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Yes / Various inequalities (Boole inequality, Chung–Erdös inequality, Frechet inequality) for Kolmogorov (classical) probabilities are considered. Quantum counterparts of these inequalities are introduced, which have an extra 'quantum correction' term, and which hold for all quantum states. When certain sufficient conditions are satisfied, the quantum correction term is zero, and the classical version of these inequalities holds for all states. But in general, the classical version of these inequalities is violated by some of the quantum states. For example in bipartite systems, classical Boole inequalities hold for all rank one (factorizable) states, and are violated by some rank two (entangled) states. A logical approach to CHSH inequalities (which are related to the Frechet inequalities), is studied in this context. It is shown that CHSH inequalities hold for all rank one (factorizable) states, and are violated by some rank two (entangled) states. The reduction of the rank of a pure state by a quantum measurement with both orthogonal and coherent projectors, is studied. Bounds for the average rank reduction are given.

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Nous présentons les bases de Grobner, leur utilisation et la parallélisation des algorithmes qui les calculent dans le cas de polynômes booléens. Une première partie est consacrée à la présentation théorique des bases de Grobner dans le cas général. Cette présentation se veut accessible a des non-spécialistes. Une étude bibliographique de la complexité est faite. Une deuxième partie concerne les applications des bases de Grobner booléennes en calcul propositionnel et en preuve de circuits combinatoires. Nous proposons un algorithme de preuve formelle de circuits combinatoires hiérarchisés. Dans la troisième partie nous adaptons l'algorithme séquentiel au cas booléen et nous étudions plus en détail la normalisation. Nous proposons deux méthodes de parallélisation a granularité différentes. Nous analysons et comparons plusieurs implantations parallèles et présentons des résultats expérimentaux. Les algorithmes sont généralisables au cas des polynômes a coefficients rationnels. Nous soulignons l'influence de la répartition des données sur le temps d'exécution. Nous présentons une methode de répartition des polynômes basée sur la recherche de chemins de longueur donnée dans un graphe oriente. Cette répartition nous permet d'obtenir des résultats interpretables et de conclure sur les différents algorithmes

Ce travail s’engage dans la reconstitution d’une intelligibilité globale nouvelle pour la logique qui est née avec Frege afin de restituer l’une des conditions décisives pour la philosophie contemporaine, à savoir celle qui concerne son rapport aux pratiques et aux savoirs formels. Son hypothèse initiale affirme que le projet premier et constant de Frege a été celui d’une logique du contenu. Pourtant, il ne s’agit pas de réinvestir l’œuvre de Frege d’une cohérence nouvelle dans le but de rétablir une unité stable. Car l’intelligibilité procurée par cette reconstitution permet de localiser dans les formulations de Frege de véritables lacunes qui ne semblent pas avoir été identifiées comme telles jusqu’ici. Que la logique de Frege soit efficace malgré ces lacunes, voilà ce qu’il faut expliquer. La réponse que nous donnons à ces questions est que l’efficacité de la logique de Frege en tant que logique du contenu provient d’un certain rapport à l’Arithmétique, à savoir celui par lequel c’est la logique qui est construite d’après les principes de l’Arithmétique, avant qu’elle ne soit capable de la construire à son tour. La question se pose alors de caractériser avec précision à ce niveau constitutif, non « fondationnel », la nature du rapport entre une logique du contenu comme forme spécifique de la logique dans le cadre de sa mathématisation, et l’Arithmétique comme domaine mathématique particulier. De l’analyse minutieuse de la constitution du système logique frégéen, une idée se dégage qui constitue la thèse centrale de notre travail : les différents systèmes de la logique mathématisée ou formelle ne reposent sur les mathématiques que par l’intermédiaire d’une dimension d’exercice, de réflexion et d’élaboration de signes, où les circulations et les emprunts entre ces deux savoirs formels contemporains que sont les mathématiques et la logique se construisent et se justifient. C’est donc cette thèse qu’il s’agit de démontrer, par une étude détaillée des processus d’émergence des deux plus grands projets de formalisation de la logique du XIXe siècle : celui de Frege et celui de Boole et des Booléens. Dans cet espace qui mène des pratiques mathématiques aux systématisations logiques à travers les fonctionnements des signes, deux régimes généraux se dessinent : celui d’ « Abstraction symbolique » qui mène de l’Algèbre abstraite à la Logique propositionnelle booléenne ; et celui de l’ « Expressionnisme », qui mène de l’Arithmétique au Calcul logique des prédicats, associée aux travaux de Frege. Mais plus profondément, par l’effet d’une lecture symptomale au plus près des dynamiques internes à ces processus, le présent travail décèle un lien transversal entre le contenu logique d’une part et l’Arithmétique comme ensemble des déterminations du nombre de l’autre. En suivant ce lien, qui s’avère le responsable de l’introduction de la catégorie de sens dans le cadre de la logique mathématisée, une théorie de l’expression formelle se dessine, définissant les conditions pour le développement d’une logique du sens. / This work aims at providing a new general interpretation of the logic that was born with the work of Gottlob Frege, in order to make explicit one of the most decisive conditions of contemporary philosophy: the one that concerns the relation of philosophy to formal practices and knowledge. Its initial hypothesis states that Frege’s primary and most constant project was that of building a logic of content. However, the intelligibility thus gained does not intend to unearth a new underlying unity of Frege’s thought; it rather aims at localising the real gaps within Frege’s formulations that have not been identified as such until now. Still, those gaps do not require to be filled, for Frege’s logic is indeed effective despite this indeterminacy. Rather than the gaps, it is this ungrounded effectiveness that needs to be explained. Our answer to this question is that the effectiveness of Frege’s logic as a logic of content comes from a certain relationship with Arithmetic; in fact, Frege’s logic is constructed on the template of Arithmetic, before it becomes capable of constructing Arithmetic in turn. The task then arises to characterise precisely, at this constitutive and non-foundational level, the nature of the relation between a logic of content as a specific form of logic in the framework of its mathematization, and Arithmetic as a particular mathematical domain. From the meticulous study of the constitution of the Fregean system, an idea can be drawn that constitutes the central argument of this thesis: the various mathematical or formalised logical systems rest upon mathematics only through an intermediary dimension consisting in the practice, the reflection and the elaboration of signs, where the circulations between these two contemporary domains of formal knowledge (mathematics and logic) are constructed and justified. From this point of view, we then lay out a detailed study of the rise of the two most significant projects for formalizing logic in the nineteenth century: Frege’s and Boole’s (and the Booleans’). In the space leading from mathematical practices to logical systematisations through semiotic functioning, two general schemes or semiotic formal regimes can be drawn: “Symbolic Abstraction”, leading from abstract Algebra to Boolean propositional logic; and “Expressionism”, leading from Arithmetic to Predicate Calculus, associated to Frege’s work. More deeply, our research reveals a deep connexion between logical content and Arithmetic (understood as the theory of integers), which horizontally crosses the different semiotic regimes. Following the multiple dimensions of this nexus – which is responsible for the introduction of the category of sense in the framework of mathematized logic – a formal theory of expression can be drawn, which defines the conditions for the actual development of a logic of sense.

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Made available in DSpace on 2014-12-17T14:36:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 GiselleCS.pdf: 1317056 bytes, checksum: 7a18c243029448082b124844381ad4ba (MD5) Previous issue date: 2005-10-14 / Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de N?vel Superior / The aim of the present study is to reevaluate the logical thought of the English mathematician George Boole (1815 - 1864). Thus, our research centers on the mathematical analysis of logic in the context of the history of mathematics. In order to do so, we present various biographical considerations about Boole in the light of events that happened in the 19th century and their consequences for mathematical production. We briefly describe Boole's innovations in the areas of differential equations and invariant theory and undertake an analysis of Boole's logic, especially as formulated in the book The Mathematical Analysis of Logic, comparing it not only with the traditional Aristotelian logic, but also with modern symbolic logic. We conclude that Boole, as he intended, expanded logic both in terms of its content and also in terms of its methods and formal elaboration. We further conclude that his purpose was the mathematical modeling of deductive reasoning, which led him to present an innovative formalism for logic and, because the different ways it can be interpreted, a new conception of mathematics / O presente estudo tem como objetivo fazer uma reavalia??o do pensamento l?gico do matem?tico ingl?s George Boole (1815 1864). Desta forma, nossa pesquisa versa sobre reflex?es concernentes a an?lise matem?tica da l?gica permeada pela hist?ria da matem?tica. Para isso, realizamos uma colet?nea de considera??es biogr?ficas deste personagem ? luz de um estudo dos acontecimentos ocorridos no s?culo XIX e seu reflexo na produ??o matem?tica. Descrevemos brevemente as inova??es feitas por Boole nas ?reas de equa??es diferenciais e da teoria de invariantes. Fizemos ainda uma an?lise da l?gica de Boole, especialmente como formulada no livro The Mathematical Analysis of Logic, fazendo uma compara??o desta tanto com a l?gica aristot?lica tradicional, quanto ? l?gica moderna. Conclu?mos que Boole, como pretendia, expandiu a l?gica, n?o somente em termos do seu conte?do, mas tamb?m em termos dos seus m?todos e elabora??o formal. Conclu?mos ainda que o seu prop?sito foi a modelagem matem?tica do racioc?nio dedutivo, o que o levou a apresentar um formalismo que marcou ?poca para a l?gica e que, atrav?s de suas interpreta??es distintas, levou Boole a uma nova conceitua??o do que ? a pr?pria matem?tica

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Les travaux présentés dans ce mémoire sont relatifs à l'élaboration formelle de la commande d'un Système à Évènements Discrets (SED) logique à partir des exigences exprimées dans le cahier des charges. La méthode proposée est basée sur la résolution de manière littérale d'un système d'équations représentant ces exigences.<br />Le cadre mathématique, support de ces travaux, est l'algèbre de Boole des fonctions booléennes. Ce cadre mathématique a été retenu pour les raisons suivantes :<br />- Dans le cas particulier des SED logiques non temporisés, toute loi de commande peut être décrite à l'aide de fonctions booléennes.<br />- Les exigences exposées dans un cahier des charges peuvent être formalisées sous forme de relations entre des fonctions booléennes.<br />- Les résultats obtenus dans le cadre de cette thèse nous permettent de déterminer automatiquement quelles sont les fonctions booléennes qui satisfont le système d'équations entre fonctions booléennes représentant ces exigences.<br />La méthode proposée permet au concepteur d'exprimer les exigences dans des formalismes différents. Il a également la possibilité de fixer la forme de la solution qu'il souhaite obtenir ou de ne réaliser la synthèse que sur une partie du modèle.<br />Le chapitre 2 de ce mémoire est consacré à la présentation des résultats mathématiques que nous avons établis pour pouvoir résoudre un système d'équations à n inconnues dans toute structure d'algèbre de Boole. <br />L'approche de synthèse est détaillée au chapitre 3 au travers du traitement de 3 exemples de taille et de complexité croissantes. Nous montrons comment les exigences exprimées dans un cahier des charges peuvent être formalisées sous forme de relations entre des fonctions booléennes. La résolution du système d'équations est réalisée automatiquement grâce à une maquette informatique développée au LURPA.