou dans la gestion des ressources en eau.

Ce travail est dédié au développement d'une méthode numérique pour la simulation des écoulements liquide-bulles. La présence des bulles dans l'écoulement visqueux et incompressible est prise en compte via une méthode de pénalisation. Dans cette représentation Euler-Lagrange, les bulles supposées indéformables et parfaitement sphériques sont assimilées à des objets pénalisés interagissant avec le fluide. Une méthode VOF (Volume Of Fluid) est employée pour le suivi de la fonction de phase. Une adaptation de la discrétisation des équations de Navier-Stokes est proposée afin d'imposer la condition de glissement à l'interface entre le liquide et les bulles. Une méthode de couplage entre le mouvement des bulles et l'action du liquide est proposée. La stratégie de validation est la suivante. Dans un premier temps, une série de cas-tests est proposée; les objets pénalisés sont supposés en non-interaction avec le fluide. L'étude permet d'exhiber la convergence et la précision de la méthode numérique. Dans un second temps le couplage est testé via deux types de configurations de validation. Le couplage est d'abord testé en configuration de bulle isolée, pour une bulle en ascension dans un liquide au repos pour les Reynolds Re=17 and Re=71. Les résultats sont comparés avec la théorie établie par la corrélation de Mei pour les bulles sphériques propres décrivant intégralement la dynamique de la bulle. Enfin, des simulations en configurations de nuage de bulles sont présentées, pour des populations mono- et bidisperses dans un domaine entièrement périodique pour des taux de vide s'établissant entre 1% et 15%. Les statistiques fournies par les simulations caractérisant l'agitation induite par les bulles sont comparées à des résultats expérimentaux. Pour les simulations de nuages de bulles bidisperses, de nouveaux résultats sont présentés.

Le groupe de recherche Instabilités et Méthodes Numériques Spécifiques mène ses activités dans le développement d’outils numé- riques pour la résolution de problèmes non linéaires en utilisant, no- tamment, la Méthode Asymptotique Numérique (MAN). Basée sur le couplage d’une méthode de perturbation et de discrétisation spa- tiale, la MAN est efficace et permet de déterminer précisément les transitions telles que, par exemple, la perte d’unicité de la solution. L’objectif de ce travail de thèse est de proposer des méthodes numé- riques alternatives à la fois robustes, performantes pour la résolution des équations de Navier-Stokes. Nous nous intéressons à l’analyse de bifurcation stationnaire, mais aussi à la simulation d’écoulement dépendant du temps. Dans un premier temps, des techniques d’analyse de bifurcation nu- mérique pour des problèmes stationnaires à très grand nombre de degrés de liberté sont décrites. Nous implémentons ces techniques, basées sur la MAN, dans le logiciel open-source multi-physique ELMER . Nous détaillons l’implémentation des méthodes d’analyse de bifurcation stationnaire telles que la continuation de branches solutions, les techniques de détection des valeurs critiques du pa- ramètre de charge et les changements de branche en un point de bifurcation stationnaire. L’émergence d’une progression géométrique dans les termes de séries MAN à l’approche d’une singularité est dé- crite. Des discussions sont proposées pour le cas de bifurcations par brisure de symétrie. Les méthodes proposées dans ce travail sont validées en utilisant des cas référencés dans la littérature, tels que des écoulements dans des conduites à expansion/contraction sou- daine. Une étude paramétrique permet de présenter de nouveaux ré- sultats pour les écoulements tridimensionnels dans une expansion brusque. L’utilisation de librairies de calculs intensifs rend possible la réalisation d’analyse de bifurcation pour des modèles à très grand nombre de degrés de liberté, en des temps de calcul abordables. Dans un deuxième temps, des solveurs d’ordre élevé sont proposés pour la simulation d’écoulements instationnaires. Une technique d’homotopie à combinaison convexe et une technique de pertur- bation, sont couplées à un schéma d’intégration temporelle pour résoudre les équations instationnaires de Navier-Stokes. Le cas d’un écoulement bidimensionnel autour d’un cylindre fixe est étudié. Ce problème de référence nous permet de valider et discuter des amélio- rations proposées. De cette manière, nous confirmons, au cours des essais numériques, qu’il est possible de réduire les temps de cal- cul en évitant des assemblages d’opérateurs et des résolutions de systèmes linéaires qui n’apportent aucune information supplémen- taire pour la qualité des solutions. De plus, un nouvel éclairage est apporté sur l’utilisation des approximants de Padé par rapport aux travaux antérieurs. L’utilisation de ces solveurs non linéaires nous permet de réduire significativement le nombre de factorisations de matrice en les conservant valides pour un grand nombre de pas de temps, et parfois sur le domaine temporel complet. De nombreuses perspectives sont envisagées, notamment pour l’analyse des séries pour le cas d’un point limite, la bifurcation de Hopf, l’étude d’autre cas d’écoulements tridimensionnels, le couplage fluide-structure. De même, l’association des techniques MAN aux techniques de réductions de modèles et l’analyse de stabilité des orbites périodiques sont envisageables. / The research group "Instabilités et Méthodes Numériques Spéci-fiques" operates in the development of numerical tools for solving nonlinear problems by using, in particluar, the Asymptotic Numer- ical Method (ANM). Based on coupling a perturbation method and a spatial discretization, the ANM is effective and makes it possible to precisely determine the transitions such as, for example, loss of uniqueness of the solution. The objective of this thesis is to offer al- ternative numerical methods both robust and effective, for solving the Navier-Stokes equations. We are interested in steady bifurcation analysis, and in time dependent flow simulation .Initially, numerical bifurcation analysis techniques for steady flow problems in very large number of degrees of freedom are de- scribed. These techniques, based on the ANM, are implemented in the multiphysics ELMER open-source software. We detail the im- plementation of the steady bifurcation analysis methods such as continuation of solution branches, detection of load parameter critical values and branch switching at steady bifurcation point. The emer- gence of a geometric progression in ANM series terms in the vicinity of a singularity is described. Discussions are proposed for the case of symmetry breaking bifurcations. The methods described in this the- sis are validated using reference cases of the literature, such as flow in pipe with sudden expansion/contraction. New results for three- dimensional flow in a sudden expansion, are obtained according to a parametric study. The use of high performance computing libraries makes possible the bifurcation analysis for models with high number of degrees of freedom, in affordable computing times. Secondly, high-order solvers are proposed for the simulation of un- steady flows. Homotopy with convex combination and a perturba- tion technique, are coupled to a time integration scheme in order to solve the unsteady Navier-Stokes equations. The case of two- dimensional flow around a fixed cylinder is studied. This reference problem allows us to validate and discuss proposed improvements. In this way, we confirm, in the numerical tests, that it is possible to reduce the computation time by avoiding operators assembly and resolution of unuseful linear systems in respect to the solution quality. In addition, new lighting is provided on the use of Padé approximants over previous work. The use of these nonlinear solvers allows us to significantly reduce the number of matrix factorization retaining them valid for many time steps, and sometimes on the complete time do- main. Many opportunities are envisaged, in particular the analysis of ANM series for the case of limit point, the Hopf bifurcation, the study of other cases of three-dimensional flow, the fluid-structure interaction. Similarly, the combination of ANM models with reduction techniques f stable periodic orbits are possible.

Dans ce projet de recherche, on s’intéresse au développement et à l’évaluation de nouvelles méthodes numériques pour les écoulements peu profonds. De nouvelles techniques de discrétisation spatiales et temporelles des équations sont proposées. Une partie de la thèse est dédiée au développement d’une méthode des volumes finis explicite d’ordre élevé et d’une famille de schémas semi-implicites qui sont efficaces pour la modélisation des processus lents et rapides dans les écoulements océaniques et atmosphériques. La deuxième partie du projet de recherche concerne la construction d’un schéma numérique efficace sans solveur de Riemann pour les écoulements peu profonds avec une topographie variable sur un maillage non structuré. Dans cette partie de la thèse, une nouvelle approche est proposée pour l'analyse de stabilité des schémas numériques non structurés pour les équations en eaux peu profondes. Dans la troisième partie de la thèse, deux schémas de volumes finis sont développés pour les lois de conservation sur des surfaces courbes qui ont un large potentiel d’être appliqués aux écoulements peu profonds sur la sphère. Dans ces cas, les schémas numériques sont développés en adoptant la démarche suivie par Stanley Osher. Cette démarche consiste à utiliser des systèmes hyperboliques simples qui génèrent des phénomènes d'ondes complexes et des solutions qui ont différentes structures. Ces solutions sont très efficaces pour tester les méthodes numériques. Dans notre cas, nous avons utilisé les équations de Burgers qui ont joué un rôle très important dans le développement des schémas numériques à capture de chocs en mécanique des fluides. Dans le premier article, une nouvelle méthode des volumes finis décentrée explicite est proposée pour le système de Saint-Venant avec un terme source qui comprend le paramètre de Coriolis en utilisant un maillage non structuré. La plupart des schémas numériques décentrés, efficaces pour les ondes rapides (ondes de gravité), conduisent à un niveau d'amortissement élevé pour les ondes lentes (ondes de Rossby). La méthode proposée donne de bons résultats à la fois pour les ondes de gravité et les ondes de Rossby. Les techniques proposées sont suffisantes pour supprimer le bruit numérique des ondes courtes sans amortissement des ondes longues, telles que les ondes de Rossby qui sont essentielles dans le transport de l’énergie dans les océans et l'atmosphère. Dans le cas où le système comprend une large gamme de fréquences des ondes, ce qui est le cas des écoulements atmosphériques, il est important d’utiliser des méthodes semi-implicites afin d’opter pour un pas de temps optimal. La méthode semi-implicite semi-lagrangienne à deux niveaux (SETTLS) proposée par Hortal (2002) a une région de stabilité absolue indépendante du nombre de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). La plupart des modèles de prévision numérique atmosphérique utilisent cette méthode comme schéma temporel. Cependant, la méthode SETTLS peut générer des oscillations pour le traitement du terme non linéaire surtout pour le cas des solutions qui ont un caractère oscillatoire. Pour remédier à ce problème, dans le deuxième article, nous avons proposé une nouvelle classe de schémas semi-implicites semi-lagrangiens potentiellement applicables aux modèles atmosphériques. Cette classe de schémas numériques présente plusieurs avantages de stabilité, de précision et de convergence. De bons résultats sont obtenus en comparaison à d'autres schémas semi-implicites semi-lagrangiens et méthodes semi-implicites de type prédicteur-correcteur. Dans le troisième article, un nouveau schéma équilibre partiellement centré est développé pour la résolution numérique des équations de Saint-Venant avec une topographie variable sur un maillage non structuré. Cette méthode est stable et simple puisqu'elle ne fait pas appel à la résolution du problème de Riemann. La méthode proposée est précise pour le cas des solutions discontinues et peut être appliquée aux écoulements peu profonds avec une topographie variable et une géométrie complexe où l'utilisation des maillages non structurés est avantageuse. Motivé par de nombreuses applications en dynamique des fluides, dans le projet de thèse on s’intéresse également au développement de méthodes numériques dans le cas des surfaces courbes. L'objectif est de concevoir des méthodes numériques robustes et efficaces pour le cas des solutions discontinues et qui préservent la structure fondamentale des équations, notamment les propriétés liées à la géométrie. Pour développer ces méthodes, l'approche suivie par Stanley Osher est adoptée et les équations de Burgers sont utilisées vu leur importance pour le développement des schémas numériques à capture de chocs. Dans le quatrième article, une méthode des volumes finis satisfaisant la compatibilité géométrique est développée pour les lois de conservation sur la sphère. Cette méthode est basée sur la résolution du problème de Riemann généralisé et l'approche du «splitting» directionnel en latitude et en longitude sur la sphère. Les dimensions géométriques sont considérées de manière analytique et la forme discrète du schéma numérique proposé respecte la propriété de compatibilité géométrique. La méthode proposée est stable et précise pour le cas des solutions discontinues de grands chocs et amplitudes en comparaison avec des schémas numériques très connus. Une nouvelle classification des flux est proposée en introduisant les notions de flux feuilletés et de flux génériques. Le comportement asymptotique des solutions est étudié en fonction de la nature du flux et les propriétés des solutions discontinues sont analysées. Les résultats démontrent la capacité et le potentiel de la méthode proposée pour la résolution des lois de conservation sur la sphère dans le cas des solutions discontinues. Ce schéma numérique pourrait être étendu au cas des équations de Saint-Venant sur la sphère. Dans le cinquième article, on propose un schéma numérique efficace respectant la propriété de compatibilité géométrique pour les lois de conservation sur la sphère. La méthode proposée présente plusieurs avantages, notamment de bons résultats dans le cas des solutions discontinues avec des chocs d’amplitudes moyennes, une faible dissipation numérique et une simplicité puisqu'elle ne fait pas appel à la résolution du problème de Riemann. Cette méthode pourrait être étendue au cas des équations de Saint-Venant sur la sphère. Dans le sixième article, une nouvelle approche est proposée pour analyser la stabilité des schémas numériques appliqués aux écoulements peu profonds. Cette méthode utilise la notion du pseudo spectre des matrices. La méthode proposée est efficace en comparaison avec les méthodes couramment utilisées telles que la stabilité asymptotique et la stabilité de Lax-Richtmyer. Cette approche est utile pour le choix du type de maillage, des emplacements appropriés des variables primitives (hauteur et vitesses), et de la méthode de discrétisation la plus stable.

Cette thèse porte sur la modélisation numérique des écoulements ouverts de convection naturelle au sein d'un canal vertical asymétriquement chauffé à flux constant. Elle s'inscrit dans un contexte national de comparaison associant approches numériques (benchmark de la Société Française de Thermique SFT) et expérimentales. La particularité de ce type d'écoulement réside dans le fait que le moteur du mouvement est situé au sein même de l'écoulement, rendant alors difficile la modélisation des interfaces et par conséquent la définition des conditions aux limites à appliquer aux frontières ouvertes du domaine de calcul. Nous proposons ici deux approches numériques de modélisation de ce type d'écoulement. La première approche consiste à inclure à la fois le canal vertical et son environnement extérieur dans le domaine de calcul. Cette approche intègre les interactions canal - environnement extérieur de manière implicite et nous permet d'obtenir une description complète de l'écoulement et ainsi de caractériser les interfaces du canal. Sur la base de ces simulations, des solutions numériques de référence modélisant un écoulement de convection naturelle dans un canal vertical immergé dans un environnement infini sont établies. La deuxième approche consiste à restreindre le domaine de calcul aux limites géométriques du canal. Plusieurs méthodes de résolution et modélisation des interfaces sont alors proposées et comparées avec les solutions de référence précédentes. Une approche originale basée sur des conditions limites de type Robin pour la pression motrice montre ainsi de très bon accords avec les solutions de référence. / This thesis focuses on the numerical modeling of natural convection flows in a vertical channel asymmetrically heated at constant heat flux. It takes place in a national context of comparison of numerical approaches (benchmark of the French Thermic Society SFT) and experimental approaches. The main issues result in the fact that the driving forces lie within the computational domain so inlet and outlet flow cannot be a priori prescribed. Therefore it is difficult to model the interfaces and to prescribe boundary conditions at the open frontiers of the computational domain. We propose two numerical approaches for modeling this type of flow. In the first approach the numerical domain includes the vertical channel and its external surroundings in the computational domain. This approach implicitly integrates interactions between the channel and its external environment. This allows us to obtain a complete description of the flow and thus to characterize the channel interfaces. Based on these simulations, numerical reference solutions which are modeling a natural convection flow in a vertical channel immersed in a infinite environment are established. In the second approach the computational domain is restricted to the geometric limits of the channel. Several methods for the numerical resolution and for modeling of the interfaces are proposed and then compared with the previous reference solutions. An original modeling based on Robin boundary conditions for the driving pressure is described and shows very good agreement with the reference solutions.

Les extensions bifluides des méthodes Lattice Boltzmann à frontière libre utilisent généralement des pseudopotentiels microscopiques pour modéliser l'interface. Nous avons choisi d'orienter nos recherches vers une méthode Lattice Boltzmann à capture d'interface où la fraction massique d'un des deux fluides, inconnue, est transportée. De nombreux travaux ont montré les difficultés des méthodes Lattice Boltzmann à traiter des systèmes bifluides, et ce d'autant plus que le ratio de densité est important. Nous expliquerons l'origine de ces problèmes en mettant en évidence le manque de diffusion numérique pour capturer précisément les discontinuités de contact. Pour régler cet obstacle, nous proposerons une formulation Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) des méthodes Lattice Boltzmann. Cela permet de séparer le traitement des ondes matérielles de celui des ondes de pression. Une fois l'étape ALE terminée, une phase de projection ramène les variables sur la grille eulérienne de calcul initiale. Nous expliquons comment obtenir une procédure de projection ayant une précision d'ordre 2 et une interface fine et dépourvue d'oscillations. Il sera montré que la fraction massique satisfait un principe du maximum discret et qu'elle reste donc entre 0 et 1. Les simulations numériques sont en accord avec la théorie. Même si notre méthode n'est pour le moment utilisée que pour simuler des écoulements de fluides non visqueux (Equations d'Euler), nous sommes convaincus qu'elle pourra être étendue à des simulations d'écoulements bifluides visqueux. / Two-fluid extensions of Lattice Boltzmann methods with free boundaries usually consider ``microscopic'' pseudopotential interface models. In this paper, we rather propose an interface-capturing Lattice Boltzmann approach where the mass fraction variable is considered as an unknown and is advected. Several works have reported the difficulties of LBM methods to deal with such two-fluid systems especially for high-density ratio configurations. This is due to the mixing nature of LBM, as with Flux vector splitting approaches for Finite Volume methods. We here give another explanation of the lack of numerical diffusion of Lattice Boltzmann approaches to accurately capture contact discontinuities. To fix the problem, we propose an arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation of Lattice-Boltzmann methods. In the Lagrangian limit, it allows for a proper separated treatment of pressure waves and advection phenomenon. After the ALE solution, a remapping (advection) procedure is necessary to project the variables onto the Eulerian Lattice-Boltzmann grid.We explain how to derive this remapping procedure in order to get second-order accuracy and achieve sharp stable oscillation-free interfaces. It has been shown that mass fractions variables satisfy a local discrete maximum principle and thus stay in the range $[0,1]$. The theory is supported by numerical computations of rising bubbles (without taking into account surface tension at this current state of development).Even if our methods are currently used for inviscid flows (Euler equations) by projecting the discrete distributions onto equilibrium ones at each time step, we believe that it is possible to extend the framework formulation for multifluid viscous problems. This will be at the aim of a next work.

Dans ce travail de thèse, on s'est intéressé à la simulation d'écoulements incompressibles multi-échelles et multiphasiques. L'une des principales difficultés numériques est l'introduction d'une diffusion numérique due aux schémas utilisés. Celle-ci étant indépendante du maillage, une possibilité est de simuler ce type d'écoulement avec un très grand nombre points. Cependant, les besoins en ressources informatiques et en temps deviennent rapidement importants. On a donc développé une méthode de raffinement de maillage adaptatif (AMR) dans le but de suivre, soit des interfaces dans un écoulement diphasique, soit des fronts de concentration dans un écoulement monophasique avec transport d'une espèce inerte, de manière précise tout en optimisant le temps CPU et<br />la taille mémoire. On montre au travers de cas d'étude 2D et 3D, judicieusement choisis, l'efficacité de cette méthode.

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Ce travail présente quelques aspects de la théorie et de l'approximation numérique des écoulements multiphasiques compressibles.

Ce mémoire est consacré à la modélisation mathématique de quelques problèmes environnementaux. Ces travaux couvrent des thématiques allant des vagues jusqu'aux avalanches de neige poudreuse. Cette habilitation se compose de trois parties. La première partie est essentiellement introductive et contient également la description complète des mes activités de recherche. Les travaux scientifiques en lien avec la théorie des vagues sont regroupés dans la partie II. Le spectre des sujets abordés est large. Dans le chapitre 3 nous proposons un Lagrangien généralisé pour le problème des vagues. Cette généralisation permet d'obtenir de nouveaux modèles approchés des vagues dans l'eau profonde, peu profonde ou en profondeur intermédiaire. Dans le même chapitre nous étudions également quelques questions liées à la dissipation visqueuse de l'intumescence. Le chapitre 4 traite de différents aspects de la modélisation des tsunamis. Nous étudions toute la gamme des processus physiques de la génération, transformations d'énergie, propagation jusqu'à l'inondation des côtes. Le chapitre 5 est spécialement dédié aux différents aspects de la simulation numérique et de la modélisation d'inondation. Ces questions sont traitées par différentes approches: les équations de Saint-Venant, les équations de type de Boussinesq et le système de Navier-Stokes bi-fluide. Dans la partie III nous nous intéressons à deux problèmes relevant principalement des écoulements multi-fluides. Le chapitre 6 contient la justification formelle du modèle bifluide à quatre équations proposé avant pour la modélisation des écoulements aérés. Quelques résultats numériques sont également présentés. Les calculs similaires effectués dans le cas barotrope sont donnés dans l'appendice A. Ces résultats peuvent s'appliquer, par exemple, à la simulation numérique du déferlement. Finalement, dans le chapitre 7 nous proposons un nouveau modèle pour les avalanches de neige poudreuse. Ce système est dérivé du Navier-Stokes bifluide classique et possède de bonnes propriétés qualitatives. Les simulations numériques d'interaction d'une avalanche avec obstacle sont présentées.