Thesis (M.A.)--University of Hong Kong, 2002. / Includes bibliographical references (leaves 80-83).

Thesis (M.A.)--University of Hong Kong, 2002. / Includes bibliographical references (leaves 80-83). Also available in print.

This thesis concerns upper secondary students’ understanding of algebraic and graphic representation of linear functions. Components of the students’ concept images, so-called ‘concept elements’, were studied as a way to capture their understanding. Four aspects affect the graphical view of a linear function, namely the parameter k, the parameter m, the scale of the coordinate axes and the domain of the function. Concerning the scale of the coordinate axis, there is a need to distinguish between two kinds of slope. When the scale of x-axis is changed, the k-value of the function, the so-called analytic slope, is constant but the visual slope changes. The tasks were designed so that three aspects were held constant in each task and one was varied. The study is qualitative and consists of two sub- studies. In the first, six students worked with two tasks involving the parameters k and m in the dynamic software GeoGebra. In the second, eight students were interviewed about a task concerning functions with different domains. Both studies also involved a task concerning the aspect of slope in a non-homogeneous coordinate system (a system with different scales on the axes). The results indicate three main findings: Firstly, students displayed difficulties in distinguishing between analytic and visual slope. Secondly, the word ‘start value’ can lead to conceptual problems when there is no visible intercept between the graphical representation of the function and the y-axis. Thirdly, the students displayed almost no concept elements in relation to the domain of a function. / Denna licentiatuppsats behandlar gymnasieelevers förståelse av linjära funktioners algebraiska och grafiska representation. Delar av elevers begreppsbilder, kallade begreppselement, har studerats som en metod att fånga deras förståelse. Fyra aspekter påverkar den grafiska representationen av en linjär funktionens algebraiska representation . Dessa aspekter är: parametern k, parametern m, skalan på koordinatsystemets axlar och funktionens definitionsmängd. Studien är kvalitativ och består av två delstudier. I första delen arbetade tre par elever med uppgifter som rör parametrarna k och m. I andra delen intervjuades åtta elever om uppgifter som behandlar linjära funktioner med olika definitionsmängder. Båda delstudierna innehöll en uppgift som berör aspekten lutning i ett inhomogent koordinatsystem (ett system med olika skalor på axlarna). När skalan på x-axeln förändras är funktionens k-värde, så kallad analytisk lutning, konstant medan den visuella lutningen förändras. Studiens viktigaste resultat: 1) Elever visar svårigheter att särskilja analytisk och visuell lutning. 2) Ordet startvärde kan leda till konceptuella problem när synlig skärningspunkt på y-axeln saknas. 3) Eleverna visade i stort sett inte några begreppselement i relation till definitionsmängd.

Mathematics students and teachers are familiar with the difficulty of learning and teaching concepts of continuity and limits. Research has expanded our knowledge of how students think about these concepts, including different conceptions and metaphors students use to reason about continuity and limits at a point. From the literature I have identified four potentially problematic conceptions (PPCs) students may use when reasoning about limit and continuity at a point. Questionnaires were administered to 861 BYU students in various mathematics courses to determine how prevalent and persistent the PPCs are among the students in each course. Interviews were conducted with nine first semester calculus to get an idea of how students reason about continuity and limit at a point and how that influences whether they use the PPCs. Students showed evidence of holding the four PPCs with a decrease in these conceptions typically after they took a course in analysis. Participants also did not understand the Formal definition of a Limit until they took a course in Analysis. Students were able to reason appropriately using many different conceptions of continuity. Considering limit conceptions, students using a Dynamic conception of Limit tended to be better able to reason about continuity and limit at a point. Students who did not use a Dynamic conception of limit tended to use the PPCs in general and incorrectly more often.

It is well documented that undergraduate students struggle with the more formal and abstract concepts of vector space theory in a first course on linear algebra. Some of these students continue on to classes in abstract algebra, where they learn about algebraic structures such as groups. It is clear to the seasoned mathematician that vector spaces are in fact groups, and so linear transformations are group homomorphisms with extra restrictions. This study explores the question of whether or not students see this connection as well. In addition, I probe the ways in which students’ stated understandings are the same or different across contexts, and how these differences may help or hinder connection making across domains. Students’ understandings are also briefly compared to those of mathematics professors in order to highlight similarities and discrepancies between reality and idealistic expectations. The data for this study primarily comes from clinical interviews with ten undergraduates and three professors. The clinical interviews contained multiple card sorts in which students expressed the connections they saw within and across the domains of linear algebra and abstract algebra, with an emphasis specifically on linear transformations and group homomorphisms. Qualitative data was analyzed using abductive reasoning through multiple rounds of coding and generating themes. Overall, I found that students ranged from having very few connections, to beginning to form connections once placed in the interview setting, to already having a well-integrated morphism schema across domains. A considerable portion of this paper explores the many and varied ways in which students succeeded and failed in making mathematically correct connections, using the language of research on analogical reasoning to frame the discussion. Of particular interest were the ways in which isomorphisms did or did not play a role in understanding both morphisms, how students did not regularly connect the concepts of matrices and linear transformations, and how vector spaces were not fully aligned with groups as algebraic structures.

Išnagrinėti UAB „Kauno keliai“ įvaizdžio formavimą ir valdymą teoriniu bei praktiniu aspektu ir konstatavus įvaizdžio formavimo bei valdymo problemas sukurti įmonės tobulinimo modelį. Teorinėje dalyje analizuojama organizacijos įvaizdžio samprata, kūrimo lygiai, pagrindinai veiksniai, formuojantys organizacijos įvaizdį. Analitinėje baigiamojo darbo dalyje pateikiami ir analizuojami rezultatai, gauti atlikus ir išanalizavus UAB „Kauno keliai“ įvaizdį žiniasklaidoje bei perkančiųjų organizacijų anketinės apklausos tyrimą. Projektinėje darbo dalyje suformuluoti tokie sprendimai: Įvaizdžio formavimo probleminių sričių stiprinimas: teikiamų įmonės paslaugų, parduodamų prekių ir atliekamų darbų įvaizdžio gerinimas, įmonės vardo žinomumo gerinimas, žiniasklaidoje formuojamo įmonės įvaizdžio gerinimas bei vykdomos socialinės veiklos platinimas. Buvo nuspręsta stiprinti įvaizdį formuojančius elementus: personalo įvaizdžio stiprinimas, bei verslo įvaizdžio. / To analyse image formation and management at UAB “Kauno keliai“ from a theoretical and practical perspectives, identify the problems underlying the image formation and management, and suggest a model for the company‘s development. The theoretical part of the thesis presents the concept and stages of the development of company's image and the main factors involved in shaping it. The analytical part of the thesis provides discussion of the results obtained from the analysis of UAB “Kauno keliai” image in the media and the questionnaire survey of contracting organizations.In the project part of the thesis, the following decisions were made: Enhancement of the problematic areas in image formation: improvement of the image of services, goods and works provided by the company; promotion of the positive image of the company’s name; improvement of the company’s image in the media and promotion of the company’s social activity. It was decided to enhance the image of the staff and business image, which are the major image-forming elements.

Denna läromedelsanalys syftar till att utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv belysa vilka möjligheter en läromedelsserie i matematik erbjuder elever att utveckla en förståelse för stambråk. Studien utgår från sex kritiska aspekter av stambråk: areamodellen, linear measurement, inverse order relationship, stambråk som mängden av en helhet, partitioning och iterating. Utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv med en deduktiv ansats har läromedlen analyserats genom en textanalys. Resultatet visar att samtliga kritiska aspekter av stambråk finns representerade i läromedlet. Samtidigt behandlas flertalet av dem i mindre utsträckning, vilket kan leda till en begränsad concept image av stambråk hos elever. Resultatet visar även att det vanligaste variationsmönstret i läromedlen är fusion, vilket innebär att elever behöver kunna urskilja flera kritiska aspekter av lärandeobjektet samtidigt. Detta försvårar möjligheten att tillägna sig förståelsen för stambråk. I resultatet framgår det också att areamodellen är den vanligast förekommande representationsformen i läromedelsserien. En konsekvens för undervisningen blir således att representations-former som bygger på linear measurement behöver få större plats inom ramen för den ordinarie undervisningen. Detta för att elever ska få en större förståelse för stambråk och en berikad concept image vilket i sin tur möjliggör förståelsen för mer avancerade matematiska principer. Sammanfattningsvis diskuteras att lärare behöver förhålla sig kritiskt till matematikläromedel samt vara medvetna om vilka möjligheter det erbjuder.

O trabalho constitui-se na formação da imagem conceitual do professor, na inter-relação indivíduo-coletividade, a fim de compreender a relação da imagem conceitual com o desenvolvimento da reta real na perspectiva lógico-histórica desse conceito. Os procedimentos metodológicos fundamentam-se nas contribuições teóricas da pesquisa-ação, cujo problema social se configura no campo do ensino e da aprendizagem da matemática. Os sujeitos são educadores matemáticos: pesquisadora e professores do Ensino Fundamental e Médio. O desenvolvimento da imagem conceitual e aspectos de seu ensino realizou-se por meio de um curso de formação contínua para professores organizado sob os pressupostos da atividade orientadora de ensino e da perspectiva lógico-histórica do conceito. O curso abordou a transição de um campo numérico a outro, com foco na reta real, partindo da formulação do sistema de numeração posicional e a transição para o número natural, seguindo a fração como número racional, o irracional resultante da incomensurabilidade e o contínuo numérico - a reta real - como a captação numérica do movimento. Os aportes teórico-metodológicos do materialismo dialético e da atividade contribuíram para a compreensão do movimento da imagem conceitual. A análise da imagem conceitual orientou-se pela reprodução dos principais nexos conceituais no desenvolvimento do pensamento numérico. A intertextualidade, como recurso que proporciona evidenciar o movimento da imagem conceitual dos sujeitos na exposição e análise dos dados, possibilitou perceber que a dialética do pensamento numérico transita entre discreto-denso-contínuo, comensurável-incomensurável, finito-infinito, cardinalidade-ordenação. Neste movimento do pensamento revelam-se dilemas, a negação de um conhecimento, negação da negação, lógica dialética e lógica formal e as categorias dialéticas: forma e conteúdo, aparência e essência, análise e síntese, empírico e teórico, lógico e histórico, intuição e dedução. Conclui-se que o desenvolvimento da imagem conceitual individual de conceito matemático, ocorre na relação indivíduo-coletividade e, pode ser coerente com o significado científico elaborado historicamente por meio da realização de uma atividade orientadora de ensino fundamentada em pressupostos lógico-históricos do conceito. / This work consists of a study of the formation teachers\' concept image by the individualcollective inter-relation, in order to understand the relation of concept image with the development of the number line in a logical-historical perspective of the concept. The methodological procedures are based on the action research theoretical contribution, whose social problem appears in the mathematics teaching and learning field. The subjects are mathematics educators: the researcher and secondary school teachers. The development of the concept image and its teaching aspects were achieved during a teacher continuous training course, which was organized according to the teaching oriented activity contributions and the logical-historical perspective of the concept. One approach of this training course was the transition from one numerical field to another; a special attention was focussed on the number line, beginning with the formulation of the positional number system and the transition to the natural number, regarding the fraction as a rational number, the irrational number as a result of the incommensurability. Other approach was the arithmetic continuity - as the numerical capitation of the movement. The theoretical and methodological basis of the dialectical materialism and the activity theory contribute to the understanding of the concept image movement. The concept image analysis was guided by the reproduction of the main internal connections of numerical thought development. The intertextuality, as a resource which highlights the subjects\' concept image in the exposition and in the data analysis, made possible to realize that the dialectic of the numerical thought oscillates between the discreet- dense-continuous, the incommensurable and the commensurable, the finite and the infinite, the cardinality and the ordinance. Dilemmas, negation of knowledge, negation of negation, dialectical and formal logic and dialectical categories: form and content, appearance and essence, analysis and synthesis, empirical and theoretical, logical and historical, intuition and deduction, are revealed in this movement. In conclusion, the individual concept image\'s development of the mathematical concept takes place in the individual-collective relations and it can be coherent with the historically elaborated scientific meaning by performing a teaching oriented activity based on the logical-historical concept assumptions.

The benefits of explicit knowledge for language learning is a much debated issue. In this study this question is approached from a new perspective since it focuses on the correlation between students’ concept images and their language ability. The focused concept is the subordinate clause in German. By means of a short written test the performance of 12 Swedish university-level students in three types of tasks was elicited: translating, correcting an erroneous text and commenting on grammatical differences in parallel German and Swedish texts. The students were asked to think aloud, but complementary questions were also asked if verbalizations were not lucid. A semi-structured interview that focused on school experiences, attitudes towards language learning and grammatical concepts followed. One year later the same procedure was repeated with three of the students who had successfully finished their first year of German.As for the concept images many students had only blurred conceptions of subordinate clauses, especially when they did not have access to texts to refer to. When they had the help from artefacts they often focused on visual clues such as subjunctions and verb position. Many verbalized statements were simply wrong. A common concept image described the subordinate clause as positioned after the main clause with the function of adding extra information. This led to the conclusion that the relative clause is the prototypical subordinate clause.Despite the often vague concept images, most students had no difficulty in producing subordinate clauses or in correcting a text with word order errors. Interestingly, the relative clause proved to cause the most problems.The fact that the students were able to produce subordinate clauses, but not able to explain their chosen solution indicates implicit knowledge. This in turn gives reason to believe that students have formed their own natural concepts from experience and not learned a well defined scientific concept. The students in this study could also be seen to represent stages in the concept building process that begins with a category ‘sentence’. Step by step different types of subordinate clauses break loose and form a new category ‘subordinate clause’. With time the attributes become more refined.The analysis of four Swedish grammars of German showed that three of them had content shortcomings, whereas the fourth placed too much emphasis on linguistic correctness which would leave the learners behind.In the last chapter implications for grammar writing and grammar teaching are discussed. One key point is the necessity of opportunities to verbalize your thoughts since this promotes learning / ZusammenfassungHintergrund, Ziel und ForschungsfragenDie übergreifende Frage dieser Arbeit stammt aus meinem Grammatikunterricht an einer schwedischen Universität. In dem Kontakt mit Studenten lässt sich leicht feststellen, dass sie alle individuelle Charakteristika aufweisen – auch was den Erfolg mit den theoretischen Aspekten der Grammatik als auch mit der Anwendung des Wissens. Einige Studenten haben damit große Schwierigkeiten, während andere einigermaßen korrektes Deutsch produzieren können und anscheinend auch verstanden haben, wie die deutsche Sprache aufgebaut ist, wie die grammatischen Begriffe gebildet sind, usw.Ich habe mich dann gefragt, ob vielleicht Grammatiklernen wie Mathematik¬lernen funktioniert und dass die beobachteten Schwierigkeiten auf ein mangelndes Verständnis grundlegender grammatischer Begriffe wie ,Satz‘ und ,Kasus‘ zurückzuführen sind. Nach einer Beschränkung auf ,Satz‘, aber vor allem ,Nebensatz‘ ließen sich folgende Forschungsfragen formulieren:•    Welche Vorstellungen haben schwedischsprachige Deutschstudenten vom Begriff ,Nebensatz‘?•    Wie verhalten sich die Begriffsvorstellungen eines Studenten zu seiner Fähigkeit, korrekte deutsche Nebensätze zu produzieren?Ein wichtiges Hilfsmittel beim Sprachenlernen und -lehren sind Grammatik¬handbücher. Wenn es um Grammatiken für die Schule, didaktische Gram¬matiken, geht, wird immer eine Auswahl vorgenommen und die Darstellung wird auch in anderer Weise den Schülern und ihren vermuteten Vorkenntnissen angepasst. Eine zweite Spur dieser Arbeit gilt solchen Beschreibungen der Struktur des Deutschen, und eine dritte Hauptfrage lautet:•    Wir wird der Begriff ,Nebensatz‘ in schwedischen Grammatiken für den Unterricht Deutsch als Fremdsprache beschrieben?Das Hauptziel der Arbeit ist es, einen Teil der ”Realität” zu erkunden (die Vorstellungen der Studenten von ,Nebensatz‘ und ihre Fähigkeit, solche zu produzieren, sowie Sprachbeschreibungen) und daraus folgernd mögliche Verbesserungen der Sprachbeschreibungen und des Sprachunterrichts  über¬sichtlich zu diskutieren.Theoretischer RahmenGrundlegende Fragen nach Begriffsvorstellungen betreffen kognitive Prozesse und Produkte. Der theoretische Hintergrund dieser Untersuchung setzt sich deshalb zusammen aus einerseits allgemeinen Lerntheorien sowie Theorien zu Begriffsbildung bzw. Begriffsaneignung, andererseits aus Theorien zum Fremdsprachenerwerb: wie lernen wir? Welche Wissensform ist das Ergebnis? Wie verhalten sich Wissen und Performanz zueinander? In den Gesprächen mit Studenten (s. u.) stellte sich aber heraus, dass die Gespräche an sich und die Möglichkeit, Gedanken und Hypothesen zu verbalisieren, oft zum Lernen führten.Material und MethodeMit zwölf Universitätsanfängern des Fachs Deutsch wurde ein kurzer schriftlicher Test und ein anschließendes gesprächsähnliches Interview durch¬geführt. Die Studenten lösten die Aufgaben individuell und waren aufgefordert, dabei laut zu denken. Wenn die verbalisierten Gedanken nicht aufschlussreich genug waren, wurden spezifische Fragen gestellt. Themen des Interviews waren teils Schulerfahrungen und Einstellung zum Sprachenlernen, teils explizite Fragen zu grammatischen Begriffen. Mit drei dieser Informanten wurde dasselbe Verfahren ein Jahr später wiederholt, nach erfolgreichem Abschluss des ersten Studienjahres. Bei dieser Gelegenheit wurden auch retrospektivisch ausgerichtete Fragen zum Lern- und Begriffsbildungsprozess gestellt.ErgebnisseWas die Begriffsvorstellungen betrifft, zeigte sich ein Unterschied je nach dem, ob konkrete Nebensätze zum Anschauen zugänglich waren oder nicht. Waren solche vorhanden, wurde eher auf visuell beobachtbare Charakteristika wie Einleiter und Verbletztstellung hingewiesen. Ohne die Unterstützung durch ein Artefakt standen ein Vergleich oder eine Verbindung mit einem Hauptsatz im Fokus.Eine zweite Beobachtung war, dass die Studenten häufig Merkmale anführten, die als fehlerhaft zu betrachten sind. So glauben viele, das Vorhandensein eines Kommas würde einen Nebensatz verursachen.Eine häufig vorkommende Vorstellung war, dass der Nebensatz immer dem übergeordneten Satz nachgestellt ist und inhaltlich eine Spezifizierung dazu ausmacht. Daraus lässt sich der Schluss ziehen, dass der Relativsatz der proto¬typische Nebensatz ist.Obwohl viele Studenten vage oder sogar fehlerhafte Vorstellungen vom Begriff ,Nebensatz‘ verbalisierten, hatten sie selten Probleme, deutsche Sätze mit korrekter Wortstellung zu produzieren oder Sätze mit inkorrekter Wort¬stellung zu korrigieren. Interessanterweise verursachte dabei gerade der Relativsatz Schwierigkeiten. Die Tatsache, dass die meisten Informanten also Nebensätze produzieren konnten, gleichzeitig aber Schwierigkeiten hatten, ihre Vorstellungen zu verba¬lisieren und die gewählten Lösungen im Test metasprachlich zu begründen, lässt sich als Indiz für implizites Wissen interpretieren. Das wiederum legt den Schluss nahe, dass sie eher von ihren konkreten Erfahrungen ausgehend, d. h. im Kontakt mit gesprochenem und geschriebenem Deutsch einen natürlichen Begriff gebildet haben, als dass sie sich einen fertigen, genau definierten Begriff angeeignet hätten. In diesem Fall ist es demnach nicht notwendig, im Besitz eines wissenschaftlichen Begriffs zu sein.Weiter stellte sich heraus, dass die Informanten dieser Untersuchung als Vertreter für unterschiedliche Phasen des Begriffsbildungsprozesses gesehen werden können. Dabei scheint eine Kategorie ”mening” (,Vollsatz‘) der Aus¬gangspunkt zu sein, aus dem sich schrittweise die verschiedenen Neben¬satztypen losmachen, um die Kategorie ,Nebensatz‘ zu bilden. Die Kenn¬zeichen, Attribute, die diese Mitglieder aufweisen, werden im Prozess zunehmend verfeinert.In den analysierten Grammatiken, die alle in einer ersten oder späteren Auflage in den 1990er Jahren erschienen, ließ sich eine gewisse Entwicklung von einer relativ starken Fokussierung auf Morphologie zu einer ausführlicheren Behandlung der Syntax sowie einer umfangreicheren Diskussion der Begriffe. Bei drei der Grammatiken waren inhaltliche Mängel und undeutliche Formulierungen zu verzeichnen, während die vierte in so hohem Grad eine sprachwissenschaftlich korrekte Beschreibung angestrebt hatte, dass die Anpassung an die Schüler in Frage gestellt werden musste.Didaktische ImplikationenDas abschließende Kapitel der Arbeit umfasst mögliche didaktische Implikationen der Untersuchung für Sprachbeschreibung und Sprachunterricht. Im ersten Fall werden u. a. der Einsatz der Nebensatzeinleiter als Signalwörter sowie der Gebrauch von Visualisierungen fokussiert. Wenn es um Unterricht geht,  werden die soziokulturellen Lerntheorien wieder aufgegriffen, wobei besonders ihre Betonung der Bedeutung des Gesprächs fürs Lernen thematisiert wird. Ferner wird auf die positive Wirkung eines induktiven Verfahrens hingewiesen / SammanfattningBakgrund, syfte och frågeställningarDen övergripande frågan för denna undersökning har uppstått i min under¬visning i tysk grammatik på universitetsnivå. Som vid all annan undervisning, eller kontakt med människor över huvud taget, konstaterar man ganska snart att individerna är olika. I mitt konkreta fall har vissa studenter stora svårigheter med både den teoretiska grammatiken och tillämpningen av den, medan andra både kan producera god tyska och tycks ha förstått hur tyskan är uppbyggd, hur de grammatiska begreppen är bildade och liknande. Inspirerad av forskning inom matematikdidaktik som visat att svårigheter som dyker upp kan bero på att eleverna inte förstått grundläggande begrepp som ’tal’ och ’mängd’ frågade jag mig om förhållandet kunde vara likartat här, dvs. att de som hade svårigheter inte förstått grundläggande begrepp som ’sats’ och ’kasus’. I denna undersökning inskränktes arbetet till att i någon mån behandla begreppet ’sats’ men i huvudsak omfatta begreppet ’bisats’.De konkreta forskningsfrågorna för undersökningen är:•    Vilka föreställningar har svenskspråkiga tyskstudenter av begreppet ’bisats’?•    Hur förhåller sig en students begreppsföreställning(ar) till förmågan att producera korrekta tyska bisatser?Ett viktigt hjälpmedel vid språkinlärning och -undervisning är handböcker i grammatik. När det gäller grammatikor för skolbruk, didaktiska grammatikor, har alltid ett urval gjorts och framställningen har även på annat sätt anpassats till elever och deras förmodade förkunskaper. Ett annat spår i avhandlingen gäller dessa beskrivningar av tyskans struktur och en tredje huvudfråga lyder därför:•    Hur beskrivs begreppet ’bisats’ i svenska skolgrammatikor för tysk¬undervisningen?Huvudsyftet med undersökningen är att ta reda på hur en del av verkligheten ser  ut (studenternas föreställningar om och förmåga att producera bisatser samt språkbeskrivningar) och utifrån detta diskutera hur man eventuellt kan förbättra språkbeskrivning och språkundervisning så att eleverna lär sig både mer och bättre.Teoretisk förankringDe grundläggande frågorna omkring begreppsföreställningar handlar om kognitiva processer och produkter. Den teoretiska bakgrunden till denna under¬sökning utgörs därför dels av teorier kring lärande generellt och kring begreppsbildning respektive begreppstillägnande, dels av teorier kring frågor om hur förvärvandet av ett främmande språk går till, vilken form av kunskap detta leder till samt hur kunskaper och performans hör samman. I samtalen med studenterna (se nedan) visade det sig dock att dessa samtal i sig och möjligheten att verbalisera sina tankar och hypoteser ofta ledde till lärande. Detta för¬hållande är centralt inom sociokulturella lärandeteorier varför även sådana beaktas – inte minst i diskussionerna kring didaktiska implikationer av resultaten.Material och metodFör att få svar på forskningsfrågorna sammanställdes ett kort skriftligt test. Sammanlagt tolv studenter på första terminens universitetsstudier i tyska löste testuppgifterna enskilt och ombads därvid tänka högt och motivera sina lösningar. Vissa specifika frågor kring deras svar ställdes också för att få dem att verbalisera sina föreställningar. I anslutning till testet genomfördes en lite längre semistrukturerad intervju dels kring deras erfarenheter från skolan och inställning till språkundervisning, dels kring grammatiska begrepp. Med tre av dessa studenter upprepades test och intervju ett år senare då de med framgång avslutat ett års studier i tyska. Då ställdes också frågor som syftade till att retrospektivt försöka klargöra hur begreppsbildning och -utveckling går till.Både testdelen och intervjun spelades in på video. Undersökningen bygger således på det skriftliga testet (performans) och transkriptioner av den samtals¬liknande intervjun.ResultatNär det gäller föreställningarna av begreppet ’bisats’ visade det sig att de skiljer sig åt något när studenterna hade konkreta bisatser att hänvisa till eller iaktta och när de bara besvarade frågan om vad en bisats är. I det första fallet var de visuella signalerna bisatsinledare och ordföljd viktiga, medan en jämförelse eller annan koppling till en huvudsats gjordes när inga hjälpande artefakter fanns.Ytterligare en iakttagelse var att studenterna i många fall anförde känne¬tecken hos bisatser som måste anses vara direkt felaktiga. Så tycks flera av dem utgå från att förekomsten av ett komma förorsakar en bisats. En vanlig föreställning var också att en bisats alltid står efter den över¬ordnade satsen och att den innehållsligt innebär en specificering av denna. Av detta kan man dra slutsatsen att relativsatsen är den prototypiska bisatsen. Trots att många studenter hade luddiga eller till och med felaktiga före¬ställningar av begreppet ’bisats’, hade de sällan problem att själva producera tyska bisatser eller korrigera satser med felaktig ordföljd. Intressant nog visade sig relativsatsen förorsaka mest problem i studenternas egna produktion. Det faktum att de flesta informanterna således kunde producera bisatser samtidigt som de hade svårigheter att verbalisera sina föreställningar och att motivera sina lösningar i testet i någon metaspråklig form kan ses som ett tecken på att de besitter implicit kunskap. Det i sin tur kan tolkas som att de utifrån sina konkreta erfarenheter med bisatser, det vill säga genom sin kontakt med tyskan i tal och skrift snarare bildat ett naturligt begrepp än tillägnat sig ett färdigt, väldefinierat begrepp. Att besitta en begreppsföreställning som motsvarar det vetenskapliga är alltså i detta fall inte nödvändigt.Det visade sig också att de studenter som ingår i denna undersökning kan ses som representanter för olika faser i begreppsbildningsprocessen. I denna tycks utgångspunkten vara en kategori ’mening’ från vilken olika bisatstyper stegvis lösgör sig för att bilda kategorin ’bisats’. De kännetecken, attribut, som dessa uppvisar blir med tiden allt mer förfinade.I de analyserade skolgrammatikorna, som alla utgavs i en första eller senare upplaga under olika skeden av 1990-talet, kunde en viss utveckling från en förhållandevis stark fokusering på morfologi i de äldre mot en utförligare behandling av syntax liksom ökad diskussion av begreppen. Tre av gramma¬tikorna kunde sägas uppvisa innehållsliga brister och otydliga formuleringar, medan den fjärde i så hög grad eftersträvat en språkvetenskapligt korrekt beskrivning att anpassningen till eleverna kunde ifrågasättas. Didaktiska implikationerI det avslutande kapitlet diskuteras de didaktiska implikationer som under¬sökningen har eller kan ha för språkbeskrivning och språkundervisning. I det första fallet fokuseras bland annat hur bisatsinledare kan framhävas som signalord och hur visualiseringar kan bidra till framställningen. När det gäller undervisningen återkopplas bland annat till de sociokulturella teorierna och deras betoning av samtalets betydelse för lärandet samt visas på möjligheterna med ett induktivt arbetssätt.

O trabalho constitui-se na formação da imagem conceitual do professor, na inter-relação indivíduo-coletividade, a fim de compreender a relação da imagem conceitual com o desenvolvimento da reta real na perspectiva lógico-histórica desse conceito. Os procedimentos metodológicos fundamentam-se nas contribuições teóricas da pesquisa-ação, cujo problema social se configura no campo do ensino e da aprendizagem da matemática. Os sujeitos são educadores matemáticos: pesquisadora e professores do Ensino Fundamental e Médio. O desenvolvimento da imagem conceitual e aspectos de seu ensino realizou-se por meio de um curso de formação contínua para professores organizado sob os pressupostos da atividade orientadora de ensino e da perspectiva lógico-histórica do conceito. O curso abordou a transição de um campo numérico a outro, com foco na reta real, partindo da formulação do sistema de numeração posicional e a transição para o número natural, seguindo a fração como número racional, o irracional resultante da incomensurabilidade e o contínuo numérico - a reta real - como a captação numérica do movimento. Os aportes teórico-metodológicos do materialismo dialético e da atividade contribuíram para a compreensão do movimento da imagem conceitual. A análise da imagem conceitual orientou-se pela reprodução dos principais nexos conceituais no desenvolvimento do pensamento numérico. A intertextualidade, como recurso que proporciona evidenciar o movimento da imagem conceitual dos sujeitos na exposição e análise dos dados, possibilitou perceber que a dialética do pensamento numérico transita entre discreto-denso-contínuo, comensurável-incomensurável, finito-infinito, cardinalidade-ordenação. Neste movimento do pensamento revelam-se dilemas, a negação de um conhecimento, negação da negação, lógica dialética e lógica formal e as categorias dialéticas: forma e conteúdo, aparência e essência, análise e síntese, empírico e teórico, lógico e histórico, intuição e dedução. Conclui-se que o desenvolvimento da imagem conceitual individual de conceito matemático, ocorre na relação indivíduo-coletividade e, pode ser coerente com o significado científico elaborado historicamente por meio da realização de uma atividade orientadora de ensino fundamentada em pressupostos lógico-históricos do conceito. / This work consists of a study of the formation teachers\' concept image by the individualcollective inter-relation, in order to understand the relation of concept image with the development of the number line in a logical-historical perspective of the concept. The methodological procedures are based on the action research theoretical contribution, whose social problem appears in the mathematics teaching and learning field. The subjects are mathematics educators: the researcher and secondary school teachers. The development of the concept image and its teaching aspects were achieved during a teacher continuous training course, which was organized according to the teaching oriented activity contributions and the logical-historical perspective of the concept. One approach of this training course was the transition from one numerical field to another; a special attention was focussed on the number line, beginning with the formulation of the positional number system and the transition to the natural number, regarding the fraction as a rational number, the irrational number as a result of the incommensurability. Other approach was the arithmetic continuity - as the numerical capitation of the movement. The theoretical and methodological basis of the dialectical materialism and the activity theory contribute to the understanding of the concept image movement. The concept image analysis was guided by the reproduction of the main internal connections of numerical thought development. The intertextuality, as a resource which highlights the subjects\' concept image in the exposition and in the data analysis, made possible to realize that the dialectic of the numerical thought oscillates between the discreet- dense-continuous, the incommensurable and the commensurable, the finite and the infinite, the cardinality and the ordinance. Dilemmas, negation of knowledge, negation of negation, dialectical and formal logic and dialectical categories: form and content, appearance and essence, analysis and synthesis, empirical and theoretical, logical and historical, intuition and deduction, are revealed in this movement. In conclusion, the individual concept image\'s development of the mathematical concept takes place in the individual-collective relations and it can be coherent with the historically elaborated scientific meaning by performing a teaching oriented activity based on the logical-historical concept assumptions.