Les langages réguliers sont des langages qui ont été largement étudiés, notamment du point de vue de leurs propriétés de clôture ensembliste : l'ensemble des langages réguliers (pour un alphabet donné) forme une algèbre de Boole close par concaténation et étoile de Kleene. Ces propriétés ne se généralisent pas toutes à l ensemble des langages algébriques qui est un sur-ensemble de l'ensemble des langages réguliers. Notamment les langages algébriques ne sont pas clos par intersection. Pour engendrer ces langages, nous utilisons les grammaires déterministes de graphes. Une grammaire de graphes est un système fini de récriture d'hypergraphes finis. Par récriture itérée à partir d'un non-terminal, la grammaire engendre un graphe régulier dont les traces forment un langage algébrique. En définissant une relation de synchronisation entre ces grammaires, on montre que l'on peut définir des sous-ensembles stricts de langages algébriques non-ambigus qui forment des algèbres de Boole effectives contenant les langages réguliers. Nous donnons également des conditions suffisantes pour que ces algèbres booléennes soient closes par concaténation et étoile de Kleene.

L'objectiu principal del nostre estudi ha estat, en primer lloc, fer una "història de la lògica" que abastés el període que va aproximadament des de mitjans del segle XIX, època en què Boole i De Morgan renoven la lògica tradicional, fins als anys vint del segle passat, quan la lògica de primer ordre es consolida com el llenguatge lògic "par excellence" i la concepció model-teorètica s'obre camí de forma inexorable. Segonament, el nostre objectiu ha estat fer un estudi comparatiu de les contribucions del corrent algèbric i logicista a la gènesi i desenvolupament de la lògica contemporània, particularment de la lògica de primer ordre i de la concepció model-teorètica predominant avui en dia. Al nostre parer, el naixement i desenvolupament de la lògica contemporània ha anat de bracet amb les recerques sobre els fonaments de les matemàtiques dutes a terme en el període estudiat, per la qual cosa el nostre objectiu ha estat finalment fer-nos ressó de l'estret lligam entre els problemes relatius a la fonamentació de les matemàtiques i les recerques lògiques pròpiament dites. D'acord amb tot l'anterior, hem dividit la nostra memòria en tres parts. Les dues primeres parts les hem dedicades respectivament a l'estudi del desenvolupament de la tradició algèbrica i logicista i estan dividides en diferents capítols, dedicat cada un d'ells als autors més representatius d'aquestes dos corrents: Boole, Peirce i Schröder, d'una banda, i Dedekind, Frege i Russell de l'altra. Finalment, la tercera part l'hem dedicada als desenvolupaments més importants que seguiren la publicació de l'obra de Whitehead i Russell Principia Mathematica (1910-1913) i que més influència tingueren, des del nostre punt de vista, en el desenvolupament posterior de la lògica, a saber, les recerques de Hilbert i la seva escola sobre l'aplicació del mètode axiomàtic a les diferents branques de les matemàtiques i, en particular, a la lògica, i les recerques model-teorètiques de Löwenheim i Skolem sobre el fragment de primer ordre de la lògica de relatius. Aquestes recerques tingueren efectivament una influència cabdal en la gènesi i desenvolupament de la lògica de primer ordre i la concepció model-teorètica predominant avui en dia, per la qual cosa el seu estudi presenta un indubtable interès històric i dóna, a més, una bona mesura de les contribucions de les tradicions algèbrica i logicista a la lògica contemporània i, en particular, de les limitacions que presenten en aquest sentit ambdues tradicions. Entre les contribucions més destacades del nostre estudi per tal de determinar quines han estat les aportacions dels diferents autors estudiats a la gènesi i desenvolupament de la lògica contemporània i la moderna concepció semàntica de la mateixa cal destacar, entre d'altres, l'estudi realitzat sobre l'evolució de la lògica de relatius i la lògica quantificacional -de primer i segon ordre- en l'obra de Peirce, l'estudi sobre les definicions dels principals conceptes semàntics -interpretació, conseqüència lògica, independència, etc.- en l'obra de Schröder, l'estudi sobre la gènesi i evolució del logicisme fregeà a partir de la seva tesi de doctorat (1873) i la seva Habilitationschrift (1874), una interpretació de la teoria ramificada de tipus de Russell que no és l'habitual en la historiografia clàssica (Copi, Quine, Kneale i Kneale et alia), l'estudi de la connexió de la problemàtica tractada en els escrits de Löwenheim i Skolem amb el programa de recerca iniciat per Peirce i Schröder i, finalment, l'estudi de l'evolució en el si de l'escola de Hilbert d'algunes de les idees bàsiques de la lògica contemporània i la moderna concepció model-teorètica de la mateixa a partir de l'estudi de les lliçons (inèdites) impartides per Hilbert a Göttingen els cursos de 1905 i 1917-18. / As its title indicates, this work intends to make a historical itinerary by some of the main developments that took place in the field of logic and the foundations of the mathematics between the second half of the 19th century and the first fourth of the 20th century approximately. Moreover, it pretends also to make a comparative study of the development of the algebraic and logicist traditions in this period that allows to gauge the contributions of each one of them to the genesis and development of contemporary logic and the modern model-theoretic conception of it. With this aim, the most highlighted contributions of our work are, among others, the study carried out about the evolution and relationship of the logic of relatives and quantificational logic -of first and second order- in Peirce's work, the research into the definitions of the main semantic concepts -interpretation, logical consequence, independence, etc- in Schröder's work, the study of the genesis and evolution of fregean logicism from his doctorate thesis (1873) and his "Habilitationschrift" (1874), an interpretation of Russell's theory of types which it is unusual in the classical historiography, the research into the connection of the problems treated in Löwenheim and Skolem writings with the program of research pioneered by Peirce and Schröder and, finally, the study of the evolution in the bosom of Hilbert's school of some of the main ideas of contemporary logic and metalogic from the study of the lessons (unedited) imparted by Hilbert in Göttingen in the courses of 1905 and 1917-18.

En 1955, las álgebras de Boole monádicas fueron introducidas por P. Halmos ([23]), como un modelo algebraico para el cálculo de predicados monádicos de la lógica clásica. Estas álgebras han sido ampliamente estudiadas por varios autores ([1], [24]) y en la actualidad se siguen realizando investigaciones en esta dirección ([4], [12], [37]). Por otra parte, Gr. C. Moisil introduce las álgebras de Boole cíclicas en [32], que han sido estudiadas también por A. Monteiro ([28], [29]), y A. V. Figallo ([15]). En esta tesis, investigamos la clase de las Tkm-álgebras, esto es, álgebras de Boole monádicas con un automorfismo monádico de período k, que generalizan a las álgebras de Boole monádicas simétricas ([1]) y están relacionadas de un modo especial, con la clase de las Df2-álgebras. Al trabajo lo hemos organizado en cuatro capítulos. El Capítulo 1 consta de cuatro secciones y casi todos los resultados indicados en ellas son conocidos. En la Sección 1, damos las definiciones básicas y hacemos un repaso de los resultados más importantes de álgebra universal. En las Secciones 2, 3 y 4, hacemos una breve exposición de definiciones y propiedades de las álgebras de Boole monádicas, Df2-álgebras, y Tk-álgebras, respectivamente. Todos estos temas los hemos incluido tanto para facilitar la lectura como para fijar los conceptos y propiedades que utilizaremos en los capítulos posteriores. En el Capítulo 2, comenzamos el estudio de las Tkm-álgebras. En la Sección 1, damos las definiciones básicas, determinamos las estructuras de Tkm-álgebras que se pueden definir sobre el álgebra de Boole con n átomos para n = 1, ..., 4. Destacamos tres subálgebras en una Tkm-álgebra B y mostramos algunas de sus propiedades, las que nos permiten luego caracterizar los miembros subdirectamente irreducibles y simples de esta variedad. En la Sección 2, determinamos la relación entre cuantificadores existenciales y subálgebras especiales del álgebra de Boole subyacente de una Tkm-álgebra, a partir de la cual obtenemos otra caracterización de estas álgebras. En la Sección 3, logramos una nueva descripción de las Tkm-álgebras finitas, por medio de ciertas particiones asociadas al conjunto de sus átomos. Luego, en la sección siguiente exploramos, en el caso finito, la relación entre la clase BTkm y la clase Df2 de las álgebras cilíndricas libres de elementos diagonales de dimensión dos. En las Secciones 5 y 6, estudiamos una clase especial de filtros, los Tkm-filtros, los cuales nos permiten caracterizar las Tkm-congruencias. Además, determinamos la relación entre esta clase de filtros y la de los Tk-filtros, los -filtros y los filtros que se pueden definir en una Tkm-álgebra B. A partir de estas relaciones caracterizamos, en el capítulo siguiente, las álgebras subdirectamente irreducibles y simples. Finalmente, en la Sección 7 realizamos un breve estudio de los Tkm-homomorfismos. La mayoría de los resultados obtenidos en este capítulo se publicaron en [16], mientras que otros se presentaron y discutieron previamente en la Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la Unión Matemática Argentina en 2007. En el Capítulo 3, con el propósito de obtener una mayor información sobre la variedad de las Tkm-álgebras, hacemos un estudio detallado de las congruencias e indicamos dos descripciones de las mismas, una por medio de los Tkm-filtros y la otra por una operación binaria definida sobre el álgebra. Esto nos permitió caracterizar las álgebras subdirectamente irreducibles y simples, y determinar algunas propiedades especiales de las Tkm-congruencias. Además, probamos que las Tkm-álgebras constituyen una variedad localmente finita, semisimple y residualmente finita. En las dos últimas secciones, aplicando los resultados de las secciones previas, obtenemos el término discriminador ternario para esta variedad y mostramos con ello que es discriminadora. Como consecuencia deducimos algunas propiedades de las Tkm-congruencias y, en particular, establecemos una descripción ecuacional de las congruencias principales. Cabe mencionar que algunos de los temas investigados en este capítulo se publicaron en [16]. El Capítulo 4 consta de cuatro secciones. En la primera, hemos incluido una breve exposición de la dualidad de P. Halmos para las álgebras de Boole monádicas. En la segunda sección, nos dedicamos a determinar una dualidad topológica para las Tkm-álgebras la que nos permitió, caracterizar al retículo de las congruencias. Finalmente, a partir de la dualidad topológica para la variedad BTkm, hemos establecido para una Tkm-álgebra B, una biyección entre las familias de las Tkm-subálgebras de B y de ciertas relaciones de equivalencia definidas en el conjunto de filtros primos de B. La mayor parte de los resultados obtenidos en las tres primeras secciones de este capítulo se presentaron previamente en el XIII Congreso Dr. Antonio Monteiro, Universidad Nacional del Sur. / In 1955, P. Halmos introduced monadic Boolean algebras as an algebraic counterpart of the one-variable fragment of the classical predicate logic ([23]). These algebras have been widely studied by various authors ([1], [24]) and there are still investigations in this direction ([4], [12], [37]). On the other hand, Gr. C. Moisil introduces cyclic Boolean algebras in [32], which have been studied by A. Monteiro ([28], [29]), and A. V. Figallo ([15]). In this thesis, we investigate the class of the Tkm-algebras, this is, monadic Boolean algebras endowed with a monadic automorphism of period k. These algebras constitute a generalization of monadic symmetric Boolean algebras ([1]) and, in a special way, they are related with the class of Df2-algebras. We have organized this volume in four chapters. Chapter 1 consists of four sections and almost all results reported in them are well-known. In Section 1, we give the basic definitions and we review the most important results of universal algebra. In Sections 2, 3 and 4, we do a brief exposition of definitions and properties of monadic Boolean algebras, Df2-algebras and Tk-algebras, respectively. We have included them either to facilitate the reading as to fix the concepts and properties that we will use in later chapters. In Chapter 2, we start the study of Tkm-algebras. In Section 1, we give basic definitions, we determine the structures of Tkm-algebras that can be defined on the Boole algebra with $n$ atoms for n=1,...,4. We distinguish three subalgebras in a Tkm-algebra B and we show some of its properties, which allow us later to characterize the subdirectly irreducible and simple members of this variety. In the second section, we determine the relationship between existential quantifiers and special subalgebras of the underlying Boolean algebra of a Tkm-algebra, from which we obtain another characterization of these algebras. In Section 3, we give a new description of finite Tkm-algebras by means of certain partitions of the set of their atoms. Then, in the next section, we explore, in the finite case, the relationship between the class BTkm and the class Df2 of diagonal-free two-dimensional cylindric algebras. In Sections 5 and 6, we study a special class of filters, the Tkm-filters, which allow us to characterize the Tkm-congruences. Also, we determine relationships between classes of Tkm-filters, Tk-filters, -filters and filters that can be defined in a Tkm-algebra B. From these relationships, we characterize, in the next chapter, sub-directly irreducible and simple algebras. Finally, in Section 7 we carry out a brief study of the Tkm-homomorphisms. Most of the results obtained in this chapter were published in [16], while others were previously presented and discussed in Annual Meeting of the Unión Matemática Argentina in 2007. In Chapter 3, in order to obtain further information on the variety of Tkm-algebras, we make a detailed study of the congruences and indicate two descriptions of them, one by means of the Tkm-filters and the other by a binary operation defined on the algebra. This allowed us to characterize subdirectly irreducible and simple algebras, and determine some special properties of the Tkm-congruences. Furthermore, we prove that Tkm-algebras constitute a semisimple, locally finite and residually finite variety. In Sections 6 and 7, by applying the results of the previous sections, we obtain the ternary discriminator term for this variety and we show with it that this variety is discriminator. As a consequence, we deduce some properties of the Tkm-congruences and, in particular, we establish an equational description of the principal congruences. It is worth mentioning that several of the topics investigated in this chapter were published in [16]. Chapter 4 consists of four sections. In the first one, we have included a brief exposition of P. Halmos' duality for monadic Boolean algebras. In the second section, we devote to determine a topology duality for the Tkm-álgebras which allowed us to characterize the lattice of congruences. Finally, bearing in mind the above duality for the variety BTkm, we have established for a Tkm-algebra B, a bijection between the families of the Tkm-subalgebras of B and of certain equivalence relations defined in the set of prime filters of B. Most of the results obtained in the first three sections of this chapter were previously presented at the XIII Congress Dr. Antonio Monteiro, Universidad Nacional del Sur.

O principal objetivo deste trabalho é estudar diversas aplicações de combinatória infinita em espaços de funções contínuas, definidas em espaços compactos Hausdorff. Usando combinatória infinita para uma álgebra de Boole, por meio da dualidade de Stone, obtemos um espaço compacto Hausdorff. Com certas propriedades na álgebra de Boole é possível analisar propriedades analíticas no espaço de funções contínuas definidas em tal espaço. Especificamente, analisamos a propriedade de Grothendieck. Também analisamos a relação entre o espaço de funções contínuas e o espaço compacto Hausdorff sobre o qual é definido. Apresentamos um resultado que permite obter diversos resultados conhecidos de uma maneira uniforme (só usando fatos de topologia e teoria de conjuntos), dotando o espaço de funções contínuas de uma ordem peculiar. Finalmente, estudamos um pouco de jogos topológicos mediante diversos exemplos. / The main purpose of this work is to study some infinite combinatorics applications in spaces of continuous functions, defined in Hausdorff compact spaces. Using infinite combinatorics in Boolean algebras, through Stone duality, we obtain a compact Hausdorff space. With certain properties in Boolean algebras it is possible to analyze analytic properties in the space of continuous functions defined in such space. Specifically, we analyze the Grothendieck property. We also analyze the relationship between the space of continuous functions and the compact Hausdorff space on which it is defined. We present a result that allows to obtain several known results in a uniform way (only using facts of topology and set theory), giving the space of continuous functions a peculiar order. Finally, we study some topological games through several examples.

O principal objetivo deste trabalho é estudar diversas aplicações de combinatória infinita em espaços de funções contínuas, definidas em espaços compactos Hausdorff. Usando combinatória infinita para uma álgebra de Boole, por meio da dualidade de Stone, obtemos um espaço compacto Hausdorff. Com certas propriedades na álgebra de Boole é possível analisar propriedades analíticas no espaço de funções contínuas definidas em tal espaço. Especificamente, analisamos a propriedade de Grothendieck. Também analisamos a relação entre o espaço de funções contínuas e o espaço compacto Hausdorff sobre o qual é definido. Apresentamos um resultado que permite obter diversos resultados conhecidos de uma maneira uniforme (só usando fatos de topologia e teoria de conjuntos), dotando o espaço de funções contínuas de uma ordem peculiar. Finalmente, estudamos um pouco de jogos topológicos mediante diversos exemplos. / The main purpose of this work is to study some infinite combinatorics applications in spaces of continuous functions, defined in Hausdorff compact spaces. Using infinite combinatorics in Boolean algebras, through Stone duality, we obtain a compact Hausdorff space. With certain properties in Boolean algebras it is possible to analyze analytic properties in the space of continuous functions defined in such space. Specifically, we analyze the Grothendieck property. We also analyze the relationship between the space of continuous functions and the compact Hausdorff space on which it is defined. We present a result that allows to obtain several known results in a uniform way (only using facts of topology and set theory), giving the space of continuous functions a peculiar order. Finally, we study some topological games through several examples.

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En Génie Automatique, le GRAFCET [IEC 848] est couramment employé pour la modélisation de la dynamique des systèmes à événements discrets, en raison de ses capacités de modélisation et de son ergonomie. Cependant, il lui est reproché de ne pas être défini de manière suffisamment formelle pour que tous les grafcets établis soient sans ambigüité et puissent être validés. L'objectif des travaux est double : contribuer à la formalisation du GRAFCET de manière à renforcer ses fondements théoriques et offrir à tout analyste les moyens nécessaires pour valider une modélisation exprimée en GRAFCET en vérifiant les propriétés des modèles et leur comportement par rapport à leurs entrées/sorties. Le GRAFCET étant une machine d'état complexe - essentiellement à cause des parallélismes importants qu'il permet de décrire - nous proposons à l'analyste d'utiliser le graphe des situations accessibles, ou grafcet d'état équivalent pour valider sa spécification. Nous avons conçu une technique de génération automatique du graphe des situations accessibles d'un grafcet global (qui est un automate fini «équivalent»), de manière à pouvoir établir un ensemble de preuves et propriétés sur la cohérence intrinsèque du grafcet et sur sa pertinence par rapport au cahier des charges. Une algèbre de Boole, dans laquelle la notion de fronts a été formalisée par deux opérateurs unaires a été construite. Les 14 propriétés qui ont été démontrées ont permis d'établir un module de calcul symbolique utilisé pour tenir compte de l'historique des évolutions des entrées. Nos travaux intègrent les extensions du modèles GRAFCET. Pour valider notre approche, une maquette informatique en C a été développée et permet de calculer l'automate équivalent au grafcet à valider. Nous utilisons pour vérifier certaines propriétés l'outil MEC développé pour l'étude des systèmes de transitions. Deux exemples de validation de grafcets par analyse de leur automate sont donnés dans le mémoire.

Reproduction de : Thèse de doctorat : Sciences : Mathématiques : Toulon : 2005. / Titre provenant du cadre-titre. Bibliographie p.213-218.

Στη διατριβή αυτή θα ασχοληθούμε με την Μπουλιανή ανάλυση σαν μια κατ'ευθείαν γενίκευση της μη συμβατικής ανάλυσης του Robinson, δηλ. της θεωρίας των Υπεργινομένων και τις εφαρμογές της στη θεωρία των Ασαφών συνόλων. / --

Made available in DSpace on 2015-05-14T12:11:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 891353 bytes, checksum: 2d056c7f53fdfb7c20586b64874e848d (MD5) Previous issue date: 2010-12-01 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The basic concepts of what later became called category theory were introduced in 1945 by Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. In 1940s, the main applications were originally in the fields of algebraic topology and algebraic abstract. During the 1950s and 1960s, this theory became an important conceptual framework in other many areas of mathematical research, especially in algrebraic homology and algebraic geometry, as shows the works of Daniel M. Kan (1958) and Alexander Grothendieck (1957). Late, questions mathematiclogics about the category theory appears, in particularly, with the publication of the Functorial Semantics of Algebraic Theories (1963) of Francis Willian Lawvere. After, other works are done in the category logic, such as the the current Makkai (1977), Borceux (1994), Goldblatt (2006), and others. As introduction of application of the category theory in logic, this work presents a study on the logic category propositional. The first section of this work, shows to the reader the important concepts to a better understanding of subject: (a) basic components of category theory: categorical constructions, definitions, axiomatic, applications, authors, etc.; (b) certain structures of abstract algebra: monoids, groups, Boolean algebras, etc.; (c) some concepts of mathematical logic: pre-order, partial orderind, equivalence relation, Lindenbaum algebra, etc. The second section, it talk about the properties, structures and relations of category propositional logic. In that section, we interpret the logical connectives of the negation, conjunction, disjunction and implication, as well the Boolean connectives of complement, intersection and union, in the categorical language. Finally, we define a categorical boolean propositional semantics through a Boolean category algebra. / Os conceitos básicos do que mais tarde seria chamado de teoria das categorias são introduzidos no artigo General Theory of Natural Equivalences (1945) de Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane. Já em meados da década de 1940, esta teoria é aplicada com sucesso ao campo da topologia. Ao longo das décadas de 1950 e 1960, a teoria das categorias ostenta importantes mudanças ao enfoque tradicional de diversas áreas da matemática, entre as quais, em especial, a álgebra geométrica e a álgebra homológica, como atestam os pioneiros trabalhos de Daniel M. Kan (1958) e Alexander Grothendieck (1957). Mais tarde, questões lógico-matemáticas emergem em meio a essa teoria, em particular, com a publica ção da Functorial Semantics of Algebraic Theories (1963) de Francis Willian Lawvere. Desde então, diversos outros trabalhos vêm sendo realizados em lógica categórica, como os mais recentes Makkai (1977), Borceux (1994), Goldblatt (2006), entre outros. Como inicialização à aplicação da teoria das categorias à lógica, a presente dissertação aduz um estudo introdutório à lógica proposicional categórica. Em linhas gerais, a primeira parte deste trabalho procura familiarizar o leitor com os conceitos básicos à pesquisa do tema: (a) elementos constitutivos da teoria das categorias : axiomática, construções, aplicações, autores, etc.; (b) algumas estruturas da álgebra abstrata: monóides, grupos, álgebra de Boole, etc.; (c) determinados conceitos da lógica matemática: pré-ordem; ordem parcial; equivalência, álgebra de Lindenbaum, etc. A segunda parte, trata da aproximação da teoria das categorias à lógica proposicional, isto é, investiga as propriedades, estruturas e relações próprias à lógica proposicional categórica. Nesta passagem, há uma reinterpreta ção dos conectivos lógicos da negação, conjunção, disjunção e implicação, bem como dos conectivos booleanos de complemento, interseção e união, em termos categóricos. Na seqüência, estas novas concepções permitem enunciar uma álgebra booleana categórica, por meio da qual, ao final, é construída uma semântica proposicional booleana categórica.