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Entdeckendes Lernen spielt nicht nur im Mathematikunterricht eine große Rolle. Wer fähig ist, etwas zu entdecken, kann diese Kompetenz auch im alltäglichen Leben nutzen, um neue Zusammenhänge mit Hilfe von bereits vorhandenem Wissen zu erschließen. Diese Arbeit stellt Überlegungen an, wie Schüler Mathematik eigenständig entdecken können.

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Statistical Procedures for modelling a random phenomenon heavily depend on the choice of a certain family of probability distributions. Frequently, this choice is governed by a good mathematical feasibility, but disregards that some distribution properties may contradict reality. At most, the choosen distribution may be considered as an approximation. The present thesis starts with a construction of distributions, which uses solely available information and yields distributions having greatest uncertainty in the sense of the maximum entropy principle. One of such distributions is the monotonic distribution, which is solely determined by its support and the mean. Although classical frequentist statistics provides estimation procedures which may incorporate prior information, such procedures are rarely considered. A general frequentist scheme for the construction of shortest confidence intervals for distribution parameters under prior information is presented. In particular, the scheme is used for establishing confidence intervals for the mean of the monotonic distribution and compared to classical procedures. Additionally, an approximative procedure for the upper bound of the support of the monotonic distribution is proposed. A core purpose of auditing sampling is the determination of confidence intervals for the mean of zero-inflated populations. The monotonic distribution is used for modelling such a population and is utilised for the procedure of a confidence interval under prior information for the mean. The results are compared to two-sided intervals of Stringer-type. / Statistische Verfahren zur Modellierung eines zufälligen Phänomens hängen stark von der Wahl einer bestimmter Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ab. Oft wird die Auswahl der Verteilung durch das Vorliegen guter mathematischer Handhabbarkeit bestimmt, dabei aber außer Acht gelassen, dass einige Verteilungseigenschaften gegen die Realität verstoßen können und bestenfalls als Näherung aufgefasst werden können. Die vorgelegte Arbeit beginnt mit einer Konstruktion von Verteilungen, die ausschließlich verfügbare Informationen verwenden und im Sinne des Prinzips der maximalen Entropie die größte Unsicherheit beinhalten. Eine dieser Verteilungen ist die monotone Verteilung, die alleine durch ihren Träger und den Mittelwert festgelegt ist. In der klassischen, frequentistischen Statistik existieren zwar Verfahren zur Schätzung von Verteilungsparametern, die Vorinformationen verarbeiten können, sie finden aber kaum Beachtung. Es wird ein allgemeines frequentistisches Verfahren zur Konstruktion kürzester Konfidenzintervalle für Verteilungsparameter unter Vorinformation vorgestellt. Dieses Verfahren wird zur Herleitung von Konfidenzintervallen für das erste Moment der monotonen Verteilung angewendet, und diese mit klassischen Bereichsschätzern verglichen. Außerdem wird ein approximatives Schätzverfahren für die obere Grenze des Trägers der Monotonen Verteilung vorgeschlagen. Ein Hauptziel der Wirtschaftsprüfung ist die Bestimmung von Konfidenzintervalle für Mittelwerte von Grundgesamtheiten zu bestimmen, die viele Nullen enthalten. Die monotone Verteilung geht in die Modellierung einer solchen Grundgesamtheit und in das Verfahren für ein Konfidenzintervall unter Vorinformation zur Schätzung des Mittelwerts ein. Die Ergebnisse werden mit zweiseitigen Intervallen vom Stringer-Typ verglichen.

We compute genus-0 Belyi maps with prescribed monodromy and strictly verify the computed results. Among the computed examples are almost simple primitive groups that satisfy the rational rigidity criterion yielding polynomials with prescribed Galois groups over Q(t). We also give an explicit version of a theorem of Magaard, which lists all sporadic groups occurring as composition factors of monodromy groups of rational functions. / Wir berechnen Geschlecht-0 Belyi-Funktionen mit vorgegebener Monodromiegruppe und liefern rigorose Verifikationsbeweise. Unter den berechneten Exemplaren finden sich fast-einfache primitive Gruppen, welche das sogenannte "Rationale-Starrheitskriterium" erfüllen, die zu Galois-Realisierungen über Q(t) führen. Außerdem liefern wir eine explizite Version eines Satzes von Magaard, der alle sporadischen Gruppen auflistet, die als Kompositionsfaktoren von Monodromiegruppen rationaler Funktionen auftreten.

Im Rahmen der Qualitätsentwicklung und -sicherung von Unterricht wurden in den letzten zwei Jahrzehnten auf Bundes- und Länderebene auch Maßnahmen zur Professionalisierung von Lehr-personen festgelegt. Vor diesem Hintergrund begannen 2012 am Deutschen Zentrum für Lehrerbildung Mathematik (DZLM) auch Arbeiten, um bestehende Fortbildungsangebote für Grundschullehrkräfte zu erweitern. In dieser Arbeit wird das Konzept einer Stochastik-Fortbildung für Lehrpersonen, die Mathematik in der Grundschule unterrichten, vorgestellt. Die Entwicklung greift Forschungserkenntnisse zum Verständnis von professioneller Kompetenz von Lehrpersonen und zur Gestaltung von Professionalisierungsprozessen auf und bindet konzeptionell Impulse für Unterrichtsentwicklungsprozesse ein. In fünf Kursdurchführungen wurde das Konzept realisiert und hinsichtlich seiner Umsetzbarkeit untersucht. Die in diesem Rahmen gewonnenen Daten von 120 Lehrpersonen geben detailliertere Einsichten in Entwicklungsprozesse unterschiedlich qualifizierter Lehrpersonen. Die Ergebnisse zeigen insbesondere, dass in der fachinhaltlich orientierten Fortbildung ein fachlicher und fachdidaktischer Wissenszuwachs erreicht werden kann. Die Defizite bezüglich einer mathematischen Grundausbildung eines Lehramts können bei Lehrpersonen, die Mathematik fachfremd unterrichten, auf diesem Weg aber nicht überwunden werden. Die Untersuchungen zeigen zudem, dass die qualifikationsheterogene Zusammensetzung der Kursgruppen die Durchführung und das Lernen der Lehrpersonen bereichern. Mit der Einbindung des Konzepts der Professionellen Lerngemeinschaft (PLG) in den Kurs und Erprobungen in den Praxisphasen gelingt es, Impulse für Unterrichtsentwick-lungsprozesse zu geben. Diese Fortbildung kann ein berufsbegleitender Baustein in der Ausprägung von Lehrkräfteprofessionalität sein und den lang andauernden Prozess der Konstruktion und Selbstkonstruktion des Berufs unterstützen. / In the past two decades, increasing the quality of mathematics teaching and learning, particularly fostering the professional knowledge and skills of teachers has been researched in depth. Before this background, the German Center for Mathematics Education (Deutsches Zentrum für Lehrerbildung Mathematik, DZLM) started from 2012 onwards to offer professional development (PD) courses for teachers and facilitators. This thesis presents a concept for a PD course on stochastics for primary teachers, which draws on recently gained empirical evidences on appropriate professional competencies and on design elements relevant for effective professionalization. The concept of the PD course also includes building professional learning communities (PLCs) to initiate teachers´ ongoing professional growth through working collaboratively on improving their classroom practices. The long-lasting PD course has been conducted five times and data was gained to evaluate the feasibility of the concept. That is, the data acquired from 120 teachers provided detailed insight into the personal development of teachers with different qualifications, including those teaching out-of-field. The results show that a PD course focusing on a certain subject leads to an increase of both content knowledge professional content knowledge. However, deficits due to a missing basic education in mathematics - as for teachers not specialized on mathematics - cannot be totally overcome by this PD course. However, the results indicate that the heterogeneous teacher groups possessing different qualifications enrich the learning processes of all participants. Including the PLC concept into the PD course and conducting practical phases to probe issues in the classroom were both decisive impulses helping teachers to further develop their practices. Thus, the PD course proved to be effective with respect to fostering teachers´ professional knowledge and skills sustainably and contributed to teachers´ life-long and ongoing learning.

Die Entwicklung mathematischer Kompetenzen beginnt bereits vor Schuleintritt und wird durch viele Faktoren beeinflusst. In der vorliegenden Arbeit wird primär untersucht, ob die phonologische Bewusstheit als (meta-)sprachliche Kompetenz auch für die frühe mathematische Kompetenzentwicklung bedeutsam ist und ob sich bei Kindern mit und ohne Migrationshintergrund vergleichbare Zusammenhänge finden lassen. Ein weiterer Schwerpunkt bildet die Überprüfung von differenziellen Effekten von ausgewählten, mathematischen Vorschultrainings sowie eines Trainings der phonologischen Bewusstheit auf die mathematischen Kompetenzen unter Berücksichtigung des Migrationshintergrundes. Die statistischen Analysen basieren auf einer Stichprobe von über 370 Kindern, die im Verlauf der Längsschnittstudie zu vier Messzeitpunkten, jeweils am Beginn und Ende des Vorschul- bzw. ersten Schuljahres, untersucht wurden. Durch Berechnung hierarchischer Regressionsanalysen ließ sich global kein zusätzlicher Erklärungsbeitrag der phonologischen Bewusstheit neben den mathematischen Ausgangskompetenzen feststellen. Der Vergleich der beiden Migrationsgruppen ergab keine strukturellen Unterschiede. Die Überprüfung von spezifischen Effekten durch mathematische Vorschulprogramme (Krajewski et al., 2007; Friedrich & de Galgóczy, 2004; Preiß, 2004, 2005) und von unspezifischen Effekten durch ein Training der phonologischen Bewusstheit und der Buchstaben-Laut-Zuordnung (Küspert & Schneider, 2008; Plume & Schneider, 2004) auf die mathematischen Kompetenzen lieferte nur vereinzelt positive Effekte, die jedoch bei Berücksichtigung von individuellen und familiären Kontrollvariablen reduziert wurden. Die Generalisierbarkeit der Ergebnisse ist durch die komplexe Datenstruktur verbunden mit kleinen Stichprobengrößen in den jeweiligen Faktorenstufen limitiert. Insgesamt ermöglicht die vorliegende Arbeit eine differenzierte Betrachtung der mathematischen Kompetenzentwicklung bei Kindern mit und ohne Migrationshintergrund und liefert wichtige Implikationen für Forschung und Praxis. / The development of mathematical competencies begins even before entering school and is influenced by many factors. The present work primarily investigates whether phonological awareness as a (meta-)linguistic competence is also important for the early development of mathematical competencies and whether comparable relations can be found in children with and without migration background. Another focus is the examination of differential effects of selected, mathematical preschool trainings as well as a training of phonological awareness on mathematical competencies, taking into account the migration background. The statistical analyses are based on a sample of over 370 children who were examined at four measurement points during the longitudinal study, each at the beginning and end of the preschool or first school year. By calculating hierarchical regression analyses, no additional explanatory contribution of phonological awareness in addition to the initial mathematical competencies could be determined globally. The comparison of children with and without migration background revealed no structural differences. The verification of specific effects by preschool mathematical trainings (Krajewski et al., 2007; Friedrich & de Galgóczy, 2004; Preiß, 2004, 2005) and of non-specific effects by a training of phonological awareness and of letter-sound correspondences (Küspert & Schneider, 2008; Plume & Schneider, 2004) on mathematical competencies provides only some positive effects, which have been reduced when individual and family aspects were controlled for. The generalizability of the results is limited by the complex data structure combined with small sample sizes in the respective factor levels. Overall, the present work enables a differentiated consideration of the development of competencies in mathematics in children with and without migration background and provides important implications for research and practice.

In dieser Arbeit wird eine detaillierte Analysis des konsistenten kinetischen Modells zum Kornwachstum von Fradkov durchgeführt. Dieses Modell beschreibt - basierend auf dem von Neumann--Mullins Gesetz - die Flächenänderung eines Korns abhängig von seiner Topologieklasse, d.h. der Anzahl der Kanten. Topologieänderungen werden durch Kopplungsterme zwischen den Gleichungen für die Anzahldichten der verschiedenen Topologieklassen beschrieben. Daraus resultiert ein unendlich-dimensionales System von Transportgleichungen mit tridiagonaler Kopplungsstruktur. Durch eine spezielle Wahl des Kopplungsgewichts, welche die Gleichungen nichtlinear und räumlich nichtlokal macht, wird das Modell konsistent. Nach einer Einführung wird das Modell von Fradkov im zweiten Kapitel hergeleitet; formale Rechnungen zeigen die Konsistenz des Modells auf. Im dritten Kapitel wird das Kopplungsgewicht a priori beschränkt. Dadurch kann im ersten Teil des vierten Kapitels Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für endlich-dimensionale Systeme gezeigt werden. Weitere Schranken an die Anzahldichten im fünften Kapitel ermöglichen den Grenzübergang hinsichtlich der Anzahl der Gleichungen im zweiten Teil des vierten Kapitels. Die Existenz von Lösungen des unendlich-dimensionalen Systems wird somit über eine geeignete Approximation gezeigt. Energiemethoden liefern Eindeutigkeit und stetige Abhängigkeit von den Daten. Im sechsten Kapitel wird das Langzeitverhalten untersucht. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf stationären Lösungen eines reskalierten Systems als Kandidaten für selbstähnliche Lösungen. Abschließend wird das Lewis''sche Gesetz asymptotisch verifiziert. / The subject matter of this thesis is a detailed analysis of the self--consistent kinetic model for grain growth introduced by Fradkov. The model is based on the von Neumann--Mullins law describing the change of area of grains according to their topological class, i.e. the number of edges they have. Topological events are performed by coupling terms between equations for the number densities of different topological classes. The resulting system of transport equations is infinite-dimensional with a tridiagonal coupling structure. Self-consistency of this kinetic model is achieved by introducing a coupling''s weight making the equations nonlinear and nonlocal in space. We start with an introduction in the first chapter. Afterwards in the second chapter we derive Fradkov''s model and carry out formal calculations to illustrate self-consistency. In the third chapter we present a priori calculations mainly allowing us to bound the nonlinearity. This enables us to prove existence and uniqueness of solutions to finite-dimensional systems in the first part of the fourth chapter. Further bounds on the number densities established in the fifth chapter allow for passing to the limit concerning the number of equations in the second part of the fourth chapter. Therefore we prove existence of solutions to the infinite-dimensional system by a suitable approximation procedure. Uniqueness and continuous dependence on the data is then provided by energy methods. The sixth chapter focusses on long-time behaviour and mainly on stationary solutions of a rescaled system as candidates for self-similar solutions. Finally we prove Lewis'' law asymptotically.