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O problema de Dirichlet em domínios limitados / The Dirichlet problem on bounded domainsMota, Adalgisa Mendonça 15 April 2011 (has links)
In this work we use two approach to prove the existence of solutions for the Classical Dirichlet Problem on bounded domains. The first method is applied to domains with smooth boundary and is based on the Single and Double Layer Potentials Theory. The second method uses the Variational Dirichlet Principle to solve the Dirichlet Problem in plane domains with boundary less regular than the previous case; more precisely, boundary satisfying the property of the outer triangle. / Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas / Nesta dissertação usamos duas abordagens diferentes para provar a existência de soluções para o Problema de Contorno de Dirichlet Clássico em domínios limitados. Aplicamos o primeiro método quando estamos trabalhando com domínios cuja fronteira é duas vezes continuamente diferenciável. Essa abordagem baseia-se na Teoria dos Potenciais de Camadas Simples e Dupla, onde a teoria de operadores compactos tem um papel fundamental. O segundo método usa o Princípio Variacional de Dirichlet para resolver o problema em domínios do plano com fronteiras menos regulares que no caso anterior; a saber, fronteiras que satisfazem a condição do triângulo exterior.
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O problema de Dirichlet assintótico para a equação das superfícies mínimas em uma variedade Cartan-Hadamard rotacionalmente simétricaPereira, Fabiano January 2015 (has links)
Neste trabalho estudamos o problema de Dirichlet assintótico para a equação das superfícies mínimas em uma superfície de Cartan-Hadamard rotacionalmente simétrica e mostramos que o problema e unicamente solúvel para qualquer dado contínuo em seu bordo assintótico. / In this work we study the asymptotic Dirichlet problem for the minimal surface equation on rotationally symmetric Cartan-Hadamard surfaces. We prove that the problem is uniquely solvave for any continuous asymptotic boundary data.
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O problema de Dirichlet para a equação de hipersuperfície mínima em M x R com bordo assintótico prescritoTelichevesky, Miriam January 2010 (has links)
O objetivo central deste trabalho consiste em demonstrar a existência de gráficos mínimos C2,x com fronteira assintótica prescrita na variedade produto M R, onde M e completa, simplesmente conexa, com curvatura seccional KM satisfazendo KM ≤ -k2 < 0 e tal que, para algum p Є M, o subgrupo de isotropia de Iso(M) em p age de modo 2-pontos homogêneo nas esferas geodésicas centradas em p. / The main purpose of this work consists on proving the existence of minimal C2,x graphics with prescribed asymptotic boundary in the product manifold M R, where M is a complete, simply connected manifold with sectional curvature KM satisfying KM ≤ -k2 < 0 and such that, for some p 2 M, the isotropy subgroup of Iso(M) in p acts in a 2-points homogeneous way in the geodesic spheres centered in p.
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O problema de Dirichlet para a equação de hipersuperfície mínima em M x R com bordo assintótico prescritoTelichevesky, Miriam January 2010 (has links)
O objetivo central deste trabalho consiste em demonstrar a existência de gráficos mínimos C2,x com fronteira assintótica prescrita na variedade produto M R, onde M e completa, simplesmente conexa, com curvatura seccional KM satisfazendo KM ≤ -k2 < 0 e tal que, para algum p Є M, o subgrupo de isotropia de Iso(M) em p age de modo 2-pontos homogêneo nas esferas geodésicas centradas em p. / The main purpose of this work consists on proving the existence of minimal C2,x graphics with prescribed asymptotic boundary in the product manifold M R, where M is a complete, simply connected manifold with sectional curvature KM satisfying KM ≤ -k2 < 0 and such that, for some p 2 M, the isotropy subgroup of Iso(M) in p acts in a 2-points homogeneous way in the geodesic spheres centered in p.
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O problema de Dirichlet assintótico para a equação das superfícies mínimas em uma variedade Cartan-Hadamard rotacionalmente simétricaPereira, Fabiano January 2015 (has links)
Neste trabalho estudamos o problema de Dirichlet assintótico para a equação das superfícies mínimas em uma superfície de Cartan-Hadamard rotacionalmente simétrica e mostramos que o problema e unicamente solúvel para qualquer dado contínuo em seu bordo assintótico. / In this work we study the asymptotic Dirichlet problem for the minimal surface equation on rotationally symmetric Cartan-Hadamard surfaces. We prove that the problem is uniquely solvave for any continuous asymptotic boundary data.
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O problema de Dirichlet assintótico para a equação das superfícies mínimas em uma variedade Cartan-Hadamard rotacionalmente simétricaPereira, Fabiano January 2015 (has links)
Neste trabalho estudamos o problema de Dirichlet assintótico para a equação das superfícies mínimas em uma superfície de Cartan-Hadamard rotacionalmente simétrica e mostramos que o problema e unicamente solúvel para qualquer dado contínuo em seu bordo assintótico. / In this work we study the asymptotic Dirichlet problem for the minimal surface equation on rotationally symmetric Cartan-Hadamard surfaces. We prove that the problem is uniquely solvave for any continuous asymptotic boundary data.
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O problema de Dirichlet para a equação de hipersuperfície mínima em M x R com bordo assintótico prescritoTelichevesky, Miriam January 2010 (has links)
O objetivo central deste trabalho consiste em demonstrar a existência de gráficos mínimos C2,x com fronteira assintótica prescrita na variedade produto M R, onde M e completa, simplesmente conexa, com curvatura seccional KM satisfazendo KM ≤ -k2 < 0 e tal que, para algum p Є M, o subgrupo de isotropia de Iso(M) em p age de modo 2-pontos homogêneo nas esferas geodésicas centradas em p. / The main purpose of this work consists on proving the existence of minimal C2,x graphics with prescribed asymptotic boundary in the product manifold M R, where M is a complete, simply connected manifold with sectional curvature KM satisfying KM ≤ -k2 < 0 and such that, for some p 2 M, the isotropy subgroup of Iso(M) in p acts in a 2-points homogeneous way in the geodesic spheres centered in p.
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[en] A PRIORI GRADIENT ESTIMATES, EXISTENCE AND NON-EXISTENCE FOR A MEAN CURVATURE EQUATION IN HYPERBOLIC SPACE / [pt] ESTIMATIVAS A PRIORI DO GRADIENTE, EXISTÊNCIA E NÃO-EXISTÊNCIA, PARA UMA EQUAÇÃO DA CURVATURA MÉDIA NO ESPAÇO HIPERBÓLICOELIAS MARION GUIO 07 August 2003 (has links)
[pt] Um resultado clássico no âmbito de equações diferenciais
parciais e de geometria diferencial é o seguinte: Dada uma
constante a existe uma condição da fronteira do domínio
(Omega) de maneira que o problema de Dirichlet para a
equação da curvatura média a no espaço Euclidiano é sempre
solúvel. Este é um teorema devido a Serrin (1969). Além
disso, se a condição de Serrin não for satisfeita, há um
resultado de não-existência. A partir disso foi perguntado
se um resultado similar valeria no espaço Hiperbólico. A
finalidade desta tese é dar uma resposta afirmativa a esta
pergunta, exibindo uma condição tipo Serrin. De maneira que
obtém-se existência de superfícies cujo gráfico tenha
curvatura média hiperbólica pré-determinada H(x) no espaço
hiperbólico. O resultado é sharp no sentido que se tal
condição for negada então não-existência pode ser
estabelecida. O ponto central é uma estimativa a priori do
gradiente de uma tal solução. / [en] A classical result in Partial Differential Equations and
Differential Geometrydue to Serrin (1969) is the following:
Given a constant (alfa) there exists a condition on the
boundary of the domain (omega)such that the Dirichlet
problem for the mean equation (alfa)is solvable. Besides,
if Serrin's condition fails there is a non-existence
result. Taking into account this classical result one may
ask if a similar theorem holds in hyperbolic space. The
goal of this thesis is to give a positive answer to this
question establishing a certain Serrin type condition. Thus
we obtain existence of surfaces whose graphs has prescribed
mean curvature H(x) in hyperbolic space. This result is
sharp because if the condition is not satisfied then a non-
existence result can be inferred. The main point of the
argument is some a priori gradient estimate and degree
theory.
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On Steiner Symmetrizations of First Exit Time Distributions and Levy ProcessesTimothy M Rolling (16642125) 25 July 2023 (has links)
<p>The goal of this thesis is to establish generalized isoperimetric inequalities on first exit time distributions as well as expectations of L\'evy processes.</p>
<p>Firstly, we prove inequalities on first exit time distributions in the case that the L\'evy process is an $\alpha$-stable symmetric process $A_t$ on $\R^d$, $\alpha\in(0,2]$. Given $A_t$ and a bounded domain $D\subset\R^d$, we present a proof, based on the classical Brascamp-Lieb-Luttinger inequalities for multiple integrals, that the distribution of the first exit time of $A_t$ from $D$ increases under Steiner symmetrization. Further, it is shown that when a sequence of domains $\{D_m\}$ each contained in a ball $B\subset\R^d$ and satisfying the $\varepsilon$-cone property converges to a domain $D'$ with respect to the Hausdorff metric, the sequence of distributions of first exit times for Brownian motion from $D_m$ converges to the distribution of the exit time of Brownian motion from $D'$. The second set of results in this thesis extends the theorems from \cite{BanMen} by proving generalized isoperimetric inequalities on expectations of L\'evy processes in the case of Steiner symmetrization.% using the Brascamp-Lieb-Luttinger inequalities used above. </p>
<p>These results will then be used to establish inequalities involving distributions of first exit times of $\alpha$-stable symmetric processes $A_t$ from triangles and quadrilaterals. The primary application of these inequalities is verifying a conjecture from Ba\~nuelos for these planar domains. This extends a classical result of P\'olya and Szeg\"o to the fractional Laplacian with Dirichlet boundary conditions.</p>
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The History of the Dirichlet Problem for Laplace’s EquationAlskog, Måns January 2023 (has links)
This thesis aims to provide an introduction to the field of potential theory at an undergraduate level, by studying an important mathematical problem in the field, namely the Dirichlet problem. By examining the historical development of different methods for solving the problem in increasingly general contexts, and the mathematical concepts which were established to support these methods, the aim is to provide an overview of various basic techniques in the field of potential theory, as well as a summary of the fundamental results concerning the Dirichlet problem in Euclidean space. / Målet med detta arbete är att vara en introduktion på kandidatnivå till ämnesfältet potentialteori, genom att studera ett viktigt matematiskt problem inom potentialteori, Dirichletproblemet. Genom att undersöka den historiska utvecklingen av olika lösningsmetoder för problemet i mer och mer allmänna sammanhang, i kombination med de matematiska koncepten som utvecklades för att användas i dessa lösningsmetoder, ges en översikt av olika grundläggande tekniker inom potentialteori, samt en sammanfattaning av de olika matematiska resultaten som har att göra med Dirichletproblemet i det Euklidiska rummet.
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