Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der zweidimensionalen Simulation der Rissausbreitung mit Hilfe der adaptiven Finite-Elemente-Methode. Das Ziel war die Entwicklung von Algorithmen zur effizienten und automatisierten Modellierung des Risswachstums. Das zugrunde liegende Konzept besteht in der vollständigen Integration aller Teilschritte der Risswachstumssimulation in ein einziges FE-Programm. Während der gesamten Simulation erfolgt durch den Einsatz eines fehlergesteuerten h-adaptiven Verfahrens die automatische Anpassung der FE-Diskretisierung an das gestellte Rissproblem. Die Simulation der spröden Rissausbreitung erfolgt auf Basis der linear-elastischen Bruchmechanik. Die dafür benötigten Spannungsintensitätsfaktoren werden mit Hilfe des J-Integrals in Form der Interaction-Integral-Technik ermittelt. Die Simulation des duktilen Versagens in der Prozesszone an der Rissspitze wird mit Hilfe des Schädigungsmodells von Rousselier beschrieben. Das Kriterium für duktiles Risswachstum basiert auf der Auswertung des akustischen Tensors an der Rissspitze und legt den Beginn der makroskopischen Rissausbreitung mit dem Einsetzen der Lokalisierung fest.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der zweidimensionalen Simulation der Rissausbreitung mit Hilfe der adaptiven Finite-Elemente-Methode. Das Ziel war die Entwicklung von Algorithmen zur effizienten und automatisierten Modellierung des Risswachstums. Das zugrunde liegende Konzept besteht in der vollständigen Integration aller Teilschritte der Risswachstumssimulation in ein einziges FE-Programm. Während der gesamten Simulation erfolgt durch den Einsatz eines fehlergesteuerten h-adaptiven Verfahrens die automatische Anpassung der FE-Diskretisierung an das gestellte Rissproblem. Die Simulation der spröden Rissausbreitung erfolgt auf Basis der linear-elastischen Bruchmechanik. Die dafür benötigten Spannungsintensitätsfaktoren werden mit Hilfe des J-Integrals in Form der Interaction-Integral-Technik ermittelt. Die Simulation des duktilen Versagens in der Prozesszone an der Rissspitze wird mit Hilfe des Schädigungsmodells von Rousselier beschrieben. Das Kriterium für duktiles Risswachstum basiert auf der Auswertung des akustischen Tensors an der Rissspitze und legt den Beginn der makroskopischen Rissausbreitung mit dem Einsetzen der Lokalisierung fest.

Ziel dieser Arbeit ist die Simulation der Deformation von Bauteilen, welche aus nahezu inkompressiblem Material bestehen. Dabei soll sich das Material sowohl linear als auch nichtlinear elastisch verhalten können. Zusätzlich soll die Belastung des Bauteils beliebig gewählt werden können, das heißt, es sollen kleine als auch große Deformationen möglich sein.

The topic of this thesis is the numerical simulation of transversely isotropic 3D structures and laminates by means of the adaptive finite element method. To achieve this goal, the theoretical background of elastic deformation problems, transverse isotropy, plate theory, and the classical laminate theory is recapitulated. The classical laminate theory implies a combination of the membrane problem and the plate problem with additional coupling terms. The focus of this work is the adjustment of two integral parts of the adaptive FE algorithm according to the classical laminate theory. One of these parts is the solution of the FE system; a good preconditioner is needed in order to use the conjugate gradient method efficiently. It is shown via a spectral equivalence bound that the combination of existing preconditioners for the membrane and plate problems poses a capable preconditioner for the combined laminate problem. The other part is the error estimation process; the error estimator determines where the current mesh has to be refined for the next step. Existing results on residual error estimators for the elasticity problem, the biharmonic problem, and the plate problem are combined and extended to obtain a posteriori local residual error indicators for the classical laminate theory problem. The effectiveness of both results is demonstrated by numerical examples.

The topic of this thesis is the numerical simulation of transversely isotropic 3D structures and laminates by means of the adaptive finite element method. To achieve this goal, the theoretical background of elastic deformation problems, transverse isotropy, plate theory, and the classical laminate theory is recapitulated. The classical laminate theory implies a combination of the membrane problem and the plate problem with additional coupling terms. The focus of this work is the adjustment of two integral parts of the adaptive FE algorithm according to the classical laminate theory. One of these parts is the solution of the FE system; a good preconditioner is needed in order to use the conjugate gradient method efficiently. It is shown via a spectral equivalence bound that the combination of existing preconditioners for the membrane and plate problems poses a capable preconditioner for the combined laminate problem. The other part is the error estimation process; the error estimator determines where the current mesh has to be refined for the next step. Existing results on residual error estimators for the elasticity problem, the biharmonic problem, and the plate problem are combined and extended to obtain a posteriori local residual error indicators for the classical laminate theory problem. The effectiveness of both results is demonstrated by numerical examples.:1 Introduction 1.1 Motivation 1.2 Organisation of this work 1.3 Notation and basic definitions 2 Basic theory of 3D simulation 2.1 Differential geometry 2.1.1 Initial and deformed domain 2.1.2 Strain tensor 2.2 Energy functional 2.2.1 Linearly elastic material law 2.2.2 Equilibrium of forces 2.2.3 Large deformations 2.2.4 Small deformations 2.3 Voigt notation and elasticity matrix 3 Transversely isotropic material law 3.1 Elasticity tensor 3.2 Conversion of the material constants 3.3 Elasticity matrix 3.4 Eigenvalues 3.5 State of plane strain 3.6 State of plane stress 4 Plate theory and classical laminate theory 4.1 The Kirchhoff–Love hypothesis 4.2 Constitutive law and bilinear form of the laminated plate 4.3 Definition of resultants 4.4 Boundary conditions 4.5 From the equilibrium conditions to the weak formulation 4.5.1 Membrane equilibrium 4.5.2 Plate equilibrium 4.5.3 Combined weak formulation 4.5.4 The CLT problem in Voigt notation 5 Discretisation 5.1 Short introduction to FEM 5.2 Adaptive FEM 5.3 Finite elements for 3D elasticity problems 5.4 Finite elements for plates 5.4 Finite elements for plates 5.4.1 BFS rectangles 5.4.2 rHCT triangles 5.5 CLT elements 5.5.1 Rectangles 5.5.2 Triangles 6 Solver and preconditioner 6.1 The preconditioned conjugate gradient method 6.2 Hierarchical basis and BPX preconditioners 6.3 Preconditioning of CLT problems 6.3.1 General laminates 6.3.2 Some special cases and examples 7 A posteriori residual error estimation 7.1 Residual error estimator for 3D elements 7.2 Residual error estimator for plate and CLT elements 7.2.1 Auxiliary definitions and assumptions on the mesh 7.2.2 Interpolation operators 7.2.3 Important inequalities 7.2.4 Cut-off functions 7.2.5 Definition of the error 7.2.6 Reliability inequality 7.2.7 Efficiency inequality 8 Some details of the implementation 8.1 The adaptive FE package SPC-PM 8.2 Remarks on some added features 8.2.1 Capability of the current code 8.2.2 Cuntze’s failure mode concept 8.3 Coordinate transformation of higher-order derivatives 8.3.1 Mapping of coordinates 8.3.2 Transformation of derivatives of up to the third-order 8.3.3 Recursive construction of transformation matrices 8.3.4 Simplification for axis-parallel rectangles 9 Numerical examples 9.1 A three-dimensional example from eniPROD 9.2 Example problems for laminates 9.2.1 Rectangular plate under in-plane load 9.2.2 Rectangular plate under vertical load 9.2.3 L-shaped plate with inhomogeneous natural boundary conditions 10 Conclusion and outlook Bibliography Acknowledgements List of main symbols Theses

Der Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung spezieller Lösungsmethoden zum Problem des Kontaktes eines elastischen Körpers mit einem festen Hindernis sowie des Kontaktes zweier elastischer Körper miteinander. Grundlage der Betrachtungen ist dabei ein Lösungsverfahren, das auf Unterraum-CG-Techniken beruht. Die zu Grunde liegende partielle Differentialgleichung zur Modellierung der Verformung eines elastischen Körpers ist die Lame-Gleichung. Aufbauend auf dieser Gleichung wird das Problem des Kontaktes in einer neuen Formulierung, die auch große Verformungen zuläßt, betrachtet. Um diese Probleme mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode numerisch lösen zu können, erfolgt die Betrachtung der üblichen Variationsformulierung mit Hilfe von Variationsungleichungen sowie die Angabe einer alternativen Formulierung, die auf einer Variationsgleichung beruht. Zur Konstruktion eines effektiven Lösungsalgorithmus werden die Problematiken der a-posteriori Fehlerschätzung, Voraussetzungen an Vernetzungen sowie moderner Lösungsmethoden zum Auflösen des Finiten-Elemente-Gleichungssystems betrachtet. Um die aus dem Kontaktproblem resultierenden Restriktionen zu erfüllen, wird die Klasse der Unterraum-CG-Verfahren einführend betrachtet und es wird die Anpassung dieser Verfahren auf die betrachteten Probleme vorgestellt. Die für derartige Lösungsmethoden verwendeten Projektoren werden formuliert und es werden verschiedene Formulierungen dieser Projektoren in Bezug auf Effektivität der Implementierung sowie Speicheraufwand miteinander verglichen. Es wird auf einige verschiedene Möglichkeiten der Beschreibung von Hindernissen sowie des Kontaktproblems zweier elastischer Körper miteinander eingegangen und es werden Referenzimplementierungen zu diesen Problemen angegeben. Zu den implementierten Projektoren werden Beispielrechnungen am Ende der jeweiligen Abschnitte vorgestellt sowie die Rechenzeiten und Konvergenzverhalten restringierter und unrestringierter Elastizitätsprobleme verglichen. Es zeigt sich dabei der Vorteil der entwickelten Verfahren in einem vergleichbaren numerischen Aufwand zwischen restringierten und unrestringierten Problemen bei einer übersichtlichen Implementierbarkeit und guter Stabilität. Die Problemklasse von Restriktionen im Inneren des betrachteten Gebietes wird anhand des Clinch-Problems formuliert, und die zur Lösung derartiger Probleme verwendeten Projektoren betrachtet. Die Referenzimplementierung aller vorgestellen Algorithmen und Projektoren erfolgt dabei in einem adaptiven 2D-FEM-Programm, welches innerhalb des DFG-Sonderforschungsbereichs 393 "Parallele Numerische Simulation für Physik und Kontinuumsmechanik" entstanden ist.

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die numerische Simulation piezoelektrischen Materialverhaltens, sowie spezieller Probleme aus der Mechanik (inkompressibles Materialverhalten) unter Anwendung der Methode der finiten Elemente. Hierbei wird die Strategie der adaptiven Netzsteuerung angewendet, welche mit Hilfe einer lokalisierten a-posteriori Fehlerschätzung erlaubt, den lokalen Feinheitsgrad der Diskretisierung den Besonderheiten der Aufgabenstellung anzupassen. Beide betrachteten Problemklassen führen nach der Diskretisierung und FEM auf Gleichungssysteme in spezieller Blockstruktur, die insgesamt symmetrisch, aber nicht positiv definit ist. Als Löser kann nicht der gewöhnliche CG verwendet werden, stattdessen wird eine Variante des Bramble-Pasciak-CGs benutzt, welcher als Speziallöser die Matrizenstruktur ausnutzt. Für diesen Löser wird eine Strategie zur Parameterwahl vorgeschlagen sowie die Wirksamkeit einer Vorkonditionierung im piezoelektrischen Fall theoretisch nachgewiesen. Weiterhin wird die FEM einschließlich Adaptivität für Piezomaterialien auf rotationssymmetrische Probleme erweitert, so daß diese spezielle Problemklasse zweidimensional gerechnet werden kann. Numerische Vergleiche mit echter 3D-Rechnung illustrieren enorme Vorteile in Genauigkeit und Rechenaufwand. Im letzten Kapitel werden in piezoelektrische Materialien hineinwachsende Risse betrachtet und entsprechende Anpassungen vorgenommen. Mit Wahl geeigneter Datenstrukturen und einer passenden Vorkonditionierung ist es möglich, eine Simulationssoftware bereitzustellen welche als Grundlage zum Test von Bruchkriterien verwendet werden kann. Die beschriebenen numerischen Methoden wurden in ein bestehendes adaptives 2D-FEM-Programm implementiert, und an ausgewählten Beispielen ein Vergleich mit einer analytischen Lösung durchgeführt sowie die Effektivität der Rechnung getestet.

Problems involving the solution of partial differential equations over surfaces appear in many engineering and scientific applications. Some of those applications include crystal growth, fluid mechanics and computer graphics. Many times analytic solutions to such problems are not available. Numerical algorithms, such as Finite Element Methods, are used in practice to find approximate solutions in those cases. In this work we present L2 and pointwise a posteriori error estimates for Adaptive Surface Finite Elements solving the Laplace-Beltrami equation −△Γ u = f . The two sources of errors for Surface Finite Elements are a Galerkin error, and a geometric error that comes from replacing the original surface by a computational mesh. A posteriori error estimates on flat domains only have a Galerkin component. We use residual type error estimators to measure the Galerkin error. The geometric component of our error estimate becomes zero if we consider flat domains, but otherwise has the same order as the residual one. This is different from the available energy norm based error estimates on surfaces, where the importance of the geometric components diminishes asymptotically as the mesh is refined. We use our results to implement an Adaptive Surface Finite Element Method. An important tool for proving a posteriori error bounds for non smooth functions is the Scott-Zhang interpolant. A refined version of a standard Scott-Zhang interpolation bound is also proved during our analysis. This local version only requires the interpolated function to be in a Sobolev space defined over an element T instead of an element patch containing T. In the last section we extend our elliptic results to get estimates for the surface heat equation ut − △Γ u = f using the elliptic reconstruction technique.

The vector finite element method has gained great attention since overcoming the deficiencies incurred by the scalar basis functions for the vector Helmholtz equation. Most implementations of vector FEM have been non-adaptive, where a mesh of the domain is generated entirely in advance and used with a constant degree polynomial basis to assign the degrees of freedom. To reduce the dependency on the users' expertise in analyzing problems with complicated boundary structures and material characteristics, and to speed up the FEM tool, the demand for adaptive FEM grows high. For efficient adaptive FEM, error estimators play an important role in assigning additional degrees of freedom. In this proposal study, hierarchical vector basis functions and four error estimators for p-refinement are investigated for electromagnetic applications.

Der Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung spezieller Lösungsmethoden zum Problem des Kontaktes eines elastischen Körpers mit einem festen Hindernis sowie des Kontaktes zweier elastischer Körper miteinander. Grundlage der Betrachtungen ist dabei ein Lösungsverfahren, das auf Unterraum-CG-Techniken beruht. Die zu Grunde liegende partielle Differentialgleichung zur Modellierung der Verformung eines elastischen Körpers ist die Lame-Gleichung. Aufbauend auf dieser Gleichung wird das Problem des Kontaktes in einer neuen Formulierung, die auch große Verformungen zuläßt, betrachtet. Um diese Probleme mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode numerisch lösen zu können, erfolgt die Betrachtung der üblichen Variationsformulierung mit Hilfe von Variationsungleichungen sowie die Angabe einer alternativen Formulierung, die auf einer Variationsgleichung beruht. Zur Konstruktion eines effektiven Lösungsalgorithmus werden die Problematiken der a-posteriori Fehlerschätzung, Voraussetzungen an Vernetzungen sowie moderner Lösungsmethoden zum Auflösen des Finiten-Elemente-Gleichungssystems betrachtet. Um die aus dem Kontaktproblem resultierenden Restriktionen zu erfüllen, wird die Klasse der Unterraum-CG-Verfahren einführend betrachtet und es wird die Anpassung dieser Verfahren auf die betrachteten Probleme vorgestellt. Die für derartige Lösungsmethoden verwendeten Projektoren werden formuliert und es werden verschiedene Formulierungen dieser Projektoren in Bezug auf Effektivität der Implementierung sowie Speicheraufwand miteinander verglichen. Es wird auf einige verschiedene Möglichkeiten der Beschreibung von Hindernissen sowie des Kontaktproblems zweier elastischer Körper miteinander eingegangen und es werden Referenzimplementierungen zu diesen Problemen angegeben. Zu den implementierten Projektoren werden Beispielrechnungen am Ende der jeweiligen Abschnitte vorgestellt sowie die Rechenzeiten und Konvergenzverhalten restringierter und unrestringierter Elastizitätsprobleme verglichen. Es zeigt sich dabei der Vorteil der entwickelten Verfahren in einem vergleichbaren numerischen Aufwand zwischen restringierten und unrestringierten Problemen bei einer übersichtlichen Implementierbarkeit und guter Stabilität. Die Problemklasse von Restriktionen im Inneren des betrachteten Gebietes wird anhand des Clinch-Problems formuliert, und die zur Lösung derartiger Probleme verwendeten Projektoren betrachtet. Die Referenzimplementierung aller vorgestellen Algorithmen und Projektoren erfolgt dabei in einem adaptiven 2D-FEM-Programm, welches innerhalb des DFG-Sonderforschungsbereichs 393 "Parallele Numerische Simulation für Physik und Kontinuumsmechanik" entstanden ist.