Educators strive to improve student learning outcomes and there are numerous theories suggesting how this is best achieved. However, application of these theories to the coal face of a classroom is often fraught with obstacles resulting in poor outcomes. Constraints imposed by educational policy, school systems, structures and the individual students themselves, realistically require adaptation of theoretical techniques if genuine learning is to be imparted to students. This paper discusses some of the issues surrounding the practical implementation of new methodologies into the classroom and identifies important factors that affect teenagers in their learning of mathematics. Working within the constraints, constantly confronted with obstacles, can be frustrating and demoralising. This paper reflects on twenty years of classroom teaching of mathematics to students with relatively poor socio-economic backgrounds and the lessons learnt from them that may assist teachers to remain enthusiastic and creative with the energy to truly improve mathematics education. Key issues explored in the paper include: ‘Realities of a teacher’s working day’, ‘The learning of mathematics within a government secondary system’, and ‘What can be done to ensure mathematical learning takes place?’

Educators strive to improve student learning outcomes and there are numerous theories suggesting how this is best achieved. However, application of these theories to the coal face of a classroom is often fraught with obstacles resulting in poor outcomes. Constraints imposed by educational policy, school systems, structures and the individual students themselves, realistically require adaptation of theoretical techniques if genuine learning is to be imparted to students. This paper discusses some of the issues surrounding the practical implementation of new methodologies into the classroom and identifies important factors that affect teenagers in their learning of mathematics. Working within the constraints, constantly confronted with obstacles, can be frustrating and demoralising. This paper reflects on twenty years of classroom teaching of mathematics to students with relatively poor socio-economic backgrounds and the lessons learnt from them that may assist teachers to remain enthusiastic and creative with the energy to truly improve mathematics education. Key issues explored in the paper include: ‘Realities of a teacher’s working day’, ‘The learning of mathematics within a government secondary system’, and ‘What can be done to ensure mathematical learning takes place?’

Es gibt wohl kaum Wissenschaftsgebiete, in denen die wechselseitige Beeinflussung stärker ist als zwischen Mathematik und Physik. Eine wichtige Frage ist dabei die nach der konkreten Ausgestaltung dieser Wechselbeziehungen, etwa an einer Universität, oder die nach prägenden Merkmalen in der Entwicklung dieser Beziehungen in einem historischen Zeitabschnitt. Im Rahmen eines mehrjährigen Akademieprojekts wurden diese Beziehungen an den Universitäten in Leipzig, Halle und Jena für den Zeitraum vom Beginn des 19. bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts untersucht und in fünf Bänden dargestellt. Der erste dieser Bände erschien in den Abhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, die nachfolgenden (u.a. der vorliegende) als eigenständige Reihe unter dem Titel “Studien zur Entwicklung von Mathematik und Physik in ihren Wechselwirkungen“. Ein weiterer und abschließender Band dieser Reihe beinhaltet die Beiträge einer wissenschaftshistorischen Fachtagung im Jahr 2010, die das Thema in einem internationalen Kontext einbettet. Der vorliegende Band behandelt den Zeitraum von 1905 bis 1945 an der Universität Leipzig. In diese Zeit fällt der fulminante Aufstieg der Leipziger theoretischen Physik nach einer längeren Stagnationsphase zu einem führenden Zentrum der quanten- und kernphysikalischen Forschungen durch das Wirken von Peter Debye und Werner Heisenberg sowie Friedrich Hund. Nahezu gleichzeitig erfuhren auch die Wechselbeziehungen zwischen Mathematik und Physik durch die Zusammenarbeit der theoretischen Physiker mit dem ebenfalls neu berufenen Mathematik-Ordinarius Bartel Leendert van der Waerden (1930) einen starken Entwicklungsschub. Zuvor hatten sich die Lehr- und Forschungsbedingungen der Mathematiker durch die Schaffung eines eigenen Institutsgebäudes (1905) spürbar verbessert. Diese erfolgreiche Entwicklung wurde nach der Machtergreifung der Nationalsozialisten jäh unterbrochen.:Vorwort 1 Einleitung 2 Grundzüge der Entwicklung von Mathematik und Physik zu Beginn des 20. Jahrhunderts 2.1 Wichtige Trends in der Mathematik zu Beginn des 20. Jahrhunderts 2.2 Von der Quantenhypothese bis zur Quantenmechanik 2.3 Wandlungen im Wechselverhältnis von Mathematik und Physik 3 Die Veränderungen in der Personalstruktur bis zum Jahre 1914 3.1 Sachsen im Jahrzehnt vor dem Ersten Weltkrieg 3.2 Das neue Physikalische Institut und die Erweiterung des Lehrkörpers 3.3 Die Begründung einer Professur für Geschichte der Physik 3.4 Die Geophysik etabliert sich in Leipzig 3.5 Die Arbeit am Mathematischen Institut bis zum Jahre 1914 4 Der Erste Weltkrieg und die ersten Jahre der Weimarer Republik 4.1 Die Leipziger Physiker während und nach dem Ersten Weltkrieg 4.2 Die Hinwendung zur modernen theoretischen Physik 4.3 Die Neuprofilierung des Physikalischen Instituts 4.4 Die Veränderungen an den Lehrstühlen für Geophysik und Astronomie 4.5 Das Mathematische Institut in der Kriegs- und Nachkriegszeit 5 Die Vorlesungsaktivitäten zur mathematischen und theoretischen Physik in den Jahren 1905 – 1928 6 Das wissenschaftliche Leben auf den Gebieten der Mathematik und Physik sowie der angrenzenden Fächer 6.1 Wieners Ringen um einen einheitlichen Aufbau der Physik 6.2 Die Aktivitäten in den einzelnen Abteilungen des Physikalischen Instituts 6.3 Die Forschungen am Theoretisch-Physikalischen Institut 6.4 Neu und sogleich von Weltgeltung – die Geophysik in Leipzig 6.5 Von Neumann bis Lichtenstein – Kontinuität der mathematischen Physik? 6.6 Die Forschungen der außerordentlichen Professoren und Privatdozenten – Mengenlehre, Differentialgeometrie, Funktionentheorie, Zahlentheorie 6.7 Die fehlende Astrophysik – das Manko der Astronomie 6.8 Veränderungen in der Rolle der Sächsischen Akademie 7 Leipzigs Sternstunde in der theoretischen Physik und der bittere Niedergang 7.1 Veränderungen in den Wissenschaften 7.2 Die Profilierung des Physikalischen Instituts als Zentrum der theoretischen Physik 7.3 Das Geophysikalische Institut 7.4 Der mühsame Weg bei der Bewahrung der Tradition am Mathematischen Institut 7.5 Die Wiederbesetzung der Lichtenstein’schen Professur – die Rolle der angewandten Mathematik 7.6 Die Assistenten am Mathematischen Institut 7.7 Auseinandersetzungen um die Leitung des Mathematischen Instituts 7.8 Die Erneuerung des Instituts für Versicherungswissenschaft 7.9 Der schwere Stand der Astronomie 8 Das Lehrangebot in Mathematik und Physik in den Jahren 1928 – 1945 9 Mathematik und Physik in Leipzig – Vom sprudelnden Quell zum schwachen Rinnsal 9.1 Die Blüte der Leipziger theoretischen Physik 9.2 Die Aufklärung der Molekülstruktur – das zentrale Arbeitsthema von Debye und Hund 9.3 Die Erfolge der Abteilungen für technische Physik 9.4 Die Forschungen zur Kernspaltung und zur Uranmaschine 9.5 Die Forschungen am Geophysikalischen Institut 9.6 Kontinuität und Wandel in der Auseinandersetzung mit physikalischen Fragen – Lichtenstein und van der Waerden 9.7 Summenformeln, Uniformisierung Riemann’scher Mannigfaltigkeiten und Gruppentheorie – neue Resultate von O. Hölder bis Koebe 9.8 Die Beiträge der Leipziger Astronomen 9.9 Die Sächsische Akademie der Wissenschaften 10 Das Wechselverhältnis zwischen Mathematik und Physik im Überblick Literatur und Quellen Abbildungsverzeichnis Personenverzeichnis

Diese Arbeit behandelt die Asymptotik von Austritts- und Übergangszeiten für gewisse schwach zeitinhomogene Diffusionsprozesse. Darauf basierend wird ein probabilistischer Begriff der stochastischen Resonanz (SR) studiert. Techniken der großen Abweichungen spielen eine zentrale Rolle. Im ersten Teil der Arbeit (Kapitel 1-3) werden Resultate aus der Theorie der großen Abweichungen für zeithomogene Diffusionen rekapituliert. Es werden die klassischen Resultate von Freidlin und Wentzell und Erweiterungen dieser Theorie präsentiert, und es wird an das Kramers''sche Austrittszeitengesetz erinnert. Teil II befasst sich mit dem Phänomen der SR, d.h. mit Periodizitätseigenschaften von Diffusionen. In Kapitel 4 werden physikalische Maße zur Messung der Periodizität diskutiert. Deren Nachteile legen es nahe, einem alternativen, probabilistischen Ansatz zu folgen, der hier behandelt wird. Das 5. Kapitel dient der Herleitung eines gleichmäßigen Prinzips der großen Abweichungen für Diffusionen mit schwach zeitabhängigem, periodischem Drift. Die Gleichmäßigkeit des Prinzips ermöglicht die exakte Bestimmung exponentieller Übergangsraten in Kapitel 6, das die zentralen Ergebnisse des 2. Teils beinhaltet. Hierdurch wird die Maximierung gewisser Übergangswahrscheinlichkeiten ermöglicht, was zum in Kapitel 7 studierten Resonanzbegriff führt. Teil III der Arbeit setzt sich mit der Asymptotik von Austrittszeiten sogenannter selbststabilisierender Diffusionen auseinander. In Kapitel 8 wird der Zusammenhang zwischen interagierenden Teilchensystemen und selbststabilisierenden Diffusionen erläutert und die Existenz- und Eindeutigkeitsfrage behandelt. Das 9. Kapitel dient dem Studium der großen Abweichungen dieser Klasse von Diffusionen. In Kapitel 10 wird das Kramers''sche Austrittszeitengesetz auf selbststabilisierende Diffusionen übertragen, und in Kapitel 11 wird der Einfluß der selbststabilisierenden Komponente auf das Austrittszeitengesetz illustriert. / In this thesis, we study the asymptotic behavior of exit and transition times of certain weakly time inhomogeneous diffusion processes. Based on these asymptotics, a probabilistic notion of stochastic resonance (SR) is investigated. Large deviations techniques play the key role throughout this work. In the first part (Chapters 1-3) we recall the large deviations theory for time homogeneous diffusions. We present the classical results due to Freidlin and Wentzell and extensions thereof, and we remind of Kramers'' exit time law. Part II deals with the phenomenon of stochastic resonance. That is, we study periodicity properties of diffusion processes. In Chapter 4 we explain the paradigm of stochastic resonance and discuss physical notions of measuring periodicity of diffusions. Their drawbacks suggest to follow an alternative probabilistic approach, which is treated in this work. In Chapter 5 we derive a large deviations principle for diffusions subject to a weakly time dependent periodic drift term. The uniformity of the obtained large deviations bounds w.r.t. the system''s parameters plays a key role for the treatment of transition time asymptotics in Chapter 6, which contains the main result of the second part. The exact exponential transition rates obtained here allow for maximizing transition probabilities, which finally leads to the announced probabilistic notion of resonance studied in Chapter 7. In the third part we investigate the exit time asymptotics of a certain class of so-called self-stabilizing diffusions. In Chapter 8 we explain the connection between interacting particle systems and self-stabilizing diffusions, and we address the question of existence. The following Chapter 9 is devoted to the study of the large deviations behavior of these diffusions. In Chapter 10 Kramers'' exit law is carried over to our class of self-stabilizing diffusions. Finally, the influence of self-stabilization is illustrated in Chapter 11.

Diese Arbeit befasst sich mit Untersuchung der Hölder Calmness, eines Stabilitätskonzeptes das man als Verallgemeinerung des Begriffs der Calmness erhält. Ausgehend von Charakterisierungen dieser Eigenschaft für Niveaumengen von Funktionen, werden, unter der Voraussetzung der Hölder Calmness, Prozeduren zur Bestimmung von Elementen dieser Mengen analysiert. Ebenso werden hinreichende Bedingungen für Hölder Calmness studiert. Da Hölder Calmness (nichtleerer) Lösungsmengen endlicher Ungleichungssysteme mittels (lokaler) Fehlerabschätzungen beschrieben werden kann, werden auch Erweiterungen der lokalen zu globalen Ergebnissen diskutiert. Als Anwendung betrachten wir speziell den Fall von Niveaumengen von Polynomen bzw. allgemeine Lösungsmengen polynomialer Gleichungen und Ungleichungen. Eine konkrete Frage, die wir beantworten wollen, ist die nach dem Zusammenhang zwischen dem größten Grad der beteiligten Polynome sowie dem Typ, d.h. dem auftretenden Exponenten, der Hölder Calmness des entsprechenden Systems. / This thesis is concerned with an analysis of Hölder calmness, a stability property derived from the concept of calmness. On the basis of its characterization for (sub)level sets, we will cogitate about procedures to determine points in such sets under a Hölder calmness assumption. Also sufficient conditions for Hölder calmness of (sub)level sets and of inequality systems will be given and examined. Further, since Hölder calmness of (nonempty) solution sets of finite inequality systems may be described in terms of (local) error bounds, we will as well amplify the local propositions to global ones. As an application we investigate the case of (sub)level sets of polynomials and of general solution sets of polynomial equations and inequalities. A concrete question we want to answer here is, in which way the maximal degree of the involved polynomials is connected to the exponent of Hölder calmness or of the error bound for the system in question.

Sei G eine p-adische analytische gruppe, welche die direkte Summe einer torsionfreien p-adische analytische gruppe H mit zerfallender halbeinfacher Liealgebra und einer n-dimensionalen abelschen p-adische analytische gruppe Z ist. In Kapitel 3 zeigen wir folgenden Satz: Sei M ein endlich erzeugter Torsionmodul über der Iwasawaalgebra von G, welcher keine nichtrivialen pseudo-null-Untermoduln besitzt. Dann ist q(M), das Bild von M in der Quotientenkategorie Q, genau dann volltreu, wenn M als Modul über der Iwasawaalgebra von Z torsionsfrei ist. Hierbei bezeichne Q den Serre-Quotienten der Kategorie der Moduln über der Iwasawaalgebra von G nach der Serre-Unterkategorie der pseudo-null-Moduln. In Kapitel 4 zeigen wir folgenden Satz: Es bezeichne T die Kategorie, deren Objekte die endlich erzeugten Modulen über der Iwasawaalgebra von G sind, welche auch als Moduln über der Iwasawaalgebra von H endlich erzeugt sind. Seien M, N zwei Objekte von T. Wir nehmen an, dass M, N keine nichttrivialen pseudo-null-Untermoduln besitzen und q(M) in Q volltreu ist. Dann gilt: Ist [M]=[N] in der Grothendieckgruppe von Q, so ist das Bild von N ebenfalls volltreu. In Kapitel 5 zeugen wir folgenden Satz: Sei G eine beliebige p-adische analytische Gruppe, welche keine Element der Ordung p besitzt. Dann sind die Grothendieckgruppen der Algebra stetiger Distributionen und der Algebra beschränkter Distributionen isomorph zu c Kopien des Rings der ganzen Zahlen, wobei c die Anzahl der p-regulären Konjugationsklassen des Quotienten von G nach einer offenen uniformen pro-p-Untergruppe H bezeichnet. / Let G be a compact p-adic analytic group with no element of order p such that it is the direct sum of a torsion free compact p-adic analytic group H whose Lie algebra is split semisimple and an abelian p-adic analytic group Z of dimension n. In chapter 3, we show that if M is a finitely generated torsion module over the Iwasawa algebra of G with no non-zero pseudo-null submodule, then the image q(M) of M via the quotient functor q is completely faithful if and only if M is torsion free over the Iwasawa algebra of Z. Here the quotient functor q is the unique functor from the category of modules over the Iwasawa algebra of G to the quotient category with respect to the Serre subcategory of pseudo-null modules. In chapter 4, we show the following: Let M, N be two finitely generated modules over the Iwasawa algebra of G such that they are objects of the category Q of those finitely generated modules over the Iwasaw algebra of G which are also finitely generated as modules over the Iwasawa algebra of H. Assume that q(M) is completely faithful and [M] =[N] in the Grothendieck group of Q. Then q(N) is also completely faithful. In chapter 6, we show that if G is any compact p-adic analytic group with no element of order p, then the Grothendieck groups of the algebras of continuous distributions and bounded distributions are isomorphic to c copies of the ring of integers where c denotes the number of p-regular conjugacy classes in the quotient group of G with an open normal uniform pro-p subgroup H of G.

In der Finanzmathematik hat der Besitzer einer amerikanische Option das Recht aber nicht die Pflicht, eine Aktie innerhalb eines bestimmten Zeitraums, für einen bestimmten Preis zu kaufen oder zu verkaufen. Die Bewertung einer amerikanische Option wird als so genanntes optimale stopping Problem formuliert. Erfolgt die Modellierung des Aktienkurses durch eine geometrische Brownsche Bewegung, wird der Wert einer amerikanischen Option durch ein deterministisches freies Randwertproblem (FRWP), oder einer äquivalenten Variationsungleichung (VU) auf ganz R in gewichteten Sobolev Räumen gegeben. Um Standardmethoden der Numerischen Mathematik anzuwenden, wird das unbeschränkte Gebiet zu einem beschränkten Gebiet abgeschnitten. Mit Hilfe der Fourier-Transformation wird eine Integraldarstellung der Lösung die den freien Rand explizit beinhaltet, hergeleitet. Mittels dieser Integraldarstellung werden Abschneidefehlerschranken bewiesen. Danach werden gewichtete Poincare Ungleichungen mit expliziten Konstanten bewiesen. Der Abschneidefehler und die gewichtete Poincare Ungleichung ermöglichen, einen zuverlässigen a posteriori Fehlerschätzer zwischen der exakten Lösung der VU und der semidiskreten Lösung des penalisierten Problems auf R herzuleiten. Eine hinreichend glatte Lösung der VU garantiert die Konvergenz der Lösung des penaltisierten Problems zur Lösung der VU. Ein a priori Fehlerschätzer für den Fehler zwischen der exakten Lösung der VU und der semidiskreten Lösung des penaltisierten Problems beendet die numerische Analysis. Die eingeführten aposteriori Fehlerschätzer motivieren einen Algorithmus für adaptive Netzverfeinerung. Numerische Experimente zeigen die verbesserte Konvergenz des adaptiven Verfahrens gegenüber der uniformen Verfeinerung. Der zuverlässige a posteriori Fehlerschätzer ermöglicht es, den Abschneidepunkt so zu wählen, dass der Gesamtfehler (Diskretisierungsfehler plus Abschneidefehler) kleiner als eine gegebenen Toleranz ist. / Among the central concerns in mathematical finance is the evaluation of American options. An American option gives the holder the right but not the obligation to buy or sell a certain financial asset within a certain time-frame, for a certain strike price. The valuation of American options is formulated as an optimal stopping problem. If the stock price is modelled by a geometric Brownian motion, the value of an American option is given by a deterministic parabolic free boundary value problem (FBVP) or equivalently a non-symmetric variational inequality (VI) on weighted Sobolev spaces on R. To apply standard numerical methods, the unbounded domain R is truncated to a bounded one. Applying the Fourier transform to the FBVP yields an integral representation of the solution including the free boundary explicitely. This integral representation allows to prove explicit truncation errors. Since the VI is formulated within the framework of weighted Sobolev spaces, we establish a weighted Poincare inequality with explicit determined constants. The truncation error estimate and the weighted Poncare inequality enable a reliable a posteriori error estimate between the exact solution of the VI and the semi-discrete solution of the penalised problem on R. A sufficient regular solution provides the convergence of the solution of the penalised problem to the solution of the VI. An a priori error estimate for the error between the exact solution of the VI and the semi-discrete solution of the penalised problem concludes the numerical analysis. The established a posteriori error estimates motivates an algorithm for adaptive mesh refinement. Numerical experiments show the improved convergence of the adaptive algorithm compared to uniform mesh refinement. The reliable a posteriori error estimate including explicit truncation errors allows to determine a truncation point such that the total error (discretisation and truncation error) is below a given error tolerance.

Die Dissertation ``Asymptotische \Äquivalenz f\ür ein Modell unabh\ängiger nicht identisch verteilter Daten'' besch\äftigt sich mit der Le Camschen Theorie der Experimente. Le Cam hat den sogenannten $\Delta$-Abstand zwischen statistischen Experimenten definiert; ist dieser Abstand f\ür zwei Modelle klein, so sind ihre statistischen Eigenschaften \ähnlich. Zwei Folgen von Experimenten nennt man asymptotisch \äquivalent, falls ihr $\Delta$-Abstand gegen Null konvergiert.\\ In dieser Arbeit beweisen wir asymptotische \Äquivalenz zwischen einem Modell mit unabh\ängigen, nicht identisch verteilten Beobachtungen und einem Gaußschen Shift-Modell. Die i-te Beobachtung des ersten Experimentes ist dabei gem\äß einer Dichte $h(i/n,.)$ verteilt, wobei die Funktion h eine Schar von Dichten bildet. Wir approximieren also ein kompliziertes statistisches Experiment durch ein einfacheres, n\äymlich ein Gaußsches Shift-Modell. Die Dichten h geh\ören einer Menge h\ölderstetiger Funktionen an, so daß wir es mit einem nichtparametrischen Problem zu tun haben. Das von uns bewiesene \Äquivalenzresultat kann auch als eine nichtparametrische Version der ebenfalls von Le Cam eingef\ührten LAN Bedingung aufgefaßt werden. Ein wichtiges Hilfsmittel zum Beweis des oben beschriebenen Resultats ist das sogenannte Coupling von stochastischen Prozessen, d.h. die Konstruktion solcher Prozesse auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum, so daß die Prozesse nahe beieinander liegen. Im zweiten Teil der Arbeit beweisen wir eine funktionale Version eines solchen Coupling Resultats f\ür den sequentiellen empirischen Prozeß und den Kiefer-M\üller Prozeß unter Verwendung der sogenannten Ungarischen Konstruktion. / The thesis "Asymptotic Equivalence of Experiments for a Model with Independent and Nonidentically distributed Observations" deals with the theory of experiments that was developped by Le Cam. \\ Le Cam defined the so called $\Delta$-distance between experiments. If this distance is small for two given models it means that their statistical properties are similar. We call two sequences of experiments asymptotic equivalent if their $\Delta$-distance converges to zero.\\ In this thesis we prove asymptotic equivalence between a model with independent and nonidentically distributed observations and a Gaussian shift model. The i-th observation in the first model is distributed according to a density $h(i/n,.)$ where $h$ is a bunch of densities on the unit interval. This means that we approximate a complicated statistical experiment by a simpler one, namely a Gaussian shift model. The densites h belong to a H\"older ball such that we have a nonparametric problem. Our result can also be viewed as a nonparametric version of the LAN property which was also defined by Le Cam. An important tool for proving our result is the coupling of stochastic processes, i.e. the construction of processes on a common probability space such that they are close in a strong sense. In the second part of the thesis we prove a functional version of such a coupling result for the sequential empirical process and the Kiefer-M\"uller process by using the Hungarian construction.

Koagulation ist physikalisch bedeutsam für eine Vielzahl von technischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen und bezeichnet die paarweise Verschmelzung von Clustern unterschiedlicher Masse. Der zeitliche Verlauf der Clusterkonzentration läßt sich durch Smoluchowskis Koagulationsgleichung beschreiben, einem unendliches System nichtlinearer Differentialgleichungen. Ausgangspunkt dieser Arbeit ist eine nichtlineare maßwertige Gleichung, die die Koagulations- und andere kinetische Gleichungen beinhaltet und verschiedene physikalische und chemische Mechanismen integriert. Sie ermöglicht einen allgemeinen Zugang zu Fragen bezüglich der Existenz von Lösungen und ihrer Approximation durch stochastische Partikelsysteme. Die Teilchensysteme werden dabei als reguläre Sprungprozesse modelliert, welche eine Menge diskreter Maße auf einem lokal-kompakten Raum als Zustandsraum besitzen. Die Arbeit untergliedert sich in drei Teile: Unter geeigneten Voraussetzungen an die Sprungraten werden zunächst für wachsende Teilchenzahlen Approximations- und Konvergenzaussagen unter Verwendung von Kompaktheitsargumenten, Martingaltheoremen und Lokalisierungstechniken bewiesen. Ihre Anwendung auf die Koagulationsgleichung mit Fragmentation, Quellen und Senken erlaubt anschließend die Herleitung neuer Existenzresultate und stochastischer Algorithmen. Der letzte Abschnitt illustriert die numerischen Eigenschaften und die Effizienz der neuen Algorithmen im Vergleich zu bisherigen Monte Carlo Methoden und ihre besondere Eignung zur Analyse des Gelationsphänomens, einem Phasenübergang, welcher zum Masseverlust im Clustersystem führt. / Coagulation is an important physical process for a wide range of technical and scientific applications and denotes the pairwise merging of clusters with different mass. The dynamic behaviour of the cluster concentration can be described by Smoluchowski's coagulation equation which is an infinite system of nonlinear differential equations. In this thesis we start with a nonlinear measure-valued equation generalizing the coagulation and other kinetic equations and integrating various physical and chemical processes. This equation allows a unified treatment of questions concerning existence of solutions and their approximation by means of stochastic particle systems. Here, the particle systems are defined as regular jump processes living on a set of point measures on a locally compact space. The thesis consists of three parts: First of all, approximation and convergence results for suitable jump rates and increasing particle numbers are proved by means of compactness theorems, martingale techniques and localizing procedures. Then, an application to the coagulation equation with fragmentation, source and efflux terms leads to new existence results and stochastic algorithms. Finally, their numerical features and efficiency are compared to known Monte Carlo methods and their specific convergence properties are presented with respect to a phase transition which is called gelation and leads to a loss of total cluster mass.

Gegenstand dieser Arbeit sind Geraden in komplexen Mannigfaltigkeiten. Dabei wird zum einen ein Geradenbegriff verwendet, der sich aus der Theorie der Twistorräume herleitet. Demnach ist eine Gerade in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit eine rationale Kurve, deren Normalenbündel isomorph zu dem Normalenbündel einer Geraden im n-dimensionalen komplexen projektiven Raum ist. Einen engeren Geradenbegriff erhält man, wenn man darüberhinaus fordert, dass eine Umgebung der Kurve isomorph zu einer Umgebung einer Geraden im projektiven Raum ist. Solche Geraden heissen tubular. In der Arbeit wird gezeigt, dass die beiden Geradenbegriffe nicht äquivalent sind und ein Kriterium dafür angegeben, wann eine Gerade nicht tubular ist. Mit der Deformationstheorie folgt aus der Existenz einer Geraden in einer Mannigfaltigkeit die Existenz einer Familie von Geraden, wobei die Geraden eine offene Menge überdecken. Daher gibt es auf solchen Mannigfaltigkeiten keine holomorphen Differentialformen und somit sind die meisten Methoden der Klassifikationstheorie nicht anwendbar. Als einziger Zugang bleibt die algebraische Reduktion, die in dieser Arbeit für dreidimensionale Mannigfaltigkeiten mit Geraden untersucht wird, wobei sich zunächst eine grobe Charakterisierung dieser Räume ergibt. Der Fall der algebraischen Dimension 2 erweisst sich dann als besonders günstig, da solche Mannigfaltigkeiten elliptische Faserungen über komplexen Flächen sind und die Existenz der Geraden impliziert, dass diese Flächen rational sind. Elliptische Hauptfaserbündel mit Geraden können dann vollständig beschrieben werden. Allgemeine Faserungen lassen sich auf Faserungen über Hirzebruch-Flächen zurückführen. Für diese werden notwendige Bedingungen an die Existenz von Geraden hergeleitet. / In this work we study lines in complex manifolds. Mostly we use a definition of lines which comes from the thory of twistor spaces. That means a line is a rational curve in a complex manifold with the same normal bundle as a line in a projective space. Another possibility for the definition of lines is to demand that a complete neighbourhood of the rational curve is biholomorphic equivalent to a neighbourhood of a line in a projective space. Such lines a called tubular lines. In this work we show that these two definitions of lines are not equivalent and we give a criterion for a line not to be tubular. From deformation theory follows that the existence of a line in a manifold induces a family of lines which covers an open subset. Therefore there are no non-trivial homolorphic differential forms on the manifold and most of the techniques of classification theory do not work. Therefore we study the algebraic reduction of the manifold. For 3 dimensional complex manifolds with lines we get a rough description. In the case of algebraic dimension 2 the algebraic reduction is an elliptic fibration over a surface and from the existence of lines we can conclude that this surface is rational. For such fibrations we have good descriptions and we can generalize the situation to fibrations over minimal rational surfaces. For them we give necessary condtions for the exitence of lines.