Indiana University-Purdue University Indianapolis (IUPUI) / The main part of this thesis, Chapter 4, contains results on the commutant of a semigroup of operators defined on the Hardy Space of the disk where the operators have hyperbolic non-automorphic symbols. In particular, we show in Chapter 5 that the commutant of the semigroup of operators is in one-to-one correspondence with a Banach algebra of bounded analytic functions on an open half-plane. This algebra of functions is a subalgebra of the standard Newton space. Chapter 4 extends previous work done on maps with interior fixed point to the case of the symbol of the composition operator having a boundary fixed point.

Indiana University-Purdue University Indianapolis (IUPUI) / Let f:X\rightarrow X be a dominant meromorphic self-map, where X is a compact, connected complex manifold of dimension n > 1. Suppose there is an embedded copy of \mathbb P^1 that is invariant under f, with f holomorphic and transversally superattracting with degree a in some neighborhood. Suppose also that f restricted to this line is given by z\rightarrow z^b, with resulting invariant circle S. We prove that if a ≥ b, then the local stable manifold W^s_loc(S) is real analytic. In fact, we state and prove a suitable localized version that can be useful in wider contexts. We then show that the condition a ≥ b cannot be relaxed without adding additional hypotheses by resenting two examples with a < b for which W^s_loc(S) is not real analytic in the neighborhood of any point.

Indiana University-Purdue University Indianapolis (IUPUI) / Invariant subspaces are a natural topic in linear algebra and operator theory. In some rare cases, the restrictions of operators to different invariant subspaces are unitarily equivalent, such as certain restrictions of the unilateral shift on the Hardy space of the disk. A composition operator with symbol fixing 0 has a nested sequence of invariant subspaces, and if the symbol is linear fractional and extremally noncompact, the restrictions to these subspaces all have the same norm and spectrum. Despite this evidence, we will use semigroup techniques to show many cases where the restrictions are still not unitarily equivalent.

Indiana University-Purdue University Indianapolis (IUPUI) / I study d-bar and Dirac operators on classical and quantum domains subject to the APS boundary conditions, APS like boundary conditions, and other types of global boundary conditions. Moreover, the inverse or inverse modulo compact operators to these operators are computed. These inverses/parametrices are also shown to be bounded and are also shown to be compact, if possible. Also the index of some of the d-bar operators are computed when it doesn't have trivial index. Finally a certain type of limit statement can be said between the classical and quantum d-bar operators on specialized complex domains.

Several technologies involve the coating of a bulk material with a thin layer made up of another material, so as to achieve enhanced mechanical properties for the composite system. The use of coated solids embraces a broad field of applications, so that a strong research effort has been devoted to these systems. From a mechanical point of view, a coating layer diffuses the load on an attached solid in a non-local way, thus introducing a characteristic length, and profoundly affects the mechanical response and failure mechanisms of the coated object. Therefore, the development of mechanical models to describe the behaviour of coated materials plays an important role in engineering design. In the framework of linear elasticity, the case of an elastic thin layer, perfectly bonded to an elastic disk, is analyzed in the present thesis by providing a mathematical tool with which to determine the mechanical response of the coating/bulk complex, which may find application in micro and nano technologies, for instance in the characterization of nanowires via nanoindentation. The coating is modelled by means of an Euler-Bernoulli curved rod, assumed to be perfectly bonded on the boundary of a circular elastic disk. The elastic rod acts as a coating for the disk and its axial inextensibility imposes an isoperimetric constraint on the internal disk, which is constrained to maintain its perimeter constant during the deformation process. The mechanical model for the coating/disk system is formulated for general loading, using the complex potential formalism. The elastic rod becomes equivalent to a Benveniste-Miloh interface characterized by the bending stiffness of the rod; in this way the problem can be solved entirely on the disk through the complex potential formalism and Kolosov- Muskhelishvili potentials. The kinematics and statics of the rod, together with its axial inextensibility, lead to the formulation of a 5th-order differential equation governing the mechanical state at every point on the boundary of the disk. The solution of this equation is obtained by means of a complex Fourier series expansion for the unknown fields on the boundary of the disk, when a particular distribution of the external load is prescribed. The complex variables method shows that the unknown complex coefficients involved in the series expansion depend only on the external load. Hence, all the elastic fields become known on the coating and on the boundary and within the disk. The analytical results are complemented with experiments related to a load distribution which models two equal and opposite concentrated forces. In this regard, two coated disks were designed and then manufactured (with a CNC engraving machine) from a single block of polymethyl methacrylate so that the bonding between the coating and disk was perfect and residual stresses were absent. The samples were tested in a circular polariscope and the results strongly supported the coated disk model, so the photoelastic fringes were very well captured by the elastic solution. Different situations were investigated in order to study the non-local stress diffusion of the coating. The limit case of an isoperimetric disk was also investigated by imposing a vanishing bending stiffness for the coating. This limit situation corresponded to a disk equipped with a device able to preserve the perimeter of the disk during the deformation. Exploiting the framework developed, the bifurcation problem of the coated disk was analyzed, assuming that the coating was subject to a radial pressure of three different types. A closed-form analytical solution was obtained for the bifurcation pressure and modes, showing that the presence of the disk profoundly changed the bifurcation landscape of the coating, forming a circular elastic rod. In fact, the circular rod admits only oval modes, while the coating/disk system displays high-frequency circumferential undulations. The experimental, analytical, and numerical results presented open new possibilities for the design of coated solids of cylindrical geometry, which may find applications in micro and nano technologies, for instance in the characterization of nanowires via nanoindentation.

<p dir="ltr">This thesis presents applications of one-point quadrature domains to encryption and decryption as well as a method for estimating average temperature. In addition, it investigates methods for finding explicit formulas for certain functions and introduces results regarding quadrature domains for harmonic functions and for double quadrature domains. We use properties of quadrature domains to encrypt and decrypt locations in two dimensions. Results by Bell, Gustafsson, and Sylvan are used to encrypt a planar location as a point in a quadrature domain. A decryption method using properties of quadrature domains is then presented to uncover the location. We further demonstrate how to use data from the decryption algorithm to find an explicit formula for the Schwarz function for a one-point area quadrature domain. Given a double quadrature domain, we show that the fixed points within the area and arc length quadrature identities must be the same, but that the orders at each point may differ between these identities. In the realm of harmonic functions, we demonstrate how to uncover a one-point quadrature identity for harmonic functions from the quadrature identity for a simply-connected one-point quadrature domain for holomorphic functions. We use this result to state theorems for the density of one-point quadrature domains for harmonic functions in the realm of smooth domains with $C^{\infty}$-smooth boundary. These density theorems then lead us to discuss applications of quadrature domains for harmonic functions to estimating average temperature. We end by illustrating examples of the encryption process and discussing the building blocks for future work.</p>

Dans un contexte d’amélioration des dispositifs pour la réduction de bruit, l’étude sur le transfert d’énergie irréversible en utilisant des résonateurs purement acoustiques à comportement non linéaire a été réalisée. Les résonateurs acoustiques classiques en régime linéaire agissent comme un Amortisseur de Masse Accordée (TMD, en anglais) et ils sont efficaces pour une gamme de fréquence très étroite. Cependant, lorsqu’ils sont soumis à des excitations très fortes (régime non-linéaire) ils peuvent devenir efficaces pour une plus large gamme de fréquences si des termes non linéaires peuvent être activés. Dans un premier temps, une étude sur ce comportement non-linéaire d’un résonateur d’Helmholtz modifié a été réalisée expérimentalement. Ensuite, l’équation dynamique gouvernante de tels résonateurs ont été développées en prenant en compte les non-linéarités de la force de rappel et d’amortissement. Une approximation de la solution analytique de l’équation gouvernante du résonateur acoustique a été déterminée en utilisant les méthodes des échelles multiples du temps et de transformation du temps non régulière. Dans un deuxième temps, une étude du couplage entre un mode acoustique en basses fréquences et un résonateur (celui étudié précédemment) à comportement non-linéaire a été réalisée. Pour ce faire, des mesures expérimentales avec un montage du système couplé ont permis de vérifier l’atténuation acoustique produite par le résonateur en régime forcé et libre. Une modélisation analytique du couplage a permis d’identifier l’expression de la variété invariante lente, ce qui a permis d’étudier les possibles points d’équilibre et points singuliers du système. Les modèles analytiques développés ont également été vérifiés par des simulations numériques. / Nowadays, there is a need of new types of technologies for sound reduction because of the growing of different industries. In this context, we have studied the targeted energy transfer using a purely acoustic resonator. These acoustic resonators act, in the linear regime, as a Tuned Masse Damper (TMD) and they are efficient for a narrow frequency band. But, when they are excited with high forces, in the nonlinear regime, they are efficient for a wider frequency band if the nonlinear terms are activated. First, an experimental study about the nonlinear behavior of a modified Helmholtz Resonator was done. Then, the governing equation of such resonators were developed considering the nonlinearities in the restitution force and damping. An approximation of the analytical solution of the governing equation of the acoustical resonator is derived using the multiples scales of time method and the non-smooth time transformation method. In a second part, a study about the coupling between an acoustic mode in low frequencies and a resonator (the one studied in the previous part) with a nonlinear behavior is done. In order to do this, experimental measurements of the coupled system to confirm acoustic attenuation by the resonator in forced and free regime were done. Then, an analytical modelling of the coupled system allowed to derive the expression of the Slow Invariant Manifold (SIM), in order to identify the possible equilibrium points and singular points of the system. Derived analytical models were verified by numerical simulations.

L'objet principal de cette thèse est de généraliser un certain nombre de résultats bien connus de la géométrie algébrique au cas kählerien non nécessairement projectif. On généralise d'abord le théorème d'annulation de Nadel au cas kählerien arbitraire. On obtient aussi un cas particulier du théorème d'annulation de Kawamata-Viehweg pour les variétés qui admettent une fibration vers un tore dont la fibre générique est projective. En utilisant ce résultat, on étudie le problème de déformation pour les variétés kählériennes compactes sous une hypothèse portant sur leurs fibrés canoniques. On étudie enfin les variétés à fibré anticonique nef. On montre que si le fibré anticanonique est nef, alors le fibré tangent est à pentes semi-positif relative à la filtration de Harder-Narasimhan pour la polarization $\omega_X ^{n-1}$. Comme application, on donne une preuve simple de la surjectivité de l'application d'Albanese, et on étudie aussi la trivialité locale de l'application d'Albanese.

On étudie les déformations des applications harmoniques $f$ tordues par rapport à une représentation. Après avoir construit une application harmonique tordue "universelle", on donne une construction de toute déformations du premier ordre de $f$ en termes de la théorie de Hodge ; on applique ce résultat à l'espace de modules des représentations réductives d'un groupe de Kähler, pour démontrer que les points critiques de la fonctionnelle de l'énergie $E$ coïncident avec les représentations de monodromie des variations complexes de structures de Hodge. Ensuite, on procède aux déformations du second ordre, où des obstructions surviennent ; on enquête sur l'existence de ces déformations et on donne une méthode pour les construire. En appliquant ce résultat à la fonctionnelle de l'énergie comme ci-dessus, on démontre (pour n'importe quel groupe de présentation finie) que la fonctionnelle de l'énergie est strictement pluri sous-harmonique sur l'espace des modules des représentations. En assumant de plus que le groupe soit de Kähler, on étudie les valeurs propres de la matrice hessienne de $E$ aux points critiques.

L'équation de Weinstein á coefficients complexes est une équation régissant les Potentiels á Symétrie Axiale (PSA) qui s'écrit $L_m[u]=\Delta u+\left(m/x\right)\d_x u =0$, oú $m\in\C$. Cette équation intervient notamment pour la modélisation du bord du plasma dans un Tokamak pour $m=-1$, ou encore elle est, lorsque $m=1$, appelée équation de Ernst linéarisée (équation permettant de donner explicitement des solutions aux équations d'Einstein). Ici, on généralise des résultats connus pour $m\in \R$ au cas $m\in\C$ (on donne des expressions explicites de solutions fondamentales aux opérateurs de Weinstein et leurs estimations au voisinage des singularités, puis on démontre une formule de Green pour les PSA dans le demi-plan droit $\H^+$ pour Re $m< 1$). On prouve un nouveau théoréme de décomposition des PSA dans des domaines annulaires quelconques pour $m\in\C$ et dans une géométrie annulaire particuliére faisant intervenir les coordonnées bipolaires, on prouve toujours pour $m\in\C$ qu'une famille de solutions des PSA en termes de fonctions de Legendre Associées de premiére et seconde espéce forme une famille compléte (par une méthode de quasi-séparabilité des variables et par une analyse de Fourier) permettant d'exprimer les PSA sous forme de série et lorsque $m\in \R$, on montre que cette famille est même une base de Riesz dans certains anneaux á bord circulaire non concentrique. Dans une deuxiéme partie, par une méthode qui est due á A. S. Fokas, on donne, sous forme intégrale explicite, des formules des PSA dans un domaine circulaire du demi-plan droit $\H^+$, dans le cas oú le paramétre $m$ est un entier relatif. Ces représentations sont obtenues par la résolution d'un probléme de Riemann-Hilbert sur le plan complexe ou sur une surface de Riemann á deux feuillets selon la parité du coefficient $m$. Ces formules font intervenir de façon explicites les données Dirichlet et Neumann des PSA. On montre aussi que cette méthode s'applique á tous les domaines simlement connexe de $\H^+$ á bord régulier. Dans la derniére partie, on étudie une classe de fonctions qui englobe les PSA, ce sont les fonctions pseudo-holomorphes, {\it i. e.} les solutions de l'équation $\bar\d w=\alpha\overline{w}$. avec $\alpha\in L^r$, $2\leq r<\infty$. Un résultat qui semble être le tout premier de son genre a été obtenu, c'est une extension de la régularité du principe de similarité (décomposition des fonction pseudo-holomorphe sous la forme $e^s F$ sous certaines hypothéses de régularités et oú $F$ est une fonction holomorphe) et une réciproque de ce principe qui conduit á un paramétrage analytique de cette classe de fonctions dans le cas critique $r=2$. Puis en utilisant la connexion entre les fonctions pseudo-holomorphes et les solutions de l'équation de Beltrami conjuguée, on résoud un probléme de Dirichlet á données $L^p$ pondérées sur des domaines lisses pour des équations du type conductivité á coefficient dont le log appartient á l'espace de Sobolev $W^{1,2}$.