Orientador: Weber Flávio Pereira / Banca: Luci Any Francisco Roberto / Banca: Maurício Firmino Silva Lima / Resumo: Estudamos dois critérios sobre a não existência ou existência e unicidade de ciclos limites para campos vetoriais planares. Aplicamos esses critérios em algumas famílias de campos vetoriais quadráticos e cúbicos, além de estudarmos uma fórmula explícita para o número de ciclos limites que bifurcam do centro linear x'=-y, y'=x, quando o perturbamos com um campo vetorial polinomial arbitrário de grau n tendo a origem como um ponto singular. Usando o segundo critério, exibimos a configuração dos ciclos limites que bifurcam deste centro. Por fim, apresentamos uma segunda aplicação do segundo critério, onde mostramos que toda configuração finita de curvas fechadas simples do plano é topologicamente realizável como um conjunto de ciclos limites de um campo vetorial polinomial planar / Abstract: We study two criteria about the nonexistence or existence and uniquiness of limit cycles of planar vector fields. We apply these criteria to some families of quadratic and cubic polynomial vector fields. In addition to studying an explicit formula for the number of limit cycles wich bifurcate out of the linear centre x˙ = −y, y˙ = x, when we perturb it by an arbitrary polynomial vector field of degree n having the origin as a singular point, getting the perturbed system x˙ = −y + ε Pn i+j=1 aijx i y j, y˙ = x + ε Pn i+j=1 bijx i y j . By the second criterion, we present the shape of the bifurcated limit cycles of this center. Finally, we present a second application of the second criterion, where we show that every finite configuration of disjoint simple closed curves of the plane is topologically realizable as the set of limit cycles of a planar polynomial vector field / Mestre

Orientador: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Joan Torregrosa / Banca: Maurício Firmino Silva Lima / Banca: Marco Antonio Teixeira / Banca: Luci Any Francisco Roberto / Resumo: Nesta tese são estudados conjuntos minimais de campos de vetores suaves e descontínuos em dimensões 2 e 3. Primeiramente, restringimos o estudos de conjuntos minimais a ciclos limite e respondemos questões sobre existência, distribuição e quantidade de tais objetos em campos de vetores suaves e descontínuos em dimensão 3. Posteriormente, abordamos a existência de conjuntos minimais não triviais e caos em dimensão 2 para campos de vetores descontínuos. Apresentamos exemplos de conjuntos minimais não triviais e verificamos a presença de caos não determinístico em alguns destes conjuntos. Finalmente, apresentamos uma versão do Teorema de Poincaré-Bendixson para campos de vetores descontínuos que não apresentam regiões de deslize e escape / Abstract: In this thesis minimal sets of smooth and non-smooth vector fields in dimension 2 and 3 are studied. First the study of minimal sets is restricted to limit cycles. Questions about existence, distribution and quantity of such objects in smooth and non-smooth vector fields in dimension 3 are answered. Later, the existence of non-trivial minimal sets and chaos in dimension 2 is treated for non-smooth vector fields. Some examples of non-trivial minimal sets are presented and the presence of non-deterministic chaos on some of these sets is verified. Finally, a version of the Poincaré-Bendixson Theorem for non-smooth vector fields presenting neither escaping nor sliding motion is presented / Doutor

Orientador: Marcelo Messias / Banca: Messias Meneguette Júnior / Banca: Claudio Gomes Pessoas / Resumo: Neste trabalho fazemos o estudo de uma classe de sistemas diferenciais polinomiais quadráticos definidos em R3 que possui um cilindro como superfície algébrica invariante. Mais especificamente, fizemos o estudo da estabilidade e das bifurcações locais dos pontos singulares, utilizando para isto a estrutura do espaço de fase, ou seja, a restrição geométrica dada pela existência do cilindro invariante. Provamos que ocorre uma bifurcação de Hopf sobre o cilindro, que leva a criação de um ciclo limite estável, para determinados valores dos parâmetros. Mostramos também a existência de órbitas homoclínicas, heteroclínicas e centros, contidos nestes cilindros. O estudo apresentado visa contribuir para o entendimento do complicado comportamento dinâmico dos sistemas diferenciais (ou campos vetoriais) polinomiais definidos em R3 / In this work we study a class of quadratic polynomial differential systems defined in R3 which has a cylinder as invariant algebraic surface. More specifically, we study the stability and local bifurcations of singular points, using for this the structure of the phase space, that is, the geometric constraint provided by the existence of the invariant cylinder. We prove that there is a Hopf bifurcation on the cylinder, which leads to the creation of a stable limit cycle, for certain parameter values. We also show the existence of homoclinic orbits, heteroclinic orbits and centers, contained in these cylinders. These elements are key ingredients to understand the complicated dynamic behavior of small perturbations of these differential systems in R3 / Mestre

Orientador: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Pedro Toniol Cardin / Banca: Ricardo Miranda Martins / Resumo: Neste trabalho estudamos sistemas planares lineares por partes em duas zonas. Uma reta passando pela origem separa o plano em duas zonas. Em cada zona consideramos um sistema linear, não necessariamente com singularidade na origem. Essa classe de sistemas possui doze parâmetros. A referência principal para esse trabalho e o artigo [6] de E. Freire, E. Ponce e F. Torres. Utilizando uma mudança de variáveis adequada, o caso particular foco-foco e reduzido para apenas cinco parâmetros. O principal objetivo e caracterizar o número de ciclos limite em função dos cinco parâmetros do sistema. A principal técnica utilizada para o estudo e a aplicação de primeiro retorno de Poincaré. Para o caso em que o sistema não possui deslize na reta de separação a conclusão e que o sistema tem no máximo um ciclo limite. Para o caso com deslize, e considerando que os focos são virtuais, a conclusão e que o sistema tem no máximo dois ciclos limite / Abstract: In this work we study planar piecewise linear systems in two zones. A straight line through the origin separates the plane into two zones. In each zone we consider a linear system, not necessarily with singularity at the origin. This class system has twelve parameters. The main reference for this work is the paper [6] E. Freire, E. Ponce and F. Torres. Using an appropriate change of coordinates, the particular focus-focus case is reduced to just ve parameters. The main goal is to characterize the number of limit cycles in terms of the ve parameters of the system. The main technique used for the study is the Poincar e rst return map. For the case where the system has no sliding on the line of separatation the conclusion is that the system has at most one limit cycle. For the case with sliding motion, and considering that the foci are virtual, the conclusion is that the system has at most two limit cycles / Mestre

Orientador: Paulo Ricardo da Silva / Banca: Claudio Gomes Pessoa / Banca: João Carlos da Rocha Medrado / Banca: Ricardo Miranda Martins / Banca: Pedro Toniol Cardin / Resumo: Nesta tese trabalhamos com sistemas dinâmicos não-suaves expressos por equações diferenciais implícitas descontínuas de primeira ordem da forma x =1, (y)2 = g_1(x,y) se ф(x,y) é maior ou igual a 0, g_2(x,y) se ф(x,y) é menor ou igual a 0, onde g_1,g_2, ф:U R são funções suaves e U R é um conjunto aberto. O principal interesse é estudar a dinâmica deslizante de tais sistemas em torno de algumas singularidades típicas. A novidade da nossa abordagem é que alguns problemas de perturbação singular da forma x = f(x,y, e), (ey)2 = g(x,y, e) surgem quando aplicamos a regularização Sotomayor-Teixeira com (x, y) e U, e é maior ou igual a 0, e f e g são suaves em todas as variáveis. Para os sistemas diferenciais polinomiais cúbicos em R2 que possuem centros, estudamos o número máximo de ciclos limites que podem bifurcar de algumas famílias de sistemas diferenciais planares polinomiais de grau 3, com integrais primeiras racionais de grau 2, quando eles são perturbados dentro da classe de todos os sistemas polinomiais diferenciais cúbicos. Obtemos um polinômio explícito cuja as raízes simples reais positivas fornecem os ciclos limites que bifurcam a partir das órbitas periódicas de qualquer sistemas diferenciais polinomiais homogêneos-ponderados que tem um centro com (grau-ponderado, (expoente-ponderado)) (3,(1,1)), (2,(1,2)) e (3,(1,3)) quando é perturbado dentro de todas as classes de sistemas diferenciais polinomiais de grau n, 3 e 5 respectivamente / Abstract: The main concern is to study sliding modes of such systems around some typical singularities. The novelty of our approach is that some singular perturbation problems of the form x = f(x,y,e), d (y)2=g (x,y,e) arise when the Sotomayor-Teixeira regularization is applied with (x, y) in U, e g, and f, g smooth in all variables. For the cubic polynomial differential systems in R2 with centers we study the maximum number of limit cycles that bifurcate from some families of planar polynomial differential systems of degree 3 with rational first integrals of degree 2 when they are perturbed inside the classes of all cubic polynomial differential systems. We obtain an explicit polynomial whose simple positive real roots provide the limit cycles which bifurcate from the periodic orbits of any weight-homogeneous polynomial differential systems having centers with (weight--degree, (weight-exponent)) (3,(1,1)), (2,(1,2)) e (3,(1,3)) when it is perturbed inside the class of all polynomial differential systems of degree n, 3 and 5 respectively / Doutor

Nesta tese estudamos um dos principais problemas na teoria qualitativa das equações diferenciais planares: o problema de determinar a bacia de atração de um ponto de equilíbrio. Damos uma prova rigorosa de que para sistemas lineares por partes de costura com duas zonas no plano, definidas por matrizes Hurwitz o único ponto de equilíbrio na reta de separação é globalmente assintoticamente estável. Por outro lado, provamos que nesta classe de sistemas, podemos ter um ponto de equilíbrio instável na origem quando uma curva poligonal separa as zonas, levando a um resultado contra-intuitivo do comportamento dinâmico de sistemas lineares por partes no plano. Além disso, estudamos os ciclos limites em perturbações suaves por partes de centros Hamiltonianos. Neste cenário, é comum adaptar resultados clássicos de sistemas suaves, como funções de Melnikov, para sistemas não-suaves. No entanto, existe pouca justificativa para este procedimento na literatura. Ao utilizar o método de regularização damos uma prova que suporta o uso de funções de Melnikov diretamente do problema não-suave original. / In this thesis we study one of the main problems in the qualitative theory of planar differential equations: the problem of determining the basin of attraction of an equilibrium point. We give a rigorous proof that for planar sewing piecewise linear systems with two zones, defined by Hurwitz matrices the unique equilibrium point in the separation straight line is globally asymptotically stable. On the other hand, we prove that sewing piecewise linear systems with two zones in the plane, defined by Hurwitz matrices can have one unstable equilibrium point at the origin allowing a broken line to separate the zones, leading to counterintuitive dynamical behaviors of simple piecewise linear systems in the plane. Furthermore, we study limit cycles in piecewise smooth perturbations of Hamiltonians centers. In this setting it is common to adapt classical results for smooth systems, like Melnikov functions, to non-smooth ones. However, there is little justification for this procedure in the literature. By using the regularization method we give a proof that supports the use of Melnikov functions directly from the original non-smooth problem.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:09Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-10-29Bitstream added on 2014-06-13T19:06:51Z : No. of bitstreams: 1 proto_vg_me_rcla.pdf: 1615770 bytes, checksum: b8ab644ba57357ab0e094e28e7f34659 (MD5) / Not available

Orientador: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Marco Antonio Teixeira / Banca: Ronaldo Alves Garcia / Banca: Luis Fernando de Osório Mello / Banca: Claudio Gomes Pessoa / Resumo: Este trabalho está relacionado ao estudo de bifurcações e órbitas periódicas de sistemas diferenciais suaves por partes planares em duas e três zonas. Em sistemas com duas zonas, estamos interessados em encontrar uma fronteira de separação para um dado par de sistemas suaves de tal modo que o sistema descontínuo, formado pelo par de sistemas suaves, tem um contínuo de órbitas periódicas. Neste caso, denominamos a fronteira de separação como Fronteira de Centros. Para os sistemas com três zonas, consideramos sistemas lineares por partes contínuo, em que a zona central é degenerada e na qual o determinante da parte linear é nulo. Ao mover um parâmetro específico, detectamos algumas bifurcações até então desconhecidas, exibindo transição de salto nos pontos de equilíbrios e o aparecimento de ciclos limites. Em particular, introduzimos a bifurcação Bainha de Espada, caracterizada pelo nascimento de um ciclo limite de um contínuo de pontos de equilíbrios / Abstract: This work is related to the study of bifurcations and periodic orbits in planar piecewise smooth differential systems with two and three zones. In the systems with two zones, we are interested in finding a separation boundary for a given pair of smooth systems in such a way that the discontinuous system, formed by the pair of smooth systems, has a continuum of periodic orbits. In this case we call the separation boundary as a Center Boundary. For the systems with three zones, we consider continuous piecewise linear systems where the central one is degenerate, that is, the determinant of its linear part vanishes. By moving one special parameter, we detect some new bifurcations exhibiting jump transitions both in the equilibrium location and in the appearance of limit cycles. In particular, we introduce the Scabbard Bifurcation, characterized by the birth of a limit cycle from a continuum of equilibrium points / Doutor

Submitted by Marlene Santos (marlene.bc.ufg@gmail.com) on 2016-06-02T21:00:54Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Jeidy Johana Jimenez Ruiz - 2016.pdf: 946402 bytes, checksum: 0a36384eddfdcc5620d74725a24dd86a (MD5) license_rdf: 19874 bytes, checksum: 38cb62ef53e6f513db2fb7e337df6485 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2016-06-03T11:43:02Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Jeidy Johana Jimenez Ruiz - 2016.pdf: 946402 bytes, checksum: 0a36384eddfdcc5620d74725a24dd86a (MD5) license_rdf: 19874 bytes, checksum: 38cb62ef53e6f513db2fb7e337df6485 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-03T11:43:02Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Jeidy Johana Jimenez Ruiz - 2016.pdf: 946402 bytes, checksum: 0a36384eddfdcc5620d74725a24dd86a (MD5) license_rdf: 19874 bytes, checksum: 38cb62ef53e6f513db2fb7e337df6485 (MD5) Previous issue date: 2016-03-04 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / The study under existence and uniqueness of limit cycles of equations systems differential is a very active research topic in the qualitative theory of dynamical systems. In this theme we study this topic in discontinuous dynamic systems. Let’s make this in Liénard differentials equation systems, allowing a line of discontinuity. Furthermore, we present the known method of Averaging firstly in your classic version, that is, for class fields at least C2, we study also to generalized version, to piecewise- smooth dynamical systems. As a result, we use this tool to determine the number of limit cycles that can bifurcate of a planar center, inside the equation Liénard differentials equation class. / O estudo sobre existência e unicidade de ciclos limites de sistemas de equações diferenciais é um tópico de grande interesse na teoria qualitativa de sistemas dinâmicos. Nesta dissertação, estudamos este tópico em sistemas dinâmicos descontínuos. Vamos fazer esta análise em sistemas de equações diferenciais de Liénard, permitindo uma linha de descontinuidade. Além disso, vamos apresentar o conhecido método Averaging de primeira ordem, em primeiro lugar na sua versão clássica, isto é, para campos de classe pelo menos C2, depois apresentaremos também a versão generalizada, para sistemas diferenciais definidos por partes. Como resultado, fazemos uso desta ferramenta para determinar o número de ciclos limites que podem bifurcar de um centro planar, dentro da classe de equações diferenciais de Liénard.

Nesta tese estudamos um dos principais problemas na teoria qualitativa das equações diferenciais planares: o problema de determinar a bacia de atração de um ponto de equilíbrio. Damos uma prova rigorosa de que para sistemas lineares por partes de costura com duas zonas no plano, definidas por matrizes Hurwitz o único ponto de equilíbrio na reta de separação é globalmente assintoticamente estável. Por outro lado, provamos que nesta classe de sistemas, podemos ter um ponto de equilíbrio instável na origem quando uma curva poligonal separa as zonas, levando a um resultado contra-intuitivo do comportamento dinâmico de sistemas lineares por partes no plano. Além disso, estudamos os ciclos limites em perturbações suaves por partes de centros Hamiltonianos. Neste cenário, é comum adaptar resultados clássicos de sistemas suaves, como funções de Melnikov, para sistemas não-suaves. No entanto, existe pouca justificativa para este procedimento na literatura. Ao utilizar o método de regularização damos uma prova que suporta o uso de funções de Melnikov diretamente do problema não-suave original. / In this thesis we study one of the main problems in the qualitative theory of planar differential equations: the problem of determining the basin of attraction of an equilibrium point. We give a rigorous proof that for planar sewing piecewise linear systems with two zones, defined by Hurwitz matrices the unique equilibrium point in the separation straight line is globally asymptotically stable. On the other hand, we prove that sewing piecewise linear systems with two zones in the plane, defined by Hurwitz matrices can have one unstable equilibrium point at the origin allowing a broken line to separate the zones, leading to counterintuitive dynamical behaviors of simple piecewise linear systems in the plane. Furthermore, we study limit cycles in piecewise smooth perturbations of Hamiltonians centers. In this setting it is common to adapt classical results for smooth systems, like Melnikov functions, to non-smooth ones. However, there is little justification for this procedure in the literature. By using the regularization method we give a proof that supports the use of Melnikov functions directly from the original non-smooth problem.