Fractions are very hard to learn. As the joke goes, “Three out of two people have trouble with fractions”. Yet the invention of a notation for fractions is very ancient, dating back to Babylonians and Egyptians. Moreover, it is thought that ratio representation is innate. And obviously, fractions are part of our everyday life. We read them in recipes, we need them to estimate distances on maps or rebates in shops. In addition, fractions play a key role in science and mathematics, in probabilities, proportions and algebraic reasoning. Then why is it so hard for pupils to understand and use them? What is so special about fractions? As in other areas of numerical cognition, a fast-developing field in cognitive science, we tackled this paradox through a multi-pronged approach, investigating both adults and children. Based on some recent research questions and intense debates in the literature, a first behavioural study examined the mental representations of the magnitude of fractions in educated adults. Behavioural observations from adults can indeed provide a first clue to explain the paradox raised by fractions. Contrary perhaps to most educated adults’ intuition, finding the value of a given fraction is not an easy operation. Fractions are complex symbols, and there is an on-going debate in the literature about how their magnitude (i.e. value) is processed. In a first study, we asked adult volunteers to decide as quickly as possible whether two fractions represent the same magnitude or not. Equivalent fractions (e.g. 1/4 and 2/8) were identified as representing the same number only about half of the time. In another experiment, adults were also asked to decide which of two fractions was larger. This paradigm offered different results, suggesting that participants relied on both the global magnitude of the fraction and the magnitude of the components. Our results showed that fraction processing depends on experimental conditions. Adults appear to use the global magnitude only in restricted circumstances, mostly with easy and familiar fractions. In another study, we investigated the development of the mental representations of the magnitude of fractions. Previous studies in adults showed that fraction processing can be either based on the magnitude of the numerators and denominators or based on the global magnitude of fractions and the magnitude of their components. The type of processing depends on experimental conditions. In this experiment, 5th, 6th, 7th-graders, and adults were tested with two paradigms. First, they performed a same/different task. Second, they carried out a numerical comparison task in which they had to decide which of two fractions was larger. Results showed that 5th-graders do not rely on the representations of the global magnitude of fractions in the Numerical Comparison task, but those representations develop from grade 6 until grade 7. In the Same/Different task, participants only relied on componential strategies. From grade 6 on, pupils apply the same heuristics as adults in fraction magnitude comparison tasks. Moreover, we have shown that correlations between global distance effect and children’s general fraction achievement were significant. Fractions are well known to represent a stumbling block for primary school children. In a third study, we tried to identify the difficulties encountered by primary school pupils. We observed that most 4th and 5th-graders had only a very limited notion of the meaning of fractions, basically referring to pieces of cakes or pizzas. The fraction as a notation for numbers appeared particularly hard to grasp. Building upon these results, we designed an intervention programme. The intervention “From Pies to Numbers” aimed at improving children’s understanding of fractions as numbers. The intervention was based on various games in which children had to estimate, compare, and combine fractions represented either symbolically or as figures. 20 game sessions distributed over 3 months led to 15-20% improvement in tests assessing children's capacity to estimate and compare fractions; conversely, children in the control group who received traditional lessons improved more in procedural skills such as simplification of fractions and arithmetic operations with fractions. Thus, a short classroom intervention inducing children to play with fractions improved their conceptual understanding. The results are discussed in light of recent research on the mental representation of the magnitude of fractions and educational theories. The importance of multidisciplinary approaches in psychology and education was also discussed. In sum, by combining behavioural experiments in adults and children, and intervention studies, we hoped to have improved the understanding how the brain processes mathematical symbols, while helping teachers get a better grasp of pupils’ difficulties and develop classroom activities that suit the needs of learners.

Cette thèse démontre l'existence du mental humain comme réalité substantielle, qui déploie sa force créatrice tout le long de notre vie, et qui est aussi irréductible à notre cerveau que la masse m est irréductible au corps qui en manifeste la présence. Le phénomène ciblé est celui des mathématiques, vues sous la perspective de leur naissance/développement à l'intérieur de la vie d'un même homme : un homme apprend à lire, et à la suite de cet apprentissage l'évidence mathématique fait son apparition devant sa conscience. La formule utilisée pour exprimer l'unité de ce processus est "A→"A"→"A↔A" ", où les flèches expriment les différentes phases d'un seul et même vecteur : celui de notre force mentale. Le travail comprend trois parties : 1) Réincarner les mathématiques, dont le but est celui de rendre la mathématique au mathématicien incarné. 2) Réorienter le développement. Toute la théorie piagétienne/post-piagétienne sur le développement mental de l'être humain est ici exposée, discutée, réfutée et dépassée. 3) Redonner une voix à l'homme, où il est démontré que la voix humaine vient avant sa propre fréquence, ou que la fréquence de notre voix est le fruit de notre intention de nous exprimer, et pas l'inverse. Grâce à ce renversement, notre voix se révèle comme le fruit d'une attraction fréquentielle exercée par notre corps sur l'une de ses parties ; or ce même processus se répète dans le cas de l'apprentissage à lire/écrire. Une même force donc - la force de donner un sens à notre vie - engendre premièrement la formation de notre voix, ensuite celle de notre écriture, pour finalement faire éclater, au sein de cette même écriture, la lumière de l'évidence mathématique.

L'objectif principal de cette étude est d'évaluer si les connaissances en mathématiques sont un facteur de protection face aux comportements de jeu et aux perceptions erronées. Deux groupes de participants qui différent quant à leur niveau de connaissances en mathématiques sont comparés en mesurant leurs perceptions et leurs comportements avant, pendant et après une situation de jeu. Pour ce faire, 60 participants (30 hommes, 30 femmes) ont répondu à un questionnaire évaluant leurs perceptions des jeux de hasard et d'argent et ils ont participé à deux tâches expérimentales, soit la production d'une séquence de pile ou face et une séance de jeu à la loterie vidéo. Les résultats démontrent que le groupe de participants ayant de bonnes connaissances en mathématiques a manifesté significativement plus de perceptions erronées avant l'expérimentation, bien que les deux groupes ont émis autant de comportements et de perceptions erronées pendant et après les séances de jeu. Par conséquent, l'importance des connaissances en mathématiques pour prévenir le jeu excessif est remise en question. Les implications théoriques et pratiques de ces résultats seront discutées en regard de la prévention du jeu excessif.

Dans cette thèse est d'abord considéré comment l'énergie est enseignée et apprise à l'école, montrant les divergences entre définition scientifique et sociétale de l'énergie, et considérant les unités d'énergie et la confusion qu'elles engendrent. Des perspectives pour l'éducation et la gestion de l'énergie sont présentées. Ensuite, l'attention est portée sur les représentations de l'énergie proposées par les systèmes domestiques de gestion, et une classification originale basée sur des stratégiques didactiques est proposée. Les obstacles majeurs rencontrés par les designers révèlent comment les outils de gestion de l'énergie peuvent être adaptés à la cognition humaine. Enfin, les capacités humaines de traitement des grandeurs numériques sont examinées en profondeur du point de vue de la cognition incarnée. Un cadre est construit au travers duquel l'impact des représentations externes de l'énergie sur l'apprentissage et la comparaison peut être établi, compris, et prédit. Ceci mène à deux études empiriques. La première étude teste l'effet de la représentation externe (symbolique ou spatiale) sur le rappel et la comparaison de mémoire. Précision et temps de réponse sont les variables dépendantes dans la comparaison. Les résultats indiquent un traitement analogique dans les deux conditions. La représentation externe symbolique accroît la précision dans le rappel et la comparaison, et la représentation externe spatiale accroît la vitesse de comparaison. La seconde étude teste l'effet de la spatialité, de l'ancrage, et de la physicalité dans les représentations externes, également sur le rappel et les comparaisons de mémoire, utilisant les mêmes variables dépendantes. Les résultats indiquent un traitement analogique dans toutes les conditions. La spatialité décroît la précision dans le rappel mais accroît la vitesse de comparaison. Ancrage et physicalité n'ont pas d'effet. Les résultats corroborent l'hypothèse de la cognition ancrée sur les simulations mentales (Barsalou, 1999, 2008; Wilson, 2002) ainsi que la perspective de Dehaene (1997) sur la cognition numérique, dans laquelle le sens du nombre est basé sur un accumulateur analogique et non discret. Implications théoriques et applications pratiques sont discutées. / In this thesis is first considered how energy is taught and learned about in school, focusing on the discrepancies between a scientific definition of energy and a societal definition of energy, and discussing units of energy and the confusion they induce. Perspectives for education and energy management are provided. Then, focus is placed on the representations of energy provided in home energy management systems, seeking to propose an original classification based on educational strategies. The major obstacles met by designers reveal how energy management tools can be adapted to human cognition. Next, human numerical and magnitude processing abilities are discussed in depth, taking the viewpoint of grounded cognition and building a framework through which the impact of external representations of energy on learning and comparing can be established, understood, and predicted. This leads to two empirical studies. The first study tests the effect of external representation (symbolic or spatial) on recall and comparisons from memory. Accuracy and response time at comparisons are used as dependent variables. Results indicate analog processing of magnitude in both conditions, and show that external representation affects performance at both recall and comparison, with symbolic external representation increasing recall and comparison accuracy, and spatial external representation increasing comparison speed. The second study tests the effects of spatiality, groundedness, and physicality in external representations, also on recall and comparisons from memory, using the same dependent variables. Results indicate analog processing in all conditions. Spatiality decreases recall accuracy but increases comparison speed. Groundedness and physicality show no effect. Results are consistent with grounded cognition's mental simulations hypothesis (Barsalou, 1999, 2008; Wilson, 2002) as well as Dehaene's (1997) view on numerical cognition, in which number sense is based on a continuous accumulator that does not directly process discrete numbers. Theoretical implications and practical applications are discussed.

Le sens inné du nombre (comparaisons approximatives de quantités, etc.) ne peut distinguer de grandes quantités exactes et n’a pas de représentation numérique interne (pour lui, une quantité n’est pas un nombre d’objets).L’objectif principal est de montrer que de grandes quantités exactes peuvent être distinguées sans comptage et avec une représentation numérique interne, si elles sont organisées avec des groupement configurés. Les propriétés numériques de ces groupements peuvent être utilisées très tôt sans enseignement ou entraînement et avant l’apprentissage du système décimal. De cette façon, la découverte de ces propriétés (à l’école ou durant l’évolution culturelle humaine) pourrait être un chaînon (manquant) entre l’acquisition d’une représentation numérique interne et la découverte du système décimal.Une revue de littérature (Article 1) et deux études (Articles 2 et 3) sont conduites afin de corroborer cette nouvelle perspective. L’article 1 montre que quatre règles ont besoin d’être respectées lorsqu’on évalue si les participants ont une représentation numérique interne. L’article 2 (3 expériences) montre que des enfants de 8 ans peuvent comparer avec une représentation numérique interne, en 5 secondes, de grandes quantités exactes organisées avec des groupements configurés, sans comptage, enseignement explicite ou entraînement. L’article 3 (3 expériences) montre que des enfants de 5 ans peuvent réussir le même type de comparaison avant d’avoir appris le système décimal.Ces résultats suggèrent que certains apprentissages avancés peuvent être réussis spontanément par simple adaptation de l’environnement aux capacités cognitives des apprenants. / Humans have a primary number sense (e.g. approximate estimations) and a secondary arithmetical knowledge (e.g. the counting). They are genetically predisposed to acquire the first but not the second. The number sense cannot distinguish exact large quantities and does not have an internal numerical representation (for this sense, a quantity is not a number).The main goal is to show that exact large quantities can be easily distinguished without counting and with an internal numerical representation, if they are organized with configured groups. In addition, the numerical properties of configured groups could be used very early without instruction or training and before learning the decimal system. This way, the discovery of these properties (at school or during the human cultural evolution) could be a (missing) link between the acquisition of an internal numerical representation and the discovery of the decimal system.A literature review (Article 1) and two studies (Article 2 and 3) are conducted in order to corroborate this new perspective. The Article 1 shows that four rules need to be respected in order to evaluate if participants have an internal numerical representation. The Article 2 (3 experiments) show that 8-year olds can compare with an internal numerical representation, in five seconds, exact large quantities organized with configured groups, without counting, instruction or training. The Article 3 (3 experiments) shows that 5-year olds can succeed in the same type of comparison before learning the decimal system.These results suggest that some advanced learning can be spontaneously successful by adapting the environment to the cognitive abilities of learners.

Il existe diverses approches de la dyscalculie, l’approche dominante étant centrée sur le fonctionnement cognitif de l’individu. Cependant, la recherche en cognition numérique présente encore de nombreuses lacunes et incertitudes : aucune définition ne fait consensus, les critères diagnostiques sont flous, etc. Nous nous posons alors la question de la place et du rôle de la didactique des mathématiques dans ces recherches et de la manière de concilier les approches pour mieux comprendre et accompagner les élèves présentant ce trouble. Dans cette thèse, nous nous intéressons plus particulièrement aux points de vue didactique et cognitif de la construction du nombre à l’école élémentaire. Afin d’en identifier les points de convergence et de divergence, nous réalisons une double étude bibliographique (en didactique et en cognition). Nous développons ensuite une méthodologie articulant ces éléments théoriques et l’analyse de tests existants pour concevoir un dispositif de repérage des difficultés en mathématiques (validé expérimentalement). Ce dispositif, destiné tout d’abord à l’enseignant, vise l’établissement d’un profil de compétences de l’élève permettant la mise en place de remédiations. De plus, grâce à sa conception particulière (tenant compte des spécificités de la cognition numérique et de la didactique des mathématiques), il permet d’établir un inventaire commun des difficultés de l’enfant exploitable par chacun des professionnels en charge de l’élève (enseignant et professionnels paramédicaux et médicaux), facilitant ainsi leurs échanges. La thèse ouvre par ailleurs de nouvelles perspectives pour la définition d’une interface entre didactique et cognition. / There are different approaches used to study dyscalculia. The dominant approach is centred on the cognitive functioning and individual characteristics. However, research in numerical cognition still must be lightened: there is no consensus about the definition, diagnostic criteria are unclear, and so on. We seek to know the place of mathematics education in these researches and how to reconcile approaches to better understand and support children with this disorder. In this PhD thesis, we are particularly interested in the didactic and cognitive points of view of numbers construction in the elementary school. To identify the points of convergence and divergence, we conduct a double bibliographic study (in mathematics education and cognition). Then we develop a methodology based on these theoretical elements and on existing tests analysis in order to design a mathematical difficulties detection tool (experimentally validated). This device, designed initially for teachers, aims to establish a profile of student’s skills to guide him in the implementation of remediation. Moreover, thanks to its particular conception (taking into account the specificities of numerical cognition and mathematics education), it makes it possible to establish a common inventory of the child’s difficulties that can be used by each of the professionals in charge of the student (teacher and paramedical and medical professionals), facilitating their exchanges. The thesis also opens new perspectives for the definition of an interface between education and cognition.

Dans ma thèse, j’étudie les représentations mentales et les processus cognitifs qui sous-tendent le calcul mental sur le marché. Cette thèse contribue à la recherche de prix psychologique en décrivant de nouveaux facteurs qui influencent les jugements de prix des consommateurs. En particulier, je découvre facteurs qui rendent les consommateurs plus ou moins susceptibles d’arrondir les prix vers le bas (Essai 1) et les facteurs qui déterminent leur tendance à se fixer sur les différences de pourcentage (Essai 3). En outre, cette recherche fournit de nouvelles perspectives à la littérature de budgétisation mentale en identifiant des stratégies de calcul mental qui conduisent à des estimations panier de prix plus précis (Essay 2). Dans l'ensemble, ma recherche va contribuer à notre compréhension des jugements de prix des consommateurs et proposer des contextes et des stratégies conduisant à des évaluations de prix plus précis. / In my dissertation I look at mental representations and cognitive processes that underlie mental arithmetic in the marketplace. This research contributes to behavioral pricing literature by outlining novel factors that influence consumers’ price difference judgments. Particularly, I uncover factors that make consumers more or less likely to fall prey to the left-digit anchoring bias (Essay 1) and factors that determine their tendency to rely on relative thinking in price difference evaluations (Essay 3). Further, this research provides new insights to the mental budgeting literature by identifying mental computation strategies that lead to more accurate basket price estimates (Essay 2). Overall, I expect my research to contribute to our understanding of consumers’ price judgments and suggest contexts and strategies leading to more accurate price evaluations.

L’utilisation d’outils est un trait définitoire du genre Homo. Il est donc fondamental de mieux connaître les bases cognitives et cérébrales nous permettant d’utiliser des outils. Les modèles cognitivistes actuels expliquent l’utilisation d’outils à travers l’hypothèse de l’activation d’une mémoire gestuelle (i.e., engrammes gestuels ou visuo-kinétiques, ou connaissances sensorimotrices sur la manipulation ; voir Rothi, Ochipa, & Heilman, 1991 ; Buxbaum, 2001) ? Cette hypothèse ne permet toutefois pas de comprendre l’utilisation d’outils nouveaux. Une hypothèse alternative a été établie, suggérant que toute situation d’utilisation d’outils (familiers et nouveaux) requière un raisonnement technique (e.g., Osiurak & Badets, 2016). Ce type de raisonnement, qui impliquerait le lobe pariétal inférieur gauche, nous permettrait de formuler l’action mécanique et d’évaluer les propriétés physiques des outils et des objets. Dans le cadre de cette hypothèse, l’une des finalités de cette thèse était de mieux comprendre les troubles d’utilisation d’outils chez des patients cérébro-lésés. Le présent travail s’est également porté sur l’investigation de la cognition numérique. Par ce terme, nous ne faisons pas uniquement référence au calcul mental ou à l’arithmétique. Nous englobons également ce que Dehaene et Cohen (1995) ont nommé code analogique dans leur Modèle du Triple Code. Ce code stockerait les représentations des quantités numériques au sein des lobes pariétaux. Autrement dit, il contiendrait le sens du nombre (Dehaene, 1997) permettant d’associer une étiquette symbolique (e.g., chiffre arabe) à la quantité correspondante. Au quotidien, ce serait grâce à ces représentations que nous pourrions comparer ou estimer la numérosité des ensembles d’objets. L’objectif principal de cette thèse était de rapprocher, tant au niveau cognitif que cérébral, ces deux domaines d’intérêt que sont l’utilisation d’outils et la cognition numérique. En effet, nous avons remarqué que ces deux capacités nécessitaient toutes deux un processus commun d’estimation de la magnitude (i.e., magnitude des propriétés physiques et magnitude des quantités numériques). En outre, au niveau cérébral, elles nécessitent l’activation de régions communes dans le lobe pariétal. Pour penser ce lien, nous nous sommes appuyés sur la théorie de la magnitude (ATOM) formulée par Walsh (2003). Celui-ci postule que toutes les magnitudes, c’est-à-dire toutes les dimensions qui peuvent être décrites par des relations « plus que/moins que », soient traitées au sein d’un système commun et unique dans le lobe pariétal droit (Bueti & Walsh, 2009). Nous avons supposé que la magnitude des propriétés physiques pourrait être traitée dans ce système au même titre que les magnitudes discrètes (e.g., numérosité) et continues (e.g., temps, espace). Nos résultats ont mis en évidence un trouble de l’utilisation d’outils nouveaux chez les patients LBD, sans difficultés apparentes pour estimer les propriétés physiques. Les patients RBD étaient déficitaires dans toutes les conditions évaluant la cognition numérique, contredisant les prédictions issues du TCM. Ces patients étaient également en difficulté pour estimer la longueur mais pas le poids. Comme des associations entre estimation de la longueur et du poids, et entre estimation de la longueur et cognition numérique ont été observées dans les différents groupes, nous suggérons que le système de magnitude soit divisé en sous-systèmes. Fait étonnant, nous avons trouvé une association entre utilisation d’outils et calcul approximatif chez les patients LBD supposant une tentative de compensation de l’utilisation par le calcul. Finalement, il semble que l’utilisation d’outils et la cognition numérique reposent sur des mécanismes neurocognitifs distincts, puisque les différents types de magnitudes ne paraissent pas être traités au sein d’un système commun et unique. / Tool use is a defining feature of the genus Homo. It is therefore fundamental to better understand the cognitive and cerebral bases that allow us to use tools. The current cognitivist models explain tool use through the hypothesis of an activation of gestural memories (i.e., gestural or visuo-kinetic engrams, or sensorimotor knowledge of manipulation; see Rothi, Ochipa, & Heilman, 1991; Buxbaum, 2001). This theory is unable to explain the use of novel tools. An alternative hypothesis suggests that any situation of tool use (familiar and new) requires technical reasoning (e.g., Osiurak & Badets, 2016). This reasoning, involving the left inferior parietal lobe, would enable to formulate the mechanical action and to evaluate the physical properties of tools and objects. One of the aims of this thesis was to better understand the tool use disorders in brain-damaged patients, within the framework of the technical reasoning hypothesis. This work has also focused on the investigation of numerical cognition. By this term we refer to mental arithmetic and math, but also to analogical code (see the Triple Code Model, Dehaene & Cohen, 1995). It corresponds to the representation of numerical quantities, stored in the parietal lobes. In other words, this code would contain the sense of number (Dehaene, 1997) to associate a symbolic label (e.g., Arabic digits) with the corresponding quantity. In everyday life, this representation would be critical to compare or estimate the numerosity of object sets.The main objective of this thesis was to explore, at cognitive and cerebral levels, whether links exist between both fields of interest that are tool use and numerical cognition. Indeed, we noticed that both capacities need a common process of magnitude estimation (i.e., physical properties and numerical quantity). In addition, at the cerebral level, they require the activation of common regions in the parietal lobe. We relied on the Theory Of Magnitude (ATOM) formulated by Walsh (2003). It postulates that all magnitudes, namely the dimensions described by “more than/less than” relationships (e.g., Is this stick long enough to reach a given place?), are processed within a common and unique system, in the right parietal lobe (Bueti & Walsh, 2009). We assumed that the magnitude of physical properties could be processed in this system as well as the discrete (e.g., numbers) and continuous (e.g., time, space) magnitudes. Our results highlighted a disorder of novel tool-use in LBD patients, who nevertheless had no difficulty in estimating physical properties. The RBD patients were impaired in all conditions assessing the numerical cognition, refuting the predictions derived from TCM. They were also impaired in the estimation of the length but not of the weight. As associations between estimation of length and of weight, and between estimation of length and numerical cognition have been observed in the different groups, we suggest that the magnitude system be divided into subsystems. Surprisingly, we found an association between tool use and approximate calculation in LBD patients assuming an attempt to compensate tool use by calculation. Finally, it seems that tool use and numerical cognition rely on distinct neurocognitive mechanisms since the different types of magnitudes might not be processed within a common and unique system of magnitude

La présente thèse a pour objectif de clarifier la nature de la relation entre les habiletés numériques innées – le Sens du Nombre – et les compétences en arithmétique apprises à l’école. L’originalité de cette recherche consiste en l’attention particulière que je porterai au rôle que jouent les habiletés numériques innées dans les différentes manières de résoudre une addition complexe, telle que 48 + 25, c’est-à-dire les stratégies de résolution. Dans le présent travail, je m’attèlerai à déterminer si la possession de compétences numériques plus développées favorise l’utilisation de procédures de calcul qui tiennent compte des propriétés numériques des opérandes du calcul, et si, inversement, la possession d’habiletés numériques plus imprécises entrave leur application, au profit de stratégies de calcul plus basiques. <p><p>À cette fin, j’axerai la présente thèse en trois volets distincts. Dans un premier volet, je vérifierai que les habiletés numériques sont essentielles à l’implémentation de toutes les stratégies de calcul, malgré le fait qu’elles soient engagées à des degrés d’élaboration différents en fonction de la stratégie exécutée. Ensuite, dans un second volet, je confirmerai que les compétences numériques orientent les préférences stratégiques ;comme je le supposais, les calculateurs possédant les habiletés numériques les plus développées ont davantage recours à des stratégies basées sur la magnitude complète des nombres, alors que ceux qui ont des capacités plus limitées les évitent. Enfin, dans un dernier volet, je mettrai en évidence que l’application de telles stratégies qui impliquent de traiter les numérosités entières engendre au niveau cérébral une activité accrue au sein des régions intrapariétales, aires dédiées au traitement des magnitudes numériques, par rapport aux autres procédures de calcul.<p><p>Les résultats que je rapporte dans la présente thèse mettent ainsi en évidence que les habiletés numériques sont critiques dans la résolution d’additions complexes non seulement au niveau de l’exécution de la stratégie de calcul, mais aussi dans l’établissement à long terme de la préférence stratégique des individus. Outre ces observations, la présente recherche plaide plus généralement en faveur de la prise en considération des stratégies de résolution dans les tâches arithmétiques, car les compétences numériques peuvent y être associées à des degrés différents. Au-delà de la simple performance, s’intéresser plus qualitativement aux stratégies de résolution constitue selon moi une étape cruciale dans la compréhension de la nature du lien entre le Sens du Nombre inné et les compétences en arithmétique.<p><p>/<p><p>The current thesis aims at clarifying the nature of the relationship between innate numerical abilities – the Number Sense – and arithmetic skills acquired at school. I will particularly focus in this research on the role played by these innate numerical abilities in selecting and executing the different procedures that could be used to solve a complex addition such as 48 + 27. In the current thesis, I will attempt to determine whether more elaborated numerical competence favours the utilisation of solving strategies that take into account the numerical properties of the addends, and conversely, whether inaccurate numerical representations discourage from using these strategies, for the benefit of more basic solving strategies.<p><p>In the current thesis, I will more specifically cover three different aspects. First of all, I will demonstrate that numerical abilities are crucial in implementing every solving strategy, but that they are engaged to a different extent as a function of the executed strategy. Secondly, I will show that numerical competence determine strategic preference; as I hypothesized, adults who possess the best numerical abilities would use more frequently solving strategies that are based on the entire numerical magnitude of the addends, whereas adults with more limited abilities would rather avoid them and execute basic procedures. Finally, in the third section, I will emphasize that the use of such elaborated solving strategies do imply at the cerebral level a stronger activity within the intraparietal regions, which are dedicated to the numerical magnitude processing, in comparison to other basic solving strategies.<p><p>The data I report here thus highlight that numerical abilities are essential in solving complex additions, not only in the execution of the solving strategy, but also in the long-term establishment of the preferred strategy. Besides this observation, the current thesis claims more generally in favour of the consideration of solving strategies when assessing arithmetic tasks, because numerical abilities are involved to a distinct extent in these tasks. Over and above regular performance, investigating through a qualitative perspective the solving strategies constitutes, according to me, a fundamental step in understanding the nature of the relationship between the innate Number Sense and arithmetic skills.<p> / Doctorat en Sciences Psychologiques et de l'éducation / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Fractions are very hard to learn. As the joke goes, “Three out of two people have trouble with fractions”. Yet the invention of a notation for fractions is very ancient, dating back to Babylonians and Egyptians. Moreover, it is thought that ratio representation is innate. And obviously, fractions are part of our everyday life. We read them in recipes, we need them to estimate distances on maps or rebates in shops. In addition, fractions play a key role in science and mathematics, in probabilities, proportions and algebraic reasoning. Then why is it so hard for pupils to understand and use them? What is so special about fractions? As in other areas of numerical cognition, a fast-developing field in cognitive science, we tackled this paradox through a multi-pronged approach, investigating both adults and children.<p>Based on some recent research questions and intense debates in the literature, a first behavioural study examined the mental representations of the magnitude of fractions in educated adults. Behavioural observations from adults can indeed provide a first clue to explain the paradox raised by fractions. Contrary perhaps to most educated adults’ intuition, finding the value of a given fraction is not an easy operation. Fractions are complex symbols, and there is an on-going debate in the literature about how their magnitude (i.e. value) is processed. In a first study, we asked adult volunteers to decide as quickly as possible whether two fractions represent the same magnitude or not. Equivalent fractions (e.g. 1/4 and 2/8) were identified as representing the same number only about half of the time. In another experiment, adults were also asked to decide which of two fractions was larger. This paradigm offered different results, suggesting that participants relied on both the global magnitude of the fraction and the magnitude of the components. Our results showed that fraction processing depends on experimental conditions. Adults appear to use the global magnitude only in restricted circumstances, mostly with easy and familiar fractions. <p>In another study, we investigated the development of the mental representations of the magnitude of fractions. Previous studies in adults showed that fraction processing can be either based on the magnitude of the numerators and denominators or based on the global magnitude of fractions and the magnitude of their components. The type of processing depends on experimental conditions. In this experiment, 5th, 6th, 7th-graders, and adults were tested with two paradigms. First, they performed a same/different task. Second, they carried out a numerical comparison task in which they had to decide which of two fractions was larger. Results showed that 5th-graders do not rely on the representations of the global magnitude of fractions in the Numerical Comparison task, but those representations develop from grade 6 until grade 7. In the Same/Different task, participants only relied on componential strategies. From grade 6 on, pupils apply the same heuristics as adults in fraction magnitude comparison tasks. Moreover, we have shown that correlations between global distance effect and children’s general fraction achievement were significant.<p>Fractions are well known to represent a stumbling block for primary school children. In a third study, we tried to identify the difficulties encountered by primary school pupils. We observed that most 4th and 5th-graders had only a very limited notion of the meaning of fractions, basically referring to pieces of cakes or pizzas. The fraction as a notation for numbers appeared particularly hard to grasp. <p>Building upon these results, we designed an intervention programme. The intervention “From Pies to Numbers” aimed at improving children’s understanding of fractions as numbers. The intervention was based on various games in which children had to estimate, compare, and combine fractions represented either symbolically or as figures. 20 game sessions distributed over 3 months led to 15-20% improvement in tests assessing children's capacity to estimate and compare fractions; conversely, children in the control group who received traditional lessons improved more in procedural skills such as simplification of fractions and arithmetic operations with fractions. Thus, a short classroom intervention inducing children to play with fractions improved their conceptual understanding. <p>The results are discussed in light of recent research on the mental representation of the magnitude of fractions and educational theories. The importance of multidisciplinary approaches in psychology and education was also discussed. <p>In sum, by combining behavioural experiments in adults and children, and intervention studies, we hoped to have improved the understanding how the brain processes mathematical symbols, while helping teachers get a better grasp of pupils’ difficulties and develop classroom activities that suit the needs of learners.<p> / Doctorat en Sciences Psychologiques et de l'éducation / info:eu-repo/semantics/nonPublished