Dans cette thèse, nous nous demandons si certaines formes présentes dans la nature résultent de l'optimisation d'un critère. Plus précisément, nous considérons un organe ou une partie du corps humain et tentons de deviner un critère que la nature aurait pu chercher à optimiser. Nous résolvons alors le problème d'optimisation de formes résultant afin de comparer la forme obtenue, théoriquement ou numériquement, avec la forme réelle de l'organe. Si ces deux formes sont proches, on pourra en déduire que le critère est convaincant. Dans la première partie de cette thèse, nous considérons l'exemple d'une fibre nerveuse de type axone ou dendrite. Nous proposons deux critères pour expliquer sa forme. Le premier traduit l'atténuation dans le temps du message électrique traversant la fibre et le second l'atténuation dans l'espace de ce message. Dans notre choix de modélisation, nous distinguons deux types de fibres nerveuses : celles qui sont connectées au noyau de la cellule et celles qui sont connectées entre elles. Les problèmes correspondants se ramènent à la minimisation par rapport au domaine des valeurs propres d'un opérateur elliptique et d'une fonction de transfert faisant intervenir la trace sur le bord du domaine du potentiel électrique au sein de la fibre. La seconde partie de cette thèse est dédiée à l'optimisation de la forme d'un arbre bronchique ou d'une partie de cet arbre. Nous considérons un critère de type << énergie dissipée >>. Dans une étude théorique, nous prouvons tout d'abord que le cylindre n'est pas une conduite optimale pour minimiser l'énergie dissipée par un fluide newtonien incompressible satisfaisant aux équations de Navier-Stokes. Nous effectuons ensuite des simulations en deux et trois dimensions afin de tester numériquement si l'arbre bronchique est ou non optimal. / In this Ph.D thesis, we wonder whether some shapes observed in Nature could follow from the optimization of a criterion. More precisely, we consider an organ or a part of the human body and we try to guess a criterion that Nature could have tried to optimize. Then, we solve the resulting shape optimization problem in order to compare the shape obtained by a theoretical or a numerical way with the real shape of the organ. If these two shapes are similar, it may be deduced that the criterion is relevant. In the first part of this thesis, we consider the example of a nerve fiber of an axon or a dendrite kind. We propose two criterions to explain its shape. The first one stands for the attenuation throughout the time of the electrical message and the second one stands for the attenuation throughout the space of that message. In our choice of modeling, we distinguish two sorts of nerve fibers: these connected to the nucleus of the cell and these connected with two other fibers. The corresponding problems boil down to the minimization with respect to the domain of the eigenvalues of an elliptic operator and of a transfer function expressed with the trace of the electrical potential in the fiber on the boundary of the domain. The second part of this thesis is devoted to optimization of the shape of a bronchial tree or a part of that tree. We consider as a criterion the ``dissipated energy''. In a theoretical study, we foremost prove that the cylinder is not an optimal pipe to minimize energy dissipated by a newtonian incompressible fluid driven by a Navier Stokes system. Afterwards, we propose two and three dimensional simulations to verify numericaly if the bronchial tree is or not optimal.

Neste trabalho estudaremos uma classe de problemas não locais do tipo Neumann. Consideramos o caso linear não homogêneo, bem como o semi-linear com não linearidades globalmente Lipschitz. Procuramos escrever um trabalho auto-contido. Apresentamos alguns resultados clássicos de Análise e suas aplicações no contexto de equação de evolução não local. Na introdução, apresentamos uma motivação para tais equações tendo em vista os fenômenos de reação e difusão baseados no trabalho de P. Fife. / In this work we will study a class of nonlocal problems of the Neumann type. We consider the non-homogeneous linear case as well as the semi-linear one with globally Lipschitz non-linearities. We seek to write a self-contained work with some classic results of Analysis and its applications in the context of non-local evolution equations. In the introduction, we present a motivation for such equations in view of the phenomena of reaction and diffusion based on the work of P. Fife

Quando uma marca é apresentada ao mercado deve trazer consigo um conjunto de qualidades que, por si só, têm a obrigação de ser excelentes. Mas, para maximizar o seu valor, as empresas devem procurar efectuar uma gestão eficaz da marca que não se esgote na sua criação. A marca é actualmente considerada um património inestimável, que ultrapassa o pólo de emissão consubstanciado no objecto, missão e marketing mix da marca e que integra na sua construção e manutenção os públicos a que se dirige (public mix e image mix da marca). Nesta tese procura-se salientar a importância do valor da marca, discutindo com base no princípio da co-criação os conceitos de marca relacional e de experiência do consumidor com a marca. Com base no estudo de um caso, investiga-se a reestruturação estratégica da empresa edp e consequente reposicionamento da marca, procurando-se sustentar e aplicar as derivações conceptuais aqui apresentadas.

Nous étudions des équations relatives au p-Laplacien anisotrope lorsque certaines composantes du vecteur p sont égales à 1. / We study anisotropic p-Laplacian equations when some components of p are equal to 1.

Dans cette thèse, on s'intéresse au problème de Cauchy pour des équations quasi-linéaires dispersives. Pour une telle équation, l'enjeu est de montrer l'existence et l'unicité d'une solution de l'équation avec une donnée initiale prescrite dans un espace fonctionnel le plus large possible. Nous étudierons deux modèles décrivant l'évolution de la surface d'un fluide satisfaisant certaines conditions physiques.La première partie est consacrée à l'étude de l'équation de Kadomtsev-Petviashvili avec forte tension de surface (KP-I). Cette équation possède une structure Hamiltonienne et admet donc une fonctionnelle d'énergie préservée par le flot. Afin d'obtenir des solutions définies globalement en temps, on cherche donc à construire un flot dans l'espace de Banach naturellement associé à cette énergie. De plus, on se restreint à des espaces contenant des solutions particulières (les solitons linéaires de KdV), on impose donc une condition de périodicité dans la direction transverse à la propagation du fluide.On commence par illustrer le caractère quasi-linéaire de l'équation en montrant a priori que le flot dans cet espace ne peut pas être très régulier. Ceci restreint l'éventail des méthodes connues pour résoudre ce type de problème. On a donc recours à la méthode dite de restriction de la transformée de Fourier en temps petits développée récemment par Ionescu, Kenig et Tataru pour traiter ce même modèle sans condition de périodicité. On obtient ainsi l'existence globale et l'unicité de la solution du problème de Cauchy dans l'espace d'énergie. Enfin, on montre que le flot ainsi construit est continu mais pas uniformément continu sur les ensembles bornés de l'espace d'énergie.Une application intéressante de la construction d'un flot global sur l'espace d'énergie contenant les solitons linéaires est de lever une restriction sur les perturbations admissibles dans un résultat de Rousset-Tzvetkov sur la stabilité orbitale des solitons linéaires de faible vitesse.Dans la deuxième partie de la thèse, on s'intéresse à l'équation KP-I d'ordre cinq, qui est une alternative au modèle précédent dans le cas d'une tension de surface avoisinant une valeur critique pour laquelle l'effet dispersif devient plus faible. Pour cette équation, le comportement quasi-linéaire ne se manifeste que pour des données périodiques dans la direction transverse, et les autres cas avaient été étudiés précédemment dans les travaux de Saut et Tzvetkov. On considère ici des données également périodiques dans la direction de propagation. On montre que pour certains choix de périodes, le flot ne peut pas être régulier. Afin de traiter le problème indifféremment des périodes spatiales, on utilise donc une nouvelle fois la méthode précédente pour construire un flot global dans l'espace associé au Hamiltonien de ce modèle. / This thesis investigates the Cauchy problem for some quasilinear dispersive equations. Being given such an equation, the goal is then to construct a unique solution to this equation with a prescribed initial data belonging in a function space as large as possible. We will study two models describing the time evolution of the surface of a fluid in a particular regime.The first part of this thesis is devoted to the study of the Kadomtsev-Petviashvili equation in the case of strong surface tension (KP-I). This equation has a Hamiltonian structure, so it admits an energy functional which is preserved under the flow. In order to recover solutions which are globally defined in time, we thus seek to construct a flow map in the Banach sace naturally associated with the energy. In addition, we restrict ourself to spaces including some special solutions (the KdV line soliton), so we require the functions to be periodic in the transverse direction.We start by illustrating the quasilinear behaviour of the equation : we show that a flow map defined on this space cannot be too regular. This limits the range of applicable methods known to solve this kind of problem. We thus use the so-called small times Fourier restriction norm method recently developped by Ionescu, Kenig and Tataru to deal with the same model without the periodicity assumption. We thereby obtain the global existence and uniqueness of a solution to the Cauchy problem in the energy space. At last, we prove that the flow map constructed this way is continuous yet not uniformly continuous on the bounded sets of the energy space.An interesting application of the construction of a global flow on the energy space containing the line solitons is to get rid of an extra condition on admissible perturbations in a result of Rousset-Tzvetkov on the orbital stability of the small speed line solitons.In the second part of the thesis, we turn to the fifth-order KP-I equation, which is an alternative to the previous model should the tension surface come close to a critical value in which the dispersive effect becomes weaker. Regarding this equation, the quasilinear behaviour only manifests when solutions are periodic in the transverse direction, and the other cases were treated in the work of Saut and Tzvetkov. We study the case of functions which are also periodic in the direction of propagation, and we show that at least for some choice of periods the flow map fails to be smooth. In order to treat the problem regardless of the periods, we make another use of the method above to construct a global flow in the space associated to the Hamiltonian of the equation.

Dans cette thèse, on s'intéresse à la compréhension qualitative de systèmes d'EDP de type FitzHugh Nagumo. Elle est basée sur les propriétés excitable et oscillante du système d'EDO de type FitzHugh Nagumo lorsqu'on varie la valeur d'un paramètre. Après avoir analysé les propriétés du système d'EDO, on contruit des systèmes d'EDP par couplage de Réaction Diffusion ou opérateur des ondes. La simulation numérique des systèmes montre l'émergence de patterns complexes pertinents en biologie et physiologie. D'un point de vue mathématique, cela correspond à des attracteurs non triviaux, et divers théorèmes y sont montrés.

Pour bien comprendre les orientations suivies dans ce mémoire, il convient de replacer les travaux présentés dans leur contexte historique. Au commencement de ce travail, au milieu des années 90, il y eut le projet de navette européenne Hermès et les problèmes associés de réentrée dans la haute atmosphère qui m'orientèrent vers l'étude des modèles cinétiques et leurs simulations numériques par les méthodes de type Monte Carlo. Malheureusement, le lancement de la fusée Ariane 5, réalisé en 1997, est à ce jour le dernier grand projet spatial européen. A la fin des années 90, avec l'essor des moyens informatiques, de nouvelles perspectives virent le jour dans les bureaux d'études d'ingénieurs: la possibilité de lancer une boucle d'optimisation en arrière plan de simulations complexes 3D: cette nouvelle voie me redirigea alors vers l'étude et l'amélioration des méthodes d'optimisation de type Algorithmes Génétiques pour toutes sortes d'applications: optimisation du Cx d'automobiles, optimisation du rendement de réacteurs d'avions, etc... Le même type de problèmes d'optimisation s'est ensuite retrouvé dans le domaine médical et a attiré mon attention depuis mon intégration au sein de l'équipe REO en 2004: optimisation de dispositifs médicaux comme les stents ou les pacemakers, identification de paramètres de modèles numériques d'écoulements sanguins.<br />La première partie de ce mémoire est consacrée à des travaux sur le transport de particules dans le prolongement de ma thèse soutenue en 1995: étude du libre parcours moyen de particules dans un réseau d'obstacles périodiques, trajectoires de particules dans un écoulement fluide turbulent. L'application visée dans cette dernière étude consistait à estimer le dépôt d'alumine dans le fond arrière du propulseur à poudre de la fusée Ariane 5. La seconde partie consiste en la présentation des méthodes d'optimisation hybrides et des principes d'évaluations approchées ayant permis d'améliorer les performances des méthodes de type Algorithmes Génétiques. La troisième partie présente un certain nombre d'application des méthodes précédentes à des problèmes d'optimisation ayant pour point commun leur caractère global ainsi que la présence de contraintes s'exprimant sous la forme d'EDO ou d'EDP. Chacun de ces problèmes est par ailleurs issu d'une problématique d'ingénierie ou médicale.

L'objectif de cette thèse est d'effectuer une étude d'identifiabilité d'un modèle épidémiologique décrit par un système d'équations aux dérivées partielles (EDP) intégro-différentiel semi-linéaire de type réaction-transport. Dans ce but, nous effectuons tout d'abord une synthèse de la littérature relative aux problèmes inverses d'identifiabilité paramétrique. Nous étudions les fondements mathématiques des différentes techniques employées, en mettant en avant les natures des systèmes auxquels ces méthodes s'appliquent ou se généralisent. En dimension finie, trois méthodes se dégagent pour les systèmes d'équations différentielles ordinaires : par développement en série de Taylor, par élimination algébro-différentielle et par le biais du théorème de l'isomorphisme d'état. En dimension infinie, pour les systèmes d'EDP, deux méthodes sont couramment utilisées dans le cas linéaire : une approche spectrale et une autre reposant sur les inégalités de Carleman. Cette dernière est aussi appliquée à quelques systèmes d'EDP semi-linéaires, dans des cas particuliers où le problème d'identifiabilité peut se ramener à l'étude d'un système linéaire. Cependant, cette méthode n'est pas, ou alors difficilement, applicable à notre système du fait de la complexité de sa non-linéarité. Dans un deuxième temps, nous effectuons l'analyse d'identifiabilité du modèle épidémiologique. Nous commençons par bâtir un cadre formel d'étude d'identifiabilité s'appliquant aux systèmes d'EDP semi-linéaires. Ce cadre nécessite la connaissance d'un espace de vie de la solution du problème d'EDP. En conséquence, nous déterminons un cadre fonctionnel respectant les conditions biologiques imposées par le modèle, puis nous prouvons existence et unicité de la solution. Nous effectuons ensuite l'analyse d'identifiabilité du modèle en adaptant la méthode d'élimination algébro-différentielle. Nous obtenons des conditions suffisantes d'identifiabilité pour des classes de paramètres données. Nous discutons, interprétons et simulons numériquement les résultats obtenus.

L'athérosclérose est une maladie inflammatoire qui commence quand les lipoprotéines de faible densité (LDL) entrent dans l'intima du vaisseau sanguin où elles sont oxydées (ox-LDL). Le ox-LDL est considéré comme un agent dangereux par le système immunitaire provoquant ainsi une réponse immunitaire. Cette réponse immunitaire déclenche le recrutement des monocytes dans l'intima où elles se transforment en macrophages et ensuite en cellules spumeuses. Ce dernier amplifie la production des cytokines inflammatoires et davantage de recrutement des monocytes. Ce processus auto-amplifié est compensé par la sécrétion de cytokines anti-inflammatoires (anti-inflammation biochimique) et la migration des cellules musculaires lisses pour former une chape fibreuse qui couvre le noyau lipidique. Cette chape fibreuse avec le noyau lipidique s'appellent la plaque d'athérosclérose. Celle-ci change la géométrie du vaisseau sanguin en le rétrécissant et interagit avec du flux sanguin. Cette interaction peut avoir des conséquences dangereuses liées à la rupture de plaque ou à la formation du caillot de sang. La thèse est consacrée à la modélisation mathématique de ces phénomènes. Elle est composée de deux parties : Nous développons des modèles mathématiques basés sur des équations de réaction diffusion afin de décrire le processus inflammatoire. Le premier modèle est unidimensionnel. Il nous permet d'expliquer comment le développement de l'athérosclérose dépend de la concentration en cholestérol (ox-LDL). Si cette concentration dans l'intima est basse, alors la maladie ne se développera pas. Les concentrations intermédiaires de ox-LDL peuvent mener au développement de la maladie dans certaines conditions. Nous montrons que l'inflammation se propage en front d'ondes de réaction-diffusion. Les concentrations élevées de ox-LDL engendre le développement de la maladie. Même une petite perturbation du cas non inflammatoire mène à une propagation d'ondes qui correspond à l'inflammation. Ensuite nous étudions un modèle bidimensionnel qui représente un système d'équations type réaction-diffusion sur une bande. La deuxième dimension correspond à la section transversale de l'intima et une condition aux limites non-linéaire décrit le recrutement des monocytes. Cette condition aux limites est une fonction des concentrations des cytokines. Nous démontrons l'existence des fronts de propagation d'onde et confirmons les résultats précédents qui montrent que l'athérosclérose se développe en tant qu'onde de réaction-diffusion. Les résultats théoriques des deux modèles sont confirmés par des simulations numériques qui montrent que le cas bidimensionnel converge vers le cas unidimensionnel quand l'épaisseur de l'intima tend vers zéro. Une fois la plaque se forme, elle interagit avec le flux sanguin engendrant de différentes conséquences mécaniques et biochimiques. Nous développons un modèle d'interaction fluide-structure. La plaque d'athérome composée d'un dépôt lipidique couvert par une chape fibreuse, les deux étant modélisés en tant que matériaux hyper-élastiques. Le sang est considéré comme un fluide non-Newtonien avec une viscosité variable modélisée selon la loi de Carreau. Les paramètres utilisés dans nos simulations sont tirés de données expérimentales mentionnées dans la littérature. Nous étudions les effets non-Newtoniens sur les recirculations du sang en aval de la plaque d'athérome et aussi sur les contraintes sur celle-ci. Les simulations montrent que le modèle Newtonien surestime les recirculations de manière significative par rapport au modèle non-Newtonien. Elles montrent aussi que le modèle Newtonien sous-estime légèrement les contraintes sur la plaque pour des taux de cisaillement usuels, mais cette sous-estimation devient importante pour des taux de cisaillement bas.

Cette thèse porte sur des équations aux dérivées partielles hamiltoniennes à conditions initiales aléatoires. En effet, on étudie ici l'évolution de certaines mesures à travers le flot de telles équations. Cette étude suit deux axes.Premièrement, on considère le caractère globalement bien posé de l'équation d'onde non linéaire quand la donnée initiale est de faible régularité. Cette donnée initiale est une variable aléatoire et on obtient le caractère globalement bien posé de façon presque sûre par rapport à la mesure induite par cette variable. La faible régularité fait référence à l'espace auquel appartient les valeurs de la variable aléatoires et dénote une régularité moins contraignante que celle requise par la théorie déterministe.Dans certaines conditions, des propriétés d'invariance de la loi de la donnée initiale sont nécessaires à la démonstration du caractère bien posé. C'est pourquoi le deuxième axe comprend la question de l'invariance de mesures et leurs stabilités à travers le flot d'EDPs.On donne ainsi une loi invariante à travers le flot de l'équation d'onde cubique et une autre à travers celui de l'équation de Benjamin-Bona-Mahony (BBM). la mesure invariante pour BBM est telle que les amplitudes associées à chaque longueur d'onde de la solution sont des variables aléatoires indépendantes les unes des autres. On considère alors la stabilité de l'invariance pour BBM lorsqu'on ajoute des corrélations entre ces amplitudes.Enfin, en s'inspirant de la littérature physique à propos de la turbulence faible, on s'est demandé ce qu'il advenait de l'indépendance entre les amplitudes dans un contexte plus général. Plus précisément, on a cherché à si les covariances des amplitudes restent petites lorsque celles-ci sont initialement indépendantes et que le terme non quadratique de l'énergie associée à l'équation étudiée est très petit devant l'énergie totale.