Η θεωρία σκέδασης καλύπτει ένα μεγάλο φάσμα επιστημονικών και τεχνολογικών εφαρμογών, όπως μη καταστρεπτικός έλεγχος, ραντάρ, σόναρ, γεωφυσική έρευνα, απομακρυσμένη καταγραφή, ιατρική απεικόνιση, υποθαλάσσια ακουστική, σεισμολογία, αναγνώριση βιολογικών προτύπων και ειδικές τεχνικές που εφαρμόζονται στη διαγνωστική ιατρική. Στις περισσότερες από τις παραπάνω περιπτώσεις η υπόθεση πως το υλικό είναι ισότροπο δεν αρκεί και προκειμένου τα αποτελέσματα να προσεγγίζουν ικανοποιητικά την πραγματικότητα, θα πρέπει να γίνει η παραδοχή πως ο χώρος είναι ανισότροπος, πως οι ιδιότητές του εξαρτώνται δηλαδή από την κατεύθυνση. Παρόλο που η ιδιότητα της ανισοτροπίας ήταν ήδη γνωστή από την εποχή του Green (μέσα 19ου αιώνα), λόγω της αυξημένης μαθηματικής πολυπλοκότητας που παρουσιάζει, μόνο τα τελευταία χρόνια εμφανίζεται σημαντικός αριθμός δημοσιεύσεων που ασχολούνται με την ανισότροπη σκέδαση, οι οποίες στην πλειοψηφία τους αναφέρονται μόνο σε ανισότροπο σκεδαστή. Η παρούσα διατριβή ερευνά το πρόβλημα ανισότροπης σκέδασης βαθμωτών πεδίων για τη γενική περίπτωση, όπου όχι μόνο ο σκεδαστής αλλά και ο χώρος σκέδασης είναι ανισότροποι χώροι και μάλιστα έχουν διαφορετικά χαρακτηριστικά. Όπως προκύπτει, τα χαρακτηριστικά του ανισότροπου μέσου μεταφέρονται πλήρως από έναν τροποποιημένο τελεστή κλίσης, ο οποίος εμφανίζεται σε κάθε περίπτωση ανισοτροπίας και μας επιτρέπει να βρούμε τη θεμελιώδη λύση της τροποποιημένης εξίσωσης Helmholtz. Δεδομένης της θεμελιώδους λύσης, τοποθετείται το βασικό πρόβλημα σκέδασης σε ανισότροπα μέσα όπως και οι συνθήκες διαπερατότητας καθώς και οι συνοριακές συνθήκες. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η μορφή και οι ιδιότητες των προσπίπτοντων πεδίων και παράγονται τα συναρτησιακά ενέργειας για αυτό το πρόβλημα σκέδασης. Αναπτύσσονται οι ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις για το σκεδαζόμενο, το ολικό και το εσωτερικό πεδίο, ενώ παράλληλα προκύπτει η τροποποιημένη συνθήκη ακτινοβολίας και με αυτό τον τρόπο ολοκληρώνεται η βασική θεωρία. Με ασυμπτωτική ανάλυση προκύπτει το ανισότροπο πλάτος σκέδασης και έπειτα ορίζονται οι ενεργειακές διατομές που αντιστοιχούν στην περίπτωση που εξετάζεται. Ακολούθως αποδεικνύονται τα θεωρήματα αμοιβαιότητας, το γενικευμένο και το οπτικό θεώρημα σκέδασης για τα ανισότροπα μέσα. Ως εφαρμογή παρουσιάζεται το πρόβλημα σκέδασης χαμηλών συχνοτήτων για έναν ανισότροπο διαπερατό σκεδαστή. Τέλος, όλο το πρόβλημα ανισότροπης σκέδασης ανάγεται στο αντίστοιχο του ισότροπου χώρου, προς επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων. / Scattering theory covers a large spectrum of scientific and technological applications such as non destructive control, radars, sonar, geophysical exploration, remote sensing, medical imaging, under-water acoustics, seismology, biological pattern recognition and special techniques in medical diagnostics. In most of the above cases the assumption that the material is isotropic is inadequate. Therefore, in order to conform to reality, we have to accept that the space is anisotropic, i.e. its properties depend on the direction. Although the anisotropic property was already known, since Green’s era, only a few publications have appeared, due to the mathematical complexity related with the anisotropic property. It was during the last years that more references considered the anisotropic scattering, while most of them regarded only anisotropic scatterers. The thesis examines the problem of scalar field anisotropic scattering for the general case, where not only the scatterer but also the propagation space are anisotropic and they do not have the same characteristics. It comes out that the characteristics of an anisotropic medium are being fully carried by a modified gradient operator which appears in any case of anisotropy and allows the calculation of the fundamental solution for the modified Helmholtz’ equation. Once the fundamental solution is known, the basic problem of anisotropic scattering is postulated as well as the transmission and the boundary conditions. Incident fields’ forms and characteristics are being presented and the energy functional for this scattering problem is being produced. The integral representations for the scattered, total and internal field are also developed, while at the same time arises the modified radiation condition. Asymptotic analysis produces the anisotropic scattering amplitude and afterwards follows the definition of the energy functionals that correspond to our case. The reciprocity theorems, the general scattering, as well as the optical theorem for anisotropic medium are also proved. As an example, the theory developed in this thesis is applied to the low frequency problem for an anisotropic scatterrer. Finally, the results are verified by reducing the whole problem of anisotropic scattering to its equivalent of isotropic space.

CHAPTER I. Basic Equations. Fundamental Matrices. Thermo-Radiation Conditions 1. Basic differential equations of thermoelasticity theory 2. Fundamental matrices 3. Thermo-radiating conditions. Somigliana type integral representations CHAPTER II. Formulation of Boundary Value and Interface Problems 4. Functional spaces 5. Formulation of basic and mixed BVPs 6. Formulation of crack type problems 7. Formulation of basic and mixed interface problems CHAPTER III. Uniqueness Theorems 8. Uniqueness theorems in pseudo-oscillation problems 9. Uniqueness theorems in steady state oscillation problems CHAPTER IV. Potentials and Boundary Integral Operators 10. Thermoelastic steady state oscillation potentials 11. Pseudo-oscillation potentials CHAPTER V. Regular Boundary Value and Interface Problems 12. Basic BVPs of pseudo-oscillations 13. Basic exterior BVPs of steady state oscillations 14. Basic interface problems of pseudo-oscillations 15. Basic interface problems of steady state oscillations CHAPTER VI. Mixed and Crack Type Problems 16. Basic mixed BVPs 17. Crack type problems 18. Mixed interface problems of steady state oscillations 19. Mixed interface problems of pseudo-oscillations

Orientador: Lucas Catão de Freitas Ferreira / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-27T04:26:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 CastanedaCenturion_NestorFelipe_D.pdf: 1063498 bytes, checksum: bbaaad01ffead1389f469e88505aada5 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Por apresentar basicamente fórmulas, o Resumo, na íntegra, poderá ser visualizado no texto completo da tese digital / Abstract: The complete Abstract is available with the full electronic document / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Philosophiae Doctor - PhD / Fitted operator finite difference methods (FOFDMs) for singularly perturbed problems have been explored for the last three decades. The construction of these numerical schemes is based on introducing a fitting factor along with the diffusion coefficient or by using principles of the non-standard finite difference methods. The FOFDMs based on the latter idea, are easy to construct and they are extendible to solve partial differential equations (PDEs) and their systems. Noting this flexible feature of the FOFDMs, this thesis deals with extension of these methods to solve interior layer problems, something that was still outstanding. The idea is then extended to solve singularly perturbed time-dependent PDEs whose solutions possess interior layers. The second aspect of this work is to improve accuracy of these approximation methods via methods like Richardson extrapolation. Having met these three objectives, we then extended our approach to solve singularly perturbed two-point boundary value problems with variable diffusion coefficients and analogous time-dependent PDEs. Careful analyses followed by extensive numerical simulations supporting theoretical findings are presented where necessary.

La présente thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes inverses pour l'équation de Helmholtz jauge-covariante, dont des cas particuliers comprennent l'équation de Schrödinger pour une particule élémentaire chargée dans un champ magnétique et l'équation d'onde harmonique en temps qui décrive des ondes acoustiques dans un fluide en écoulement. Ces problèmes ont comme motivation des applications dans des tomographies différentes, qui comprennent la tomographie acoustique, la tomographie qui utilise des particules élémentaires et la tomographie d'impédance électrique. En particulier, nous étudions des problèmes inverses motivés par des applications en tomographie acoustique de fluide en écoulement. Nous proposons des formules et équations qui permettent de réduire le problème de tomographie acoustique à un problème de diffusion inverse approprié. En suivant, nous développons un algorithme fonctionnel-analytique pour la résolution de ce problème de diffusion inverse. Cependant, en général, la solution de ce problème n'est unique qu'à une transformation de jauge appropriée près. À cet égard, nous établissons des formules qui permettent de se débarrasser de cette non-unicité de jauge et retrouver des paramètres du fluide, en mesurant des ondes acoustiques à des plusieurs fréquences. Nous présentons également des exemples des fluides qui ne sont pas distinguable dans le cadre de tomographie acoustique considérée. En suivant, nous considérons le problème de diffusion inverse sans information de phase. Ce problème est motivé par des applications en tomographie qui utilise des particules élémentaires, où seulement le module de l'amplitude de diffusion peut être mesuré facilement. Nous établissons des estimations dans l'espace de configuration pour les reconstructions sans phase de type Borne, qui sont requises pour le développement des méthodes de diffusion inverse précises. Finalement, nous considérons le problème de détermination d'une surface de Riemann dans le plan projectif à partir de son bord. Ce problème survient comme une partie du problème de Dirichlet-Neumann inverse pour l'équation de Laplace sur une surface inconnue, qui est motivé par des applications en tomographie d'impédance électrique. / This work is devoted to study of some inverse problems for the gauge-covariant Helmholtz equation, whose particular cases include the Schrödinger equation for a charged elementary particle in a magnetic field and the time-harmonic wave equation describing sound waves in a moving fluid. These problems are mainly motivated by applications in different tomographies, including acoustic tomography, tomography using elementary particles and electrical impedance tomography. In particular, we study inverse problems motivated by applications in acoustic tomography of moving fluid. We present formulas and equations which allow to reduce the acoustic tomography problem to an appropriate inverse scattering problem. Next, we develop a functional-analytic algorithm for solving this inverse scattering problem. However, in general, the solution to the latter problem is unique only up to an appropriate gauge transformation. In this connection, we give formulas and equations which allow to get rid of this gauge non-uniqueness and recover the fluid parameters, by measuring acoustic fields at several frequencies. We also present examples of fluids which are not distinguishable in this acoustic tomography setting. Next, we consider the inverse scattering problem without phase information. This problem is motivated by applications in tomography using elementary particles, where only the absolute value of the scattering amplitude can be measured relatively easily. We give estimates in the configuration space for the phaseless Born-type reconstructions, which are needed for the further development of precise inverse scattering algorithms. Finally, we consider the problem of determination of a Riemann surface in the complex projective plane from its boundary. This problem arises as a part of the inverse Dirichlet-to-Neumann problem for the Laplace equation on an unknown 2-dimensional surface, and is motivated by applications in electrical impedance tomography.

No description available.

No description available.

No description available.

No description available.

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Neste trabalho é apresentado um novo procedimento numérico para o upscaling de permeabilidade utilizando condições de contorno periódicas. Este procedimento combina decomposição de domínio com elementos finitos mistos na discretização do problema local de pressão-velocidade necessário para se encontrar as permeabilidades equivalentes. / A new numerical method is proposed for the permeabilities upscaling take into consideration periodic boundary conditions. This method combines domain decomposition with mixed finite elements in discretization of the local problem of pressure-velocity necessary to meet the equivalent permeabilities.