Σκοπός της εργασίας μας είναι η μελέτη κάποιων αναγωγικών χώρων που παρουσιάζουν ενδιαφέρουσα γεωμετρία. Συγκεκριμένα, μελετάμε τη γεωμετρία της σφαίρας S^n όταν αυτή είναι αμφιδιαφορική με έναν χώρο πηλίκο G/K και την γεωμετρία των πολλαπλοτήτων Stiefel SO(n)/SO(n-k) (το σύνολο όλων των k-πλαισίων του R^n). Ένας ομογενής χώρος αποτελεί επέκταση των ομάδων Lie, καθώς είναι μια λεία πολλαπλότητα M στην οποία δρα μεταβατικά μια ομάδα Lie G. Κάθε τέτοιος χώρος δίνεται ως M = G/K, όπου K = {g\in G : gp = p} (p \in M). Η βασική γεωμετρική ιδιότητα των ομογενών χώρων είναι ότι αν γνωρίζουμε την τιμή κάποιου γεωμετρικού μεγέθους σε ένα σημείο του χώρου, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του μεγέθους αυτού σε οποιοδήποτε άλλο σημείο. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των αναγωγικών χώρων G/K είναι ότι υπάρχει ένας Ad(K)-αναλλοίωτος υπόχωρος της άλγεβρας Lie(G). Η περιγραφή όλων των μεταβατικών δράσεων μιας ομάδας Lie σε μια πολλαπλότητα M αποτελεί ένα δύσκολο πρόβλημα. Για την περίπτωση των σφαιρών αυτές έχουν περιγραφτεί το 1953 από τους Montgomery-Samelson-Borel. Στην εργασία μας μελετάμε τη γεωμετρία (καμπυλότητες, μετρικές Einstein) των σφαιρών S^3, S^5 όταν αυτές είναι αμφιδιαφορικές με τα πηλίκα S^3 = SO(4)/SO(3) = SU(2) και S^5 = SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2). Αντίστοιχα προβλήματα εξετάζονται για τις πολλαπλότητες Stiefel SO(n)/SO(n-k), όπου η περιγραφή όλων των SO(n)-αναλλοίωτων μετρικών παρουσιάζει δυσκολία, λόγω του ότι η ισοτροπική αναπαράστασή τους περιέχει ισοδύναμα υποπρότυπα. Μελετάμε για ποιές από τις συγκεκριμένες πολλαπλότητες η μετρική που επάγεται από τη μορφή Killing είναι μετρική Einstein και περιγράφουμε αναλυτικά τις διαγώνιες SO(n)-αναλλοίωτες μετρικές Einstein στις πολλαπλότητες SO(n)/SO(n-2). Επιπλέον παρουσιάζουμε και ένα καινούργιο αποτέλεσμα, ότι στην πολλαπλότητα SO(5)/SO(2) οι μοναδικές SO(5)-αναλλοίωτες μετρικές Einstein είναι οι μετρικές που είχαν βρεθεί από τον Jensen το 1973. / The purpose of our work is to study homogeneous spaces that present interesting geometry. These include the geometry of the sphere S^n diffeomorphic to a quotient space G/K and the geometry of Stiefel manifolds SO(n)/SO(n-k) (the set of all k-planes in R^n). A homogeneous space is a smooth manifold M in which a Lie group acts transitively. Any such space is given as M = G/K where K = {g\in G : gp = p} (p\in M). The basic geometric property of homogeneous space is that if we know the value of a geometrical object at a point of the space, then we can estimate the value of thiw quantity at any other point. The special feature of reductive homogeneous space G/K is that there exists an Ad(K)-invariant subspace of the Lie algebra Lie(G). The description of all transitive actions of a Lie group into a manifold M is a difficult problem. In the case of spheres such actions have been described in 1953 by the Montgomery, Samelson and Borel. In our work we study the geometry (curvature, Einstein metrics) of the sphere S^3 = SO(4)/SO(3) = SU(2), S^5 = SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2). Similar problems are examined for the Stiefel manifolds SO(n)/SO(n-k). The description of all SO(n)-invariant metrics presents serious difficulties because the isotropy representation contains equivalent submodules. We study for which of the manifolds SO(n)/SO(n-k) the metric induced by the Killing form is an Einstein metric and we describe in detail the diagonal SO(n)-invariant Einstein metrics on the Stiefel manifolds SO(n)/SO(n-2). In addition, we give the new result that for the Stiefel manifold SO(5)/SO(2) the unique SO(5)-invariant Einstein metrics are the metrics found by Jensen in 1973.

Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique 0 et F une suite de n polynômes en intersection complète sur k[X1,...,Xn]. Le Bezoutien de F fournit une forme dualisante sur k[X]/<F> appelée symbole de Kronecker, qui est un analogue algébrique du résidu. L'objet de ce travail est de construire et calculer le symbole de Kronecker dans le tore (C*)n relativement à une famille f de n polynômes de Laurent en n variables. La famille f possède un nombre fini de zéros et est régulière pour ses polytopes de Newton. La représentation du résidu global dans le tore à l'aide d'un résidu torique, donnée par Cattani et Dickenstein, suggère d'interpréter le symbole de Kronecker dans le tore dans la variété torique projective définie par le polytope P, somme de Minkowski des polytopes de Newton de f.Lorsque P est premier, Roy et Szpirglas ont défini le symbole de Kronecker dans le tore à partir des symboles de Kronecker définis sur les ouverts affines de la variété torique Xp relativement à une famille de n + 1 polynômes homogènes sans zéros communs dans la variété Xp. Nous montrons ici que le cas « P non premier » est réductible au cas précédent en explicitant les morphismes d'éclatement qui traduisent le raffinement de l’éventail de Xp en un éventail simplicial. / Let k be an algebraically closed field with char(k) = 0 and let be polynomials F1,..., Fn such that k[X1,...,Xn]/<F1,..., Fn> is a complete intersection k-algebra. The Bezoutian of F1,..., Fn gives a dualizing form acting on k[X1,...,Xn]/<F1,..., Fn> called Kronecker symbol. It is an algebraic analogue of residue. The aim of this work is to build and calculate the Kronecker symbol in the torus (C*)n for a system f of Laurent polynomials with a a finite set of zeroes and regular for its Newton polytopes. In the same way as Cattani and Dickenstein have done for the global residue in the torus, we consider the projective variety given by the Minkowski sum P of the Newton polytopes of f in order to build the Kronecker symbol in the torus.When P is prime, Roy and Szpirglas have defined the Kronecker symbol in the torus from Kronecker symbols on affine subsets of Xp for a system of n+1 homogeneous polynomials with no common zeroes in XP . We prove that the case "P no prime" can be reduced to the previous case by using simplicial refinements of the fan of Xp and making explicit the associated toric morphisms on the total coordinate spaces.

Nous allons étudier les propriétés des courbes algébriques sur des surfaces K3 spéciales, du point de vue de la théorie de Brill-Noether.La démonstration de Lazarsfeld du théorème de Gieseker-Petri a mis en lumière l'importance de la théorie de Brill-Noether des courbes admettant un plongement dans une surface K3. Nous allons donner une démonstration détaillée de ce résultat classique, inspirée par les idées de Pareschi. En suite, nous allons décrire le théorème de Green et Lazarsfeld, fondamental pour tout notre travail, qui établit le comportement de l'indice de Clifford des courbes sur les surfaces K3.Watanabe a montré que l'indice de Clifford de courbes sur certaines surfaces K3, admettant un recouvrement double des surfaces de del Pezzo, est calculé en utilisant les involutions non-symplectiques. Nous étudions une situation similaire pour des surfaces K3 avec un réseau de Picard isomorphe à U(m), avec m>0 un entier quelconque. Nous montrons que la gonalité et l'indice de Clifford de toute courbe lisse sur ces surfaces, avec une seule exception déterminée explicitement, sont obtenus par restriction des fibrations elliptiques de la surface. Ce travail est basé sur l'article suivant :M. Ramponi, Gonality and Clifford index of curves on elliptic K3 surfaces with Picard number two, Archiv der Mathematik, 106(4), p. 355–362, 2016.Knutsen et Lopez ont étudié en détail la théorie de Brill-Noether des courbes sur les surfaces d'Enriques. En appliquant leurs résultats, nous allons pouvoir calculer la gonalité et l'indice de Clifford de toute courbe lisse sur les surfaces K3 qui sont des recouvrements universels d'une surface d'Enriques. Ce travail est basé sur l'article suivant :M. Ramponi, Special divisors on curves on K3 surfaces carrying an Enriques involution, Manuscripta Mathematica, 153(1), p. 315–322, 2017. / We study the properties of algebraic curves lying on special K3 surfaces, from the viewpoint of Brill-Noether theory.Lazarsfeld's proof of the Gieseker-Petri theorem has revealed the importance of the Brill-Noether theory of curves which admit an embedding in a K3 surface. We give a proof of this classical result, inspired by the ideas of Pareschi. We then describe the theorem of Green and Lazarsfeld, a key result for our work, which establishes the behaviour of the Clifford index of curves on K3 surfaces.Watanabe showed that the Clifford index of curves lying on certain special K3 surfaces, realizable as a double covering of a smooth del Pezzo surface, can be determined by a direct use of the non-simplectic involution carried by these surfaces. We study a similar situation for some K3 surfaces having a Picard lattice isomorphic to U(m), with m>0 any integer. We show that the gonality and the Clifford index of all smooth curves on these surfaces, with a single, explicitly determined exception, are obtained by restriction of the elliptic fibrations of the surface. This work is based on the following article:M. Ramponi, Gonality and Clifford index of curves on elliptic K3 surfaces with Picard number two, Archiv der Mathematik, 106(4), p. 355-362, 2016.Knutsen and Lopez have studied in detail the Brill-Noether theory of curves lying on Enriques surfaces. Applying their results, we are able to determine and compute the gonality and Clifford index of any smooth curve lying on the general K3 surface which is the universal covering of an Enriques surface. This work is based on the following article:M. Ramponi, Special divisors on curves on K3 surfaces carrying an Enriques involution, Manuscripta Mathematica, 153(1), p. 315-322, 2017.

La programmation bi-niveau désigne une classe de problèmes d'optimisation emboîtés impliquant deux joueurs.Un joueur meneur annonce une décision à un joueur suiveur qui détermine sa réponse parmi l'ensemble des solutions d'un problème d'optimisation dont les données dépendent de la décision du meneur (problème de niveau bas).La décision optimale du meneur est la solution d'un autre problème d'optimisation dont les données dépendent de la réponse du suiveur (problème de niveau haut).Lorsque la réponse du suiveur n'est pas unique, on distingue les problèmes bi-niveaux optimistes et pessimistes,suivant que la réponse du suiveur soit respectivement la meilleure ou la pire possible pour le meneur.Les problèmes bi-niveaux sont souvent utilisés pour modéliser des problèmes de tarification. Dans les applications étudiées ici, le meneur est un vendeur qui fixe un prix, et le suiveur modélise le comportement d'un grand nombre de clients qui déterminent leur consommation en fonction de ce prix. Le problème de niveau bas est donc de grande dimension.Cependant, la plupart des problèmes bi-niveaux sont NP-difficiles, et en pratique, il n'existe pas de méthodes générales pour résoudre efficacement les problèmes bi-niveaux de grande dimension.Nous introduisons ici une nouvelle approche pour aborder la programmation bi-niveau.Nous supposons que le problème de niveau bas est un programme linéaire, en variables continues ou discrètes,dont la fonction de coût est déterminée par la décision du meneur.Ainsi, la réponse du suiveur correspond aux cellules d'un complexe polyédral particulier,associé à une hypersurface tropicale.Cette interprétation est motivée par des applications récentes de la géométrie tropicale à la modélisation du comportement d'agents économiques.Nous utilisons la dualité entre ce complexe polyédral et une subdivision régulière d'un polytope de Newton associé pour introduire une méthode dedécomposition qui résout une série de sous-problèmes associés aux différentes cellules du complexe.En utilisant des résultats portant sur la combinatoire des subdivisions, nous montrons que cette décomposition mène à un algorithme permettant de résoudre une grande classe de problèmes bi-niveaux en temps polynomial en la dimension du problème de niveau bas lorsque la dimension du problème de niveau haut est fixée.Nous identifions ensuite des structures spéciales de problèmes bi-niveaux pour lesquelles la borne de complexité peut être améliorée.C'est en particulier le cas lorsque la fonction coût du meneur ne dépend que de la réponse du suiveur.Ainsi, nous montrons que la version optimiste du problème bi-niveau peut être résolue en temps polynomial, notammentpour des instancesdans lesquelles les données satisfont certaines propriétés de convexité discrète.Nous montrons également que les solutions de tels problèmes sont des limites d'équilibres compétitifs.Dans la seconde partie de la thèse, nous appliquons cette approche à un problème d'incitation tarifaire dans les réseaux mobiles de télécommunication.Les opérateurs de données mobiles souhaitent utiliser des schémas de tarification pour encourager les différents utilisateurs à décaler leur consommation de données mobiles dans le temps, et par conséquent dans l'espace (à cause de leur mobilité), afin de limiter les pics de congestion.Nous modélisons cela par un problème bi-niveau de grande taille.Nous montrons qu'un cas simplifié peut être résolu en temps polynomial en utilisant la décomposition précédente,ainsi que des résultats de convexité discrète et de théorie des graphes.Nous utilisons ces idées pour développer une heuristique s'appliquant au cas général.Nous implémentons et validons cette méthode sur des données réelles fournies par Orange. / Bilevel programming deals with nested optimization problems involving two players. A leader annouces a decision to a follower, who responds by selecting a solution of an optimization problem whose data depend on this decision (low level problem). The optimal decision of the leader is the solution of another optimization problem whose data depend on the follower's response (high level problem). When the follower's response is not unique, one distinguishes between optimistic and pessimistic bilevel problems, in which the leader takes into account the best or worst possible response of the follower.Bilevel problems are often used to model pricing problems.We are interested in applications in which the leader is a seller who announces a price, and the follower models the behavior of a large number of customers who determine their consumptions depending on this price.Hence, the dimension of the low-level is large. However, most bilevel problems are NP-hard, and in practice, there is no general method to solve efficiently large-scale bilevel problems.In this thesis, we introduce a new approach to tackle bilevel programming. We assume that the low level problem is a linear program, in continuous or discrete variables, whose cost function is determined by the leader. Then, the follower responses correspond to the cells of a special polyhedral complex, associated to a tropical hypersurface. This is motivated by recent applications of tropical geometry to model the behavior of economic agents.We use the duality between this polyhedral complex and a regular subdivision of an associated Newton polytope to introduce a decomposition method, in which one solves a series of subproblems associated to the different cells of the complex. Using results about the combinatorics of subdivisions, we show thatthis leads to an algorithm to solve a wide class of bilevel problemsin a time that is polynomial in the dimension of the low-level problem when the dimension of the high-level problem is fixed.Then, we identify special structures of bilevel problems forwhich this complexity bound can be improved.This is the case when the leader's cost function depends only on the follower's response. Then, we showthe optimistic bilevel problem can be solved in polynomial time.This applies in particular to high dimensional instances in which the datasatisfy certain discrete convexity properties. We also show that the solutions of such bilevel problems are limits of competitive equilibria.In the second part of this thesis, we apply this approach to a price incentive problem in mobile telecommunication networks.The aim for Internet service providers is to use pricing schemes to encourage the different users to shift their data consumption in time(and so, also in space owing to their mobility),in order to reduce the congestion peaks.This can be modeled by a large-scale bilevel problem.We show that a simplified case can be solved in polynomial time by applying the previous decomposition approach together with graph theory and discrete convexity results. We use these ideas to develop an heuristic method which applies to the general case. We implemented and validated this method on real data provided by Orange.

Cette thèse comporte trois chapitres indépendants portant sur l’itération des applicationsrationnelles sur des variétés projectives et plus spécifiquement sur l’étude du comportement dela suite des degrés des itérés de telles applications.Dans le premier chapitre, nous donnons une construction des invariants fondamentaux quesont les degrés dynamiques dans un cadre très général, et ce sans hypothèse ni sur la caractéristique ni sur les singularités de l’espace ambiant. Cette construction repose sur des propriétésde positivité des cycles algébriques, et propose une alternative aux approches analytiques deDinh et Sibony ou algébriques de Truong.Le second chapitre est issu d’un article écrit en commun avec Jian Xiao. Notre contributionporte sur des objets centraux en géométrie convexe appelés valuations. Nous transférons à l’espace des valuations des notions de positivité des cycles algébriques récemment introduites parLehmann et Xiao, ce qui nous permet d’étendre l’opération de convolution originellement définie par Bernig et Fu à une sous-classe de valuations suffisamment positives.Le troisième chapitre constitue le coeur de la thèse, et porte sur des estimations des degrésdynamiques des automorphismes dit modérés de la quadrique affine de dimension 3. Nos arguments sont de nature variée, et s’appuient sur l’action du groupe modéré sur un complexe carréCAT(0) et Gromov hyperbolique récemment introduite par Bisi, Furter et Lamy.Nous avons finalement collecté dans un dernier et court chapitre quelques pistes de recherchedirectement inspirées des travaux présentés ici. / This thesis is divided into three independent chapters on the iterates of rational maps on projective varieties and more specifically on the study of the growth of the degree sequences of the iterates of such maps. In the first chapter, we give a construction of the fundamental invariants called dynamical degrees. Our method holds in a very general setting, without any conditions on the characteristic of the field or on the singularities of the ambient space.This construction is based on the study of positivity properties of algebraic cycles and gives an alternative approach to the analytical technics of Dinh and Sibony or to the algebraic arguments of Truong.The second chapter is taken from an article written in joint work with Jian Xiao. Our paper focuses on central objects in convex geometry called valuations. We transfer some positivity notions of algebraic cycles recently introduced by Lehmann and Xiao, this allows us to extend the convolution operation defined by Bernig and Fu to a subspace of sufficiently positive valuations.The third chapter is the core of this thesis and focuses on the dynamical degrees of the so-called tame automorphisms of an affine quadric threefold. Our arguments are of various nature and rely on the action of the tame group on a CAT(0), Gromov hyperbolic square complex recently introduced by Bisi, Furter and Lamy. Finally, we have collected in the last chapter a few perpectives directly inspired by this work.

L’étude topologique des variétés algébriques réelles remonte au moins aux travaux de Harnack, Klein, et Hilbert au 19éme siecle; en particulier, la classification des types d’isotopie réalisés par les courbes algébriques réelles d’un degré fixé dans RP2 est un sujet qui a connu un essor considérable jusqu'à aujourd'hui. En revanche, en dehors des études concernants les surfaces de Hirzebruch et les surfaces de degré au plus 3 dans RP3, à peu près rien n’est connu dans le cas de surfaces ambiantes plus générales. Cela est du en particulier au fait que les variétés construites en utilisant le "patchwork" sont des hypersurfaces de variétés toriques. Or, il existe de nombreuses autre surfaces algébriques réelles. Parmi celles-ci se trouvent les surfaces rationnelles réelles, et plus particulièrement les surfaces rèelles minimales. Dans cette thèse, on élargit l’étude des types d’isotopie réalisés par les courbes algébriques réelles aux surfaces réelles minimales de del Pezzo de degré 1 et 2. En outre, on termine la classification des types topologiques réalisés par les courbes algébriques réelles séparantes et non-séparantes de bidegré (5,5) sur la quadrique ellipsoide. / The study of the topology of real algebraic varieties dates back to the work of Harnack, Klein and Hilbert in the 19th century; in particular, the isotopy type classification of real algebraic curves with a fixed degree in RP2 is a classical subject that has undergone considerable evolution. On the other hand, apart from studies concerning Hirzebruch surfaces and at most degree 3 surfaces in RP3, not much is known for more general ambient surfaces. In particular, this is because varieties constructed using the patchworking method are hypersurfaces of toric varieties. However, there are many other real algebraic surfaces. Among these are the real rational surfaces, and more particularly the $mathbb{R}$-minimal surfaces. In this thesis, we extend the study of the topological types realized by real algebraic curves to the real minimal del Pezzo surfaces of degree 1 and 2. Furthermore, we end the classification of separating and non-separating real algebraic curves of bidegree $(5,5)$ in the quadric ellipsoid.

Cette thèse est divisée en huit chapitres. D’abord, dans le Chapitre 1, on présente des résultats et des outils déjà connus qu’on utilisera dans la suite de la thèse. Le Chapitre 2 est consacré à résumer de maniére uniforme les nouveaux résultats présentés dans ce manuscrit.Les six chapitre restants sont originals. Dans les Chapitres 3 et 4 on démontre la chose suivante: soit $f:Yrightarrow X$ un morphisme lisse et prope sur une base $X$ lisse et géométriquament connexe sur un corps infini, finiment engendré et de caractéristique positive. Alors il y a beaucoup de points fermées $xin |X|$ tels que le rang du groupe de Néron-Severi de la fibre géometrique de $f$ en $x$ est le même du groupe de Néron-Severi de la fibre géométrique générique. On preuve ça de la façon suivante: on étudie la spécialisation du faisceau lisse $ell$-adique $R^2f_*Ql(1)$ ($ellneq p$); en suite, on le relit avec la spécialisation du F-isocristal $R^2f_{*,cris}mathcal O_{Y/K}(1)$ en passant par la catégorie des F-isocristaux surconvergents. Au final, la conjecture de Tate varationelle dans la cohomologie cristalline, nous permet de déduire le résultat sur les groupes de Néron-Severi depuis le résultat sur $R^2f_{*,cris}mathcal O_{Y/K}(1)$. Cela étend en caractéristique positive les résultats de Cadoret-Tamagawa et André en caractéristique zero.Les Chapitres 5 et 6 sont consacrés à l’étude des groupes de monodromie des F-isocristaux (sur)convergents. En particulier, les résultats dans le Chapitre 5 sont un travail en common avec Marco D'Addezio. On étude les tores maximaux des groupes de monodromie des F-isocristaux (sur)convergents et on utilise ça pour démontrer un cas particulier d’un conjecture de Kedlaya sur les homomorphismes de $F$-isocristeaux convergents. En utilisant ce cas particulier, on démontre que si $A$ est une variété abélienne sans facteurs d'isogonie isotrivial sur un corps de fonctions $F$ sur $overline{F}_p$, alors le groupe $A(F^{mathrm{perf}})_{tors}$ est fini. Cela peut être considéré comme une extension du théoreme de Lang—Néron et donne une réponse positive a une question d'Esnault. Dans le Chapitre 6, on défini une catégorie $overline Q_p$-linéaire des $F$-isocristeaux surconvergents et les groupes de monodromie de ces objets. En exploitant la théorie des compagnons pour les $F$-isocristeaux surconvergents et les faisceaux lisses, on étudie la théorie de spécialisation de ces groupes de monodromie en transférant les résultats du Chapitre 3 dans ce contexte.Les derniers deux chapitres complètent et affinent les résultats des chapitres précédents. Dans le Chapitre 7, on démontre que la conjecture de Tate pour les diviseurs sur les corps finiment engendrés et de caractéristique $p>0$ est une conséquence de la conjecture de Tate pour les diviseurs sur les corps finis de caractéristique $p>0$. Dans le Chapitre 8, on démontre des résultats de borne uniforme en caractéristique positive pour le groupes de Brauer des formes des variétés qui satisfasse la conjecture de Tate $ell$-adique pour les diviseurs. Cela étend en caractéristique positive un résultat de Orr-Skorobogatov en caractéristique zéro. / This thesis is divided in 8 chapters. Chapter ref{chapterpreliminaries} is of preliminary nature: we recall the tools that we will use in the rest of the thesis and some previously known results. Chapter ref{chapterpresentation} is devoted to summarize in a uniform way the new results obtained in this thesis.The other six chapters are original. In Chapters ref{chapterUOIp} and ref{chapterneron}, we prove the following: given a smooth proper morphism $f:Yrightarrow X$ over a smooth geometrically connected base $X$ over an infinite finitely generated field of positive characteristic, there are lots of closed points $xin |X|$ such that the rank of the N'eron-Severi group of the geometric fibre of $f$ at $x$ is the same of the rank of the N'eron-Severi group of the geometric generic fibre. To prove this, we first study the specialization of the $ell$-adic lisse sheaf $R^2f_*Ql(1)$ ($ellneq p$), then we relate it with the specialization of the F-isocrystal $R^2f_{*,crys}mathcal O_{Y/K}(1)$ passing trough the category of overconvergent F-isocrystals. Then, the variational Tate conjecture in crystalline cohomology, allows us to deduce the result on the N'eron-Severi groups from the results on $R^2f_{*,crys}mathcal O_{Y/K}(1)$. These extend to positive characteristic results of Cadoret-Tamagawa and Andr'e in characteristic zero.Chapters ref{chaptermarcuzzo} and ref{chapterpadic} are devoted to the study of the monodromy groups of (over)convergent F-isocrystals. Chapter ref{chaptermarcuzzo} is a joint work with Marco D'Addezio. We study the maximal tori in the monodromy groups of (over)convergent F-isocrystals and using them we prove a special case of a conjecture of Kedlaya on homomorphism of convergent $F$-isocrystals. Using this special case, we prove that if $A$ is an abelian variety without isotrivial geometric isogeny factors over a function field $F$ over $overline{F}_p$, then the group $A(F^{mathrm{perf}})_{tors}$ is finite. This may be regarded as an extension of the Lang--N'eron theorem and answer positively to a question of Esnault. In Chapter ref{chapterpadic}, we define $overline Q_p$-linear category of (over)convergent F-isocrystals and the monodromy groups of their objects. Using the theory of companion for overconvergent F-isocrystals and lisse sheaves, we study the specialization theory of these monodromy groups, transferring the result of Chapter ref{chapterUOIp} to this setting via the theory of companions.The last two chapters are devoted to complements and refinement of the results in the previous chapters. In Chapter ref{chaptertate}, we show that the Tate conjecture for divisors over finitely generated fields of characteristic $p>0$ follows from the Tate conjecture for divisors over finite fields of characteristic $p>0$. In Chapter ref{chapterbrauer}, we prove uniform boundedness results for the Brauer groups of forms of varieties in positive characteristic, satisfying the $ell$-adic Tate conjecture for divisors. This extends to positive characteristic a result of Orr-Skorobogatov in characteristic zero.

Nous allons étudier les automorphismes des variétés symplectiques holomorphes irréductibles de type K3^[n], c'est-à-dire des variétés équivalentes par déformation au schéma de Hilbert de n points sur une surface K3, pour n > 1.Dans la première partie de la thèse, nous classifions les automorphismes du schéma de Hilbert de n points sur une surface K3 projective générique, dont le réseau de Picard est engendré par un fibré ample. Nous montrons que le groupe des automorphismes est soit trivial soit engendré par une involution non-symplectique et nous déterminons des conditions numériques et géométriques pour l’existence de l’involution.Dans la deuxième partie, nous étudions les automorphismes non-symplectiques d’ordre premier des variétés de type K3^[n]. Nous déterminons les propriétés du réseau invariant de l'automorphisme et de son complément orthogonal dans le deuxième réseau de cohomologie de la variété et nous classifions leurs classes d’isométrie. Dans le cas des involutions, e des automorphismes d’ordre premier impair pour n = 3, 4, nous montrons que toutes les actions en cohomologie dans notre classification sont réalisées par un automorphism non-symplectique sur une variété de type K3^[n]. Nous construisons explicitement l’immense majorité de ces automorphismes et, en particulier, nous présentons la construction d’un nouvel automorphisme d’ordre trois sur une famille de dimension dix de variétés de Lehn-Lehn-Sorger-van Straten de type K3^[4]. Pour n < 6, nous étudions aussi les espaces de modules de dimension maximal des variétés de type K3^[n] munies d’une involution non-symplectique. / We study automorphisms of irreducible holomorphic symplectic manifolds of type K3^[n], i.e. manifolds which are deformation equivalent to the Hilbert scheme of n points on a K3 surface, for some n > 1. In the first part of the thesis we describe the automorphism group of the Hilbert scheme of n points on a generic projective K3 surface, i.e. a K3 surface whose Picard lattice is generated by a single ample line bundle. We show that, if it is not trivial, the automorphism group is generated by a non-symplectic involution, whose existence depends on some arithmetic conditions involving the number of points n and the polarization of the surface. We also determine necessary and sufficient conditions on the Picard lattice of the Hilbert scheme for the existence of the involution.In the second part of the thesis we study non-symplectic automorphisms of prime order on manifolds of type K3^[n]. We investigate the properties of the invariant lattice and its orthogonal complement inside the second cohomology lattice of the manifold, providing a classification of their isometry classes. We then approach the problem of constructing examples (or at least proving the existence) of manifolds of type K3^[n] with a non-symplectic automorphism inducing on cohomology each specific action in our classification. In the case of involutions, and of automorphisms of odd prime order for n=3,4, we are able to realize all possible cases. In order to do so, we present a new non-symplectic automorphism of order three on a ten-dimensional family of Lehn-Lehn-Sorger-van Straten eightfolds of type K3^[4]. Finally, for n < 6 we describe deformation families of large dimension of manifolds of type K3^[n] equipped with a non-symplectic involution.

Dans ce travail, nous classifions les automorphismes non-symplectiques des variétés équivalentes par déformations à des variétés de Kummer généralisées de dimension 4, ayant une action d'ordre premier sur le réseau de Beauville-Bogomolov. Dans un premier temps, nous donnons les lieux fixes des automorphismes naturels de cette forme. Par la suite, nous développons des outils sur les réseaux en vue de les appliquer à nos variétés. Une étude réticulaire des tores complexes de dimension 2 permet de mieux comprendre les automorphismes naturels sur les variétés de type Kummer. Nous classifions finalement tous les automorphismes décrits précédemment sur ces variétés. En application de nos résultats sur les réseaux, nous complétons également la classification des automorphismes d'ordre premier sur les variétés équivalentes par déformations à des schémas de Hilbert de 2 points sur des surfaces K3, en traitant le cas de l'ordre 5 qui restait ouvert. / Ln this work, we classify non-symplectic automorphisms of varieties deformation equivalent to 4-dimensional generalized Kummer varieties, having a prime order action on the Beauville-Bogomolov lattice. Firstly, we give the fixed loci of natural automorphisms of this kind. Thereafter, we develop tools on lattices, in order to apply them to our varieties. A lattice-theoritic study of 2-dimensional complex tori allows a better understanding of natural automorphisms of Kummer-type varieties. Finaly, we classify all the automorphisms described above on thos varieties. As an application of our results on lattices, we complete also the classification of prime order automorphisms on varieties deformation-equivalent to Hilbert schemes of 2 points on K3 surfaces, solving the case of order 5 which was still open.