Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'estimation de modèles conditionnellement hétéroscédastiques (CH) sous différentes hypothèses. Dans une première partie, en modifiant l'hypothèse d'identification usuelle du modèle, nous définissions un estimateur de quasi-maximum de vraisemblance (QMV) non gaussien et nous montrons que, sous certaines conditions, cet estimateur est plus efficace que l'estimateur du quasi maximum de vraisemblance gaussien. Nous étudions dans une deuxième partie l'inférence d'un modèle CH dans le cas où le processus des innovations est distribué selon une loi alpha stable. Nous établissons la consistance et la normalité asymptotique de l'estimateur du maximum de vraisemblance. La loi alpha stable n'apparaissant que comme loi limite, nous étudions ensuite le comportement de ce même estimateur dans le cas où la loi du processus des innovations n'est plus une loi alpha stable mais est dans le domaine d'attraction d'une telle loi. Dans la dernière partie, nous étudions l'estimation d'un modèle GARCH lorsque le processus générateur de données est un modèle CH dont les coefficients sont sujets à des changements de régimes markoviens. Nous montrons que cet estimateur, dans un cadre mal spécifié, converge vers une pseudo vraie valeur et nous établissons sa loi asymptotique. Nous étudions cet estimateur lorsque le processus observé est stationnaire mais nous détaillons également ses propriétés asymptotiques lorsque ce processus est non stationnaire et explosif. Par des simulations, nous étudions les capacités prédictives du modèle GARCH mal spécifié. Nous déterminons ainsi la robustesse de ce modèle et de l'estimateur du QMV à une erreur de spécification de la volatilité. / In this thesis, we focus on the inference of conditionally heteroskedastic models under different assumptions. This thesis consists of three parts and an introductory chapter. In the first part, we use an alternate identification assumption of the model and we define a non Gaussian quasi maximum likelihood estimator. We show that, under certain conditions, this estimator is more efficient than the Gaussian quasi maximum likelihood estimator. In a second part, we study the inference of a conditionally heteroskedastic model when the process of the innovations is distributed as an alpha stable law. We establish the consistency and the asymptotic normality of the maximum likelihood estimator. Since the alpha stable laws appear in general as a limit, we then focus of the behavior of this same estimator when the law of the innovation process is not stable but in the domain of attraction of a stable law. In the last part of this thesis, we study the estimation of a GARCH model when the data generating process is a conditionally heteroskedastic model whose coefficients are subject to Markov switching regimes. We show that, in a missspecified framework, this estimator converges toward a pseudo true value and we establish its asymptotic properties when this process is non stationary and explosive. Through simulations, we investigate the predictive ability of the missspecified GARCH model. Thus we determinate the robustness of the model and of the estimator of the quasi maximum likelihood to the missspecification of the volatility

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'estimation de modèles conditionnellement hétéroscédastiques (CH) sous différentes hypothèses. Dans une première partie, en modifiant l'hypothèse d'identification usuelle du modèle, nous définissions un estimateur de quasi-maximum de vraisemblance (QMV) non gaussien et nous montrons que, sous certaines conditions, cet estimateur est plus efficace que l'estimateur du quasi maximum de vraisemblance gaussien. Nous étudions dans une deuxième partie l'inférence d'un modèle CH dans le cas où le processus des innovations est distribué selon une loi alpha stable. Nous établissons la consistance et la normalité asymptotique de l'estimateur du maximum de vraisemblance. La loi alpha stable n'apparaissant que comme loi limite, nous étudions ensuite le comportement de ce même estimateur dans le cas où la loi du processus des innovations n'est plus une loi alpha stable mais est dans le domaine d'attraction d'une telle loi. Dans la dernière partie, nous étudions l'estimation d'un modèle GARCH lorsque le processus générateur de données est un modèle CH dont les coefficients sont sujets à des changements de régimes markoviens. Nous montrons que cet estimateur, dans un cadre mal spécifié, converge vers une pseudo vraie valeur et nous établissons sa loi asymptotique. Nous étudions cet estimateur lorsque le processus observé est stationnaire mais nous détaillons également ses propriétés asymptotiques lorsque ce processus est non stationnaire et explosif. Par des simulations, nous étudions les capacités prédictives du modèle GARCH mal spécifié. Nous déterminons ainsi la robustesse de ce modèle et de l'estimateur du QMV à une erreur de spécification de la volatilité.

Les modèles de séries chronologiques avec variances conditionnellement hétéroscédastiques sont devenus quasi incontournables afin de modéliser les séries chronologiques dans le contexte des données financières. Dans beaucoup d'applications, vérifier l'existence d'une relation entre deux séries chronologiques représente un enjeu important. Dans ce mémoire, nous généralisons dans plusieurs directions et dans un cadre multivarié, la procédure dévéloppée par Cheung et Ng (1996) conçue pour examiner la causalité en variance dans le cas de deux séries univariées. Reposant sur le travail de El Himdi et Roy (1997) et Duchesne (2004), nous proposons un test basé sur les matrices de corrélation croisée des résidus standardisés carrés et des produits croisés de ces résidus. Sous l'hypothèse nulle de l'absence de causalité en variance, nous établissons que les statistiques de test convergent en distribution vers des variables aléatoires khi-carrées. Dans une deuxième approche, nous définissons comme dans Ling et Li (1997) une transformation des résidus pour chaque série résiduelle vectorielle. Les statistiques de test sont construites à partir des corrélations croisées de ces résidus transformés. Dans les deux approches, des statistiques de test pour les délais individuels sont proposées ainsi que des tests de type portemanteau. Cette méthodologie est également utilisée pour déterminer la direction de la causalité en variance. Les résultats de simulation montrent que les tests proposés offrent des propriétés empiriques satisfaisantes. Une application avec des données réelles est également présentée afin d'illustrer les méthodes / Time series models with conditionnaly heteroskedastic variances have become almost inevitable to model financial time series. In many applications, to confirm the existence of a relationship between two time series is very important. In this Master thesis, we generalize in several directions and in a multivariate framework, the method developed by Cheung and Ng (1996) designed to examine causality in variance in the case of two univariate series. Based on the work of El Himdi and Roy (1997) and Duchesne (2004), we propose a test based on residual cross-correlation matrices of squared residuals and cross-products of these residuals. Under the null hypothesis of no causality in variance, we establish that the test statistics converge in distribution to chi-square random variables. In a second approach, we define as in Ling and Li (1997) a transformation of the residuals for each residual time series. The test statistics are built from the cross-correlations of these transformed residuals. In both approaches, test statistics at individual lags are presented and also portmanteau-type test statistics. That methodology is also used to determine the direction of causality in variance. The simulation results show that the proposed tests provide satisfactory empirical properties. An application with real data is also presented to illustrate the methods

Nous proposons une approche spectrale permettant d'aborder des problèmes d'interpolation à noyaux dont la résolution numérique n'est pas directement envisageable. Un tel cas de figure se produit en particulier lorsque le nombre de données est infini. Nous considérons dans un premier temps le cadre de l'interpolation optimale dans les sous-espaces hilbertiens. Pour un problème donné, un opérateur intégral est défini à partir du noyau sous-jacent et d'une paramétrisation de l'ensemble des données basée sur un espace mesuré. La décomposition spectrale de l'opérateur est utilisée afin d'obtenir une formule de représentation pour l'interpolateur optimal et son approximation est alors rendu possible par troncature du spectre. Le choix de la mesure induit une fonction d'importance sur l'ensemble des données qui se traduit, en cas d'approximation, par une plus ou moins grande précision dans le rendu des données. Nous montrons à titre d'exemple comment cette approche peut être utilisée afin de rendre compte de contraintes de type "conditions aux limites" dans les modèles d'interpolation à noyaux. Le problème du conditionnement des processus gaussiens est également étudié dans ce contexte. Nous abordons enfin dans la dernière partie de notre manuscrit la notion de noyaux conditionnellement positifs. Nous proposons la définition générale de noyaux symétriques conditionnellement positifs relatifs à une espace de référence donné et développons la théorie des sous-espaces semi-hilbertiens leur étant associés. Nous étudions finalement la théorie de l'interpolation optimale dans cette classe d'espaces.

Les modèles de séries chronologiques avec variances conditionnellement hétéroscédastiques sont devenus quasi incontournables afin de modéliser les séries chronologiques dans le contexte des données financières. Dans beaucoup d'applications, vérifier l'existence d'une relation entre deux séries chronologiques représente un enjeu important. Dans ce mémoire, nous généralisons dans plusieurs directions et dans un cadre multivarié, la procédure dévéloppée par Cheung et Ng (1996) conçue pour examiner la causalité en variance dans le cas de deux séries univariées. Reposant sur le travail de El Himdi et Roy (1997) et Duchesne (2004), nous proposons un test basé sur les matrices de corrélation croisée des résidus standardisés carrés et des produits croisés de ces résidus. Sous l'hypothèse nulle de l'absence de causalité en variance, nous établissons que les statistiques de test convergent en distribution vers des variables aléatoires khi-carrées. Dans une deuxième approche, nous définissons comme dans Ling et Li (1997) une transformation des résidus pour chaque série résiduelle vectorielle. Les statistiques de test sont construites à partir des corrélations croisées de ces résidus transformés. Dans les deux approches, des statistiques de test pour les délais individuels sont proposées ainsi que des tests de type portemanteau. Cette méthodologie est également utilisée pour déterminer la direction de la causalité en variance. Les résultats de simulation montrent que les tests proposés offrent des propriétés empiriques satisfaisantes. Une application avec des données réelles est également présentée afin d'illustrer les méthodes / Time series models with conditionnaly heteroskedastic variances have become almost inevitable to model financial time series. In many applications, to confirm the existence of a relationship between two time series is very important. In this Master thesis, we generalize in several directions and in a multivariate framework, the method developed by Cheung and Ng (1996) designed to examine causality in variance in the case of two univariate series. Based on the work of El Himdi and Roy (1997) and Duchesne (2004), we propose a test based on residual cross-correlation matrices of squared residuals and cross-products of these residuals. Under the null hypothesis of no causality in variance, we establish that the test statistics converge in distribution to chi-square random variables. In a second approach, we define as in Ling and Li (1997) a transformation of the residuals for each residual time series. The test statistics are built from the cross-correlations of these transformed residuals. In both approaches, test statistics at individual lags are presented and also portmanteau-type test statistics. That methodology is also used to determine the direction of causality in variance. The simulation results show that the proposed tests provide satisfactory empirical properties. An application with real data is also presented to illustrate the methods

Nous abordons divers problèmes concernant les séries temporelles fonctionnelles. Il s'agit de processus stochastiques discrets à valeurs dans un espace fonctionnel. La principale motivation provient de l’interprétation séquentielle d'un phénomène continu. Si par exemple on observe des données météorologiques au cours du temps de manière continue, il est naturel de segmenter ce processus en une série temporelle fonctionnelle indexée par les jours. Chaque terme de la série représente la courbe journalière. Dans un premier temps, nous nous sommes intéressés à l'analyse spectrale. Plus précisément nous avons montré que sous des hypothèses très générales, la transformée de Fourier discrète d’une telle série est asymptotiquement normale et a pour variance l’opérateur de densité spectrale. Une application possible de ce résultat est de tester la présence de composantes périodiques dans une série fonctionnelle. Nous avons développé un test valable pour une fréquence arbitraire. Pour ce faire, nous avons étudié le comportement asymptotique du maximum de la norme de la transformée de Fourier. Enfin, nous avons travaillé sur la généralisation fonctionnelle du modèle GARCH. Ce modèle permet de décrire la dynamique de la volatilité, c’est-à-dire de la variance conditionnelle, dans les données financières. Nous avons proposé une méthode d’estimation des paramètres du modèle, inspirée de l’estimateur de quasi-maximum de vraisemblance. Nous avons montré que cet estimateur est convergent et asymptotiquement normal, puis nous l’avons évalué sur des simulations et appliqué à des données réelles. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse de doctorat a pour objectif principal d'étudier certaines propriétés probabilistes et statistiques de modèles de volatilité contenant des variables explicatives exogènes. Elle comporte deux parties.Dans une première partie, nous étudions le comportement asymptotique de l'estimation du quasi-maximum de vraisemblance (QMV) pour la classe polyvalente des modèles PGARCH semi-forts augmentés avec des covariables. Les hypothèses principales sur les variables exogènes sont la stationnarité et la non-colinéarité avec les autres variables explicatives de la volatilité. Pour la distribution asymptotique du QMV, nous étudions quatre situations différentes correspondant à des modèles forts ou semi-forts, et des paramètres à l'intérieur ou au bord de l'espace des paramètres. Nous montrons la normalité asymptotique du QMV sans imposer aucune condition de moment sur le processus observé lorsque le paramètre GARCH-X appartient à l'intérieur de l'espace des paramètres. Par contre, quand un ou plusieurs coefficients sont égaux à zéro, les conditions de moment d'ordre 4 sont requises pour que la matrice d'information soit finie et la loi asymptotique est alors la projection d'une loi normale sur un cône convexe . Comme la vraie valeur du paramètre n'est pas contrainte à appartenir à l'intérieur de l'espace des paramètres, nous proposons des tests pour déterminer l'ordre du modèle et vérifier la signification des variables exogènes. La deuxième partie est consacrée à l'étude de l'influence des variables exogènes sur les matrices de covariance conditionnelle de rendements d'actifs. Plus précisément, nous considérons des modèles BEKK avec variables exogènes. Les paramètres sont estimés par deux méthodes qui s'appellent l'estimation par ciblage de la variance et l'estimation équation par équation. Ces deux méthodes nous permettent de réduire la complexité numérique liée à l'estimation d'un nombre élevé des paramètre des modèles GARCH multivariés, en particulier, en présence de variables exogènes. La consistance ainsi que la loi limite de ces estimateurs sont établies pour des hypothèses relativement peu restrictives. En particulier, les innovations sont supposées être une différence de martingales au lieu d'être iid. Nos résultats sont illustrés par des expériences de Monte Carlo et des applications sur séries réelles. / This PhD Dissertation is dedicated to the study of probabilistic and statistical properties of volatility models augmented with exogenous variables. It consists of two parts which are summarized below. In the first part of this work, we study asymptotic behavior of the QMLE for the versatile class of the semi-strong PGARCH models augmented with exogenous variables. The main assumptions on the exogenous variables are the stationarity and the non-colinearity with the other explanatory variables of the volatility. For the asymptotic distribution of the QMLE, we investigated four different situations corresponding to strong or semi-strong models, and to parameters inside or at the boundary of the parameter space. When the GARCH-X parameter belongs to the interior of the parameter space, the asymptotic distribution of the QMLE is normal, whereas it is the projection of a normal distribution on a convex cone when one or several coefficients are equal to zero. For models with positive GARCH coefficients, the asymptotic distribution is obtained under very mild conditions, in particular, without any moment condition on the observed process. When the GARCH parameter stands at the boundary, fourth-order moment conditions are required for the information matrix to be finite. Our asymptotic results are obtained under conditions that are only marginally stronger than these optimal moment conditions, which extends and improves the results that existed for GARCH models without covariables. The second part is devoted to studying the influence of exogenous variables on the conditional covariance matrix of asset returns. Specifically, we consider BEKK models augmented with exogenous variables. The parameters are estimated by two methods which are called the variance targeting estimation and equation by equation estimation. Both methods allow us to reduce the curse of dimensionality which appears when modeling a conditional covariance matrix, particularly in the presence of exogenous variables. The consistency and the asymptotic distribution of these estimators are established under mild assumptions. In particular, the innovation is assumed to be a martingale difference instead of iid. Our results are illustrated by Monte Carlo experiences and the applications on real series.

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Nous proposons une approche spectrale permettant d'aborder des problèmes d'interpolation à noyaux dont la résolution numérique n'est pas directement envisageable. Un tel cas de figure se produit en particulier lorsque le nombre de données est infini. Nous considérons dans un premier temps le cadre de l'interpolation optimale dans les sous-espaces hilbertiens. Pour un problème donné, un opérateur intégral est défini à partir du noyau sous-jacent et d'une paramétrisation de l'ensemble des données basée sur un espace mesuré. La décomposition spectrale de l'opérateur est utilisée afin d'obtenir une formule de représentation pour l'interpolateur optimal et son approximation est alors rendu possible par troncature du spectre. Le choix de la mesure induit une fonction d'importance sur l'ensemble des données qui se traduit, en cas d'approximation, par une plus ou moins grande précision dans le rendu des données. Nous montrons à titre d'exemple comment cette approche peut être utilisée afin de rendre compte de contraintes de type "conditions aux limites" dans les modèles d'interpolation à noyaux. Le problème du conditionnement des processus gaussiens est également étudié dans ce contexte. Nous abordons enfin dans la dernière partie de notre manuscrit la notion de noyaux conditionnellement positifs. Nous proposons la définition générale de noyaux symétriques conditionnellement positifs relatifs à une espace de référence donné et développons la théorie des sous-espaces semi-hilbertiens leur étant associés. Nous étudions finalement la théorie de l'interpolation optimale dans cette classe d'espaces.

Nous proposons une approche spectrale permettant d'aborder des problèmes d'interpolation à noyaux dont la résolution numérique n'est pas directement envisageable. Un tel cas de figure se produit en particulier lorsque le nombre de données est infini. Nous considérons dans un premier temps le cadre de l'interpolation optimale dans les sous-espaces hilbertiens. Pour un problème donné, un opérateur intégral est défini à partir du noyau sous-jacent et d'une paramétrisation de l'ensemble des données basée sur un espace mesuré. La décomposition spectrale de l'opérateur est utilisée afin d'obtenir une formule de représentation pour l'interpolateur optimal et son approximation est alors rendu possible par troncature du spectre. Le choix de la mesure induit une fonction d'importance sur l'ensemble des données qui se traduit, en cas d'approximation, par une plus ou moins grande précision dans le rendu des données. Nous montrons à titre d'exemple comment cette approche peut être utilisée afin de rendre compte de contraintes de type "conditions aux limites" dans les modèles d'interpolation à noyaux. Le problème du conditionnement des processus gaussiens est également étudié dans ce contexte. Nous abordons enfin dans la dernière partie de notre manuscrit la notion de noyaux conditionnellement positifs. Nous proposons la définition générale de noyaux symétriques conditionnellement positifs relatifs à une espace de référence donné et développons la théorie des sous-espaces semi-hilbertiens leur étant associés. Nous étudions finalement la théorie de l'interpolation optimale dans cette classe d'espaces. / We propose a spectral approach for the resolution of kernel-based interpolation problems of which numerical solution can not be directly computed. Such a situation occurs in particular when the number of data is infinite. We first consider optimal interpolation in Hilbert subspaces. For a given problem, an integral operator is defined from the underlying kernel and a parameterization of the data set based on a measurable space. The spectral decomposition of the operator is used in order to obtain a representation formula for the optimal interpolator and spectral truncation allows its approximation. The choice of the measure on the parameters space introduces a hierarchy onto the data set which allows a tunable precision of the approximation. As an example, we show how this methodology can be used in order to enforce boundary conditions in kernel-based interpolation models. The Gaussian processes conditioning problem is also studied in this context. The last part of this thesis is devoted to the notion of conditionally positive kernels. We propose a general definition of symmetric conditionally positive kernels relative to a given space and exposed the associated theory of semi-Hilbert subspaces. We finally study the optimal interpolation problem in such spaces.