Au fil des ans, l'algèbre de Kleene s'est avérée être un outil formel très pratique et flexible quant vient le temps de raisonner sur les programmes informatiques. Cependant, actuellement, la plupart des applications à l'analyse de programmes de l'algèbre de Kleene se font en sélectionnant un problème précis et en voyant comment l'algèbre de Kleene permet de le résoudre, ce qui limite les applications possibles. L'objectif visé par ce mémoire est de déterminer dans quelle mesure la résolution d'équations, en algèbre de Kleene, peut être utilisée en analyse de programmes. Une grande partie de ce mémoire est donc consacrée à la résolution de différents types d'équations dans différentes variantes de l'algèbre de Kleene. Puis nous montrons comment la vérification de programmes ainsi que la synthèse de contrôleurs peuvent tirer profit de la résolution d'équations en algèbre de Kleene.

Cette thèse se compose de trois chapitres. Dans le chapitre I, nous définissons les foncteurs de i-restriction et i-induction sur la catégorie O des algèbres de Hecke doublement affine rationnelles cyclotomiques. En utilisant ces foncteurs, nous construisons un cristal sur l'ensemble des classes d'isomorphisme des modules simples, qui est isomorphe au cristal de l'espace de Fock. Le chapitre II est un travail en collaboration avec Michela Varagnolo et Eric Vasserot. Nous démontrons une conjecture de Kashiwara et Miemietz sur bases canoniques et règles de branchement pour les algèbres de Hecke affines de type D. Dans le chapitre III, nous démontrons une conjecture de Leclerc et Thibon sur les multiplicités graduées associées à la filtration de Jantzen de modules de Weyl sur algèbres de v-Schur.

Dans cette thèse, nous étudions la structure d'algèbre de Lie du premier groupe H1(A,A) de la cohomologie de Hochschild pour une k-algèbre A. Cela nous permet<br />aussi d'examiner la composante de l'identité du groupe algébrique des automorphismes extérieurs de A en caractéristique zéro.<br /> <br />La première partie est consacrée à l'étude de l'algèbre de Lie H1(A,A) d'une algèbre monomiale A de dimension finie. Ceci se fait en termes de la combinatoire du carquois de A, sans restriction sur la caractéristique du corps k. Nous montrons que le quotient de Lie semi-simple de H1(A,A) par son radical est un produit d'algèbres de Lie pgl(n,k). Des critères combinatoires pour la résolubilité, la (semi-)simplicité, la commutativité et la nilpotence sont donnés. <br /> <br />Dans la deuxième partie, nous étudions l'algèbre de Lie H1(kG,kG) de quelques algèbres de groupe pour un corps k de caractéristique p>0. Grace à une Morita équivalence de Gabriel, nous traitons le cas des groupes finis admettant un seul p-sous-groupe de Sylow cyclique. L'algèbre de Lie H1(kG,kG) des groupes finis abéliens est étudiée en utilisant la cohomologie de groupes. Pour p différent de 2, l'algèbre de Lie H1(kG,kG) est semi-simple si et seulement si le p-sous-groupe de Sylow de G est élémentaire. Dans ce cas, H1(kG,kG) est un produit d'algèbres de Lie de Jacobson et Witt.<br /> <br />Enfin, nous examinons l'algèbre de Lie H1(TA,TA) de l'extension triviale TA d'une algèbre A, en particulier d'une algèbre dont le carré du radical est nul. Dans ce dernier cas, le quotient de Lie semi-simple de H1(TA,TA) par son radical est un produit d'algèbres de Lie pgl(n,k) et so(2m,k). L'algèbre de Lie H1(TA,TA) n'est jamais semi-simple. Ce travail se termine par des critères combinatoires sur la<br />résolubilité et sur la commutativité de l'algèbre de Lie H1(TA,TA).

Plusieurs recherches ont analysé les difficultés des élèves en algèbre, ainsi que les discontinuités entre les domaines de l'arithmétique et de l'algèbre. Souvent, les élèves n'ont pas une bonne compréhension des relations entre ces domaines. Cette recherche s'intéresse à ce phénomène à travers la notion de réduction d'expressions numériques et algébriques contenant des puissances. Ce mémoire tente de répondre à la question de recherche suivante: est-ce que les élèves réussissent mieux à réduire des expressions algébriques contenant des puissances que des expressions numériques contenant des puissances? Un questionnaire composé d'expressions semblables à réduire a été soumis à des élèves de 3e à 5e secondaire. Ces expressions présentaient des produits de puissances, des quotients de puissances, ainsi que des expressions mixtes. Chaque expression numérique contenant des puissances a été associée à une expression algébrique semblable contenant des puissances. Aussi, certains triplets de questions ont été déterminés. On a comparé les pourcentages de réussite aux questions associées pour l'ensemble des répondants. L'interprétation des résultats a montré que la réussite des élèves à réduire des expressions algébriques ou numériques contenant des puissances dépend de plusieurs facteurs. Mais, en spécifiant qu'il y a certaines exceptions, les résultats indiquent une tendance: les élèves réussissent mieux à réduire des expressions présentant des bases algébriques, plutôt que des bases numériques mais souvent, ils réussissent mieux à réduire des expressions présentant des exposants numériques plutôt que des exposants algébriques. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Arithmétique et algèbre, Puissances, Expressions algébriques, Expressions numériques, Expressions avec exposants.

L'analyse statique des programmes consiste en un ensemble de techniques permettant de déterminer des propriétés des programmes sans avoir à les exécuter. Parmi les applications de l'analyse statique des programmes, nous retrouvons l'optimisation du code source par des compilateurs et la détection de code malveillant ou de code qui pourrait être exploité à des fins malveillantes. L'évidente pertinence et l'importance (parfois critique) de telles applications expliquent les nombreuses tentatives de compréhension du cadre théorique général de l'analyse statique des programmes. Les algèbres de Kleene sont la théorie algébrique des automates finis et des expressions régulières. Cet outil algébrique s'est avéré très approprié pour l'analyse statique et la vérification des programmes. Le but de cette thèse est de développer un cadre algébrique basé sur les algèbres de Kleene pour calculer les solutions d'une classe générale de problèmes intraprocéduraux d'analyse de flot de données. Ce cadre permet de représenter les programmes, ainsi que leurs propriétés, d'une manière homogène, compacte et expressive. Les algorithmes traditionnels employés pour calculer le résultat d'une analyse sont alors remplacés par des manipulations algébriques des éléments d'une algèbre de Kleene. / L'analyse statique des programmes consiste en un ensemble de techniques permettant de déterminer des propriétés des programmes sans avoir à les exécuter. Parmi les applications de l'analyse statique des programmes, nous retrouvons l'optimisation du code source par des compilateurs et la détection de code malveillant ou de code qui pourrait être exploité à des fins malveillantes. L'évidente pertinence et l'importance (parfois critique) de telles applications expliquent les nombreuses tentatives de compréhension du cadre théorique général de l'analyse statique des programmes. Les algèbres de Kleene sont la théorie algébrique des automates finis et des expressions régulières. Cet outil algébrique s'est avéré très approprié pour l'analyse statique et la vérification des programmes. Le but de cette thèse est de développer un cadre algébrique basé sur les algèbres de Kleene pour calculer les solutions d'une classe générale de problèmes intraprocéduraux d'analyse de flot de données. Ce cadre permet de représenter les programmes, ainsi que leurs propriétés, d'une manière homogène, compacte et expressive. Les algorithmes traditionnels employés pour calculer le résultat d'une analyse sont alors remplacés par des manipulations algébriques des éléments d'une algèbre de Kleene. / Static program analysis consists of techniques for determining properties of programs without actually running them. Among the applications of static program analysis are the optimization by compilers of object code and the detection of malicious code or code that might be maliciously exploited. The obvious relevance and (sometimes critical) importance of such applications explain the many attempts to try to understand the general theoretical framework of static program analysis. Kleene algebra is the algebraic theory of finite automata and regular expressions. This algebraic tool has proven to be very suitable for the purpose of static analysis and verification of programs. The goal of this thesis is to develop an algebraic framework based on Kleene algebra to compute the solutions to a general class of intraprocedural dataflow analysis problems. The framework allows one to represent both the programs and the relevant properties in an homogeneous, compact and readable way. Traditional algorithms used to compute the result of an analysis are then replaced by algebraic manipulations of elements of a Kleene algebra. / Static program analysis consists of techniques for determining properties of programs without actually running them. Among the applications of static program analysis are the optimization by compilers of object code and the detection of malicious code or code that might be maliciously exploited. The obvious relevance and (sometimes critical) importance of such applications explain the many attempts to try to understand the general theoretical framework of static program analysis. Kleene algebra is the algebraic theory of finite automata and regular expressions. This algebraic tool has proven to be very suitable for the purpose of static analysis and verification of programs. The goal of this thesis is to develop an algebraic framework based on Kleene algebra to compute the solutions to a general class of intraprocedural dataflow analysis problems. The framework allows one to represent both the programs and the relevant properties in an homogeneous, compact and readable way. Traditional algorithms used to compute the result of an analysis are then replaced by algebraic manipulations of elements of a Kleene algebra.

Cette thèse comporte trois parties. Dans la première, nous nous intéressons à la formule du commutateur d'un groupe admettant une BN-paire scindée. Nous montrons que sous une condition dite "condition de Lévi faible", le groupe vérifie cette formule. Dans la seconde partie, nous étudions la conservation de la forme unitriangulaire lors du passage d'une matrice de décomposition d'un module sur une algèbre graduée à la matrice de décomposition de la restriction de ce module sur l'algèbre effectuant la graduation et vice-versa. Nous verrons des applications pour des algèbres cellulaires pourvues également d'autres propriétés, notamment des algèbres de Ariki-Koike. Nous terminons par une partie traitant de la conjecture de J. Gruber et G. Hiss pour les nombres de décomposition des algèbres de Hecke de type B et D. Nous généralisons et prouvons cette conjecture dans le cas des algèbres de groupes de réflexions complexes. Puis nous observons quels sont les problèmes de la généralisation des méthodes utilisées lors du passage des algèbres de groupes aux algèbres de Hecke (de type B et D). Enfin, nous donnons une condition naturelle sur des filtrations de modules de Specht, sous-laquelle la conjecture est satisfaite.

Le dual topologique de l'espace des séries en un nombre quelconque, éventuellement infini, de variables non commutatives avec un corps topologique séparé de coefficients, pour la topologie produit, n'est autre que l'espace des polynômes. Il en résulte de façon immédiate que les endomorphismes continus sur les séries sont exactement les matrices infinies mais finies en ligne. Les matrices triangulaires infinies, puisque formant une algèbre de Fréchet, disposent quant à elles d'un calcul intégral et différentiel, que nous développons dans un cadre assez général, et qui permet d'établir une correspondance exponentielle-logarithme de type Lie. Nous déployons ces outils sur l'algèbre de Weyl (à deux générateurs) réalisée fidèlement comme une algèbre d'opérateurs agissant continûment sur l'espace des séries formelles (en une variable). Puis nous démontrons que chaque endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension infinie dénombrable peut s'obtenir explicitement sous la forme de la somme d'une famille sommable en des opérateurs plus élémentaires, les opérateurs d'échelle (généralisation de l'algèbre de Weyl), précisant de la sorte le théorème de densité de Jacobson. Par dualité (topologique) un résultat similaire concernant les opérateurs continus sur un espace de combinaisons linéaires infinies tombent presque gratuitement. Par ailleurs nous développons la notion d'algèbre (contractée) large d'un monoïde à zéro (obtenue par complétion de l'algèbre contractée) qui nous permet de calculer de nouvelles formules d'inversion de Möbius ainsi que des séries de Hilbert.

Nous construisons un inverse explicite à l'isomorphisme d'antisymétrisation de Cartan-Eilenberg qui permet d'identifier la cohomologie d'une algèbre de Lie sur un anneau de caractéristique zéro et la cohomologie de Hochschild de son algèbre universelle enveloppante.

Dans une première partie, on établit des résultats structuraux sur la construction cobar, visant à obtenir un relèvement homotopique explicite d'une structure de BV-algèbre sur la double construction cobar. Ces résultats interviennent à différentes itérations de la construction cobar. En conclusion, nous obtenons par descente de structures, un critère à l'obtention d'une structure de BV-algèbre homotopique (à la Gerstenhaber-Voronov) sur la double construction cobar Ω²C d'une G-cogèbre homotopique C, ceci en terme de co-opérations structurelles de C. Dans une seconde partie, nous appliquons le critère précédent sur la G-cogèbre homotopique C(X), où C(X) est le complexe de chaînes simpliciales sur un ensemble simplicial X. La structure de G-cogèbre homotopique considérée sur C(X) est telle que la double construction cobar Ω²C(X) est un modèle pour les lacets doubles Ω²|X|. Nous donnons ensuite des résultats de comparaisons entre la structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky obtenue sur la double construction cobar Ω²C(X) lorsque X est une double suspension et celle sur l'homologie H(Ω²|X|) induite par l'action diagonale du cercle sur Ω²|X|. Pour finir, lorsque l'anneau des coefficients est Q, nous déformons la structure de dg-algèbre de Hopf sur la construction cobar de Baues ΩC(X) en une structure de dg-algèbre de Hopf involutive (∇, S). On obtient alors une structure de BV-algèbre homotopique sur la double construction cobar Ω(ΩC(X), ∇, S) pour tout ensemble simplicial X.

Dans cette thèse nous donnons une classification des algèbres amassées provenant de l'infini-gone et établissons une relation entre ces algèbres et celles associées aux carquois de type A [indice inférieur infini]. Nous présentons une nouvelle construction des algèbres amassées sur les carquois de type A[indice inférieur infini] qui exhibe la liste complète des variables amassées, chacune étant donnée par une formule explicite. Ensuite nous montrons que si Q est un carquois fini, connexe et acyclique dont le carquois répétitif ZQ contient une tranche locale isomorphe à Q[indice supérieur op], alors il existe un plongement de ZQ dans l'espace et une réflexion oblique de l'espace qui induisent une involution dans ZQ. Comme conséquence immédiate de ce résultat, nous montrons que: si une algèbre amassée contient une graine (x Q) tel que Q est un carquois acyclique équivalent par mutations à Q[indice supérieur op], alors le groupe des automorphismes amassés de cette algèbre est un produit semi-direct du sous-groupe des automorphismes directs et du groupe Z[indice inférieur 2] ce qui est une démonstration de la conjecture d'Assem-Schiffler-Shramchenko sur les automorphismes amassés.