En sciences de l'environnement et plus particulièrement en hydrogéologie les<br />problèmes de nature phénoménologique nombreux conduisent bien souvent à<br />l'étude des Équations aux Dérivées Partielles (EDP's) au travers des non<br />moins nombreux modèles qui en découlent.<br /><br />Si chaque phénomène physique, mécanique, chimique ou autres pris<br />indépendamment et à une échelle suffisamment fine est aujourd'hui bien<br />compris et relativement aisé à modéliser il n'en est pas de même pour les<br />problèmes multiphysiques, physico-chimique, les écoulements au voisinage de<br />domaines de structures différentes ou même dans l'appréhension de ces<br />phénomènes à des échelles plus grandes méso et macroscopique.<br /><br />La compréhension des conditions aux limites et leur modélisation reste une<br />étape clef dans l'étude de ces phénomènes naturels.<br /><br />Nous verrons au travers du (dé)couplage de problèmes multi-domaines par les<br />lois de paroi (Navier, Beavers et Joseph), des processus chimiques (Modèle de<br />Duijn-Knabner) ou la dispersion de Taylor comment il est possible de résoudre<br />numériquement et en partie ces difficultés par des techniques d'analyse<br />mathématique récentes (homogénéisation, raisonnement multi-échelles et<br />développements asymptotiques).<br /><br />Des résultats de simulations réalisées au moyen d'un logiciel de résolution<br />d'EDP's baptisé SciFEM (Scilab Finite Element Method) conçu pour les besoins<br />de la thèse illustreront notre démarche.

Nous proposons une approche spectrale permettant d'aborder des problèmes d'interpolation à noyaux dont la résolution numérique n'est pas directement envisageable. Un tel cas de figure se produit en particulier lorsque le nombre de données est infini. Nous considérons dans un premier temps le cadre de l'interpolation optimale dans les sous-espaces hilbertiens. Pour un problème donné, un opérateur intégral est défini à partir du noyau sous-jacent et d'une paramétrisation de l'ensemble des données basée sur un espace mesuré. La décomposition spectrale de l'opérateur est utilisée afin d'obtenir une formule de représentation pour l'interpolateur optimal et son approximation est alors rendu possible par troncature du spectre. Le choix de la mesure induit une fonction d'importance sur l'ensemble des données qui se traduit, en cas d'approximation, par une plus ou moins grande précision dans le rendu des données. Nous montrons à titre d'exemple comment cette approche peut être utilisée afin de rendre compte de contraintes de type "conditions aux limites" dans les modèles d'interpolation à noyaux. Le problème du conditionnement des processus gaussiens est également étudié dans ce contexte. Nous abordons enfin dans la dernière partie de notre manuscrit la notion de noyaux conditionnellement positifs. Nous proposons la définition générale de noyaux symétriques conditionnellement positifs relatifs à une espace de référence donné et développons la théorie des sous-espaces semi-hilbertiens leur étant associés. Nous étudions finalement la théorie de l'interpolation optimale dans cette classe d'espaces.

La restauration structurale a pour objectifs de déterminer la géométrie passée des roches et de valider les interprétations structurales. Les méthodes classiques sont basées sur des hypothèses géométriques et/ou cinématiques, et imposent un style de déformation. Les méthodes géomécaniques, en intégrant le comportement élastique des roches et les lois fondamentales de conservation mécanique, visent à résoudre les problèmes des méthodes classiques. Toutefois, il y a des incertitudes sur le choix des paramètres élastiques, et les contraintes de maillage rendent difficile l’utilisation de cette méthode comme un outil de validation des interprétations structurales. Le choix d’une méthode de restauration en particulier est rendu difficile par le fait qu’il y ait plusieurs approches de restauration géomécanique, en plus des nombreuses méthodes géométriques et cinématiques. Cette thèse présente en premier lieu une revue des différentes méthodes géomécaniques 3D visant à déplisser et annuler l’action des failles dans un modèle géologique. L’objectif de cette revue est de présenter les forces ainsi que les limites, théoriques et pratiques, de chaque méthode. Dans un second temps, à travers la restauration d’un modèle analogique (sandbox), nous présentons nos travaux sur le choix de conditions aux limites appropriées pour obtenir un modèle restauré cohérent. Ce modèle structural expérimental a été déformé en laboratoire et présente plusieurs analogies avec des structures extensives postérieures à une base salifère. Grâce à l’observation de l’évolution temporelle de la géométrie du modèle analogique sur une coupe, nous montrons qu’une condition aux limites correspondant à un raccourcissement latéral est nécessaire. Ce raccourcissement peut être estimé par la méthode de la surface transférée. De plus, nous définissons de nouvelles conditions aux limites de contacts de failles pour restaurer correctement le réseau de failles complexe du modèle analogique. Ces nouvelles conditions lient les bords internes des surfaces de failles et connectent les composantes connexes des failles coupées et déplacées par des failles plus récentes. Troisièmement, le test de différents paramètres élastiques indique que le module de Young, défini homogène au sein d’un modèle géologique, n’a quasiment pas d’effet sur le champ de déplacement. Toutefois, le coefficient de Poisson a un impact significatif sur la dilatation volumique. Dans un dernier temps, nous comparons la restauration géomécanique avec une méthode géométrique qui repose sur un modèle chronostratigraphique (GeoChron) qui fait une bijection de chaque point du sous-sol avec son équivalent dans l’espace de dépôt (Wheeler). Nous montrons que les deux approches de restauration fournissent des modèles restaurés du modèle analogique qui sont similaires géométriquement. La méthode géométrique a de nombreux avantages pour obtenir rapidement et avec précision le modèle restauré, mais elle manque de flexibilité sur le choix des contraintes de la déformation. La force de la méthode géomécanique est de pouvoir définir des conditions aux limites personnalisées et des comportements mécaniques spécifiques pour gérer les contextes mécaniquement complexes / Structural restoration aims to recover rock paleo-geometries and to validate structural interpretations. The classical methods are based on geometric/kinematic assumptions and impose a style of deformation. Geomechanical methods, by integrating rock elastic behavior and fundamental mechanical conservation laws, aim to solve issues of classical methods. However several studies show that the geomechanical restoration lacks physical consistency in particular because of the boundary conditions. There are uncertainties on the choice of the elastic properties, and the meshing constraints limit this method to be used as a validation tool of structural interpretations. The choice of a specific restoration method is difficult because there are many geomechanical restoration approaches, in addition to the numerous geometric/kinematic methods. Firstly, this thesis presents a review of the various 3D geomechanical methods to unfold and unfault a 3D geological model. The objective is to present their, theoretical and practical, strengths and limits. Secondly, through the restoration of a structural sandbox model, we worked on the choice of adequate boundary conditions to get a proper restored model. This structural sandbox model was deformed in laboratory and presents several analogies with supra-salt extensional structures. Thanks to the observation of the analog model geometry through time on a cross section, we show that a lateral shortening boundary condition is necessary. We show that this shortening can be estimated by the area-depth method. Moreover we define new fault contact conditions to handle complex fault networks. These novel conditions tie internal fault borders and join parts of offset faults. Thirdly, the test of several elastic parameters shows that Young’s modulus, homogeneous within a geological model, has almost no effect on the restoration displacement field. However, Poisson’s ratio has a significant impact on the volume dilatation. Finally, we compare the mechanics-based restoration method with a geometric-based method relying on a chronostratigraphic model (GeoChron) mapping any point of the subsurface to its image in depositional (Wheeler) space. We show that both methods provide a geometrically similar restored state for the analog model. The geometric method has numerous advantages to quickly and accurately get a restored model, but it lacks flexibility on the choice of the deformation constraints. The geomechanical restoration method force is to define custom boundary conditions and specific mechanical behaviors to handle complex contexts

De nombreux phénomènes physiques ne peuvent être compris qu'en s'intéressant à la structure électronique. Cette dernière peut être interprétée en termes de propriétés électromagnétiques, chacune de ces propriétés révélant diverses informations sur le système étudié. Il est donc important d'avoir des outils efficaces afin de calculer de telles propriétés. C'est dans ce contexte que cette thèse a été écrite, notre principal objectif ayant été de développer une méthode générale donnant accès à une vaste gamme de propriétés électromagnétiques. Dans la première partie de cette thèse, nous décrivons le socle théorique au sein duquel nous travaillons, en particulier la théorie de la fonctionnelle de la densité de courant dépendante du temps (TDCDFT), qui est une approche qui permet de décrire la réponse du système à un champ magnétique. La seconde partie est consacrée à la méthode que nous avons mise au point pour calculer diverses propriétés magnétiques en préservant l'invariance de jauge. Nous démontrons en particulier qu'en utilisant une simple règle de somme, il est possible de placer les courants diamagnétique et paramagnétique sur un pied d'égalité, évitant par là même les écueils habituels intrinsèques au calcul de propriétés magnétiques, comme la dépendance en l'origine de la jauge du vecteur potentiel. Nous illustrons notre méthode en l'appliquant notamment au calcul de la magnétisabilité et du dichroïsme circulaire, qui est une propriété possédant d'importantes applications pratiques, notamment en biologie. Dans la dernière partie, plus exploratoire, nous tentons d'étendre notre formalisme aux systèmes périodiques. Nous y discutons plusieurs stratégies afin de calculer l'aimantation dans des systèmes décrits par des conditions aux limites périodiques. / Various phenomena of matter can only be understood by probing its electronic structure. The latter can be interpreted in terms of electromagnetic properties, each property revealing a different piece of information. Having a reliable method to calculate such properties is thus of great importance. This thesis is to be regarded in this context. Our main goal was to develop a general method that gives access to a wide variety of electromagnetic properties. In the first part of this thesis, we describe the theoretical background with which we work, and in particular time-dependent current-density-functional theory (TDCDFT), which is a density-functional approach that can describe the response due to a magnetic field. The second part is dedicated to the method we developed in order to calculate various magnetic properties in a gauge-invariant manner. In particular, we show that by using a simple sum rule, we can put the diamagnetic and paramagnetic currents on equal footing. We thus avoid the usual problems that arise when calculating magnetic properties, such as the dependence on the gauge origin of the vector potential. We illustrate our method by applying it to the calculation of magnetizabilities and circular dichroism, which has important applications, notably in biology. In the last part, which is more explorative, we aim at extending our formalism to periodic systems. We discuss several strategies to calculate magnetization in systems described with periodic boundary conditions.

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Les façons d'aborder l'étude du spectre du laplacien sont multiples. Ce mémoire se concentre sur les partitions spectrales optimales de domaines planaires. Plus précisément, lorsque nous imposons des conditions aux limites de Dirichlet, nous cherchons à trouver la ou les partitions qui réalisent l'infimum (sur l'ensemble des partitions à un certain nombre de composantes) du maximum de la première valeur propre du laplacien sur tous ses sous-domaines. Dans les dernières années, cette question a été activement étudiée par B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, S. Terracini et leurs collaborateurs, qui ont obtenu plusieurs résultats analytiques et numériques importants. Dans ce mémoire, nous proposons un problème analogue, mais pour des conditions aux limites de Neumann cette fois. Dans ce contexte, nous nous intéressons aux partitions spectrales maximales plutôt que minimales. Nous cherchons alors à vérifier le maximum sur toutes les $k$-partitions possibles du minimum de la première valeur propre non nulle de chacune des composantes. Cette question s'avère plus difficile que sa semblable dans la mesure où plusieurs propriétés des valeurs propres de Dirichlet, telles que la monotonicité par rapport au domaine, ne tiennent plus. Néanmoins, quelques résultats sont obtenus pour des 2-partitions de domaines symétriques et des partitions spécifiques sont trouvées analytiquement pour des domaines rectangulaires. En outre, des propriétés générales des partitions spectrales optimales et des problèmes ouverts sont abordés. / There exist many ways to study the spectrum of the Laplace operator. This master thesis focuses on optimal spectral partitions of planar domains. More specifically, when imposing Dirichlet boundary conditions, we try to find partitions that achieve the infimum (over all the partitions of a given number of components) of the maximum of the first eigenvalue of the Laplacian in all the subdomains. This question has been actively studied in recent years by B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, S. Terracini and their collaborators, who obtained a number of important analytic and numerical results. In the present thesis we propose a similar problem, but for the Neumann boundary conditions. In this case, we are looking for spectral maximal, rather than minimal, partitions. More precisely, we attempt to find the maximum over all possible $k$-partitions of the minimum of the first non-zero Neumann eigenvalue of each component. This question appears to be more difficult than the one for the Dirichlet conditions, since many properties of Dirichlet eigenvalues, such as domain monotonicity, no longer hold in the Neumann case. Nevertheless, some results are obtained for 2-partitions of symmetric domains, and specific partitions are found analytically for rectangular domains. In addition, some general properties of optimal spectral partitions and open problems are also discussed.

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse. / The main topic of the present thesis is spectral geometry. This area of mathematics is concerned with establishing links between the geometry of a Riemannian manifold and its spectrum. The spectrum of a closed Riemannian manifold M equipped with a Riemannian metric g associated with the Laplace-Beltrami operator is a sequence of non-negative numbers tending to infinity. The square root of any number of this sequence represents a frequency of vibration of the manifold. This thesis consists of four articles all related to various aspects of spectral geometry. The first paper, “Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunction”, is presented in Chapter 1. Nodal geometry of various elliptic operators, such as the Laplace-Beltrami operator, is studied. The goal of this paper is to generalize a result due to L. Polterovich and M. Sodin that gives a bound on the distribution of nodal extrema on a Riemann surface for a large class of functions, including eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator. The proof given by L. Polterovich and M. Sodin is only valid for Riemann surfaces. Therefore, I present a different approach to the problem that works for eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator on Riemannian manifolds of arbitrary dimension. The second and the third papers of this thesis are focused on a different elliptic operator, namely the p-Laplacian. This operator has the particularity of being non-linear. The article “Principal frequency of the p-Laplacian and the inradius of Euclidean domains” is presented in Chapter 2. It discusses lower bounds on the first eigenvalue of the Dirichlet eigenvalue problem for the p-Laplace operator in terms of the inner radius of the domain. In particular, I show that if p is greater than the dimension, then it is possible to prove such lower bound without any hypothesis on the topology of the domain. Such bounds have previously been studied by well-known mathematicians, such as W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos, and T. Carroll. Their papers are mostly oriented toward the case of the usual Laplace operator. The generalization of such lower bounds for the p-Laplacian is done in my third paper, “Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian”. It is presented in Chapter 3. My fourth paper, “Wolf-Keller theorem of Neumann Eigenvalues”, is a joint work with Guillaume Roy-Fortin. This paper is concerned with the shape optimization problem in the case of the Laplace operator with Neumann boundary conditions. The main result of our paper is that eigenvalues of the Neumann boundary problem are not always maximized by disks among planar domains of given area. This joint work is presented in Chapter 4.

Le modèle numérique que nous avons développé au cours de cette thèse présente deux caractéristiques principales : un modèle dilatable pour l'eau et la prise en compte de domaines ouverts. Les difficultés associées au premier aspect concernent l'adaptation de la loi d'état de l’eau au modèle dilatable sous l’approximation à faibles nombres de Mach, tandis que celles associées au second sont relatives à la mise en œuvre de conditions aux limites numériques de sortie compatibles avec l'algorithme de projection utilisé. Les résultats de simulations d'écoulement de convection mixte en canal horizontal chauffé par le bas ont été confrontés à celles utilisant l'approximation de Boussinesq et aux expériences. / The 3D numerical model which we developed in this thesis presents two main features: a Low-Mach-Number approximation for water along with an open boundary condition formulation. Indeed, the difficulties related to the former point stand in a computationally efficient adaptation of the water equation of state in the framework of Low Mach number approximation, whereas the difficulties related to the latter concern the introduction of Open Boundary Conditions in the projection algorithm used. We have computed a mixed convection flow in a horizontal channel uniformly heated from below and compared the results obtained with both the Boussinesq approximation and experimental results.

Une bonne compréhension des interactions entre les ondes à la fréquence cyclotronique ionique (FCI) (40-80MHz) et le plasma de bord est nécessaire pour injecter de fortes puissances dans un plasma de fusion en continu. Les objectifs de cette thèse étaient de modéliser séparément, avec Comsol Multiphysics, mais de façon compatible le couplage d'ondes et la formation de gaines radiofréquences (RF), qui rétroagissent sur le couplage, pour aboutir à terme à une modélisation auto-cohérente. Modéliser le couplage de l'onde rapide nécessite une description détaillée de l'antenne émettrice (2D ou 3D) et du plasma environnant par une approche pleine onde en plasma froid. L'absorption des ondes sortant du domaine de simulation est émulée par des couches parfaitement adaptées, rendues compatibles avec un tenseur diélectrique plasma. Les tendances expérimentales des résistances de couplage des antennes de Tore Supra sont qualitativement reproduites mais l'efficacité de couplage est surestimée. Parallèlement une description novatrice auto-cohérente, incluant les effets des gaines RF, de la propagation de l'onde lente et de la polarisation DC (Direct Current) du bord d'un plasma magnétisé a été développée avec le minimum d'ingrédients physiques. Dans le cas des antennes Tore Supra, le couplage du code avec TOPICA a permis d'expliciter qualitativement certaines observations inattendues sur un écran de Faraday dont le schéma électrique visait à minimiser les gaines RF. Un transport de courants DC dans la SOL est apparu nécessaire pour expliquer les structures radiales des mesures. Les barreaux coupés sont les éléments de l'antenne responsable de l'augmentation du potentiel plasma / A correct understanding of the interactions between the edge plasma and the ion cyclotron (IC) waves (40-80MHz) is needed to inject reliably large amount of power required for self-sustainable fusion plasmas. These thesis objectives were to model separately, with Comsol Multiphysics, but in compatible approaches the wave coupling and the radio-frequency (RF) sheath formation to anticipate development of a single code combining both. Modelling of fast wave coupling requires a detailed description of the antenna (2D or 3D) and of the plasma environment by a full wave approach for a cold plasma. Absorption of outgoing waves is emulated by perfectly matched layers, rendered compatible with a plasma dielectric tensor. Experimental trends for the coupling resistance of the antennas of Tore Supra are qualitatively reproduced but the coupling efficiency is overestimated. In parallel a novel self-consistent description, including RF sheaths, of the interplay between the cold wave propagation and DC biasing of the magnetized edge plasma of a tokamak was developed with the minimum set of physics ingredients. For Tore Supra antenna cases, the code coupled with TOPICA allowed to unveil qualitatively some unexpected observations on the latest design of Tore Supra Faraday screens whose electrical design was supposed to minimize RF sheaths. From simulations, a DC (Direct Current) current transport appears necessary to explain the radial structures of measurements. Cantilevered bars have been identified as the design element in the antenna structure enhancing the plasma potential

La méthode d’imagerie la plus répandue dans l’industrie pétrolière est la RTM (Reverse Time Migration) qui repose sur la simulation de la propagation des ondes dans le sous-sol. Nous nous sommes concentrés sur un propagateur d'ondes élastiques 3D en milieu anisotrope de type TTI (Tilted Transverse Isotropic). Nous avons directement travaillé dans le code de recherche de Total DIVA (Depth Imaging Velocity Analysis), basé sur une discrétisation par la méthode de Galerkin Discontinue et le schéma Leap-Frog, et développé pour le calcul parallèle intensif – HPC (High Performance Computing). Nous avons ciblé plus particulièrement deux contributions possibles qui, si elles supposent des compétences très différentes, ont la même finalité : réduire les coûts de calculs requis pour la simulation. D'une part, les conditions aux limites classiques de type PML (Perfectly Matched Layers) ne sont pas stables dans des milieux TTI. Nous avons proposé de formuler une CLA (Conditions aux Limites Absorbantes) stable dans des milieux anisotropes. La méthode de construction repose sur les propriétés des courbes de lenteur, ce qui donne à notre approche un caractère original. D'autre part, le parallélisme initial, basé sur une décomposition de domaine et des communications par passage de messages à l'aide de la bibliothèque MPI, conduit à un déséquilibrage de charge qui détériore son efficacité parallèle. Nous avons corrigé cela en remplaçant le paradigme parallélisme par l'utilisation de la programmation à base de tâches sur support d'exécution. Cette thèse a été réalisée dans le cadre de l'action de recherche DIP (Depth Imaging Partnership) qui lie la compagnie pétrolière Total et Inria. / The most common method of Seismic Imaging is the RTM (Reverse Time Migration) which depends on wave propagation simulations in the subsurface. We focused on a 3D elastic wave propagator in anisotropic media, more precisely TTI (Tilted Transverse Isotropic). We directly worked in the Total code DIVA (Depth Imaging Velocity Analysis) which is based on a discretization by the Discontinuous Galerkin method and the Leap-Frog scheme, and developed for intensive parallel computing – HPC (High Performance Computing). We choose to especially target two contributions. Although they required very different skills, they share the same goal: to reduce the computational cost of the simulation. On one hand, classical boundary conditions like PML (Perfectly Matched Layers) are unstable in TTI media. We have proposed a formulation of a stable ABC (Absorbing Boundary Condition) in anisotropic media. The technique is based on slowness curve properties, giving to our approach an original side. On the other hand, the initial parallelism, which is based on a domain decomposition and communications by message passing through the MPI library, leads to load-imbalance and so poor parallel efficiency. We have fixed this issue by replacing the paradigm for parallelism by the use of task-based programming through runtime system. This PhD thesis have been done in the framework of the research action DIP (Depth Imaging Partnership) between the Total oil company and Inria.