L'objet de cette thèse est l'étude et la mise en œuvre d'une méthode d’éléments finis multi-échelles pour la simulation d'écoulements miscibles en milieux poreux. La définition des fonctions de base multi-échelles suit l'idée introduite par F. Ouaki. La nouveauté de ce travail consiste à combiner cette approche multi-échelle avec des éléments finis de type Galerkine Discontinus (DG) de façon à pouvoir utiliser ces nouveaux éléments sur des maillages non-conformes composés de mailles de formes diverses. Nous rappelons, dans un premier temps, le principe des méthodes DG et montrons comment ces méthodes peuvent être utilisées pour discrétiser une équation de convection-diffusion instationnaire identique à celle rencontrée dans le problème d'écoulement considéré dans ce travail. Après avoir vérifié l'existence et l'unicité d'une solution à ce problème, nous redémontrons la convergence des méthodes DG vers cette solution en établissant une estimation d'erreur a priori. Nous introduisons, ensuite, les éléments finis multi-échelles non conformes et détaillons leur mise en œuvre sur ce problème de convection-diffusion. En supposant les conditions aux limites et les paramètres du problème périodiques, nous montrons une nouvelle estimation d'erreur a priori pour cette méthode. Dans une seconde partie, nous considérons le problème d'écoulement complet où l'équation considérée dans la première partie est résolue de manière couplée avec l'équation de Darcy. Nous introduisons différents cas tests inspirés de modèles d'écoulements rencontrés en géosciences et comparons les solutions obtenues avec les deux méthodes DG, à savoir la méthode classique utilisant un seul maillage et la méthode étudiée ici. Nous proposons de nouvelles conditions aux limites pour la résolution des problèmes de cellule qui permettent, par rapport à des conditions aux limites linéaires plus classiquement utilisées, de mieux reproduire les variations des solutions le long des interfaces du maillage grossier. Les résultats de ces tests montrent que la méthode multi-échelle proposée permet de calculer des solutions proches de celles obtenues avec la méthode DG sur un seul maillage et de réduire, de façon significative, la taille du système linéaire à résoudre à chaque pas de temps. / This work deals with the study and the implementation of a multiscale finite element method for the simulation of miscible flows in porous media. The definition of the multiscale basis functions is based on the idea introduced by F. Ouaki. The novelty of this work lies in the combination of this multiscale approach with Discontinuous Galerkin methods (DG) so that these new finite elements can be used on nonconforming meshes composed of cells with various shapes. We first recall the basics of DG methods and their application to the discretisation of a convection-diffusion equation that arises in the flow problem considered in this work. After establishing the existence and uniqueness of a solution to the continuous problem, we prove again the convergence of DG methods towards this solution by establishing an a priori error estimate. We then introduce the nonconforming multiscale finite element method and explain how it can be implemented for this convection-diffusion problem. Assuming that the boundary conditions and the parameters of the problem are periodic, we prove a new a priori error estimate for this method. In a second part, we consider the whole flow problem where the equation, studied in the first part of that work, is coupled and simultaneously solved with Darcy equation. We introduce various synthetic test cases which are close to flow problems encountered in geosciences and compare the solutions obtained with both DG methods, namely the classical method based on the use of a single mesh and the one studied here. For the resolution of the cell problems, we propose new boundary conditions which, compared to classical linear conditions, allow us to better reproduce the variations of the solutions on the interfaces of the coarse mesh. The results of these tests show that the multiscale method enables us to calculate solutions which are close to the ones obtained withDG methods on a single mesh and also enables us to reduce significantly the size of the linear system that has to be solved at each time step.

Dans ce projet de recherche, on s'intéresse au développement et à l'évaluation de nouvelles méthodes numériques pour les écoulements peu profonds. De nouvelles techniques de discrétisation spatiales et temporelles des équations sont proposées. La première partie de la thèse est dédiée au développement d'une méthode des volumes finis explicite d'ordre élevé et d'une famille de schémas semi-implicites qui sont efficaces pour la modélisation des processus lents et rapides dans les écoulements océaniques et atmosphériques. La deuxième partie du projet de recherche concerne la construction d'un schéma numérique efficace sans solveur de Riemann pour les écoulements peu profonds avec une topographie variable sur un maillage non structuré. Dans cette partie de la thèse, une nouvelle approche est proposée pour l'analyse de stabilité des schémas numériques non structurés pour les équations en eaux peu profondes. Dans la troisième partie de la thèse, deux schémas de volumes finis sont développés pour les lois de conservation sur des surfaces courbes qui ont un large potentiel d'être appliqués aux écoulements peu profonds sur la sphère. Dans ces cas, les schémas numériques sont développés en adoptant la démarche suivie par Stanley Osher. Cette démarche consiste à utiliser des systèmes hyperboliques simples qui génèrent des phénomènes d'ondes complexes et des solutions qui ont différentes structures. Ces solutions sont très efficaces pour tester les méthodes numériques. Dans notre cas, nous avons utilisé les équations de Burgers qui ont joué un rôle très important dans le développement des schémas numériques à capture de chocs en mécanique des fluides. / This research project focuses on the development and evaluation of numerical methods for shallow flows by proposing new spatial and temporal discretization techniques. First, a new high-order explicit finite volume method and a class of semi-implicit schemes are introduced which are effective for modelling fast and slow waves in oceanic and atmospheric flows. In the second part of the research project, a central-upwind scheme is proposed for shallow water flows on variable topography using unstructured grids. In this part of the project, a new approach is proposed for the stability analysis of unstructured numerical schemes for shallow water equations. In the third part of the thesis, two finite volume methods are developed for the conservation laws on curved geometries which are potentially applicable to shallow flows on a sphere. For such cases, numerical schemes are developed by using the approach followed by Stanley Osher. This approach employs simple hyperbolic systems which generate complex wave phenomena, and solutions that are effective for assessing numerical methods. In our case, Burgers’ equations are used since they have played an important role in the development of shock-capturing schemes in fluid mechanics.

Cette thèse porte sur la modélisation de la dynamique des populations et de ses applications, à la démographie et l’actuariat d’une part, et à l’étude des processus de Hawkes d’autre part. Ces travaux de thèse proposent d’explorer à travers différents points de vue comment se déforme la structure d’une population, tant concernant la répartition des âges que sa composition en terme de caractéristiques. À travers cinq chapitres, nous déclinons une même philosophie qui, pour comprendre comment évoluent des quantités agrégées, propose d’étudier la dynamique de la population à une échelle plus fine, celle de l’individu. Après un premier chapitre introductif en langue française, détaillant les motivations et les principales contributions, nous proposons d’abord dans le Chapitre 2 la description du cadre général de la modélisation dynamique aléatoire de populations structurées en caractéristiques et en âges, sur la base de Bensusan et al. (2010–2015), ainsi que plusieurs exemples motivés par les applications démographiques et actuarielles. Nous détaillons la construction mathématique de tels processus ainsi que le lien avec les équations déterministes classiques en démographie. Nous discutons également l’impact de l’hétérogénéité sur l’exemple d’un effet cohorte, ainsi que le rôle de l’environnement aléatoire. Les deux chapitres suivants mettent en avant l’importance de la pyramide des âges. Le modèle de population général issu du Chapitre 2 est décliné dans le Chapitre 3 pour étudier des processus de Hawkes avec immigrants généraux, pour lesquels nous exploitons le concept de pyramide des âges. Dans cette étude théorique, basée sur Boumezoued (2015b), nous établissons de nouveaux résultats sur leur distribution pour une classe de fonctions qui généralisent le cas exponentiel étudié jusqu’ici. Dans le Chapitre 4, qui reprend Arnold et al. (2015), nous analysons l’impact de changements dans la mortalité par causes de décès sur la dynamique de la pyramide des âges, et en particulier sur le ratio de dépendance qui est un indicateur crucial du vieillissement de la population. En incluant le jeu des naissances dans la dynamique, ce travail de simulations, basé sur les données de l’OMS, permet de compléter la littérature existante sur les causes de décès qui se focalise traditionnellement sur des indicateurs de mortalité. Les deux derniers chapitres étudient plus particulièrement l’hétérogénéité des populations. Le Chapitre 5, basé sur Boumezoued et al. (2015), propose de mesurer l’hétérogénéité de la mortalité dans les données de l’Échantillon Démographique Permanent de l’INSEE. Dans le cadre de cette contribution d’adaptation de méthodes statistiques et de sa mise en oeuvre sur données réelles, nous proposons une méthode d’estimation paramétrique par maximum de vraisemblance pour les modèles multi-états qui prend en compte à la fois la censure par intervalle, caractéristique des données longitudinales issues du recensement, et également le retour dans les états intermédiaires. Enfin, le Chapitre 6, tiré de Boumezoued (2015a), reprend le modèle général du Chapitre 2 dans lequel les individus peuvent donner naissance, changer de caractéristiques et décéder. La contribution de cette partie théorique est d’étudier le comportement de la population lorsque les caractéristiques individuelles changent fréquemment. Nous établissons un thèorème limite en grande population pour le processus de pyramide des âges, dont le comportement est alors décrit par des taux de naissance et mort agrégés sur la structure stable en terme de caractéristiques. / This thesis focuses on population dynamics models and their applications, on one hand to demography and actuarial science, and on the other hand to Hawkes processes. This work explores through several viewpoints how population structures evolve over time, both in terms of ages and characteristics. In five chapters, we develop a common philosophy which studies the population at the scale of the individual in order to better understand the behavior of aggregate quantities. The first chapter introduces the motivations and details the main contributions in French. In Chapter 2, based on Bensusan et al. (2010–2015), we survey the modeling of characteristic and age-structured populations and their dynamics, as well as several examples motivated by demographic issues. We detail the mathematical construction of such population processes, as well as their link with well known deterministic equations in demography. We illustrate the simulation algorithm on an example of cohort effect, and we also discuss the role of the random environment. The two following chapters emphasize on the importance of the age pyramid. Chapter 3 uses a particular form of the general model introduced in Chapter 2 in order to study Hawkes processes with general immigrants. In this theoretical part based on Boumezoued (2015b) we use the concept of age pyramid to derive new distribution properties for a class of fertility functions which generalize the popular exponential case. Chapter 4 is based on Arnold et al. (2015) and analyses the impact of cause-of- death mortality changes on the population age pyramid, and in particular on the dependency ratio which is crucial to measure population ageing. By including birth patterns, this numerical work based on WHO data gives additional insights compared to the existing literature on causes of death focusing only on mortality indicators. The last two chapters focus on population heterogeneity. The aim of Chapter 5, based on Boumezoued et al. (2015), is to measure mortality heterogeneity on French longitudinal data called Échantillon Démographique Permanent. In this work, inspired by recent advances in the statistical literature, we develop a parametric maximum likelihood method for multi-state models which takes into account both interval censoring and reversible transitions. Finally, Chapter 6, based on Boumezoued (2015a), considers the general model introduced in Chapter 2 in which individuals can give birth, change their characteristics and die. The contribution of this theoretical work is the analysis of the population behavior when individual characteristics change very often. We establish a large population limit theorem for the age pyramid process, whose dynamics is described at the limit by birth and death rates which are averaged over the stable population composition.

On identifie simultanément les coefficients d'emmagasinement et de transmissivité hydraulique dans un écoulement souterrain gouvernent par une équation parabolique linéaire. Ces deux paramètres sont supposés être des fonctions constantes par morceaux en espace. Les inconnues du problème sont non seulement les valeurs de ces coefficients mais aussi la géométrie des zones dans lesquelles ces coefficients sont constants. Le problème est formule comme la minimisation d'une fonction de moindres carres calculant la différence entre les mesures et les quantités correspondantes évaluées avec la valeur courante des paramètres. L'objectif principal de ce travail est la construction d'une technique de paramétrisation adaptative guidée par des indicateurs de raffinement. L'utilisation d'indicateurs de raffinement, nous permet de construisons la paramétrisation de façon itérative, on allant d'une paramétrisation à une seule zone à une paramétrisation avec m zones où m est une valeur optimale à identifier. Nous distinguons les cas ou les deux paramètres ont la même paramétrisation et le cas où les deux paramètres ont des paramétrisations différentes. Pour améliorer la résolution du problème inverse d'estimation de paramètres, nous incorporons des estimateurs d'erreurs a posteriori. / We identify simultaneously storage and hydraulic transmissivity coefficients in groundwater flow governed by a linear parabolic equation. Both parameters are assumed to be functions piecewise constant in space. The unknowns are the coefficient values as well as the geometry of the zones where these coefficients are constant. This problem is formulated as minimizing a least-square function calculating the difference between measurements and the corresponding quantities computed with the current parameters values. The main point of this work is to construct an adaptative parameterization technique guided by refinement indicators. Using refinement indicators, we build the parameterization iteratively, going from a one zone parametrization to a parametrization with $m$ zones where $m$ is an optimal value to identify. We distinguish the cases where the two parameters have the same parameterization and different parameterizations.\\ To improve the resolution of the inverse problem, we incorporate a posteriori error estimations.

Cette Thèse analyse les ensembles de contrôle de systèmes de commande linéaires et les isométries de structure presque-Riemanniennes sur des groupes de Lie. Dans la première partie, le but principal est de caractériser les propriétés d'ensembles de contrôle comme l'existence, l'unicité, le fait d'être limité et l'invariance. Nous étudions ces propriétés pour des groupes de Lie décomposables par les valeurs propres du champ vectoriel linéaire et étendons les résultats à des groupes de Lie non-compacts semi-simples avec un centre fini. L’objectif principal de la deuxième partie est de caractériser les propriétés d'isométrie des structures presque-Riemanniennes. Nous cherchons des invariants dans des isométries telles que le locus singulier ou l'ensemble des singularités de champs vectoriels linéaires. Pour des groupes de Lie nilpotents, nous prouvons que toutes les isométries sont affines, c’est-à-dire qu’elles se composent d'une translation et d’automorphismes d’un groupe de Lie. Nous utilisons les résultats obtenus pour classifier les structures presque-Riemanniennes en des groupes de Lie de faible dimension. / This Thesis analyzes the control sets of linear control systems and the isometries of almost-Riemannian structures on Lie groups. The main goal for the first topic is to characterize the properties of control sets such as existence, uniqueness, boundedness and invariance. We study such properties for Lie groups decomposable by eigenvalues of the linear vector field and extend some results to non-compact semi-simple Lie groups with finite center. The second topic main objective is to characterize isometry properties of almost-Riemannian structures. We search for invariants under isometries such as the singular locus and the set of the linear vector field singularities. For nilpotent Lie groups, we prove that all isometries are affine, that is, a composition of a translation with a Lie group automorphisms. To finish this topic we use the obtained results to classify the almost-Riemannian structures on low dimensional Lie groups.

Les travaux de cette thèse portent sur l’étude de la métastabilité du modèle de Blume-Capel. Il s’agit d’un modèle introduit en 1966 dans lequel évoluent au cours du temps des spins à trois états +1, -1, 0, représentant respectivement une particulechargée positivement, négativement, et l’absence de particule, sur un réseau. La thèse est structurée en deux parties. La première partie contient un travail en collaboration avec C. Landim qui est paru dans la revue Journal of Statistical Physics. L’article traite du comportement métastable du modèle de Blume-Capel lorsque la température tend vers 0, dans le cas où la taille du domaine dans lequel vit le processus est fixée durant l’évolution. La seconde partie est consacrée à l’extension des résultats du premier papier au cas où la taille de la boite croît exponentiellement vite vers +1 lorsque la température décroît vers 0. Pour ce modèle, sur une très grande échelle de temps, trois états métastables subsistent, à savoir les états où le tore est respectivement remplis par des spins négatifs, positifs, ou "nuls". Il est démontré qu’avec probabilité 1, partant de la configuration n’ayant que des spins négatifs, le processus visite la configuration n’ayant que des spins "nuls" avant de visiter la configuration n’ayant que des spins positifs.Les résultats de la thèse consistent notamment à caractériser les configurations critiques et à fournir des estimations précises des temps d’atteinte des états stables. / This thesis is about the study of the metastability of the Blume-Capel model. This model, introduced in 1966, is a nearest-neighbor spin system where the single spin variable takes three possible values +1, -1, 0. One can interpret it as a system ofparticles with spins. The value 0 of the spin corresponds to the absence of particle, whereas the values ± correspond to the presence of a particle with the respective spin. The thesis is divided in two parts. The first part is an article published in Journal of Statistical Physics with C. Landim. We prove the metastable behavior of the Blume-Capel model when the temperature decreases to 0 on a fixed size torus.The second part is dedicated to the generalization of these results to the case of a torus which size increases to +1 as the temperature decreases to 0. For this model, three metastable states -1, 0,+1 remain on a very large time scale, where -1, 0,+1 stand for the configuration where the torus is respectively filled with -1’s, 0’s and +1’s. We prove that starting from -1, the process visits 0 before reaching +1 with very high probability. We also caracterize the critical configurations and provide sharp estimates of the transition times.

Cette thèse traite de quatre problèmes dans le contexte des grands systèmes distribués. Ce travail est motivé par les questions soulevées par l'expansion du Cloud Computing et des technologies associées. Le présent travail étudie l'efficacité de différents algorithmes d'allocation de ressources dans ce cadre. Les méthodes utilisées impliquent une analyse mathématique de plusieurs modèles stochastiques associés à ces réseaux. Le chapitre 1 fournit une introduction au sujet, ainsi qu'une présentation des principaux outils mathématiques utilisés dans les chapitres suivants. Le chapitre 2 présente un mécanisme de contrôle de congestion dans les services de Video on Demand fournissant des fichiers encodés dans diverses résolutions. On propose une politique selon laquelle le serveur ne livre la vidéo qu'à un débit minimal lorsque le taux d'occupation du serveur est supérieur à un certain seuil. La performance du système dans le cadre de cette politique est ensuite évaluée en fonction des taux de rejet et de dégradation. Les chapitres 3, 4 et 5 explorent les problèmes liés aux schémas de coopération entre centres de données (CD) situés à la périphérie du réseau. Dans le premier cas, on analyse une politique dans le contexte des services de cloud multi-ressources. Dans le second cas, les demandes arrivant à un CD encombré sont transmises à un CD voisin avec une probabilité donnée. Au troisième, les requêtes bloquées dans un CD sont transmises systématiquement à une autre où une politique de réservation (trunk) est introduite tel qu'une requête redirigée est acceptée seulement s'il y a un certain nombre minimum de serveurs libres dans ce CD. / This PhD thesis investigates four problems in the context of Large Distributed Systems. This work is motivated by the questions arising with the expansion of Cloud Computing and related technologies. The present work investigates the efficiency of different resource allocation algorithms in this framework. The methods used involve a mathematical analysis of several stochastic models associated to these networks. Chapter 1 provides an introduction to the subject in general, as well as a presentation of the main mathematical tools used throughout the subsequent chapters. Chapter 2 presents a congestion control mechanism in Video on Demand services delivering files encoded in various resolutions. We propose a policy under which the server delivers the video only at minimal bit rate when the occupancy rate of the server is above a certain threshold. The performance of the system under this policy is then evaluated based on both the rejection and degradation rates. Chapters 3, 4 and 5 explore problems related to cooperation schemes between data centres on the edge of the network. In the first setting, we analyse a policy in the context of multi-resource cloud services. In second case, requests that arrive at a congested data centre are forwarded to a neighbouring data centre with some given probability. In the third case, requests blocked at one data centre are forwarded systematically to another where a trunk reservation policy is introduced such that a redirected request is accepted only if there are a certain minimum number of free servers at this data centre.

La modélisation d'expériences de fusion par confinement inertiel fait intervenir des équations cinétiques dont la discrétisation peut être très coûteuse. La recherche de modèles simplifiés permet de réduire la taille et donc la complexité de ces systèmes. La justification mathématique de ces modèles simplifiés devient alors un enjeu central. Dans ce travail nous étudions plusieurs modèles réduits pour l'équation du transfert radiatif dans différents contextes, tant du point de vue théorique que du point de vue numérique. En particulier nous étudions l'équation du transfert radiatif relativiste dans le régime de diffusion hors équilibre, et nous montrons la convergence de la solution de cette équation vers la solution d'une équation de drift diffusion, dans laquelle les effets Doppler sont modélisés par un terme de transport en fréquence. Cette équation de transport est discrétisée par une nouvelle classe de schémas "bien équilibrés" (well-balanced), pour lesquels nous montrons que ces nouveaux schémas sont consistants lorsque la vitesse d'onde tends vers zero, par opposition aux schémas de type Greenberg-Leroux. Nous étudions également de nouveaux modèles réduits pour le scattering Compton (collision inélastique photon-électron). Une hiérarchie d'équations cinétiques non linéaires généralisant l'équation de Kompaneets pour des distributions anisotropes sont dérivées et leurs propriétés étudiées. Les modèles aux moments de type P_1 et M_1 sont dérivés à partir de l'une de ces équations, et nous montrons que la prise en compte de l'anisotropie du rayonnement peut modifier le phénomène de condensation de Bose expliqué par Caflisch et Levermore. Ce manuscrit se termine avec les comptes rendus de deux projets. Le premier est une preuve technique de la convergence uniforme du schéma de Gosse-Toscani sur maillages non structurés. Ce schéma est "asymptotic preserving", au sens ou il préserve au niveau discret la limite de diffusion pour l'équation de la chaleur hyperbolique, et cette preuve de convergence uniforme sur maillage non structurés en 2D est originale. Le second concerne la dérivation d'un modèle cinétique pour le Bremsstrahlung électron-ion qui préserve la limite thermique. / The modeling of inertial confinement experiments involves kinetic equations whose discretization can become very costly. The research of reduced models allows to decrease the size and the complexity of these systems. The mathematical justification of such reduced models becomes an important issue. In this work we study several reduced models for the transfer equation in several contexts, from the theoretical and numerical point of view. In particular we study the relativistic transfer equation in the non-equilibrium diffusion regime, and we prove the convergence of the solution of this equation to the solution of a drift diffusion equation, in which the Doppler effects are modeled by a frequency transport term. This transport equation is discretized by a new class of well-balanced schemes, and we show that these schemes are consistant as the wave velocity tends to zero, by opposition to the Greenberg-Leroux type schemes. We also study several original reduced models for the Compton scattering (inelastic electron-photon collision). A hierarchy of nonlinear kinetic equations generalizing the Kompaneets equation for anisotropic distributions are derived and their properties are studied. The M_1 and P_1 angular moments models are derived from one of these equations, and we show that the anisotropic part of a radiation beam can modify the Bose condensation phenomena observed by caflisch and Levermore. This work ends with the reports of two side projects. The first one is a technical proof of the uniform convergence of the Gosse-Toscani scheme on unstructured meshes. This scheme is asymptotic preserving, since it preserves at the discrete level the diffusion limit of the hyperbolic heat equation, and this proof on unstructured meshes in 2D is original. The second one is devoted to the derivation of a kinetic model for the electron-ion Bremsstrahlung that preserves the thermal limit.

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique d'un problème inverse en hydrogéologie : le but est d'identifier des fractures en milieu poreux, connaissant des mesures de l'écoulement dans le sous-sol. Le nombre, la localisation et les paramètres physiques des fractures sont recherchés. Ce problème est formulé comme la minimisation au sens des moindres carrés d'une fonctionnelle évaluant l'écart entre les mesures et les résultats du modèle direct. L'écoulement est celui d'un fluide monophasique incompressible (loi de Darcy). Un modèle traitant les fractures comme des interfaces est utilisé. Le problème direct est le modèle de fracture discrétisé par la méthode des éléments finis mixtes hybrides.Pour résoudre ce problème inverse, un nouvel algorithme itératif a été développé, basé sur l’utilisation d’indicateurs de fractures mis au point pendant la thèse. Ces indicateurs donnent une information au premier ordre concernant l'effet de l'ajout d'une nouvelle fracture. Comme ces indicateurs sont peu coûteux, un grand nombre de configurations de fractures sont testées à chaque itération. L’algorithme a été programmé, validé puis testé numériquement dans des situations variées, en utilisant des mesures synthétiques. Il donne des résultats très satisfaisants, bien que ce problème soit réputé difficile.Enfin, l’étude de l’identifiabilité du problème inverse a été amorcée. Pour un modèle simplifié de fractures (failles très perméables, cas le plus courant dans le sous-sol), on a montré que le problème. / This PhD is dedicated to the mathematical study of an inverse problem in hydrogeology: the goal is to identify fractures in porous medium, knowing measurements of the underground flow. The number, the location and the physical parameters of the fracture are looked for. This problem is formulated as the least squares minimization of a function evaluating the misfit between measurements and the result of the direct model. We used a model describing the flow of a monophasic incompressible fluid (Darcy's law), in a porous medium containing some fractures represented by interfaces. The direct problem is the fracture model discretized by the mixed hybrid finite element method. To solve this inverse problem, we developed an iterative algorithm, which is based on the use of fracture indicators that have been developed durig the thesis. These indicators give a first order information concerning the effect of the addition of a new fracture. As these indicators are inexpensive, a large number of configurations of new fractures is tested at each iteration. The algorithm was programmed, validated and tested numerically in various situations, using synthetic measurements. It gives very satisfactory results, although this problem is considered difficult. Finally, an early study of identifiability of the inverse problem of fractures in porous medium has been achieved. It allowed to prove the identifiability for a simplified model (very permeable faults, which is common in the underground). The question of identifiability for the full fracture model remains open.

Dans cette thèse nous traitons de la simulation numérique des écoulements sanguins dans le contexte des maladies cardiaques congénitales. Nous nous concentrons d'une part sur l'intégration de données cliniques, et d'autre part sur les aspects de couplages multi-échelles. Dans l'introduction, nous présentons les pathologies structurelles du cœur et les traitements chirurgicaux nécessaires dans certaines cardiopathies sévères. Puis, nous consacrons un chapitre aux challenges liés à la simulation numérique des écoulements sanguins. Dans les deux chapitres suivants nous présentons une méthodologie permettant d'estimer des paramètres de modèles réduits modélisant l'arbre artériel pulmonaire, en y intégrant des mesures cliniques prises pour chaque patient à différents endroits avant intervention chirurgicale. Cette méthode est appliquée sur neuf patients et permet de représenter l'hémodynamique dans les artères pulmonaires pour chacun des patients. Le chapitre suivant est consacré au couplage des équations de Navier-Stokes 3D avec un modèle réduit, qui soulève des problèmes d'instabilités numériques dans nombre d'applications. Nous présentons d'abord un état de l'art des couplages 3D-0D communément utilisés pour ce type de problème. Nous présentons de plus une étude de stabilité pour montrer quels sont les avantages et inconvénients de chacun d'eux. Ensuite, nous présentons une nouvelle méthode de couplage 3D-3D qui est similaire, d'un point de vue énergétique, au couplage avec un modèle réduit. Nous comparons enfin les méthodes existantes à ce couplage 3D-3D sur trois cas de patients, côtés systémique et pulmonaire. Dans le dernier chapitre de cette thèse, nous nous intéressons à la propagation des incertitudes des données cliniques sur la simulation de l’hémodynamique dansle cadre de chirurgie virtuelle. / In this thesis, we deal with numerical simulation of blood flow in the context of congenital heart diseases. We focus on clinical data integration into reduced models, and from a numerical point view on the coupling of blood flow (3D Navier-Stokes equations) and reduced models. In the introduction, we present congenital heart diseases and the surgical palliations needed for severe pathologies. We then present a chapter on challenges in numerical simulations of blood flow. In the next chapters, we present a methodology to estimate parameters of reduced models taking into account the effect of the pulmonary vasculature and the clinical measurements performed at different locations prior to surgical intervention of each patient. This method is applied to nine patient-specific cases and provides a representation of the hemodynamics in pulmonary arteries at different palliation stages. The next part of this thesis is devoted to numerical coupling between 3D blood flow and reduced models, which leads to numerical instability in a number of applications. We first present the state of the art for the different coupling methods, and perform a stability analysis of each coupling approach, highlighting the pros and cons. Moreover we present the new 3D-3D coupling method which presents the same energy balance as the 3D-reduced model. We compare all these methods on three systemic or pulmonary patient-specific cases to assess the robustness and accuracy of each one. In the last part of this manuscript we present a framework to investigate the effect of uncertainty of clinical measurements on our methodology to estimate reduced models for surgery planning: we focus on the impact of clinical data uncertainty to estimate blood flow distribution and pressure loss due to a stenosis to assess if it should be removed or not.