This study aims to explore GET learners’ mathematical (algebraic) reasoning when generalizing from number patterns. Data was collected in a former model C school in greater Johannesburg area by means of a questionnaire based task involving number patterns. The mathematical reasoning of the grade 9 participants when generalizing from number patterns was examined within a commognitive framework. According to this perspective, thinking is a special activity of communication in which a participant of a discourse engages. The participants’ responses to questions in the questionnaire based task were classified according to particular aspects of the discourse they used, specifically routines (strategies) and visual mediators. The participants’ generalization routines were further classified into one of the three main categories; numeric, figural and pragmatic generalizations. The analysis focused on how the learners’ derived rules for the nth term and their justifications for their responses. The results of this study strongly support the notion that students’ algebraic reasoning when generalizing in number patterns is intertwined with their choices of routines and mediators. Most learners used recursive routines while a few used explicit routines (classified and categorized as numeric routines) and number-mediators. Also, most participants found it easier to informally verbalize their generalizations. However participants’ spoken justifications of their written and spoken responses often did not match their use of routines and visual mediators. As such, an awareness and appreciation (by teachers) of students’ diverse use of routines and mediators when generalizing from number patterns could have direct pedagogical implications in the mathematics classrooms.

Mötet med matematikens utforskande sida har visat sig vara viktigt för elevernas matematiska och intellektuella utveckling. Utforskande matematik upplevs dock som svår av såväl lärare som elever, och i många klassrum dominerar istället en mer traditionell undervisning där renodlade minneskunskaper och upprepning av färdigformulerade procedurer betonas. Detta underliggande problem utgör grunden för detta arbete, i vilket jag ansluter mig till commognition-teorins diskursiva syn på lärande. Mer precist gäller mitt intresse de ögonblick då elever ger uttryck för deritualisering, med andra ord uppvisar tecken som tyder på en uppmärksamhets-förflyttning från ett rituellt (process-orienterat) till ett mer utforskande (målorienterat) förhållningssätt. Genom att, utifrån observationer, detaljstudera de mekanismer som samspelar, söker jag en förståelse av vad som är karaktäristiskt för dessa situationer. Jag finner att situationer med deritualiserande elevuttryck i synnerhet karaktäriseras av språklig och matematisk precision kring det givna uppdraget, betänketid, insisterandet på ett utforskande förhållningssätt, samt klassrumsdiskurser som präglas av uppmuntran, nyfikenhet och delaktighet. Detta resultat tyder sammanfattningsvis på att en lärares indirekta tillvägagångssätt är väl så betydelsefullt som de mer direkta uppmaningar som denne ger. Resultatet bör vara intressant för praktiserande lärare och lärarstudenter som strävar efter att i högre grad närma sig ett utforskande förhållningssätt i sin undervisning, samtidigt som det pekar på tänkbara områden för fördjupad forskning inom matematikämnets didaktik och matematiklärarutbildning. / Trace - att spåra matematiklärarutbildningen i praktiken

In contemporary educational settings algebra is considered to be of vital importance for student's continuation to more advanced studies in mathematics, thereby affecting their chances for future education and employment. However, a substantial number of students do not benefit from the algebra presently taught in schools and fail to use algebraic reasoning. The purpose of this study was to enhance the understanding of how classroom discourse supports the students' learning of algebra. The study rests on two basic assumptions, firstly mathematics is regarded a discourse, secondly teachers' instruction during lessons and the textbooks used in school are envisioned as potential means for supporting students' algebraic development. The issue of learning was examined through a focus on progression of algebraic discourse in mathematics textbooks, for grade levels 2, 5 and 8. Furthermore, in order to study classroom discourse more broadly, the algebraic discourse of teachers' lesson introduction talks in grade 8, were examined in relation to the algebraic discourse of textbooks. The foundation for the analyses was a discursive perspective and a communicational theory depicting algebraic development as a hierarchical structure of consecutive discursive levels. The mathematics textbooks' and teachers' discourses were analysed regarding the presence of signifiers of algebraic objects, more informally unknowns, and concerning four measures of discursive complexity. Mean value of the number of words constituting the signifier of algebraic object, signifier length equal to or exceeding two words, signifier length equal to or exceeding six words, and as amount of signifiers of algebraic objects of a higher discursive level. The results show that there were signifiers of algebraic objects present in all three mathematics textbooks and in teachers' lesson talks. The number of these signifiers of algebraic objects in the mathematics textbooks grew substantially between grade 2 and 5 with a moderate increase between grade 5 and 8. Also the mean value of the number of words constituting these signifiers of algebraic objects grew between grade 2 and 8, as well as the amount of signifiers of algebraic objects consisting of six or more words. Complexity measured as amount of signifiers of algebraic objects of a higher discursive level grew from grad 2, were there were no such signifiers of algebraic objects, to grade 8 were there were 17 % of the total amount. Thus, the analyses of the textbooks exhibit a progression of increasing complexity in terms of the measures focused in this study. In comparison, the complexity of teachers' discourse is lower than the discourse of any of the mathematics textbooks concerning mean value of signifier length. The amount of signifiers of algebraic objects of a signifier length equal to or exceeding two words were comparable with the amount in the grade 2 mathematics textbook. Concerning signifier length equal to or exceeding six words the amount in the teachers' lesson talks were in the same order of size as the corresponding measure in the mathematics textbook of grade 5. / I det samtida skolväsendet anses algebra ha stor betydelse för elevers möjligheter att fortsätta till mera avancerade matematikstudier. Dessvärre har många elever inte fördel av den algebra som undervisas i dagens skola och kan inte använda sig av ett algebraiskt resonemang. Syftet med den här studien är att öka förståelsen om hur klassrumsdiskurser stödjer elevers algebraiska lärande. Till grund för studien ligger två antaganden. Dels antas matematik vara en diskurs, dels betraktas lärarens genomgångar och matematikboken som används i skolan som medel för att potentiellt stödja elevernas algebraiska utveckling. Lärandeaspekten undersöktes genom att fokusera på den algebraiska diskursens progression i matematikböcker i årskurserna 2, 5 och 8. För att dessutom kunna studera klassrumsdiskurs i ett vidare perspektiv, undersöktes den algebraiska diskursen i lärares lektionsgenomgångar i årskurs 8 och relaterades till den algebraiska diskursen i matematikböckerna. Till grund för analyserna låg ett diskursivt perspektiv och en teori rörande kommunikation där algebraisk utveckling ses som en hierarkisk struktur uppbyggd av olika, på varandra följande diskursiva nivåer. Lärarnas och matematikböckernas diskurser analyserades med avseende på om där fanns uttryck för algebraiska objekt, mera vardagligt obekanta, och med avseende på de fyra måtten på diskursiv komplexitet: medelvärde av antalet ord som utgör uttrycken för de algebraiska objekten, uttryckslängd lika med eller mer än två ord, uttryckslängd lika med eller mer än sex ord och slutligen andelen utryck för algebraiska objekt som är av en högre diskursiv nivå.   Resultaten visar att det fanns uttryck för algebraiska objekt i alla tre matematikböckerna och i lärarnas lektionsgenomgångar. Antalet uttryck för algebraiska objekt i matematikböckerna ökar avsevärt mellan årkurs 2 och 5, med en måttlig ökning mellan årskurs 5 och 8. Därtill ökar medelvärdet för antalet ord som bygger upp dessa uttryck för algebraiska objekt mellan årskurs 2 och 8, tillika med andelen uttryck för algebraiska objekt som består av sex ord eller mer. Komplexitet mätt som andel uttryck för algebraiska objekt tillhörande en högre diskursive nivå, ökade från årskurs 2, där det inte fanns några sådana uttryck för algebraiska objekt, till årskurs 8 där andelen var 17 %. Således visar analyserna att textböckerna ger utryck för en progression så som den har mätts i denna studie. När det gäller medelvärde av uttryckens längd visar en jämförelse att uttrycken i lärarnas diskurs  har lägre medelvärde än någon av matematikböckerna. Komplexitet mätt som andelen uttryck för algebraiska objekt med en uttryckslängd på två ord eller mer är i lärarnas diskurs jämförbar med motsvarande andel i matematikboken i årskurs 2. Komplexitet mätt som uttryckslängd på sex ord eller mer visar att andelen i lärarnas diskurs är i samma storleksordning som motsvarande mått i årskurs 5.

Following international trends, statistics is a relatively new addition to the South African mathematics curriculum at school level and its implementation was fraught with problems. Since 2001 teaching statistics in the Further Education and Training Phase (Grades 10 to 12) has been optional due to lack of professional development of teachers. From 2014 teaching statistics will be compulsory. This study is therefore timely as it provides information about different discourses in discussions of an ill-structured problem in a data-rich context, as well as in discussions of the meaning of the statistical mean. A qualitative case study of informal statistical reasoning was conducted with a group of students that attended an introductory course in descriptive statistics as part of an honours degree in mathematics education at the University of the Witwatersrand. The researcher was the course lecturer. Transcripts of the discussions in four video recorded sessions at the start of the semester long course form the bulk of the data. The discussions in the first three sessions of the course were aimed at structuring the data-context, or grasping the system dynamics of the data-context, as is required at the start of a cycle of statistical investigation. The discussion in the fourth session was about the syntactical meaning of the mean algorithm. It provides guidelines for meaningful disobjectification of the well-known mean algorithm. This study provides insight into informal statistical reasoning that is currently described as idiosyncratic or verbal according to statistical reasoning models. Discourse analysis based on Sfard’s (2008) theory of Commognition was used to investigate and describe discursive patterns that constrain shifting from colloquial to informal statistical discourse. The main finding is that colloquial discourse that is aimed at decision making in a data-context is incommensurable with statistical discourse, since comparison of data in the two discourses are drawn on incommensurable scales – a qualitative evaluation scale and a quantitative descriptive scale. The problem of comparison on a qualitative scale also emerged in the discourse on the syntactical meaning of the mean algorithm, where average as a qualitative judgement conflicted with the mean as a quantitative measurement. Implications for teaching and teacher education are that the development of statistical discourse may be dependent on alienation from data-contexts and the abstraction of measurements as abstract numerical units. Word uses that confound measurements as properties of objects and measurements as abstract units are discussed. Attention to word use is vital in order to discern evaluation narratives as deed routines from exploration narratives and routines.

Denna fallstudie belyser gymnasieelevers arbete i små grupper med ett problem kopplat till derivata och syftar till att belysa faktorer som gynnar eller hindrar individernas deltagande i och utveckling av den matematiska kommunikationen i klassrummet. Studien har sin teoretiska förankring i Anna Sfards kommognitiva ramverk, där lärande i matematik ses som deltagande i en matematisk diskurs. Under mer än ett årtionde har larmrapporter om svenska elevers bristande kunskaper i matematik avlöst varandra. Forskningsrapporter pekar på olika faktorer bakom denna sjunkande kunskapsutveckling. Den rådande undervisningskulturen, där eleverna i hög grad arbetar individuellt med uppgifter ur läroboken, ses som en förklaring till de försämrade resultaten, och att undervisningen inte ger eleverna möjlighet att utveckla samtliga föreskrivna förmågor i ämnet. För att uppnå detta betonar både forskningsfältet och den nya läroplanen från 2011 vikten av att eleverna kommunicerar i matematik. I detta perspektiv finns ett behov av att belysa skillnader i elevernas deltagande i kommunikationen om matematik, inte minst i samband med lärande i smågrupper, och hur detta antas påverka elevernas förutsättningar till lärande. Studiens fokus är riktat mot deltagarnas olika bidrag till gruppens matematiska diskurs, det vill säga då eleverna kommunicerar om matematiska objekt eller processer, och hur dessa påverkar elevernas förutsättningar och deltagande i kommunikationen. Fokus är också riktat mot den kommunikation som handlar om deltagarna i gruppen, vad eleverna gör och hur de värderar varandras sätt att delta i den matematiska diskursen i klassrummet. Denna kommunikation, benämns i ramverket för subjektifiering och antas vara sammankopplad med individens lärande i matematik. Datainsamlingsmetoder som använts är intervjuer, audio- och videoinspelningar och användning av audiovisuella pennor för att sammanföra verbal och skriftlig kommunikation. Diskursen ses som den naturliga analysenheten. I analysens första steg studerades den matematiska diskursen avseende skillnader i innehållet i deltagarnas yttranden. I ett andra analyssteg fokuserades på interaktionsflödet i gruppen för att förstå mer av skillnader i varje elevs deltagande och bidrag till kommunikation. Studiens resultat visar på stora skillnader avseende deltagande och innehåll i elevernas kommunikation, både på grupp- och individnivå. Elevernas utveckling av den matematiska diskursen gynnas av användningen av flera olika mediatorer för att representera de matematiska objekten. När eleverna erbjuds kopplingar till en tidigare erövrad diskurs, leder det till diskursiva framflyttningar. Eleverna visar sig vidare ha stora svårigheter att tolka och använda det formella matematiska symbolspråket som stöd för matematiserandet. Elevernas tolkning av likhetstecknet, olikhetstecknet och symbolen f´(x) på en processnivå skapar hinder för att utveckla den matematiska diskursen i önskvärd riktning. Den diskurs som handlar om deltagarna och deras egenskaper (identifiering) utgör ca 10 % av samtliga yttranden och är i stort sett samtliga negativa omdömen, ofta använda i syfte att utesluta eller införliva sig själva eller andra från deltagande i matematiserandet. Forskningsstudien visar på ett behov av ytterligare kunskap om hur matematiklärare på bästa sätt kan organisera arbete i smågrupper för att öka elevernas engagemang och kvaliteten på elevernas matematiserande. Studien pekar vidare på vikten av att matematiklärare belyser och varierar användningen av olika mediatorer för att representera de matematiska objekt som är föremål för lärandet. Fallstudien belyser även vikten av att bygga upp det tillåtande arbetsklimat där eleverna inte bedömer sig själva och andra, utan istället vågar ställa de frågor som innebär att de blir alltmer delaktiga i den matematiska diskursen. Ett behov framträder av ytterligare forskning riktad mot inte bara mot den bedömning som sker mellan lärare och elev, utan också mot den bedömning som pågår i klassrummet mellan eleverna, vilket kan påverka vilka roller de väljer eller tilldelas i klassrummet. Detta kan antas vara av stor vikt för hur eleverna kommunicerar om matematik med andra deltagare i klassrummet, vilket också kan antas påverka lärandet. / This case study takes its focus on upper secondary school students’ work in small groups with a problem related to the derivative. The analysis aims to identify factors that promote or hinder an individual’s participation in and development of the mathematical communication in the classroom. The theoretical basis of the study is Anna Sfard’s commognitive framework, where learning mathematics is seen as participating in a mathematical discourse. For more than a decade, reports about Swedish students’ decreasing levels of school mathematical knowledge have been put forward. Research points to various factors behind this development. The prevailing educational culture, where students largely work individually from the textbook, is seen as one explanation for the deterioration in the results, and that teaching does not give students the opportunity to develop all the required competencies in the curriculum. To achieve this, both research and the new Swedish curriculum from 2011 emphasize the importance of student communication in mathematics. In this perspective, there is a need to highlight the differences in student participation in the communication of mathematics in the classroom, particularly in the context of small group learning, and how this is assumed to influence students’ opportunities for learning. The focus of the research is directed towards the participants’ contributions to the group’s mathematical discourse, i.e. when they communicate about mathematical objects or processes, and how these affect students’ opportunities and participation in the communication. Focus is also directed to the communication that involves participants in the group, what the students are doing and how they evaluate each other’s way to participate in the mathematical discourse in the classroom. This type of communication is in the framework referred to as subjectifying, and is assumed to affect the individual’s mathematical learning. Data collection methods used are interviews, audio and video recordings, as well as “smart pens” to combine verbal and written communication. In the first step of the analysis, the mathematical discourse was studied regarding differences in the content of the participants’ utterances. The second step of analysis focused on the interaction flow of the group to understand more of the differences in each student’s participation and contribution to the communication. The results point to big differences regarding participation and content in student communication, both at group level and individual level. The development of students’ mathematical discourse benefits from the use of multiple mediators to represent the mathematical objects. When connections to a previously acquired discourse are offered, this leads to discursive advancements. Students were observed to have difficulties to interpret and use the formal mathematical symbolic language that would support their mathematizing. Students’ interpretation of the equality sign, the sign for inequality, and the symbol f´(x) on a process level, create obstacles to developing the mathematical discourse in the desired direction. The discourse about the participants and their own traits  (identification) constitutes about 10% of all utterances and are almost all negative reviews, frequently used in order to exclude or incorporate themselves or others from participating in the mathematizing activity. This research study points to a need for more knowledge about how mathematics teachers can best organize work in small groups to increase student engagement and the quality of their mathematizing. The study also indicates the importance of mathematics teachers highlighting and varying the use of different mediators to represent the mathematical objects to learn. The case study also highlights the importance of building up a permissive environment in which students do not evaluate themselves and others, but instead dare to ask questions that will make them increasingly involved in the mathematical discourse. A need emerges for further research not only on the assessment between teacher and student, but also on the assessment that goes on in the classroom between the students, which can affect what roles they take or are assigned to in the classroom. This can be assumed to be of great importance to the way students communicate about mathematics with other students in the classroom, which is also likely to influence learning.