Ce mémoire contient un résumé de mes travaux sur le thème des propérades et de leurs applications en algèbre, topologie, géométrie et physique mathématique.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Cette thèse consiste en une étude des représentations de dimension finie de la super-algèbre de Lie gl(m,n). Dans le premier chapitre nous rappelons des résultats sur ces super-algèbres de Lie. Dans le second chapitre nous étudions les représentations simples de gl(2,2). Ces modules peuvent être obtenus comme quotient de modules induits dont on connaît les suites de composition, ce qui nous permet de calculer une formule des caractères finie explicite. Dans le troisième chapitre nous étudions les représentations d'une déformation quantique de l'algèbre enveloppante de gl(m,n). Nous rappelons tout d'abord la construction des bases cristallines pour les facteurs directs de puissances tensorielles de la représentation standard. Nous montrons, en affaiblissant la notion de cristal, l'existence de bases cristallines pour des modules qui ne sont pas semi-simpes, et nous donnons une méthode pour les construire. Le quatrième chapitre porte sur le dévissage du bloc maximalement atypique de la catégorie des représentations de dimension finie de gl(2,2). La connaissance de la sous-catégorie pleine des modules projectifs maximalement atypiques nous permet de reconstituer la catégorie. Nous étudions dans un premier temps les modules projectifs indécomposables et nous donnons leurs suites de Loewy. Puis dans un deuxième temps nous étudions leurs morphismes. Pour terminer nous formulons une conjecturons sur la composition de ces morphismes.

Les algèbres Artin-Schelter régulières sont des analogues non-commutatifs d'algèbres de polynomes. En dimension globale 3, ces algèbres graduées sont homogènes et ont des relations de degré 2 ou 3. Dans cette thèse, nous nous intéressons à certaines algèbres Artin-Schelter régulières de dimension globale 3, à relations cubiques. Nous commencons par calculer l'homologie de Hochschild des algèbres Artin-Schelter régulières de dimension globale 3, cubiques de type A à coefficients génériques. Soit $A$ une telle algèbre. Nous suivons la méthode employée par M. Van den Bergh (K-Theory 8 (1994) 213-230) dans le cas quadratique, en considérant cette algèbre comme déformation d'une algèbre de polynomes, avec crochet de Poisson remarquable. Nous calculons alors l'homologie de Poisson et nous montrons que la suite spectrale de Brylinski associée dégénère. Pour cela, nous utilisons le fait que cette algèbre est de Koszul au sens généralisé défini par R. Berger (J. Algebra 239 (2001) 705-734) et nous donnons un nouveau quasi-isomorphisme entre la résolution de Koszul de $A$ par des $A$-$A$-bimodules et la bar-résolution de $A$. Nous déduisons la cohomologie de de Rham, l'homologie cyclique et l'homologie cyclique périodique de l'homologie de Hochschild de $A$, en utilisant des résultats classiques. La propriété de Koszul généralisée nous permet d'écrire un quasi-isomorphisme explicite entre le complexe qui calcule la cohomologie de Hochschild de $A$ et le complexe qui calcule l'homologie de Hochschild de $A$, obtenant ainsi une dualité de Poincaré. Nous déduisons alors la cohomologie de Hochschild de $A$ de l'homologie de Hochschild de $A$. Nous déterminons le centre de $A$, ce qui n'était pas connu. Nous terminons par divers compléments. En particulier, nous explicitons une injection de la résolution de Koszul par des $A$-$A$-bimodules vers la bar-résolution de $A$, valable pour toute algèbre de Koszul généralisée $A$.

Notre travail porte sur les modules de Demazure sur les algèbres de Kac-Moody de type fini et affine et plus spécialement sur sl^(n). Nous étudions le caractère et la dimension des modules de Demazure. Cette étude nous amène à aborder, d'une part, les opérateurs de Demazure, liés aux caractères, et d'autre part, les polynômes de Demazure, liés à la dimension. Nous prouvons tout d'abord différents résultats d'harmonicité pour les polynômes de Demazure. Puis, pour les algèbres de type fini, nous montrons que les opérateurs de Demazure forment une base des Z[P]^W-endomorphismes de Z[P] et que les polynômes de Demazure forment une base de l'ensemble des polynômes, sur P, harmoniques pour W et à valeur dans Z. Enfin, pour l'algèbre sl^(n), nous définissons et étudions un sous-ensemble E de W de densité non nulle sur lequel nous calculons le caractère réel des modules de Demazure et les polynômes de Demazure. En petit rang nous en déduisons les polynômes pour un sous-ensemble plus grand.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Cette these est composee de deux parties independantes ayant pour point commun l’utilisation intensive de la theorie des ∞-categories. Dans la premiere, on s’interesse aux liens entre deux approches differentes de la formalisation de la physique des particules : les algebres vertex et les algebres a factorisation a la Costello. On montre en particulier que dans le cas des theories dites topologiques, elles sont equivalentes. Plus precisement, on montre que les∞-categories de fibres vectoriels factorisant non-unitaires sur une variete algebrique complexe lisse X est equivalente a l’∞-categorie des EM-algebres non-unitaires et de dimension finie, ou M est la variete topologique associee a X. Dans la seconde, avec Mathieu Anel, nous etudions la caracterisation de l’exponentiabilite dans l’∞-categorie des ∞-topos. Nous montrons que les ∞-topos exponentiables sont ceux dont l’∞-categorie de faisceaux est continue. Une consequence notable est que l’∞-categorie des faisceaux en spectres sur un ∞-topos exponentiable est un objet dualisable de l’∞-categorie des ∞-categories cocompletes stables munie de son produit tensoriel. Ce chapitre contient aussi une construction des ∞-coends a partir de la theorie du produit tensoriel d’∞- categories cocompletes, ainsi qu’une description des ∞-categories de faisceaux sur un ∞-topos exponentiable en termes de faisceaux de Leray. / This thesis is made of two independent parts, both relying heavily on the theory of ∞-categories. In the first chapter, we approach two different ways to formalize modern particle physics, through the theory of vertex algebras and the theory of factorisation algebras a la Costello. We show in particular that in the case of ‘topological field theories’, they are equivalent. More precisely, we show that the ∞-category of non-unital factorization vector bundles on a smooth complex variety X is equivalent to the ∞-category of non-unital finite dimensional EM-algebras where M is the topological manifold associated to X. In the second one, with Mathieu Anel, we study a characterization of exponentiable objects of the∞-category of∞-toposes.We show that an ∞-topos is exponentiable if and only if its ∞-category of sheaves of spaces is continuous. An important consequence is the fact that the ∞-category of sheaves of spectra on an exponentiable ∞-topos is a dualisable object of the ∞-category of cocontinuous stable ∞-categories endowed with its usual tensor product. This chapter also includes a ix construction of∞-coends from the theory of tensor products of cocomplete∞- categories, together with a description of∞-categories of sheaves on exponentiable ∞-toposes in terms of Leray sheaves.

Dans le premier chapitre de la thèse, nous résumons d’abord les définitions des algèbres Hom-Nambu n-aires (resp. Hom-Nambu- Lie) et algèbres Hom-Nambu n-aires multiplicatives (resp. Hom-Nambu-Lie multiplicatives). Ensuite, on donne,quelques exemples d'algèbres Hom-Nambu de dimension finie. Dans la troisième section du chapitre on rappellela classication des algèbres Hom-Nambu-Lie ternaires de dimension 3 correspondant auxhomomorphismes diagonaux donnée par Ataguema, Makhlouf et Silvestrov dans [12]. Laquatrième section est consacrée aux différentes manières de construire des algèbres n-airesde type Hom-Nambu. On rappelle la construction par twist initiée par Yau. Ensuite on la généralise en une construction d'algèbre n-aire de Hom-Nambu à partir d'une algèbre n-aire de Hom-Nambu et d'un morphisme faible. On s'intéresse aussi à des constructions d'arité plus grande ou plus petite et par produit tensoriel. On montre par ailleurs comment obtenir de nouvelles algèbres n-aires de Hom-Nambu en utilisant les éléments du centroide. La cinquième section est consacrée aux notions de dérivations et de représentationspour les algèbres n-aires. On étudie les αk-dérivations, les dérivations centrales et dansle cas général, la théorie des représentations des algèbres Hom-Nambu n-aires. Nousdiscutons en particulier les cas des représentations adjointes et coadjointes. Les résultatsobtenus dans cette section généralisent ceux donnés pour le cas binaire dans [16, 57]. / The aim of this thesis is to study representation theory and cohomology of n-ary Hom-Nambu-Lie algebras, as well as quadratic structures on these algebras. It is organized as follows.• Chapter 1. n-ary Hom-Nambu algebras : in the first section we recall the definitions of n-ary Hom-Nambu algebras and n-ary Hom-Nambu-Lie algebras, introduced by Ataguema, Makhlouf and Silvestrov and provide some key constructions. These algebras correspond to a generalized version by twisting of n-ary Nambu algebras and Nambu-Lie algebras which are called Filippov algebras. We deal in this chapter with a subclass of n-ary Hom-Nambu algebras called multiplicative n-ary Hom-Nambu algebras. In Section 1.2, we recall the list of 3-dimensional ternary Hom-Nambu-Lie algebras of special type corresponding to diagonal homomorphisms. In Section 1.4 we show different construction procedures. We recall the construction procedures by twisting principles and provide some new constructions using for example the centroid. The first twisting principle, introduced for binary case, was extend to n-ary case. The second twisting principle was introduced for binary algebras. We will extend it to n-ary case in the sequel. Also we recall a construction by tensor product of symmetric totally n-ary Hom-associative algebra by an n-ary Hom-Nambu algebra. In Section 1.5, we extend representation theory of Hom-Lie algebras to the n-ary case and discuss the derivations, αk-derivations and central derivations. The last section of chapter 1 is dedicated to ternary q-Virasoro-Witt algebras. We recall constructions of infinite dimensional ternary Hom-Nambu algebras.• Chapter 2. Cohomology of n-ary multiplicative Hom-Nambu algebras : InSection 2.1. We define a central extension. In the second Section we show that for an n-ary Hom-Nambu-Lie algebra N, the space ∧n−1 N carries a structure of Hom-Leibniz algebra and we dene a cohomology which is suitable for the study of one parameter formal deformations of n-ary Hom-Nambu-Lie algebras. In Section 2.4, we extend to n-ary multiplicative Hom-Nambu-Lie algebras the Takhtajan's construction of a cohomology of ternary Nambu-Lie algebras starting from Chevalley-Eilenberg cohomology of binary Lie algebras. The cohomology of multiplicative Hom-Lie algebras. The cohomology complex for Leibniz algebras was defined by Loday and Pirashvili.• Chapter 3. Quadratic n-ary Hom-Nambu algebras : In the first section we introduce a class of Hom-Nambu-Lie algebras which possess an inner product. In Section 3.3, we provide some constructions of Hom-quadratic Hom-Nambu-Lie algebras starting from an ordinary Nambu-Lie algebra and from tensor product of Hom-quadratic commutative Hom-associative algebra and Hom-quadratic Hom-Nambu-Lie algebra. In Section 3.5, we provide a construction of n-ary Hom-Nambu algebra L which is a generalization of the trivial T∗-extension. In Section 3.6, we give a construction of ternary algebra arising from quadratic Lie algebra. In Section 3.7, we construct quadratic n-ary Hom-Nambu algebras involving elements of the centroid of n-ary Nambu algebras.

Cette thèse est consacrée à l'étude des revêtements galoisiens et à la recherche du revêtement universel et du groupe fondamental pour les algèbres de dimension finie, connexes et basiques sur un corps algébriquement clos. Pour ce faire, nous partons d'une construction déjà existante: le groupe fondamental associé à toute présentation d'une telle algèbre A par son carquois ordinaire Q et des relations admissibles. Nous commençons par comparer les différentes présentations de A. Les automorphismes de l'algèbre kQ des chemins de Q permettent de relier deux présentations de A et parmi ceux-là, nous distinguons les dilatations et les transvections: elles engendrent le groupe des automorphismes de kQ, en outre, les groupes fondamentaux de deux présentations de A reliées par une dilatation ou une transvection sont liés entre eux par un passage au quotient. Ceci permet d'exhiber un groupe fondamental pour A lorsque le corps de base est de caractéristique nulle et lorsque Q n'a pas de double raccourci. Ces raisonnements se transposent à l'étude des revêtements galoisiens de A puisqu'à chaque présentation de A est associé un revêtement galoisien de A et de groupe le groupe fondamental de la présentation. Ainsi, sous les hypothèses précédentes fournissant le groupe fondamental de A, un revêtement universel de A existe. Ce dernier résultat est également démontré pour un corps de caractéristique quelconque, lorsque A est monomiale et lorsque Q n'a ni flèches multiples ni cycle orienté tout en admettant d'éventuels double raccourcis.

Dans cette thèse, la connexion entre certaines structures algébriques récentes (algèbres tridiagonales, algèbre q-Onsager, algèbres q-Onsager généralisées), la théorie des représentations (paire tridiagonale, paire de Leonard, polynômes orthogonaux), certaines des propriétés de ces algèbres et l’analyse de modèles intégrables quantiques sur le réseau (la chaîne de spin XXZ ouverte aux racines de l’unité) est considérée. / In this thesis, the connection between recently introduced algebraic structures (tridiagonal algebra, q-Onsager algebra, generalized q-Onsager algebras), related representation theory (tridiagonal pair, Leonard pair, orthogonal polynomials), some properties of these algebras and the analysis of related quantum integrable models on the lattice (the XXZ open spin chain at roots of unity) is considered.