The aim of this article is to analyse the aspects that teachers intend to focus on in teaching mathematics and the students' needs, i.e. what is critical for student learning. The article develops an argument for the importance of identifying the “critical aspects” as a basis for the teachers to promote student learning of Mathematics from preschool to upper secondary school. The article concludes that what teachers believe that students need to be offered concerning a specific content of Mathematics does not correspond to students' needs. Gaps between the intended and the enacted object of learning show that both the way the object of learning is offered and the way this is communicated in a teaching situation could be improved.

<p>Syftet med den här rapporten är att se om elever som har svårigheter inom ett specifikt matematiskt område får den undervisning de behöver för att nå upp till målen. En diagnos gjordes med elever i år fyra inom området geometri. De har därefter haft en lektion där en pedagog blivit filmad. Därefter gjordes ytterligare en diagnos med eleverna för att se om resultatet är bättre, sämre eller är oförändrat. Det insamlade materialet analyserades ur ett variationsteoretiskt perspektiv. Resultatet visar på att eleverna har haft möjlighet att överstiga vissa kritiska aspekter med hjälp av undervisningen. Exempelvis lärde de flesta av eleverna de två kritiska aspekterna som framkom, nämligen hörn och sida.</p> / <p>The purpose of this examination paper was to investigate if the pupils that have explicit difficulties with mathematics acquire the help they need to reach the goals they need to achieve. Pupils in grade four got diagnosed within the area of geometry and later they were filmed by an educator in their classroom. Shortly after, another diagnostic test was made to see if the pupils had improved or not. The material that was collected was analysed through the theory of variation. The effect of this showed that the pupils have had the opportunity to overcome certain critical aspects with help of the lectures. For example most pupils learned the two critical aspects that were exposed, and that was corner and side.</p>

Syftet med den här rapporten är att se om elever som har svårigheter inom ett specifikt matematiskt område får den undervisning de behöver för att nå upp till målen. En diagnos gjordes med elever i år fyra inom området geometri. De har därefter haft en lektion där en pedagog blivit filmad. Därefter gjordes ytterligare en diagnos med eleverna för att se om resultatet är bättre, sämre eller är oförändrat. Det insamlade materialet analyserades ur ett variationsteoretiskt perspektiv. Resultatet visar på att eleverna har haft möjlighet att överstiga vissa kritiska aspekter med hjälp av undervisningen. Exempelvis lärde de flesta av eleverna de två kritiska aspekterna som framkom, nämligen hörn och sida. / The purpose of this examination paper was to investigate if the pupils that have explicit difficulties with mathematics acquire the help they need to reach the goals they need to achieve. Pupils in grade four got diagnosed within the area of geometry and later they were filmed by an educator in their classroom. Shortly after, another diagnostic test was made to see if the pupils had improved or not. The material that was collected was analysed through the theory of variation. The effect of this showed that the pupils have had the opportunity to overcome certain critical aspects with help of the lectures. For example most pupils learned the two critical aspects that were exposed, and that was corner and side.

The gap between practise and theory is often described in negative words in teachers’ professional lives. Learning study is a model for teachers´ professional development where a theoretical framework is used to enhance practice. The theoretical framework used by teachers in learning study is variation theory. In this study the research object is variation theory and the aim is to present how variation theory becomes a guiding principle to understand teaching and learning processes. Two questions are in focus in this study: In which different ways do teachers understand variation theory? Which are the critical aspects of understanding the variation theory for these teachers? Seven teachers with different experiences of learning study and variation theory have been interviewed. A fenomenographic approach was used to describe different understandings of the phenomena variation theory. To understand and to analyze the data, variation theory also has been used. As a result of the analysis three qualitative different ways in understanding the theory was found; variation is related to teaching activities, variation is related to pupils understanding and variation is related to an object of learning. Through these three categories, critical aspects of understanding variation theory were identified and these aspects point out two learning processes. The implication of this work shows that variation theory becomes a guiding principle to understand teaching and learning, when teachers relate variation to an object of learning, its critical aspects and pupils´ understanding in focus at the same time. The theory becomes a framework for analyzing and for developing teaching and learning when the theory is used in practice. When teachers use the theory in practice, they create knowledge about what is necessary for pupils´ learning. In this way practice create knowledge about the theory just as teachers are learning more about variation theory. The findings can be seen as a contribution to the discussion about theories relevance for teachers´ professional development.

The aim of the study is to describe the ways in which contrast of critical aspects of the object of learning is used to improve children’s ways of discerning the concept twice as found by analysing a learning study process in Swedish preschool. By that, the attempt is to contribute to an expanded understanding of application of learning study and variation theory in preschool educational practice. One researcher, five preschool teachers and 44 preschool children (6 year olds) participated in the project. The empirical material consists of verbatim transcriptions of three video documented interventions and 132 individual test forms (pre-, post- and delayed post-test). The preschool learning study process analysed in this study has been built up by a joint reflection on the use of contrast of critical aspects related to the intended object of learning. The study suggests that a developed use of contrast of critical aspects of the object of learning seem to have bearing on children’s ways of discerning aspects of their surrounding world short- as well as long term. Main principles found seemingly emerging the children’s ways of discerning the intended object of learning is discussed in terms of separation, contrast and generalisation. However, the study indicates the need of additional complementary learning study projects to further expand the knowledge of what it means and entails to take critical aspects of the intended object of learning into account when dealing with content focus in preschool educational practice.

Sannolikhetslära är ett problematiskt område, vilket stöds av både forskning och av diskussioner med verksamma lärare. Studiens syfte är att identifiera elevers kritiska aspekter inom området samt hur dessa behandlas i undervisningen. Undersökningen genomfördes i årkurs 5 med hjälp av ett diagnostiskt test för att identifiera de kritiska aspekterna. Vidare intervjuades eleverna för djupare förståelse av dess lösningar. De kritiska aspekterna som kunde urskiljas genom elevlösningarna låg till grund för de undervisningstillfällen som observerades. Observationerna synliggjorde hur de kritiska aspekterna hanterades i undervisningen för att hjälpa eleverna till förståelse. Resultatet visade att eleverna har främst svårt att urskilja utfallsrummen, händelser och dess utfall.

Swedish students are showing a continuous deterioration of knowledge about the concept of mathematical place-value and by looking at a closer analysis, made by the TIMSS, it was made even more visible that the concept of place-value, which is associated with our positional system, is very central to students' understanding of the number concept. The PISA - report further demonstrates that it is possible to discern the deteriorating knowledge of students' perceptions of digits’ place-values in calculations of standard algorithms. The study is carried out because I want to explore as well as contribute to the research on the opportunities students are given to understand the positional system. The study aims to create knowledge on students' opportunity to understand the positional system in the sixth grade. The questions the study seeks to answer are the following:  What are the different patterns of variation the students meet during the lesson about the positional system?  Which are the critical aspects that can be discerned when listening to the students' descriptions of the positional system? To get answers to these questions, and thus fulfill the purpose of the study, different teachings have been observed and students have been interviewed. The theory of this work is variation theory. This theory was chosen because it makes it possible to understand many different ways to treat a selected subject of matter as well as to relate it to students' opportunities to learn. Results of the study show that students encounter several different parts of the pattern of variation in the teaching about the positional system, including contrast, generalization and separation. By taking in the students' descriptions of the positional system, three critical aspects could be discerned. These were the place-value together with the significance of zero in multi-digit numbers, numbers properties and lastly number sence. The conclusion is that students have different opportunities to develop an understanding of the positional system in the sixth grade. The possibilities are different depending on which critical aspects that are distinguished by the students in the education of the positional system. / Svenska elever visar kontinuerligt försämrade kunskaper kring begreppet platsvärde och vid en noggrannare granskning av TIMSS (Skolverket, 2012) synliggjordes att begreppet platsvärde, som är förknippat med vårt positionssystem, är ett centralt begrepp för elevers förståelse av talbegrepp. PISA rapporten (Skolverket, 2013) påvisar ytterligare att det går att urskilja försämrade kunskaper om elevers uppfattningar om siffrors platsvärden vid beräkningar av standardalgoritmer. Studien genomfördes för att undersöka och bidra till forskningen om vilka möjligheter elever ges till att förstå positionssystemet. Studien syftar till att bilda kunskap om elevers möjligheter att förstå positionssystemet i årskurs 6. De frågeställningar studien syftar till att besvara är:  Vilka variationsmönster möter elever i undervisning om positionssystemet?  Vilka kritiska aspekter kan urskiljas vid elevers beskrivningar av positionssystemet? För att få svar på frågeställningarna och därmed uppfylla syftet med studien har undervisning observerats och elever intervjuats. I studien finns inslag av variationsteorin. Teorin valdes för att göra det möjligt att förstå hur olika sätt att behandla ett valt ämnesinnehåll relaterar till elevers möjligheter att lära. Studiens resultat visar att elever möter olika variationsmönster i undervisning om positionssystemet, däribland kontrast, generalisering och separation. Vid elevers beskrivningar av positionssystemet kunde det urskiljas tre kritiska aspekter, positionens värde och nollans betydelse i ett flersiffrigt tal, talens egenskaper och talsortsuppfattning. Slutsatsen är att elever har olika möjligheter att utveckla förståelse för positionssystemet i årskurs 6. Möjligheterna ser olika ut beroende på vilka kritiska aspekter eleverna urskilt i undervisning om positionssystemet.

Studiens syfte är att bilda kunskap om elevers förståelse av likhetstecknet och hur undervisning om likhetstecknet i årskurs 3 kan varieras för att bli så effektiv som möjligt. Syftet ska besvaras genom frågeställningarna: vilka variationsmönster som de studerade eleverna kan möta och vilka kritiska aspekter som elever kan identifiera. Kritiska aspekter är det som elever behöver identifiera för att förstå det som ska läras. Variationsmönster innebär att det som är kritiskt i undervisningen ska varieras för att synliggöras. Studien har sin ansats i variationsteorin, där variationsmönster och kritiska aspekter är centrala begrepp. En lektion observerades i årskurs 3 och sex elever valdes ut och intervjuades om likhetstecknet. Resultatet av studien visar att eleverna mötte sex kritiska aspekter i undervisningen. I varje kritisk aspekt mötte eleverna ett eller flera variationsmönster. Studien visar också att alla de intervjuade eleverna har en relationell och instrumentell förståelse av likhetstecknet. Eleverna har förståelse av en kritisk aspekt, som den observerade lektionen inte hade berört, nämligen att alla tal måste ingå i en uppgift för att lösningen ska vara korrekt. Fyra av sex elever har förståelse av den kritiska aspekten att det ska vara ekvivalens i en kedja av likheter. Resultatet visar också att elevernas förståelse av likhetstecknet inte är beroende av att de möter variationsmönster i undervisningen, men att de möter de kritiska aspekterna på något sätt. / The aim of the study is to explore the understanding of the equal sign and how the teaching about the equal sign among third grade students can be varied to be as effective as possible.  The aim will be answered trough the questions: what patterns of variation can the studied students meet and what critical aspects have the students identified. Patterns of variation means that what is critical in the teaching should be varied to become visible. Critical aspects is what students need to identify to understand what should be learned. The foundation of the study is the Variation Theory, where patterns of variation and critical aspects are central concepts. The observations were accomplished during a third grade lesson and six students were selected for interviews about the equal sign. The result of the study shows that the students met six critical aspects during the lesson. For every critical aspect there were one or several patterns of variation that was exposed to the students. The result also states that the students who were interviewed have a relational and instrumental understanding of the equal sign. The students also have understanding of a critical aspect that they did not meet in the observed lesson, namely that all numbers have to enter in a task. Four out of six students have understanding of the critical aspect that there should be equivalence in a chain of similarities. The result also show that the students understanding of the equal sign is not dependent of that they meet patterns of variation in the teaching, but that they meet the critical aspects somehow.

Framförvarande arbete är en empirisk studie som fokuserar på kritiska aspekter; elevers skilda uppfattningar av samma lärandeinnehåll. Syftet är att identifiera kritiska aspekter i undervisning av taluppfattning i årskurs 2. En Learning Study har utförts som innebär att två elevgrupper har genomfört ett identiskt för- och eftertest med lektioner däremellan. Resultatet har analyserats med hjälp av variationsteorin, som syftar till att effektivt och ändamålsenligt variera samma lärandeinnehåll. Resultatet identifierade följande kritiska aspekter i undervisningen: öppna utsagor med subtraktion, begreppsförmågan, muntliga kommunikationen samt elevens tålamod. Begreppsförmågan handlar om att eleverna hanterar anvisade uppgifter på ett korrekt sätt. Den muntliga kommunikationen är övergripande och påverkar förståelsen av det centrala ämnesinnehållet. Elevernas tålamod är beroende av inre och yttre förutsättningar. Resultatet visade även att kritiska aspekter är dynamiska och förändras kontinuerligt i undervisningsprocessen. Det ställer krav på pedagogens förmåga att kontinuerligt observera, organisera och reflektera i skolverksamheten. Pedagoger och elever som uppmärksammar kritiska aspekter i undervisningen har sannolikt större möjlighet att undanröja hinder och missuppfattningar i elevernas lärande, vilket utvecklar ett gynnsamt lärande.

Framförvarande arbete är en systematisk litteraturstudie som syftar till att identifiera kritiska aspekter relaterat till taluppdelning vid utveckling av en god taluppfattning, huvudsak i årskurs 1-3. Kritiska aspekter innebär att elever uppfattar samma lärandeinnehåll på olika sätt. Datainsamlingen består av vetenskapliga artiklar och avhandlingar samt övriga relevanta publikationer som har avsikt att generera en övergripande bild inom forskningsområdet. Resultatanalysen presenterar tidigare forskning beträffande taluppfattning och taluppdelning. Därefter utförs en kategorisering av informationen som framkommit i de granskade vetenskapliga artiklarna och publikationerna. Kategoriseringen är baserad på fem aspekter och kommer att integreras med ramverket variationsteorin och fokuserar framförallt på begreppen generalisering, variationsmönster och kritiska aspekter. De fem utvalda kategorierna för att urskilja kritiska aspekter i förhållande till en god taluppfattning är: förståelse för talens olika representationer, relationen antal – mängd, begreppsinlärning, kommunikation – elevernas fysiska miljö och individuella erfarenheter, organisation och reflektion över utvalt lärandeinnehåll. Resultatanalysen visar att kunskapen att hantera uppdelning av tal i olika situationer sammanhänger med utveckling av en grundläggande taluppfattning för hur tal kan representeras i skilda situationer. För att utveckla en grundläggande taluppfattning är det viktigt att synliggöra kritiska aspekter under hela lärprocessen. Resultatet visar att det ä rbetydelsefullt att utveckla förmågan att dela upp tal i skilda konstellationer för att hantera skillnaden mellan antal och mängdbegreppet. Begreppsinlärning är ytterligare en grundprincip och kritisk aspekt som inkluderar en språklig dimension av matematik. För att förstå innehållet i undervisningen måste eleverna känna till vad begreppen inom ämnesområdet statuerar. En god begreppsinlärning hjälper eleverna att välja ut relevanta räknestrategier till anvisad taluppgift. En övergripande faktor för att identifiera kritiska aspekter är muntlig kommunikation kopplat till elevernas fysiska miljö och individuella erfarenheter. Muntlig kommunikation som synliggörs på ett relevant sätt kan medverka till att variationer av samma lärandeinnehåll upplevs som tillvaratagande av kunskap, och inte orsakar hinder vid inlärningen. Sammanfattningsvis är det väsentligt att ställa kritiska aspekter mot varandra för att skapa ett intimt förhållande mellan vilka situationer som bidrar till ett ökat lärande och vilket lärandeinnehåll som inte genererar möjligheter till att tillvarata kunskap på ett relevant sätt. Nyckelbegrepp: Taluppfattning, taluppdelning, kritiska aspekter, målorienterad undervisning.